Vorlesung 0: Organisation - Geometrie (Uni Köln)

VORLESUNG 0: ORGANISATION Elemente der Geometrie (SP-LM-B3 G-M-B3) Dr. Anna-Christin Söhling Institut für Mathematikdidaktik 10.10.2024 Herzlich Willkommen! Dr. Anna-Christin Söhling Oberstudienrätin im Hochschuldienst Kontaktdaten: Institut für Mathematikdidak...

VORLESUNG 0: ORGANISATION Elemente der Geometrie (SP-LM-B3 G-M-B3) Dr. Anna-Christin Söhling Institut für Mathematikdidaktik 10.10.2024 Herzlich Willkommen! Dr. Anna-Christin Söhling Oberstudienrätin im Hochschuldienst Kontaktdaten: Institut für Mathematikdidaktik Gronewaldstr. 2 Gebäudeteil C Raum 2.333 [email protected] Sprechstunden: siehe Homepage Institut für Mathematikdidaktik | Dr. Anna-Christin Söhling 10.10.2024 2 Was ist Geometrie? Zum Begriff Geometrie Altgriechisch γεωμετρία geometria γεω- (geō-) Erde μέτρον (métron) Maß Erdvermessung, Landvermessung Institut für Mathematikdidaktik | Dr. Anna-Christin Söhling 10.10.2024 3 Geometrie in der Primarstufe - Blick in den Kernlehrplan (2021) Inhaltsbezogener Kompetenzbereich: Raum und Form Raumorientierung und Ebene Figuren Raumvorstellung Körper Symmetrie Zeichnen Institut für Mathematikdidaktik | Dr. Anna-Christin Söhling 10.10.2024 4 Raumorientierung und Raumvorstellung Institut für Mathematikdidaktik | Dr. Anna-Christin Söhling 10.10.2024 5 Raumorientierung und Raumvorstellung Institut für Mathematikdidaktik | Dr. Anna-Christin Söhling 10.10.2024 6 Raumorientierung und Raumvorstellung Institut für Mathematikdidaktik | Dr. Anna-Christin Söhling 10.10.2024 7 Raumorientierung und Raumvorstellung Institut für Mathematikdidaktik | Dr. Anna-Christin Söhling 10.10.2024 8 Ebene Figuren Institut für Mathematikdidaktik | Dr. Anna-Christin Söhling 10.10.2024 9 Ebene Figuren Aus: Das Zahlenbuch 4 (2017), S. 82 Institut für Mathematikdidaktik | Dr. Anna-Christin Söhling 10.10.2024 10 Ebene Figuren Aus: Das Zahlenbuch 4 (2017), S. 24 Institut für Mathematikdidaktik | Dr. Anna-Christin Söhling 10.10.2024 11 Ebene Figuren Institut für Mathematikdidaktik | Dr. Anna-Christin Söhling 10.10.2024 12 Körper Institut für Mathematikdidaktik | Dr. Anna-Christin Söhling 10.10.2024 13 Körper Knete und Strohhalme Aus: Das Zahlenbuch 3 (2017), S. 115 Aus: Das Zahlenbuch 2 (2017), S. 55 Institut für Mathematikdidaktik | Dr. Anna-Christin Söhling 10.10.2024 14 Körper Institut für Mathematikdidaktik | Dr. Anna-Christin Söhling 10.10.2024 15 Körper Institut für Mathematikdidaktik | Dr. Anna-Christin Söhling 10.10.2024 16 Körper Institut für Mathematikdidaktik | Dr. Anna-Christin Söhling 10.10.2024 17 Symmetrie Wo muss man die Spiegelachse einzeichnen, um die den rechtsstehenden Bildern zu gelangen? Kann man jedes der Bilder erzeugen? Institut für Mathematikdidaktik | Dr. Anna-Christin Söhling 10.10.2024 18 Symmetrie Wo muss man die Spiegelachse einzeichnen, um die den rechtsstehenden Bildern zu gelangen? Kann man jedes der Bilder erzeugen? Institut für Mathematikdidaktik | Dr. Anna-Christin Söhling 10.10.2024 19 Symmetrie Aus: Das Zahlenbuch 2 (2017), S. 66 Institut für Mathematikdidaktik | Dr. Anna-Christin Söhling 10.10.2024 20 Symmetrie Institut für Mathematikdidaktik | Dr. Anna-Christin Söhling 10.10.2024 21 Symmetrie Institut für Mathematikdidaktik | Dr. Anna-Christin Söhling 10.10.2024 22 Zeichnen Aus: Das Zahlenbuch 4 (2017), S. 62 Institut für Mathematikdidaktik | Dr. Anna-Christin Söhling 10.10.2024 23 Zeichnen Institut für Mathematikdidaktik | Dr. Anna-Christin Söhling 10.10.2024 24 Ziele dieser Veranstaltung 1. Geometrische Konstruktionen mit Zirkel und Lineal durchführen: Die Studierenden sollen in der Lage sein, verschiedene geometrische Konstruktionen wie Dreiecke, Vierecke, Kreise, Winkelhalbierende, Mittelsenkrechte und Parallelen präzise zu konstruieren. 2. Symmetrien und Kongruenzabbildungen verstehen und anwenden: Die Studierenden sollen Drehungen, Spiegelungen und Verschiebungen sowie Symmetrieeigenschaften von Figuren erkennen und beschreiben können. 3. Geometrische Sätze und Beweise anwenden: Die Studierenden sollen klassische Sätze wie den Satz des Pythagoras, den Thalessatz und andere grundlegende geometrische Sätze anwenden sowie Beweise führen können. Institut für Mathematikdidaktik | Dr. Anna-Christin Söhling 10.10.2024 25 Ziele dieser Veranstaltung 4. Verständnis für zentrische Streckungen und Ähnlichkeitsabbildungen entwickeln: Die Studierenden sollen zentrische Streckungen durchführen und den Streckfaktor ermitteln sowie Ähnlichkeitssätze und Strahlensätze in verschiedenen Anwendungen nutzen können. 5. Berechnungen in der Flächen- und Volumenbestimmung durchführen: Die Studierenden sollen die Flächeninhaltsformeln für verschiedene ebene Figuren sowie die Volumenformeln für geometrische Körper wie Quader und Kugeln beherrschen und diese in praktischen Aufgaben anwenden können. 6. GeoGebra und dynamische Geometriesoftware verwenden: Die Studierenden sollen die Software GeoGebra nutzen, um geometrische Sachverhalte zu visualisieren, dynamische Konstruktionen zu erstellen und mathematische Vermutungen aufzustellen. Institut für Mathematikdidaktik | Dr. Anna-Christin Söhling 10.10.2024 26 Werkzeuge und Literatur Bitte bringen Sie die folgenden Werkzeuge mit in die Vorlesung und in die Übung: - Papier - Zirkel - Geodreieck - Bleistift und Radiergummi Hilfreich (aber nicht verpflichtend) ist auch ein Laptop oder Tablet mit der Software „GeoGebra“. Eine Einführung in die Konstruktion mit Zirkel und Lineal sowie in den Umgang mit GeoGebra erfolgt in den ersten Übungen. Die nebenstehenden Bücher sind über das Netz der Uni erhältlich und können zur Nachbereitung genutzt werden. Institut für Mathematikdidaktik | Dr. Anna-Christin Söhling 10.10.2024 27 Organisatorisches Veranstaltungsrahmen Vorlesung Übungen Anmeldung zu den Abgabe der Übungsblätter Übungsgruppen Modulabschlussprüfungen ILIAS Institut für Mathematikdidaktik | Dr. Anna-Christin Söhling 10.10.2024 28 Modulteilnahmevoraussetzungen - Um an der Veranstaltung teilnehmen zu können, müssen Sie das Modul G-M-B1 bzw. SP-LM-B1 (alte und neue PO) vollständig abgeschlossen haben. - Dies müssen Sie durch Hochladen Ihres Transcripts of Records auf ILIAS bis zum 24.10.2024 um 23:55 Uhr nachweisen. Institut für Mathematikdidaktik | Dr. Anna-Christin Söhling 10.10.2024 29  Veranstaltungsrahmen Modul G-M-B3 alte und neue Prüfungsordnung Modul SP-LM-B3 alte und neue Prüfungsordnung Modul G-M-B3 alte und neue Prüfungsordnung Modul SP-LM-B3 alte und neue Prüfungsordnung Auszüge aus den fachspezifischen Bestimmungen zur Prüfungsordnung (siehe ZfL-Lehramts-Navi) Institut für Mathematikdidaktik | Dr. Anna-Christin Söhling 10.10.2024 30 Veranstaltungsrahmen Workload für diese Veranstaltung Workload laut Prüfungsordnung: 6LP, was 180 Zeitstunden entspricht 15 ∙ 1,5 = 22,5 Stunden Vorlesungszeit 13 ∙ 1,5 = 19,5 Stunden Übung Bleiben gut 138 Stunden für die Bearbeitung der Übungsblätter und für die Nachbereitung der Vorlesungen und der Übungen sowie für die Klausurvorbereitung Das sind ca. 9 h Eigenarbeit pro Woche. 