Лекц 1 Шугаман Тэгшитгэлийн Систем I PDF

Лекц 1 Шугаман Тэгшитгэлийн Систем I Г. Батзаяа (МУИС, Математикийн тэнхим) 2024 оны 9-р сарын 4 1.1 ШТС ба түүний шийд Хэрэв a, b, c нь бодит тоонууд бол ax + by = c хэлбэрийн тэгшитгэлийг x ба y хувьсагчаас хамаарсан шугаман...

Лекц 1 Шугаман Тэгшитгэлийн Систем I Г. Батзаяа (МУИС, Математикийн тэнхим) 2024 оны 9-р сарын 4 1.1 ШТС ба түүний шийд Хэрэв a, b, c нь бодит тоонууд бол ax + by = c хэлбэрийн тэгшитгэлийг x ба y хувьсагчаас хамаарсан шугаман тэгшит- гэл гэдэг. Хувьсагчдын тоо хоёроос олон бол ихэвчлэн x1 , x2 ,... , xn гэх байдлаар тэмдэглэх нь тохиромжтой байдаг. Тодорхойлолт 1.1 (шугаман тэгшитгэл) Өгсөн a1 , a2 ,... , an , b бодит тоонуудын хувьд a1 x 1 + a2 x 2 + · · · + an x n = b хэлбэрийн тэгшитгэлийг x1 , x2 ,... , xn гэсэн n хувьсагчтай шугаман тэгшитгэл гэдэг. a1 , a2 ,... , an тоонуудыг x1 , x2 ,... , xn хувьсагчдын коэффициент гэх ба b тоог сул гишүүн гэнэ. Жишээ нь 2x1 − 3x2 + 5x3 = 7 2 шугаман тэгшитгэлийн хувьд x1 , x2 , x3 хувьсагчдын коэффициентууд нь харгалзан 2, −3, 5, сул гишүүн нь 7 болно. Санамж 1 Шугаман тэгшитгэлийн хувьсагч нь зөвхөн нэг зэрэгтэй байгааг ан- хаар. Мөн хувьсагчийг заримдаа үл мэдэгдэгч гэж нэрлэдэг. Тодорхойлолт 1.2 (шугаман тэгшитгэлийн шийд) a1 x1 +a2 x2 +· · ·+an xn = b шугаман тэгшитгэл өгөв. Хэрэв s1 , s2 ,... , sn гэсэн n ширхэг бодит тооны хувьд a1 s 1 + a2 s 2 + · · · + an s n = b бол (ө.х хувьсагчдын оронд x1 = s1 , x2 = s2 ,... , xn = sn гэж орлуу- лахад тэнцэтгэл болдог) тэдгээрийг уг тэгшитгэлийн шийд гэдэг. Жишээ нь x + y + z = 3 тэгшитгэлийн хувьд x = 1, y = −1, z = 3 шийд ба x = y = z = 0 шийд биш юм. 3  Тодорхойлолт 1.3 (шугаман тэгшитгэлийн систем) x1 , x2 ,... , xn гэсэн n хувьсагчтай k ширхэг шугаман тэгшитгэлийн    a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = b1  a x + a x + · · · + a x = b 21 1 22 2 2n n 2   ............................... ak1 x1 + ak2 x2 + · · · + akn xn = bk  системийг шугаман тэгшитгэлийн систем (ШТС) гэдэг. Ө.х ШТС нь төгсгөлөг тооны шугаман тэгшитгэлийн цуглуулга юм. Мөн тэгшитгэл бүрийнх нь шийд болдог тоонуудыг уг системийн шийд гэнэ. Жишээлбэл x = −2, y = 5, z = 0 ба x = 0, y = 4, z = −1 нь тус бүр x+y+ z=3 2x + y + 3z = 1 системийн шийд болно. 