Les figures planes usuelles PDF

COURS Les figures planes usuelles Les figures planes usuelles I Les triangles Certains triangles possèdent des propriétés particulières, c'est le cas du triangle isocèle, du triangle équilatéral et du triangle rectangle. A Le triangle isocèle Le tri...

COURS Les figures planes usuelles Les figures planes usuelles I Les triangles Certains triangles possèdent des propriétés particulières, c'est le cas du triangle isocèle, du triangle équilatéral et du triangle rectangle. A Le triangle isocèle Le triangle isocèle a deux côtés égaux. DÉFINITION Triangle isocèle Un triangle est isocèle s'il possède deux côtés de même longueur. Si le point A est le sommet commun aux deux côtés de même longueur, on dit que le triangle ABC est isocèle en A. Le point A est appelé « sommet principal » et le segment [BC ] est appelé « base du triangle ». EXEMPLE Le triangle DEF est isocèle en E. Le point E est le sommet principal et [DF ] est la base. Sur la figure, on marque d'un même symbole les côtés de même longueur. REMARQUE PROPRIÉTÉ Dans un triangle isocèle : la médiatrice de la base est le seul axe de symétrie ; les angles à la base ont la même mesure. EXEMPLE Pour montrer qu'un triangle est isocèle, on peut donc montrer au choix : ASTUCE qu'il possède deux côtés de même longueur ; qu'il possède deux angles de même mesure ; qu'il possède un axe de symétrie. B Le triangle équilatéral Le triangle équilatéral a trois côtés égaux. 1/8 COURS Les figures planes usuelles DÉFINITION Triangle équilatéral Un triangle est équilatéral si ses trois côtés sont de même longueur. EXEMPLE Le triangle MNP est équilatéral. PROPRIÉTÉ Dans un triangle équilatéral : les médiatrices des côtés sont les trois axes de symétrie ; les trois angles sont égaux et mesurent 60°. EXEMPLE Pour montrer qu'un triangle est équilatéral, on peut montrer au choix : ASTUCE qu'il possède trois côtés de même longueur ; qu'il possède trois angles de même mesure ; qu'il possède deux angles mesurant 60° ; qu'il possède trois axes de symétrie. C Le triangle rectangle Le triangle rectangle a un angle droit. DÉFINITION Triangle rectangle Un triangle est rectangle s'il possède deux côtés perpendiculaires. Si le point A est le sommet de l'angle droit, on dit que le triangle ABC est rectangle en A. Le segment [BC ] est alors appelé « hypoténuse du triangle », il est le côté le plus grand. EXEMPLE Le triangle ABC est rectangle en A. [BC ] est son hypoténuse. II Les quadrilatères 2/8 COURS Les figures planes usuelles Comme les triangles, certains quadrilatères possèdent des propriétés particulières. C'est le cas du losange, du parallélogramme, du rectangle et du carré. A Le losange Le losange a quatre côtés de même longueur. DÉFINITION Losange Un losange est un quadrilatère dont les quatre côtés sont de même longueur. EXEMPLE Le quadrilatère ABCD est un losange. PROPRIÉTÉ Dans un losange : les diagonales sont des axes de symétrie ; les diagonales sont perpendiculaires et se coupent en leur milieu ; les angles opposés sont de même mesure ; les côtés opposés sont parallèles. EXEMPLE Pour montrer qu'un quadrilatère est losange, on peut montrer au choix : ASTUCE qu'il possède quatre côtés de même longueur ; que ses diagonales sont perpendiculaires et se coupent en leur milieu. 3/8 COURS Les figures planes usuelles B Le parallélogramme Le parallélogramme a ses côtés opposés parallèles. DÉFINITION Parallélogramme Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles. EXEMPLE Les droites (AB) et (CD) sont parallèles. Les droites (BC) et (AD) sont parallèles. Le quadrilatère ABCD est donc un parallélogramme. Le losange, le rectangle et le carré sont tous les trois des parallélogrammes. REMARQUE C Le rectangle Le rectangle est un parallélogramme qui a quatre angles droits. DÉFINITION Rectangle Un rectangle est un quadrilatère qui possède quatre angles droits. Son plus grand côté est sa longueur, généralement notée L. Son plus petit côté est sa largeur, généralement notée ℓ. EXEMPLE Le quadrilatère ABDC est un rectangle de longueur L et de largeur ℓ. 4/8 COURS Les figures planes usuelles PROPRIÉTÉ Les côtés opposés d'un rectangle sont de même longueur. EXEMPLE Le quadrilatère MNOP est un rectangle. On a MN = PO et MP = NO. PROPRIÉTÉ Dans un rectangle : les côtés opposés sont parallèles ; les médiatrices des côtés sont des axes de symétrie ; les diagonales se coupent en leur milieu et sont de même longueur. EXEMPLE Pour montrer qu'un quadrilatère est un rectangle, on peut montrer au choix : ASTUCE qu'il possède trois angles droits ; que ses diagonales sont de même longueur et se coupent en leur milieu. D Le carré Le carré est un parallélogramme qui a quatre côté de même longueur et quatre angles droits. DÉFINITION Carré Un carré est un quadrilatère qui possède à la fois quatre angles droits et quatre côtés de même longueur. EXEMPLE Le quadrilatère HIJK est un carré. 5/8 COURS Les figures planes usuelles Un carré est à la fois un losange, un rectangle et un parallélogramme. Il possède donc les mêmes propriétés que le losange, le rectangle et le parallélogramme. REMARQUE Pour montrer qu'un quadrilatère est un carré, il suffit de montrer que c'est un losange et un rectangle. ASTUCE III Les cercles Un cercle de centre O est une figure qui a un rayon r. Tout segment de centre O est appelé diamètre de ce cercle. A Définition et propriétés d'un cercle Un cercle de centre O et de rayon r est la figure formée de l'ensemble des points situés à une distance r du point O. DÉFINITION Cercle Un cercle de centre O et de rayon r est la figure formée de l'ensemble des points situés à une distance r du point O. EXEMPLE Un cercle se trace à l'aide d'un compas. REMARQUE 6/8 COURS Les figures planes usuelles PROPRIÉTÉ A vérifie OA = r , le point A appartient au cercle de centre O et de rayon r. Si le point Réciproquement, si le point A appartient au cercle de centre O et de rayon r , il vérifie OA = r. EXEMPLE Le cercle C est le cercle de centre O et de rayon 5 unités. Le point A vérifie OA = 5 unités. Donc le point A appartient au cercle C. B Le rayon d'un cercle Tout segment de longueur r ayant pour extrémité O est appelé rayon d'un cercle. DÉFINITION Rayon d'un cercle Si le point A appartient au cercle de centre O , alors le segment [OA] est un rayon de ce cercle. EXEMPLE C Le diamètre d'un cercle Tout segment de centre O est appelé diamètre d'un cercle. 7/8 COURS Les figures planes usuelles DÉFINITION Diamètre d'un cercle Un diamètre est un segment joignant deux points du cercle et qui passe par le centre du cercle. Si [MN ] est un diamètre du cercle, on dit que les points M et N sont diamétralement opposés. EXEMPLE PROPRIÉTÉ La longueur d'un diamètre est le double du rayon. EXEMPLE Le cercle C est le cercle de centre O et de rayon [OA] avec OA = 2 unitˊes. [MN ] est un diamètre du cercle C. Alors : MN = 2 × OA MN = 2 × 2 MN = 4 unitˊes 8/8