3:1 Prinzip: Auf eine Stunde Lehrveranstaltung entfallen ca. 3 Stunden Eigenarbeit. Institut für Mathematikdidaktik | Dr. Anna-Christin Söhling 10.10.2024 31 Veranstaltungsrahmen Beispiele für Eigenarbeit Bearbeitung der Übungsblätter 1:3 Prinzip Vorbereitung der Übungen durch Bearbeiten der Präsenzaufgaben Lernerfolg im Rahmen dieser Inhalte selbst strukturieren und vernetzen Veranstaltungen stellt sich ein, wenn zu jeder Stunde in Inhaltlicher Austausch mit Kommiliton:innen (u. a. beim Bearbeiten der Lehrveranstaltungen 3 Stunden Übungsblätter) Eigenarbeit aufgewendet Fragen formulieren, stellen, diskutieren, beantworten werden. Eigenständig Literatur rezipieren (Lehrbücher, Zeitschriftentexte,...) Sprechstunden besuchen und Fragen klären Klausur vorbereiten Institut für Mathematikdidaktik | Dr. Anna-Christin Söhling 10.10.2024 32 Struktur der Veranstaltung Vorlesung Übung Donnerstags 16:00 – 17:30 Uhr Termine werden gleich bekannt gegeben Bearbeitung der Übungsblätter Jede Woche gibt es ein Übungsblatt. Bekanntgabe: dienstags nach der Vorlesung Abgabe: dienstags vor der Vorlesung Zulassung zur Modulabschlussprüfung Klausur Institut für Mathematikdidaktik | Dr. Anna-Christin Söhling 10.10.2024 33 Zulassung zur Modulabschlussprüfung Um zur Modulabschlussprüfung (Klausur) zugelassen zu werden, müssen Sie - die Hälfte der Punkte der Aufgaben auf den Übungsblättern erhalten, (es dürfen auch Blätter mit weniger als die Hälfte der Punkte bearbeitet werden, aber das muss durch andere Blätter ausgeglichen werden) - eine aktive Teilnahme in der Übung erwerben, - nachweisen, dass Sie die Modulzugangsvoraussetzungen erfüllen. Institut für Mathematikdidaktik | Dr. Anna-Christin Söhling 10.10.2024 34 Vorlesung - Die Vorlesungsfolien sind eine Unterstützung, aber kein Skript. - Nutzen Sie die zur Verfügung gestellte Literatur zur Nachbereitung. - Um Ihnen Schreibarbeit abzunehmen und Ihnen mehr Zeit zum Verstehen der Inhalte zu geben, werden ausgewählte Folien vorher zugänglich gemacht. - Bringen Sie diese zur Vorlesung mit. - Wenn Sie noch nicht über KLIPS angemeldet sind, können Sie dies ab sofort nachholen. Institut für Mathematikdidaktik | Dr. Anna-Christin Söhling 10.10.2024 35 Übung - Bearbeiten von Aufgaben zum Verständnis des Vorlesungsstoffes - Bearbeiten von Präsenzaufgaben - Besprechung von Fragen zu den Aufgaben vom Übungsblatt - Keine Anwesenheitspflicht - Aktive Teilnahme: Um eine aktive Teilnahme in der Übung zu erwerben müssen Sie an 11 von 13 Übungsterminen entweder teilnehmen oder die Präsenzübung schriftlich einreichen. - Tragen Sie sich in den Ordner zu Ihrer Übung ein, um Informationen und ggf. Materialien zur Übung zu erhalten. Institut für Mathematikdidaktik | Dr. Anna-Christin Söhling 10.10.2024 36 Übungsgruppen – Angebotene Zeiten Mo 12 Uhr Di 8 Uhr Mi 17:45 Uhr Mo 14 Uhr Di 12 Uhr Fr 10 Uhr Mo 17:45 Uhr Di 17:45 Uhr Fr 14 Uhr Wahl der Zeit bei der Anmeldung im ILIAS-Kurs Bekanntgabe der Übungsgruppeneinteilung am 14.10.2024 WICHTIG: Bitte tragen Sie sich in Ihre Übungsgruppe auch bei ILIAS ein und bei KLIPS (entsprechende Erinnerungen folgen in der Vorlesung) Die Räume werden mit der Übungsgruppeneinteilung bekannt gegeben. Institut für Mathematikdidaktik | Dr. Anna-Christin Söhling 10.10.2024 37 Anmeldung zum ILIAS-Kurs Anmeldung über ILIAS ab 10.10.2024 in Anschluss an die Vorlesung bis 13.10.2024 23:55 Uhr Bitte geben Sie drei verschiedene Wünsche an! Ansonsten kann es sein, dass Ihre Wünsche nicht berücksichtigt werden können. Nutzen Sie ggf. das Kommentarfeld am Ende der Abfrage. Institut für Mathematikdidaktik | Dr. Anna-Christin Söhling 10.10.2024 38 Übungsgruppen Tausch möglich bis zum 17.10.2024 - Tauschbörse bei ILIAS - Bitte schreiben Sie eine Email an mich mit den Namen von beiden Tauschpartner:innen sowie den alten und neuen Übungsgruppen (Tag und Zeit der Übungsgruppe) - [email protected] Start der Übungen: 18.10.2024 Institut für Mathematikdidaktik | Dr. Anna-Christin Söhling 10.10.2024 39 Übungsgruppen Was ist, wenn ich mal verhindert bin, aber in Präsenz teilnehmen möchte? - Einmaliger Wechsel grundsätzlich möglich, kann aber aufgrund der Raumkapazitäten nicht garantiert werden - Deswegen: Kontakt zur Übungsgruppenleitung aufnehmen und fragen, ob am gewünschten Datum noch Platz im Raum ist. Institut für Mathematikdidaktik | Dr. Anna-Christin Söhling 10.10.2024 40 Bearbeitung der Übungsblätter Die Übungsblätter (11 bewertete + 1 unbewertete Übungsblätter) gliedern sich in einen unbewerteten Teil, den Sie in Präsenz während der Übungszeit bearbeiten sollen (Präsenzaufgaben). Diese dienen Ihrer Vorbereitung der Abgabeaufgaben. in einen bewerteten Teil, den Sie wöchentlich in 3er Gruppen über ILIAS abgeben und von dem Sie 50% aller möglichen Übungspunkte erreichen müssen, um die Klausurzulassung zu erreichen. Diese dienen Ihnen auch zur Übung von Aufgaben im Klausurformat. Blatt 12 wird nicht inhaltlich korrigiert, sondern in der Vorlesung und/oder Übung besprochen. Institut für Mathematikdidaktik | Dr. Anna-Christin Söhling 10.10.2024 41 Abgabe der Übungsblätter - Rechnen Sie damit, dass die Bearbeitung Zeit in Anspruch nehmen kann. - Eine Abgabe, die nicht lesbar ist, können wir nicht korrigieren. - Eine Abgabe ohne Namen und Teamnummer wird nicht korrigiert. - Wichtiger Hinweis: Es werden keine Lösungen oder ähnliches hochgeladen. Bitte gehen Sie in die Übung zur Besprechung von Fragen zu den Übungsblättern oder tauschen Sie sich mit Ihren Kommiliton:innen aus. Institut für Mathematikdidaktik | Dr. Anna-Christin Söhling 10.10.2024 42 Abgabe der Übungsblätter Abgabeteams Jedes Team muss sich in den Buchungspool bei ILIAS eintragen. Institut für Mathematikdidaktik | Dr. Anna-Christin Söhling 10.10.2024 43 Abgabe der Übungsblätter über ILIAS Schritt 1: Zunächst müssen Sie Dreierteams bilden. Schritt 2: Ihr Dreierteam registriert sich im Buchungspool. Schritt 3: Besonderheiten bei der ersten Übungsblattabgabe beachten. Alternative Im Buchungspool in ein noch nicht vollständiges Dreierteam eintragen. Institut für Mathematikdidaktik | Dr. Anna-Christin Söhling 10.10.2024 44 Abgabe der Übungsblätter Abgabeteams Jedes Team muss sich in den Buchungspool bei ILIAS eintragen. ILIAS Kennung + @smail.uni- koeln.de Institut für Mathematikdidaktik | Dr. Anna-Christin Söhling 10.10.2024 45 Abgabe der Übungsblätter Das Abgabetool finden Sie im Kasten „Übungsblattabgabe“. Institut für Mathematikdidaktik | Dr. Anna-Christin Söhling 10.10.2024 46 Abgabe der Übungsblätter Besonderheiten bei der Abgabe von Blatt 1 Institut für Mathematikdidaktik | Dr. Anna-Christin Söhling 10.10.2024 47 Abgabe der Übungsblätter Besonderheiten bei der Abgabe von Blatt 1 Institut für Mathematikdidaktik | Dr. Anna-Christin Söhling 10.10.2024 48 Abgabe der Übungsblätter Besonderheiten bei der Abgabe von Blatt 1 Institut für Mathematikdidaktik | Dr. Anna-Christin Söhling 10.10.2024 49 Abgabe der Übungsblätter Besonderheiten bei der Abgabe von Blatt 1 Institut für Mathematikdidaktik | Dr. Anna-Christin Söhling 10.10.2024 50 Abgabe der Übungsblätter Die Übungsblätter müssen jeweils bis zum darauffolgenden Donnerstag um 16 Uhr hochgeladen werden. Beachten Sie, dass Abgaben nicht verspätet hochgeladen werden können. Weitere Hinweise: - Laden Sie Ihr Übungsblatt als pdf-Datei hoch mit dem Titel: EdG_Blatt_x_Team_y - Die Abgabe erfolgt in Dreierteams. - Es wird ein Forum auf ILIAS geben, auf dem Sie Abgabepartner:innen suchen können. - Die Abgabeteams können aus technischen Gründen nicht gewechselt werden. Institut für Mathematikdidaktik | Dr. Anna-Christin Söhling 10.10.2024 51 Klausuren Erster Termin 05.02.2025 zwischen 14 und 17 Uhr Zweiter Termin 11.03.2025 zwischen 14 und 17 Uhr - Schreibzeit 120 min - Es ist egal, ob Sie den ersten oder zweiten Termin mitschreiben, aber es gibt nur die beiden Termine. - Bei Nichtbestehen der ersten Klausur kann die Klausur am zweiten Termin nachgeschrieben werden. - Bei Nichtteilnahme oder Nichtbestehen beider Klausuren muss das Modul wiederholt werden. Hier muss die Klausurzulassung neu erworben werden. - Keine Versuchsrestriktion! Modul kann beliebig oft wiederholt werden. - Nachteilsausgleichsregelungen und Härtefallregelungen müssen am Anfang des Semesters beantragt und der Dozentin vorgelegt werden Anmeldung zur Klausur über KLIPS ab dem 14.10.2024 Institut für Mathematikdidaktik | Dr. Anna-Christin Söhling 10.10.2024 52 Mögliche WhatsApp-Gruppe zur Veranstaltung - Eine mögliche WhatsApp-Gruppe zur Veranstaltung wird nicht von mir gepflegt. Ich übernehme keinerlei Verantwortung für die Inhalte einer solchen Gruppe. - Manchmal stimmen die Informationen, die über WhatsApp-Gruppen verbreitet werden, nicht. - Prüfen Sie die Informationen, die Sie über eine solche Gruppe erhalten. Institut für Mathematikdidaktik | Dr. Anna-Christin Söhling 10.10.2024 53 ILIAS-Kurs Zugang möglich ab sofort Inhalte Passwort: - Ausgewählte Vorlesungsfolien EdGWiSe202425 - Literatur zur Vorlesung - Übungsblätter Achtung: - Präsenzaufgaben Ich gehe davon aus, dass Sie die Emails, die ich über ILIAS verschicke, lesen. Zu jeder Email wird es auch eine Organisation entsprechende Ankündigung auf dem Notice Board geben (falls Sie unsicher sind, ob die - Ankündigungen auf dem Notice Board Emails ankommen.) - Informationen zur Klausur bzw. zur mündlichen Prüfung - Übungsgruppeneinteilung Institut für Mathematikdidaktik | Dr. Anna-Christin Söhling 10.10.2024 54  Haben Sie Fragen? Institut für Mathematikdidaktik | Dr. Anna-Christin Söhling 10.10.2024 55 Nicht vergessen! Zugang möglich ab sofort Passwort: EdGWiSe202425 Anmeldung über ILIAS bis 13.10.2024 23:55 Uhr Hinweis: Wenn sich Ihre Übungsgruppenwünsche ändern sollten oder Sie merken, dass Sie etwas nicht richtig angegeben haben, melden Sie sich in ILIAS vom Kurs ab und dann wieder neu an. Institut für Mathematikdidaktik | Dr. Anna-Christin Söhling 10.10.2024 56 Zum Schluss Ich freue mich auf das gemeinsame Semester mit Ihnen :o) Institut für Mathematikdidaktik | Dr. Anna-Christin Söhling 10.10.2024 57 VORLESUNG 1: GRUNDBEGRIFFE UND WINKEL Elemente der Geometrie (SP-LM-B3 G-M-B3) Dr. Anna-Christin Söhling Institut für Mathematikdidaktik 16.10.24 Heutiges Vorhaben Wir lernen ein paar Grundbegriffe kennen. Es geht vor allem um - Punkte - Verschiedene Arten von “Linien“ - Die Lage von Punkten und „Linien“ zueinander - Winkel und Winkelarten - Ein paar erste Sätze über Winkelpaare - Die Innenwinkelsumme am Dreieck Institut für Mathematikdidaktik | Dr. Anna-Christin Söhling 16.10.24 2 Grundsätzliches Anmerkung: Ebenen, Geraden und Punkte sind also unsere grundlegenden Elemente der Ebene 𝔼 Geometrie. Geraden 𝔾 = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, … } Punkte ℙ = {𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷, … } ℙ und 𝔾 sind disjunkt, aber einzelne Elemente aus beiden Mengen können zueinander in Beziehung stehen. Dies nennen wir Inzidenz und wir nutzen das folgende Zeichen: ∈ bzw. ∋ 𝐴 ∈ 𝑎 bedeutet: „A inzidiert mit a“, „A liegt auf a“, „A ist Element von a“ oder „a geht durch A“. Inzidieren ein Punkt und eine Gerade nicht, nutzen wir das folgende Zeichen: ∉. Entweder gilt 𝐴 ∈ 𝑎 oder es gilt A ∉ 𝑎. Institut für Mathematikdidaktik | Dr. Anna-Christin Söhling 16.10.24 3 Definition 1 - zwischen Anmerkung: Diese Definition brauchen wir gleich für die Definition von Strecken und Halbgeraden. Die Punkte 𝐴, 𝐵, 𝐶 liegen auf einer Geraden. Wenn ein Punkt 𝐵 zwischen den Punkt 𝐴 und 𝐶 liegt, schreiben wir 𝐴 ≺ 𝐵 ≺ 𝐶 oder 𝐶 ≺ 𝐵 ≺ 𝐴 gilt. Wir sprechen: 𝐵 liegt zwischen 𝐴 und 𝐶 bzw. 𝐵 liegt zwischen 𝐶 und 𝐴. Institut für Mathematikdidaktik | Dr. Anna-Christin Söhling 17.10.24 4 Definition 2 Anmerkung: Hier sehen wir verschiedene Arten von „Linien“. Wir benutzen den Begriff „Linie“ in der Geometrie eigentlich nicht gern, weil es spezifischer geht, was wir uns auf der nächsten Folie auch anschauen. Aber davor schauen wir uns erstmal diese Bilder an: Achten Sie hier auf die Unterschiede. Manchmal wird unsere „Linie“ durch einen oder zwei Punkte begrenzt und manchmal nicht. B B B B A A A A Institut für Mathematikdidaktik | Dr. Anna-Christin Söhling 17.10.24 5 Definition 2 – Gerade, Strecke, Halbgerade Gerade 𝐴𝐵 Strecke 𝐴𝐵 Halbgerade 𝐴𝐵 Halbgerade 𝐵𝐴 B B B B A A A A Anmerkung: So nennen wir die verschiedenen Arten von „Linien“ in der Geometrie und hier sehen Sie auch die Schreibweise: Strecken bekommen einen Strich und Halbgeraden einen Pfeil. Diese Schreibweise legen wir ab jetzt für die gesamte Veranstaltung fest. Institut für Mathematikdidaktik | Dr. Anna-Christin Söhling 17.10.24 6 Definition 2 – Gerade, Strecke, Halbgerade Definition Gerade Eine Gerade ist eine unendliche „Linie“ ohne Anfang und Ende. Sie erstreckt sich in beide Richtungen unendlich weit und besteht aus unendlich vielen Punkten. Eine Gerade hat also keine Endpunkte. Gerade bezeichnen wir mit Kleinbuchstaben oder durch zwei auf ihr liegende Punkte. Durch zwei Punkte der Ebene verläuft immer genau eine Gerade, weswegen wir Geraden auch durch zwei auf ihr liegende Punkte beschreiben können: Anstatt 𝑔 für die Gerade 𝑔 mit Punkten 𝐴 und 𝐵 schreiben wir auch 𝐴𝐵. Anmerkung: Das ist tatsächlich eine eher anschauliche und