4 Санамж 2 Систем нь эсвэл огт шийдгүй, эсвэл цор ганц шийдтэй, эсвэл төгсгөл- гүй олон шийдтэй байж болно. Шийдгүй системийг нийцгүй; ядаж нэг шийдтэй системийг нийцтэй гэдэг. Тухайлбал x+y = 2, x+y = 3 систем нийцгүй, учир нь x + y тоо нэгэн зэрэг 2 ба 3 байж чадахгүй. Дараах жишээн дэх систем нь төгсгөлгүй олон шийдтэй. Жишээ 1.1 Дурын бодит s, t тоонуудын хувьд x1 =t−s+1 x2 =t+s+2 x3 =s x4 =t гэсэн тоонууд x1 − 2x2 +3x3 +x4 = −3 2x1 − x2 +3x3 −x4 = 0 системийн шийд болно гэж харуул. 5  ⌈ x1 , x2 , x3 , x4 тоонуудыг тэгшитгэл тус бүрд орлуулвал x1 − 2x2 + 3x3 + x4 = (t − s + 1) − 2(t + s + 2) + 3s + t = −3 2x1 − x2 + 3x3 − x4 = 2(t − s + 1) − (t + s + 2) + 3s − t = 0 болох тул шийд болно. ⌋ Тодорхойлолт 1.4 (параметрт хэлбэртэй шийд) Системийн шийдийн олонлогийг тодорхой хэдэн хувьсагчтай (дурын тоог орлуулж болох) өгөхийг параметр хэлбэртэй шийд гэдэг. Ха- рин уг хувьсагчдыг параметр гэнэ. Өмнөх жишээний шийд нь s, t параметртэй параметр хэлбэрээр өгсөн шийд байна. Жишээ 1.2 3x − y + 2z = 6 тэгшитгэлийн бүх шийдийг параметр хэлбэрээр бич. ⌈ Тэгшитгэлийн y хувьсагчийг x ба z-ээр илэрхийлбэл y = 3x + 2z − 6 6 болно. Хэрэв s ба t нь дурын утгатай үед x = s, z = t гэвэл x=s y = 3s + 2t − 6 z=t болно. Мөн x-ийн хувьд бодвол x = 13 (y − 2z + 6) болно. Энд бид y = p, z = q гэж авбал шийд x = 13 (p − 2q + 6) y = p z = q байна. Энд p ба q нь дурын утга авна. ⌋ Санамж 3 Дээрх жишээнээс нэг систем нь олон янзын параметр шийдтэй байж болно. 7 1.2 ШТС-ийг бодох алгебрын арга Систем тэгшитгэлийн хувьсагчийн тоо ⩾ 4 болох үед геометрээр дүрсэл- хэд төвөгтэй болдог учраас бид алгебрын аргаар шийдвэл зүгээр байдаг. Эхлээд бид дараах ойлголтой танилцъя. Тодорхойлолт 1.5 (матриц) k ширхэг мөр ба n ширхэг багана бүхий k·n ширхэг тоонуудаас тогтох хүснэгтийг k × n хэмжээст матриц гээд     a11 a12 · · · a1n a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n   эсвэл a21 a22 · · · a2n     · · · · · · · · · · · ·  · · · · · · · · · · · ·  ak1 ak2 · · · akn ak1 ak2 · · · akn гэж бичдэг. Заримдаа товчоор A = (aij )k×n эсвэл A = (aij ) гэж бичнэ. Жишээлбэл       1 2 −1 8 −1
5 , , 0 1 4 , 0 5 6 5 6 −7 8 эдгээр нь харгалзан 2 × 3, 2 × 2, 1 × 3, 2 × 1 хэмжээстэй матрицууд байна. Санамж 4 Матрицийн талаар дараа дараагийн бүлгүүдэд илүү дэлгэрэнгүй үзэх ба энэ бүлэгт зөвхөн хэрэг болох хэсгийн танилцуулна. Тодорхойлолт 1.6 (ШТС-ийн матрицууд) n ширхэг хувьсагчтай k ширхэг шугаман тэгшитгэлтэй    a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = b1  a x + a x + · · · + a x = b 21 1 22 2 2n n 2   ............................... ak1 x1 + ak2 x2 + · · · + akn xn = bk  системийн хувьд       a11 a12 · · · a1n b1 a11 a12 ··· a1n