vergleichsweise wenig mathematische Definition. In der Geometrie gibt es auch den Ansatz Punkte und Gerade gar nicht inhaltlich zu definieren, sondern nur zu beschreiben wie sich Punkte und Geraden zueinander verhalten. Voraussichtlich schauen wir uns einen solchen axiomatischen Zugang später in der Vorlesung einmal an. Institut für Mathematikdidaktik | Dr. Anna-Christin Söhling 17.10.24 7 Definition 2 – Gerade, Strecke, Halbgerade Anmerkung: Hier ist die Herausforderung, die Definition Strecke geschweiften Klammern richtig zu lesen. Was steht Unter der Strecke 𝐴𝐵 versteht man die Menge aller 𝑃 ∈ 𝔼, für die gilt: genau in den beiden geschweiften Klammern? {𝑃 ∈ 𝐴𝐵|𝑃 = 𝐴 ∨ 𝑃 = 𝐵 ∨ 𝐴 ≺ 𝑃 ≺ 𝐵} Starthilfe: Am Anfang steht 𝑃 ∈ 𝐴𝐵. Da Strecken nicht gerichtet sind, besteht kein Unterschied zwischen 𝐴𝐵 und 𝐵𝐴. Das heißt, dass eine Strecke und eine Halbgerade zunächst einmal aus Definition Halbgerade Punkten P bestehen, die sich auf der Geraden 𝐴𝐵 befinden und für die nach Unter der Halbgerade 𝐴𝐵 versteht man die Menge aller 𝑝 ∈ 𝔼, für die gilt: dem Strich | bestimmte Eigenschaften formuliert {𝑃 ∈ 𝐴𝐵|𝑃 ∈ 𝐴𝐵 ∨ 𝐵 ∈ 𝐴𝑃} werden. Welche? Erinnerung: ∨ heißt „oder“. Eine Gerade 𝐴𝐵 wird durch einen Punkt in zwei komplementäre Halbgeraden geteilt. Die Gerade 𝐴𝐵 heißt auch Trägergerade der Strecke 𝐴𝐵 und Halbgeraden 𝐴𝐵. Institut für Mathematikdidaktik | Dr. Anna-Christin Söhling 17.10.24 8 Definition 3 – Länge einer Strecke Die Menge 𝕃 aller Längen sei definiert als 𝕃 = 𝑥 𝑐𝑚 𝑥 ∈ ℝ, 𝑥 ≥ 0}. Für alle 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ, 𝑥, 𝑦 ≥ 0 definieren wir: Anmerkung: 1) x cm = y cm ⟺x=y Wir dürfen Längen vergleichen, 2) x cm < y cm ⟺x - Achtung: Auch wenn !+ zuerst genannt wird, wird )#$;,(#$) zuerst ausgeführt. Die Gerade # heißt Schub- oder Gleitspiegelungsachse. Institut für Mathematikdidaktik | Dr. Anna-Christin Söhling 27.11.24 31 Schubspiegelung - Beispiele - g Institut für Mathematikdidaktik | Dr. Anna-Christin Söhling 27.11.24 32  Eigenschaften von Kongruenzabbildungen Eigenschaft Geradenspiegelung Verschiebung Drehung Punktspiegelung Schubspiegelung Geradentreue ~ ~ ~ ~ ~ Parallelentreue ~ ~ - - ~ Winkeltreue - ~ ~ ~ ~ Längentreue ~ ~ V - ~ Orientierungstreue X ~ - ~ X Fixpunkte alle Punkte auf neie Eixpunkte wenn w(d) + 00 Reis bei Nulloer ist Drehpung IJ Spiegelaufse außer nur schiebung Fixpunkt &. Fixpunkte die Fixgerade artlogeral S Gerade alle Geraden Gerade Schubspiegel , keine außer ~ zur Spiegelachse Parallel zum durchs Deh avese Fixpunktgerade Verschiebes Vektor zetre gehe bei Sz g Involution Umkehrabbildung Institut für Mathematikdidaktik | Dr. Anna-Christin Söhling 28.11.24 33 Definition 44 – Fixpunkt Ein Punkt ' heißt Fixpunkt bei einer Abbildung $ (z.B. bei (% ), wenn Urbild ' und Bild '′ zusammenfallen. Formal: ' = $ ' = '′ E = E G Institut für Mathematikdidaktik | Dr. Anna-Christin Söhling 28.11.24 34 Definition 45 – Fixgerade Eine Gerade , heißt Fixgerade, wenn bei einer Abbildung $ alle Punkte der Geraden auf die Gerade selbst abgebildet werden. Bei einer Geradenspiegelung sind alle Geraden, die senkrecht zur Spiegelachse stehen Fixgeraden. - 5 E - 5 Institut für Mathematikdidaktik | Dr. Anna-Christin Söhling 28.11.24 35 Definition 46 – Fixpunktgerade Eine Gerade , heißt Fixpunktgeraden, wenn sie ausschließlich aus Fixpunkten besteht. Bei einer Geradenspiegelung werden alle Punkte der Spiegelachse auf sich selbst abgebildet. Die Spiegelachse besteht also nur aus Fixpunkten. Institut für Mathematikdidaktik | Dr. Anna-Christin Söhling 28.11.24 36 Definition 47 – Involution Eine Abbildung $ heißt genau dann involutorisch, wenn sie selbstinvers ist. Das bedeutet, dass die Abbildung $ die Umkehrabbildung zu sich selbst ist. Beispiel: Spiegelung an einer Geraden Führt man eine Spiegelung an einer Gerade zweimal hintereinander aus, so erhält man die Ausgangssituation wieder. Es gilt: !′+ !+ , = !′+ ,′ = ,-- = , Das heißt, dass jeder Punkt , durch die zweifache Anwendung der Spiegelung auf sich selbst abgebildet wird. Institut für Mathematikdidaktik | Dr. Anna-Christin Söhling 28.11.24 37  Vielen Dank fürs Zuhören! Institut für Mathematikdidaktik | Dr. Anna-Christin Söhling 28.11.24 38 VORLESUNG 8: VERKETTUNG VON KONGRUENZABBILDUNGEN Elemente der Geometrie (SP-LM-B3 & G-M-B3) Dr. Anna-Christin Söhling Institut für Mathematikdidaktik 04.12.24 Satznummern im Kapitel zum Umfangswinkelsatz Satz 17 Umfangswinkelsatz Satz 18a Folgerung 1 aus dem Umfangswinkelsatz: Alle Umfangswinkel gleich groß Satz 18b Folgerung 2 aus dem Umfangswinkelsatz: Umkreis, wenn α + γ = β + δ Satz 19 Satz des Thales Satz 20 Satz vom Sehnenviereck Satz 21 Satz vom Tangentenviereck Institut für Mathematikdidaktik | Dr. Anna-Christin Söhling 05.12.24 2  Eigenschaften von Kongruenzabbildungen Eigenschaft Geradenspiegelung Verschiebung Drehung Punktspiegelung Schubspiegelung Geradentreue ~ ~ ~ ~ ~ Parallelentreue ~ ~ - - ~ Winkeltreue - ~ ~ ~ ~ Längentreue ~ ~ V - ~ Orientierungstreue X ~ - ~ X Fixpunkte alle Punkte auf neie Eixpunkte wenn w(d) + 00 Reis bei Nulloer ist Drehpung IJ Spiegelaufse außer nur schiebung Fixpunkt &. die Fixpunkte artlogeral S Geraden Fixgerade Gerade alle Geraden Schubspiegel- , keine außer durchs Dreh zur Spiegelachse Parallel zum zetre gehe avese Fixpunktgerade Verschiebes Vektor bei Sz kei g gibt i daß kei Spiegelachse gibt nicht es ideß nicht, Fixpunktgerade Fixpunktgerade es , da in P kei Fixpunte da :P. Kei Firpurte ~.. Involution Umkehrabbildung ~ Vs Test zu Umkehrabbildung bild X Umkehrabbildung zu Sg(3g(p) = p Institut für Mathematikdidaktik | Dr. Anna-Christin ist. Vis Söhling , list) Dr , 360 ° -w(a) 28.11.24 Umkehrabb : Dz , 3600ist Geis : 33 VigoSg Definition 44 – Fixpunkt Ein Punkt ! heißt Fixpunkt bei einer Abbildung " (z.B. bei #! ), wenn Urbild ! und Bild !′ zusammenfallen. Formal: ! = " ! = !′ S Institut für Mathematikdidaktik | Dr. Anna-Christin Söhling 04.12.24 4 Definition 45 – Fixgerade Eine Gerade ' heißt Fixgerade, wenn bei einer Abbildung " alle Punkte der Geraden auf die Gerade selbst abgebildet werden. Bei einer Geradenspiegelung sind alle Geraden, die senkrecht zur Spiegelachse stehen Fixgeraden. & [ E S [ Institut für Mathematikdidaktik | Dr. Anna-Christin Söhling 04.12.24 5 Definition 46 – Fixpunktgerade & Eine Gerade ' heißt Fixpunktgeraden, wenn sie ausschließlich aus Fixpunkten besteht. Bei einer Geradenspiegelung werden alle Punkte der Spiegelachse auf sich selbst abgebildet. Die Spiegelachse besteht also nur aus Fixpunkten. f Institut für Mathematikdidaktik | Dr. Anna-Christin Söhling 04.12.24 6 Definition 47 – Involution Eine Abbildung " heißt genau dann involutorisch, wenn sie selbstinvers ist. Das bedeutet, dass die Abbildung " die Umkehrabbildung zu sich selbst ist. Beispiel: Spiegelung an einer Geraden Führt man eine Spiegelung an einer Gerade zweimal hintereinander aus, so erhält man die Ausgangssituation wieder. Es gilt: p & !′! !! # = !′! #′ = #"" = # - - Das heißt, dass jeder Punkt # durch die zweifache Anwendung der Spiegelung auf sich selbst abgebildet wird. G Institut für Mathematikdidaktik | Dr. Anna-Christin Söhling 04.12.24 7 Definition 48 – Verkettung von Kongruenzabbildungen Es seien %, ℎ Kongruenzabbildungen. Die Nacheinanderausführung von Kongruenzabbildungen heißt Verkettung. )=*∘, Man liest: „% nach ℎ“ oder „ % verkettet mit ℎ“. Achtung: Auch wenn % zuerst genannt wird, wird ℎ zuerst ausgeführt. Beispiel: Wir betrachten die Verkettung einer Drehung und einer Punktspiegelung. -#,%(') ∘.) bedeutet: Zunächst wird die Punktspiegelung durchgeführt, anschließend die Drehung. Institut für Mathematikdidaktik | Dr. Anna-Christin Söhling 04.12.24 8 Vorüberlegungen Wir zeichnen zwei zueinander parallele Geraden / und 0 sowie ein Viereck mit den Punkten 1234. 1) Wir führen nacheinander die Abbildungen !* und !+ aus. Zur Erinnerung: wir schreiben !+ ∘ !*. 2) Frage: Durch welche Ersatzabbildung könnte man die Verkettung !+ ∘ !* ersetzen, um auf das gleiche Bild zu kommen? Institut für Mathematikdidaktik | Dr. Anna-Christin Söhling 04.12.24 9 Zusammenfassung der Beobachtungen - Wenn die Geraden 5 und 6 parallel sind, können wir die Verkettung !+ ∘ !* durch eine Verschiebung ersetzen. - Die Richtung der Verschiebung wird durch die Halbgerade 12 bestimmt, wobei die Länge der Strecke 12 der Abstand der Geraden 5 und 6 ist und die Strecke 12 auf der Halbgeraden 12 liegt. - Die Länge der Verschiebung beträgt: 2 ∗ 9(12), also das Doppelte des Abstandes der Geraden 5 und 6. - Es Ja" Il T 155) = 1)50) * e(T) et)= Tot & O un O - IPTS) Abstand S B AB und b zw. a ab Institut für Mathematikdidaktik | Dr. Anna-Christin Söhling 04.12.24 11 Satz 22 – Spiegelung an zwei parallelen Geraden Es seien ! und " Geraden mit ! ∥ ". Dann gilt: Die Verkettung der Geradenspiegelungen $! ∘ $" ist die Verschiebung &#$,&'(#$). Institut für Mathematikdidaktik | Dr. Anna-Christin Söhling 04.12.24 12 Folgerung aus Satz 22 – Verschiebung als Verkettung von zwei Geradenspiegelungen Jede Verschiebung lässt sich nach Satz 22 als eine Verkettung von zwei Geradenspiegelungen auffassen. Die Spiegelachsen dieser Spiegelungen sind zueinander parallel und senkrecht zur Trägergeraden der Verschiebungshalbgeraden. Der Abstand der beiden parallelen Spiegelachsen ist halb so groß wie die Länge der Verschiebung. Institut für Mathematikdidaktik | Dr. Anna-Christin Söhling 04.12.24 13 Folgerung aus Satz 22 – Verschiebung als Verkettung von zwei Geradenspiegelungen Wie findet man die möglichen Spiegelgeraden bei einer gegebenen Verschiebung? yy' Institut für Mathematikdidaktik | Dr. Anna-Christin Söhling 04.12.24 14 Vorüberlegungen Wir zeichnen zwei Geraden ( und ), die sich in einem Punkt * schneiden, sowie ein Viereck mit den Punkten +,-.. a) Wir konstruieren das Bildviereck +"" , "" - "".′′ von +,-. bei der Verkettung ## ∘ #$. b) Frage: Durch welche Ersatzabbildung könnten wir die Verkettung ## ∘ #$ mit ( ∩ ) = 2 ersetzen, um auf das gleiche Bild zu kommen? Institut für Mathematikdidaktik | Dr. Anna-Christin Söhling 05.12.24 15 Zusammenfassung der Beobachtungen be Wenn die Geraden ( und ) sich schneiden, können wir die a Verkettung ## ∘ #$ durch eine Drehung ersetzen. n Wie groß ist das Drehmaß der Drehung um M? - Spiegeling an a : a = * (a , in) = 4(us an) , b : Gegeng an k(bn Ö) , = 4(5 , b) B = 22 + 28 = 2 Dehmaß : Winkel zu. Spiegelachse : G + B = V Institut für Mathematikdidaktik | Dr. Anna-Christin Söhling 05.12.24 16 Satz 23 – Spiegelung an zwei sich schneidenden Geraden Es seien ( und ) Geraden mit dem gemeinsamen Punkt 2. Dann gilt: Die Verkettung der Geradenspiegelungen ## ∘ #$ ist die Drehung DM , zow(abel Dabei ist (% : Halbgerade auf ( mit Anfangspunkt 2 und )% : Halbgerade auf ) mit Anfangspunkt 2 Institut für Mathematikdidaktik | Dr. Anna-Christin Söhling 05.12.24 17 Folgerung aus Satz 23 – Drehung als Verkettung von zwei Geradenspiegelungen Jede Drehung lässt sich nach Satz 23 als eine Verkettung von zwei Geradenspiegelungen auffassen. Die Spiegelachsen dieser Spiegelungen stehen im folgenden Winkel zueinander: & C der Schnittpunkt beiden Geraden : Drehpunkt M o Institut für Mathematikdidaktik | Dr. Anna-Christin Söhling 04.12.24 18  * Folgerung aus Satz 23 – Drehung als Verkettung von zwei Geradenspiegelungen Wir suchen zu einer gegebenen Drehung zwei Spiegelachsen. Wie müssen wir dabei vorgehen? Institut für Mathematikdidaktik | Dr. Anna-Christin Söhling 05.12.24 19 Folgerung aus Satz 23 – Drehung als Verkettung von zwei Geradenspiegelungen Was bedeutet Satz 23 für eine Drehung um 180° (Punktspiegelung)? a b · Institut für Mathematikdidaktik | Dr. Anna-Christin Söhling 05.12.24 20  Öffnen Sie die folgende Erkundung zur Verschiebung GeoGebra-Datei. Spiegeln Sie das Viereck erst an a und dann an b. Ziehen Sie nun an Punkt S. Was beobachten Sie? Institut für Mathematikdidaktik | Dr. Anna-Christin Söhling 05.12.24 21  Öffnen Sie die folgende Erkundung zur Drehung GeoGebra-Datei. Spiegeln Sie das Viereck erst an a und dann an b. Ziehen Sie nun an Punkt N. Was beobachten Sie? Institut für Mathematikdidaktik | Dr. Anna-Christin Söhling 05.12.24 22 Weitere Folgerungen aus Satz 22 und Satz 23 Frage: Unter welchen Voraussetzungen kann die Verkettung von zwei Geradenspiegelungen ## ∘ #$ durch eine andere Verkettung #& ∘ #' von zwei Geradenspiegelungen ersetzt werden? Fall 1: Die Geraden 3 und 4 sind parallel. Die Verkettung kann durch die Verkettung ersetzt werden, wenn sich das Geradenpaar (6, 8) durch eine Verschiebung des Geradenpaares ((, )) erzeugen lässt. Institut für Mathematikdidaktik | Dr. Anna-Christin Söhling 04.12.24 23 Weitere Folgerungen aus Satz 22 und Satz 23 Frage: Unter welchen Voraussetzungen kann die Verkettung von zwei Geradenspiegelungen ## ∘ #$ durch eine andere Verkettung #& ∘ #' von zwei Geradenspiegelungen ersetzt werden? Fall 2: Die Geraden 3 und 4 schneiden sich im Punkt M. Die Verkettung ## ∘ #$ kann durch die Verkettung #& ∘ #' ersetzt werden, wenn 6 und 8 denselben Schnittpunkt haben wie ( und ) und wenn 6 und 8 einen Winkel der gleichen Größe wie ( und ) miteinander bilden. Institut für Mathematikdidaktik | Dr. Anna-Christin Söhling 05.12.24 24 Vorüberlegung zum Dreispiegelungssatz Wir betrachten die fünf verschiedenen Kongruenzabbildungen: - Geradenspiegelung Gerade zwei parallelen - Verschiebung darstellbar durch Spiegelung a & schneidende Spiegelng der a zwei Mini dasteller - Drehung - Gerade zwei darstellbar den spieging an Orthogonale - Punktspiegelung & Gerade - Schub-/Gleitspiegelung