b1  a21 a22 · · · a2n b2  a21 a22 ··· a2n   b2   ,  ,    ··· ··· ··· ··· ···  · · · ··· ··· · · · · · · ak1 ak2 · · · akn bk ak1 ak2 ··· akn bk 9  матрицуудыг харгалзан уг системийн өргөтгөсөн матриц, үндсэн матриц, сул гишүүний матриц гэж тус тус нэрлэдэг. Жишээ 1.3 x1 , x2 , x3 гэсэн 3 үл мэдэгдэгчтэй    − x2 + 3x3 = 3 −2x1 − x2 + 5x3 = −1  2x1 + x2 =1  системийн матрицуудыг бич. ⌈ Өргөтгөсөн, үндсэн, сул гишүүний матрицууд нь харгалзана       0 −1 3 3 0 −1 3 3  −2 −1 5 −1  , −2 −1 5 , −1 2 1 0 1 2 1 0 1 байна. ⌋ 10 Тодорхойлолт 1.7 (эквивалент системүүд) Хоёр системийн шийдийн олонлог ижил бол тэдгээрийг эквивалент гэдэг. Санамж 5 (ШТС-ийг бодох алгебрын арга) ШТС-ийг бодох алгебрын аргa нь дараах бүтэцтэй байдаг. Системийг өмнөх нь дараагийнхтайгаа эквивалент байх систем рүү шилжүүлж явна. Шилжүүлэх систем бүрийг хялбар өөрчлөлтөөр гаргана. Шилжсэн сүүлчийн систем нь бодоход хялбар байх хэрэгтэй. Жишээ 1.4 (ШТС-ийн алгебрын арга) ( x + 2y = −2 гэсэн системийг дээрх тайлбарын дагуу бодъё. 2x + y = 7 11  ⌈ Үйлдэл бүрд өргөтгөсөн матрицыг хойно нь бичнэ! Анхны систем   x + 2y = −2 1 2 −2 2x + y = 7 2 1 7 болно. Эхлээд эхний тэгшитгэлийг хоёроор үржүүлж хоёр дахь тэгшитгэ- лээс хасахад гарах систем нь   x + 2y = −2 1 2 −2 − 3y = 11 0 −3 11 буюу анхны системтэй эквивалент байна (Теорем 1). Эндээс хоёр дахь тэгшитгэлийг − 31 -ээр үржүүлж y = − 11 3 гэж олно. Энэ үр дүн нь   x + 2y = −2 1 2 −2 y = − 11 3 0 1 − 11 3 гэсэн системтэй эквивалент юм. Эцэст нь хоёр дахь тэгшитгэлийг хоёроор үржүүлж эхний тэгшитгэлээс хасаж өөр нэг эквивалент систем гаргана.   16 16 x= 3 1 0 3   11 11 y=− 3 0 1 −3 12 Одоо энэ систем хялбар бодогдоно! Энэхүү сүүлийн систем нь анхны сис- темтэй эквивалент учир шийд нь анхны системийн шийд болно. ⌋ Тодорхойлолт 1.8 (ШТС-ийн элементар хувиргалт) ШТС-ээс түүнтэй эквивалент систем гаргадаг дараах хувиргалтуу- дыг элементар хувиргалт гэдэг. I. Хоёр тэгшитгэлийн байрыг солих. II. Нэг тэгшитгэлийг тэг биш тоогоор үржүүлэх. III. Нэг тэгшитгэлийг тоогоор үржүүлж өөр тэгшитгэл дээр нэмэх. Теорем 1 Шугаман тэгшитгэлийн системд элементар хувиргалтууд хийсэн байг. Тэгвэл үүссэн систем нь анхны системтэй адил шийдийн олон- логтой, өөрөөр хэлбэл уг хоёр систем эквивалент байна. [Баталгааг нэмэлт хэсэгт хийнэ.] 