darstellbar de Spiegelung an drei & Gerade Institut für Mathematikdidaktik | Dr. Anna-Christin Söhling 04.12.24 25 Satz 24 – Dreispiegelungssatz Jede Kongruenzabbildung der Ebene lässt sich als Hintereinanderausführung von höchstens drei Spiegelungen erhalten. Damit sind die Spiegelungen so etwas wie die Bausteine der Kongruenzabbildungen: Egal wie zueinander kongruente Figuren in der Ebene liegen, es reichen immer höchstens drei Spiegelungen aus, um die eine Figur mit der anderen zur Deckung zu bringen. Institut für Mathematikdidaktik | Dr. Anna-Christin Söhling 04.12.24 26  Vielen Dank fürs Zuhören! Institut für Mathematikdidaktik | Dr. Anna-Christin Söhling 04.12.24 27 VORLESUNG 9: DECKABBILDUNGEN Elemente der Geometrie (SP-LM-B3 & G-M-B3) Dr. Anna-Christin Söhling Institut für Mathematikdidaktik 11.12.24 Definition 49 – Kongruenzabbildung als Verkettung von Geradenspiegelungen Jede Verkettung von endlich vielen Geradenspiegelungen heißt Kongruenzabbildung. Die Menge aller Kongruenzabbildungen heißt !. Ist also " eine Kongruenzabbildung (" ∈ !), dann kann " dargestellt werden als " = %!! ∘ %!!"# ∘ %!!"$ ∘ ⋯ ∘ %!# mit ) ∈ ℕ. Die folgenden Eigenschaften der Geradenspiegelung übertragen sich auf Kongruenzabbildungen: - Strecken- und Längentreue - Geradentreue - Winkel- und Winkelmaßtreue Institut für Mathematikdidaktik | Dr. Anna-Christin Söhling 11.12.24 2 Definition 50 – Bewegung bzw. Umwendung Besteht eine Kongruenzabbildung aus der Verkettung von 2) Geradenspiegelungen () ∈ ℕ), so heißt sie Bewegung. Besteht eine Kongruenzabbildung aus der Verkettung von 2) − 1 Geradenspiegelungen () ∈ ℕ), heißt sie Umwendung. Bei Bewegungen stimmen der Umlaufsinn von Figuren von Urbild und Bild überein. Bei Umwendungen haben die Figuren von Urbild und Bild einen entgegengesetzten Umlaufsinn. Institut für Mathematikdidaktik | Dr. Anna-Christin Söhling 11.12.24 3 Definition 51 – Gruppe Ein Paar.,∘ bestehend aus einer nichtleeren Menge G und einer Verknüpfung „ ∘ “ heißt Gruppe, wenn die folgenden vier Bedingungen erfüllt sind: +) [N - , a) Abgeschlossenheit Mit 2, 3 ∈. liegt stets auch 2 ∘ 3 in.. + +5 6 1 b) Assoziativität 9 + = Es gilt 2 ∘ 3 ∘ 4 = 2 ∘ (3 ∘ 4) für alle 2, 3, 4 ∈.. 4 + 5+ 15 4 + 11 c) Existenz eines neutralen Elements Es gibt ein neutrales Element 7 ∈. mit 7 ∘ 2 = 2 ∘ 7 = 2 für alle 2 ∈.. d) Existenz eines inversen Elements zu jedem 9 ∈ : Zu jedem Element 2 ∈. gibt es ein Element 2" ∈., so dass 2 ∘ 2" = 2" ∘ 2 = 7. 2" heißt inverses Element zu 2. 5 5 =1. Eine Gruppe heißt kommutativ oder abelsch, wenn zusätzlich zu den Bedingungen a) bis d) für alle 2, 3 ∈. gilt: 2 ∘ 3 = 3 ∘ 2 Institut für Mathematikdidaktik | Dr. Anna-Christin Söhling 11.12.24 4 Definition 51 – Gruppe Ein Paar !,∘ bestehend aus einer nichtleeren Menge G und einer Verknüpfung „ ∘ “ heißt Gruppe, wenn die folgenden vier Bedingungen erfüllt sind: a) Abgeschlossenheit Mit &, ' ∈ ! liegt stets auch & ∘ ' in !. b) Assoziativität Es gilt & ∘ ' ∘ ) = & ∘ (' ∘ )) für alle &, ', ) ∈ !. c) Existenz eines neutralen Elements Es gibt ein neutrales Element - ∈ ! mit - ∘ & = & ∘ - = & für alle & ∈ !. d) Existenz eines inversen Elements zu jedem / ∈ 0 Zu jedem Element & ∈ ! gibt es ein Element &! ∈ !, so dass & ∘ &! = &! ∘ & = -. &! heißt inverses Element zu &. Eine Gruppe heißt kommutativ oder abelsch, wenn zusätzlich zu den Bedingungen a) bis d) für alle &, ' ∈ ! gilt: & ∘ ' = ' ∘ & 2 = S - 2 , - 1. 0. 1 , 2 , Sind die ganzen Zahlen zusammen mit der... Addition eine (abelsche) Gruppe? Sind die ganzen Zahlen zusammen mit der Multiplikation eine (abelsche) Gruppe? Institut für Mathematikdidaktik | Dr. Anna-Christin Söhling 12.12.24 5 Definition 52 - Deckabbildung Gegeben sei eine Figur ;. Eine Deckabbildung von ; ist eine Kongruenzabbildung, die diese Figur ; auf sich selbst abbildet. Die Menge der Deckabbildungen ist also eine Teilmenge der Kongruenzabbildungen. Wir bezeichnen die Menge aller Deckabbildungen einer Figur mit 6 geht es aus dem gleichen Grund schief. Auflösen lässt sich das Problem erst wieder dadurch, wenn man zulässt, dass die Über- deckung der Ebene nicht nur aus einer Sorte n-Ecke bestehen soll, oder man die Forderung von regelmäßigen n-Ecken aufgibt. Mit unregelmäßigen Fünfecken kann man ganz ver- schiedene Parkettierungen gestalten (Abb. 4.5). So ein Parkett aus nicht regelmäßigen Fünfecken nennt man auch „Cairo Tiling“, weil es in Kairo ein Straßenpflaster dieser Art geben soll. Daneben ist in Abb. 4.5 ein Beispiel mit hausförmigen Fünfecken zu sehen, die aneinandergelegt auch eine Parkettierung ergeben. Versucht man die Ebene mit regelmäßigen Fünfecken zu überdecken, bleiben kleine rautenförmige Lücken. Mit einer Kombination dieser beiden Figuren ist es also ebenfalls möglich, zu parkettieren (Abb. 4.6). Mithilfe der Innenwinkelsumme im Viereck kann man sogar zeigen, dass die Parket- tierung mit beliebigen Vierecken gelingt. Ausgehend von einem Viereck (Abb. 4.7a) kann 110 4 Formen und Muster gestalten Abb. 4.5 „Cairo Tiling“ und hausförmige Parkettierung. (Erstellt mit © GeoGebra) Abb. 4.6 Parkettierungs- versuch mit regelmäßigen Fünfecken und Lückenrauten. (Erstellt mit © GeoGebra) man durch wiederholte Punktspiegelung des Vierecks an einer frei gewählten Seitenmitte die Formen so aneinanderlegen, dass ein Band von Vierecken, bestehend aus dem ur- sprünglichen Viereck und seiner gespiegelten Variante (Abb. 4.7b), entsteht. Verzahnt man nun mehrere solcher Vierecksbänder nebeneinander, so entsteht eine Parkettierung (Abb. 4.7c). Da die Innenwinkelsumme im Viereck 360° beträgt und an einer Ecke im Parkett durch die punktgespiegelten Vierecke alle vier Innenwinkel zusammenkommen, kann die Ebene lückenlos und überlappungsfrei überdeckt werden. Dass die Parkettierung auch mit beliebigen Dreiecken funktioniert, ist schnell einsich- tig. Einerseits lassen sich zwei Dreiecke zu einem Viereck zusammenlegen – für diesen Fall wurde oben der Beweis geführt. Andererseits ist aber auch über die Winkelsumme von 180° im Dreieck klar, dass man durch passendes Aneinanderlegen der Dreiecke auch einen 360°-Winkel und somit eine Parkettierung erzeugen kann. 4.1 Muster, Parkettierungen und Bandornamente 111 Abb. 4.7 Parkettierung mit beliebigen Vierecken. a Ein Viereck als Startfigur, b verdrehtes Anein- anderlegen dieses Vierecks erzeugt Bandornament, c vollständige Parkettierung mit dem Viereck. (Erstellt mit © GeoGebra) Wie bei der Untersuchung der Platonischen Körper können wir auch nach Platonischen Parkettierungen fahnden. I Definition: Platonische Parkettierung Eine Parkettierung, die ausschließlich aus re- gelmäßigen n-Ecken besteht, die so aneinanderliegen, dass an eine Seite nur wieder eine Seite des nächsten n-Ecks anschließt, aber keine Ecke (Abb. 4.8), wird Platonische Par- kettierung genannt. Wir haben oben schon begründet, dass nur das gleichseitige Dreieck, das Quadrat und das regelmäßige Sechseck als regelmäßige n-Ecke für Parkettierungen infrage kommen. Mit der Einschränkung, dass keine Ecke auf eine Seite eines n-Ecks stoßen darf, gibt es auch nur drei Parkettierungen aus genau diesen Grundfiguren (Abb. 4.9). Nun soll etwas systematischer untersucht werden, mit welchen geometrischen Formen parkettiert werden kann. Ausgehend von Rechtecken, mit denen eine Parkettierung, wie leicht einzusehen ist, funktioniert – es können aber auch andere zum Parkettieren ge- eignete n-Ecke verwendet werden –, kann man über die sog. „Knabbertechnik“ weitere Abb. 4.8 Beispiele für platonische (links) und nichtplatonische (rechts) Parkettierungen. (Erstellt mit © GeoGebra) 112 4 Formen und Muster gestalten Abb. 4.9 Die drei Platonischen Parkettierungen. (Erstellt mit © GeoGebra) Abb. 4.10 Schematische Dar- stellung der Knabbertechnik. (© Helmerich und Lengnink 2013) geometrische Formen für Parkettierungen erzeugen (Abb. 4.10). Diese Gestaltungstech- nik kann schon im Grundschulunterricht eingesetzt werden, wie dies z. B. im Projekt „Mathematik und Kunst“ aus der Mathekartei des Lehrwerks „Spürnasen Mathematik“ (Helmerich und Lengnink 2013) umgesetzt wurde. Man verändert die Figur (im Beispiel Abb. 4.11 das Rechteck) so, dass die Teile, die vom Rand ausgehend ausgeschnitten werden, in geeigneter Weise an einer anderen Seite hinzugefügt werden. Ausgehend von einer einfachen Grundfigur, in diesem Fall sind es Rechtecke, werden diese an einer Stelle um einen Ausschnitt beschnitten, der an der an- deren Seite so angeklebt wird, dass das Ausgeschnittene genau in das entstandene Loch passt. Bedingung ist, dass der Flächeninhalt identisch bleibt und somit die Ausgangsfigur mit den neu entstandenen Figuren abgedeckt werden kann. Eine wichtige Eigenschaft der Parkettierungen ist, dass sich diese ausgehend von einem bestimmten, oft rechteckigen Ausschnitt als flächendeckendes Muster durch Verschiebung dieser Grundfigur in mindestens zwei verschiedenen Richtungen der Ebene erzeugen las- sen. Dieser spezielle Ausschnitt aus der Parkettierung wird „Kachel“ genannt, der Idee folgend, dass man diese Kachel beliebig oft aneinanderlegen kann, um so das lückenlose Muster zur Überdeckung der Ebene zu erzeugen. Bei den „einfachen“ Parkettierungen der Ebene mit n-Ecken bildet oft die n-Ecke selbst diese Kachel. Aber nicht bei allen Parket- tierungen besteht das Muster auf der Kachel aus genau einer verwendeten geometrischen Form. Bei der Knabbertechnik in Abb. 4.11 sind im letzten Bild die rechteckigen Kacheln gestrichelt markiert, das Muster darauf lässt sich nicht durch eine einfache geometrische Form beschreiben. 4.1 Muster, Parkettierungen und Bandornamente 113 Abb. 4.11 Gestaltung von Parkettierungen mit der Knabbertechnik. (© Thomas Weth, Quelle: http://www. didmath.ewf.uni-erlangen.de/ Vorlesungen/Grundschule/ Geometrie_GS/Materialien/ knabber.htm) Eine weiterführende Aufgabe wird nun darin bestehen, aus vorgegebenen Parkettierun- gen die Kachel zu identifizieren und die Symmetrien der Parkettierung anzugeben. Man beachte, dass nicht jede Kachel einer Parkettierung immer aus der Knabbertechnik her- vorgeht. Betrachten wir das Beispiel in Abb. 4.12. Das Muster kann durch wiederholtes Anein- anderlegen der markierten Kachel erzeugt werden. Das Muster der Überdeckung besteht aus Sechsecken und Quadraten, die ausgewählte Kachel umfasst aber nur ein Achteck und Ausschnitte der angrenzenden Achtecke und Quadrate. Das Muster weist vielfältige Sym- metrien auf, z. B. Achsensymmetrien an waagerechten oder senkrechten Spiegelachsen, jeweils senkrecht durch die Mitten der Seiten der kleinen Quadrate, aber auch „schräg“ verlaufende Symmetrieachsen durch die Seitenmitten der langen Achteckseiten. Zudem erkennt man Drehsymmetrien mit Drehungen um die Mitte eines Achtecks mit ganzzah- ligen Vielfachen von 90°, aber auch um die Mittelpunkte der Quadrate um Vielfache von 180°. Diese Vielfalt von Symmetrien ist auch ein Hinweis darauf, dass man einen anderen Ausschnitt des Musters als Kachel hätte auswählen können. Die eingezeichnete Kachel nutzt die Symmetrie des Achtecks aus: In den Ecken der Kachel ist immer nur ein Viertel eines Achtecks zu sehen, erst durch das Zusammenlegen von vier Kacheln an dieser Ecke entsteht ein vollständiges Achteck. Eine mathematisch genauere Untersuchung der Symmetrien von Parkettierungen ergibt analog zur Symmetriebetrachtung bei Bandornamenten, dass es nur 17 verschiedene Ty- pen von Symmetrien geben kann. Eine Parkettierung kann nur Verschiebungssymmetrien, Spiegelungssymmetrien oder Drehsymmetrien und Verkettungen von diesen als Symme- 114 4 Formen und Muster gestalten Abb. 4.12 Beispiel für eine Überdeckung der Ebene. (Er- stellt mit © GeoGebra) trieelemente enthalten. Bei den Drehsymmetrien können nur Drehungen um Vielfache von 60°, 90°, 120° oder 180° auftreten. Man bezeichnet diese Drehsymmetrien auch als 6-zählige, 4-zählige, 3-zählige oder 2-zählige Symmetrien, entsprechend der Anzahl von Drehungen, die auszuführen sind, bis man bei der identischen Abbildung landet. Andere als diese Drehungen sind nicht möglich, da als flächendeckende Muster keine an- dere „Zähligkeiten“ vorkommen können, was an den möglichen Innenwinkeln liegt. Eine ansprechende grafische Darstellung der 17 Symmetrietypen findet man z. B. auf den Inter- netseiten des Mathematikers und Informatikers Martin von Gagern unter dem Stichwort „kristallographische Gruppe“.1 4.1.3 Muster gestalten mit Kreisen Auch mit Kreisen kann man Formen und Muster gestalten. Solche Kreismuster finden sich oft in Kirchenfenstern, aber auch in Mustern auf Tapeten und Gebrauchsgegenständen (Abb. 4.13). Eine besondere Relevanz haben Muster aus Kreisbögen beim Gestalten von Kirchen- fenstern und Verzierungen, insbesondere beim Gestalten von Maßwerkfenstern, da diese geometrisch konzipiert wurden. Dies ist zum Beispiel an den beiden Kirchenfassaden in Abb. 4.14 zu sehen. Im Folgenden wird erarbeitet, welche konstruktiven Elemente beim Gestalten mit Krei- sen dabei mathematisch eingehen. Eine wichtige Voraussetzung ist, dass die Radien immer senkrecht auf der Tangen- te beim Kreis stehen und damit, wenn sich zwei Kreise berühren, der Berührpunkt und die beiden Mittelpunkte der Kreise stets auf einer Gerade liegen. Damit können die in Abb. 4.14 gezeigten Fenster gezeichnet werden. 1 Siehe u. a. http://www.morenaments.de/gallery/exampleDiagrams/. VORLESUNG 11: ÄHNLICHKEITSABBILDUNGEN Elemente der Geometrie (SP-LM-B3 & G-M-B3) Dr. Anna-Christin Söhling Institut für Mathematikdidaktik 09.01.25 Nummerierung im Kapitel zu Bandornamenten und Parkettierung r Satz 26 Grundlegende Symmetrien der Bandornamente Definition 55 Parkettierung Definition 56 Platonische Parkettierung ABS Institut für Mathematikdidaktik | Dr. Anna-Christin Söhling 09.01.25 2  Nachtrag zu Vorlesung 9 ↓ Wie erkenne ich das Vorliegen von Gruppeneigenschaften in einer Verknüpfungstabelle? M SidDr rege Da (M , 0) , zo - Se , , , I Abgeschlossenheit Sa , So , X Assoziativität (aob) + c = a= (bok) & Neutrales Element Inverses Element Kommutativität Institut für Mathematikdidaktik | Dr. Anna-Christin Söhling 09.01.25 3 Typen geometrischer Abbildungen Kongruenzabbildung: V 1) Geraden bleiben Geraden ~ 2) Parallele Geraden bleiben parallel ~ 3) Winkel bleiben erhalten - =4) Strecken bleiben gleich lang ~ i nal - Ähnlichkeitsabbildung: ig Or Affine Abbildung: 1) Geraden bleiben Geraden 1) Geraden bleiben Geraden 2) Parallele Geraden bleiben parallel 2) parallele Geraden bleiben parallel 3) Winkel bleiben erhalten ↓ 4 Definition 57 – Zentrische Streckung !!, $ Gegeben sei ein Punkt ", das Streckzentrum, und eine reelle Zahl #, # ≠ 0, der Streckfaktor. Die zentrische Streckung "!, $ ist diejenige Abbildung der Ebene auf sich, die jedem Punkt & einen Bildpunkt &′ nach der folgenden Vorschrift zuordnet: a) Wenn & = ", dann gilt & = &‘ (" ist Fixpunkt). b) Wenn & ≠ ", dann gilt: h Betrag von - Wenn # > 0: &′ so wählen, dass &′ ∈ "& und - = # ∗ - "&. "&% & ↓ Wenn # < 0: &′ so wählen, dass &′ ∈ "& und &′ ∉ "& und - "&% = |#| ∗ - "&. - - -- Zentrische Streckung der Strecke !" - p Institut für Mathematikdidaktik | Dr. Anna-Christin Söhling 08.01.25 Die 5 Beispiel für eine zentrische Streckung !!, $ 1(52) = (4). ((5z) - 2e = Ik1 = 2 , 92 J 2 - & 1k / Ik) 1 Il - A(5z) Institut für Mathematikdidaktik | Dr. Anna-Christin Söhling 08.01.25 6 Beispiel für eine zentrische Streckung !!, $ Das Dreieck 234 wurde den zentrischen Streckungen "!;',( und "!,)* unterzogen. ⑤ Institut für Mathematikdidaktik | Dr. Anna-Christin Söhling 08.01.25 7 Konstruktion einer zentrische Streckung !!, $ - Von Streckzentrum aus zeichnen wir Halbgeraden durch alle Punkte der zu streckenden Urbildfigur. - Wir bestimmen jeweils den Abstand jedes Punktes der Urbildfigur zum Streckzentrum und multiplizieren ihn mit #. - Wir markieren die Bildpunkte im jeweils #-fachen Abstand zum Streckzentrum mit dem Zirkel. - Wir verbinden die Bildpunkte miteinander. Beispiel: 5 = 6,5 6 ∗ 2,5 = 15 3 ∗ 2,5 = 7,5 A 5 ∗ 2,5 = 12,5 ↑ B)cj Institut für Mathematikdidaktik | Dr. Anna-Christin Söhling 08.01.25 8 Eigenschaften einer zentrische Streckung !!, $ Eigenschaft Eigenschaft bei zentrischer Streckung erfüllt? Fixpunkte Das Zentrum & ist der einzige Erpunkt (ind. ). Fixgeraden Alle Gerade durc Z sind Pirgeraden. Umlaufsinn ändert sich niced Identische Abbildung ned Zan-id (2). k = 1(5) ein ↳ Beiko ist die zentrische Streung Umkehrabbildung Punktspiegelung Zz , Bearwert von K bilden Institut für Mathematikdidaktik | Dr. Anna-Christin Söhling 08.01.25 9  Eigenschaften einer zentrische Streckung !!, $ Eigenschaft Eigenschaft bei zentrischer Streckung erfüllt? Winkeltreue ja Längenverhältnis- Für Bildstrecke eingr Strecke B treue jede e(8 B) e) / (4) gilf : = - A - Geradentreue Bild Das g ein Gerade g ist parallel zur Gerade g Parallelentreue - ja Institut für Mathematikdidaktik | Dr. Anna-Christin Söhling 09.01.25 10 Satz 27 – Erster Strahlensatz Es schneiden sich zwei Geraden !!′ und ##′ im Punkt $. Wenn diese beiden Geraden von zwei Parallelen in ! und # bzw. !‘ und #′ geschnitten werden, dann gilt: = AA g ' !! $ : ' !$ = ' #! $ : ' #$ e = si 9 h 2 & Institut für Mathematikdidaktik | Dr. Anna-Christin Söhling 08.01.25 11 Satz 27 – Erster Strahlensatz Es schneiden sich zwei Geraden 22′ und 33′ im Punkt ". Wenn diese beiden Geraden von zwei Parallelen in 2 und 3 bzw. 2‘ und 3′ geschnitten werden, dann gilt: - 2% " : - 2" = - 3 % " : - 3" & : Beweis: IKI wir betraute die zetr. Streug Zak mit Bild van AB läuft durch sind ist Das En AB parallel. AB (forr) A'' verlaufs durc s' ist parallel 27 Duce A'B' das Bild Die Parallele zu AB durch s ist eindeutig. Also das Bild Bund von AB bei Zak. B' ist also von es gilt e) = kl Also gill Hatz) : 1(52) = ((sz) 1(52) = l(Bz). A Institut für Mathematikdidaktik | Dr. Anna-Christin Söhling 08.01.25 12 Satz 27 – Erster Strahlensatz Es schneiden sich zwei Geraden 22′ und 33′ im Punkt ". Wenn diese beiden Geraden von zwei Parallelen in 2 und 3 bzw. 2‘ und 3′ geschnitten werden, dann gilt: - 2% " : - 2" = - 3 % " : - 3" Wie kehrt man diesen Satz um? Kurz: Wir betrachten die Ausgangssituation zweier sich in " schneidender Geraden 2" und 3", die von zwei Geraden geschnitten werden. Wenn 23 und 2‘3‘ parallel sind, dann gilt die Verhältnisgleichheit. Umgekehrt: Wenn in der Ausgangssituation die Verhältnisgleichheit gilt, dann sind 23 und 2′3′ parallel. Institut für Mathematikdidaktik | Dr. Anna-Christin Söhling 09.01.25 13 Satz 28 – Umkehrung des ersten Strahlensatzes Es schneiden sich zwei Geraden 22′ und 33′ im Punkt ". Wenn diese beiden Geraden von zwei anderen Geraden 23 und 2′3′ in den Punkten 2 und 3 bzw. 2′ und 3′ geschnitten werden und dabei - 2% " : - 2" = - 3 % " : - 3" gilt, dann sind 23 und 2′3′ parallel. Beweis: MaTz) (2) =(2) : ((z). Es gelte : -- e(z) = (k) - 1(z) e(sz) = (k). ((52) Sts. A'B' das Bild von Bei Zen ist Eigenschaften von zeitr Steige gilt sits'll.B A. Aufgend der. (Gerade treue] I Institut für Mathematikdidaktik | Dr. Anna-Christin Söhling 09.01.25 14 Satz 29 – Zweiter Strahlensatz Es schneiden sich zwei Geraden 22′ und 33′ im Punkt ". Wenn diese beiden Geraden von zwei Parallelen in 2 und 3 bzw. 2‘ und 3′ geschnitten werden, dann gilt: - 2% 3 % : - 23 = - 2% " : - 2" Institut für Mathematikdidaktik | Dr. Anna-Christin Söhling 08.01.25 15 Satz 29 – Zweiter Strahlensatz Es schneiden sich zwei Geraden 22′ und 33′ im Punkt ". Wenn diese beiden Geraden von zwei Parallelen in 2 und 3 bzw. 2‘ und 3′ geschnitten werden, dann gilt: - 2% 3 % : - 23 = - 2% " : - 2" Beweis: Institut für Mathematikdidaktik | Dr. Anna-Christin Söhling 08.01.25 16 Umkehrung des zweiten Strahlensatzes · Es schneiden sich zwei Geraden im Punkt ". Wenn diese beiden Geraden von zwei Parallelen in 2 und 3 bzw. 2‘ und 3′ geschnitten werden, dann gilt: - 2% 3 % : - 23 = - 2% " : - 2" Umkehrung: wenn 1) : (5) = 152) : (2) dann sind die Gerade gilt ein , AB d A'B' parallel.. Institut für Mathematikdidaktik | Dr. Anna-Christin Söhling 09.01.25 Brings au an es 17 VORLESUNG 12: ÄHNLICHKEITSABBILDUNGEN II Elemente der Geometrie (SP-LM-B3 & G-M-B3) Dr. Anna-Christin Söhling Institut für Mathematikdidaktik 22.01.25 Anwendung der Strahlensätze Messung von Baumhöhen mit dem Försterdreieck I 7 als 2 ⑧ I : & · B ↑ B S - * ! 1. Strahlensa