13 Санамж 6 ШТС-ийн элементар хувиргалтыг түүнд харгалзах өргөтгөсөн мат- рицаар ажиглаж явах нь тохиромжтой байдаг тул элементар хувир- галтуудыг матриц дээр дахин тодорхойлъё. Тодорхойлолт 1.9 (Матрицийн мөрийн элементар хувиргалт) Дараах хувиргалтуудыг матрицийн мөрийн элементар хувиргалт гэнэ. I. Хоёр мөрийн байрыг солих. II. Мөрийг тэгээс ялгаатай тоогоор үржүүлэх. Энд мөрийг a тоо- гоор үржүүлнэ гэдэг нь уг мөрийн тоо бүрийг a тоогоор үр- жүүлнэ. III. Нэг мөрийг тоогоор үржүүлж өөр мөр дээр нэмэх. Энд нэг мө- рийг нөгөө мөр дээр нэмнэ гэдэг нь уг мөрийн тоо бүрийг нөгөө мөрийн харгалзах тоо бүр дээр нэмнэ. 14  Өмнөх бодлогын үйлдлүүдийн дараалал нь матрицыг   1 0 ∗ 0 1 ∗ хэлбэрийн матрицд шилжсэн. Энд одны оронд ямар нэгэн тоо байна. Гур- ван хувьсагчтай гурван тэгшитгэлийн тохиолдолд матрицыг   1 0 0 ∗  0 1 0 ∗  0 0 1 ∗ хэлбэртэй болгохыг зорино. Энэ нь үргэлж боломжтой байдаггүй бөгөөд дараагийн бүлэгт тодорхой үзнэ. Харин дээрх хэлбэрт оруулж болдог то- хиолдлыг доор үзүүлэв. Жишээ 1.5 Дараах системийн бүх шийдийг ол. 3x + 4y + z = 1 2x + 3y = 0 4x + 3y − z = −2 15  ⌈ Уг системийн өргөтгөсөн матрицыг бичвэл   3 4 1 1  2 3 0 0  4 3 −1 −2 болно. Уг матрицын зүүн дээд буланд 1 гаргахын тулд нэгдүгээр мөрөө 1 3 -ээр үржүүлж болно. Гэхдээ бутархай тоогоор үржүүлэлгүйгээр эхний тэгшитгэл дээр хоёрдугаар тэгшитгэлийг −1-ээр үржүүлж нэмээд нэг гар- гаж болно. Тэгвэл   1 1 1 1  2 3 0 0  4 3 −1 −2 болно. Зүүн дээд талд байгаа 1-ийг ашиглан эхний баганыг "цэвэрлэх"буюу уг баганад байгаа бусад тоог тэг болгох хэрэгтэй. Үүний тулд эхний мө- рийг −2-оор үржүүлж хоёр дахь мөр дээр нэмбэл   1 1 1 1  0 1 −2 −2  4 3 −1 −2 16 гэж гарна. Дараа нь эхний мөрийг −4-оор үржүүлж гурав дахь мөр дээр нэмбэл   1 1 1 1  0 1 −2 −2  0 −1 −5 −6 болно. Ингээд эхний багана боллоо. Одоо хоёрдугаар мөрийн хоёр дахь байранд байгаа 1-ийг ашиглан хоёрдугаар баганыг тэг болгох үйлдлийг хийе. Хоёрдугаар мөрийг −1-ээр үржүүлж эхний мөр дээр, 1-ээр үржүүлж гуравдугаар мөр дээр нэмбэл   1 0 3 3  0 1 −2 −2  0 0 −7 −8 болох ба энэ үйлдлээ хялбарыг бодоод зэрэг хийж болно. Хоёрдугаар мө- рийн эхний тоо тэг учир сүүлд хийсэн хоёр үйлдэл нь эхний баганад өөрч- лөлт оруулахгүй. Эцэст нь гурав дахь баганыг тэг болгох үйлдлээ хийе. Гуравдугаар мөрийг − 17 -ээр үржүүлбэл   1 0 3 3  0 1 −2 −2  8 0 0 1 7 17 болно. Одоо гуравдугаар мөрийг −3-аар үржүүлж нэгдүгээр мөр дээр, 2- оор үржүүлж хоёрдугаар мөр дээр тус тус нэмбэл   1 0 0 − 37     0 1 0 2  7    8 0 0 1 7 болох ба эндээс харгалзах тэгшитгэлүүд нь x = − 73 , y = 27 , z = 8 7 болж цор ганц шийдийг өгнө. ⌋ 1.3 Нэмэлт Элементар хувиргалтуудыг буцаах Аливаа мөрийн элементар хувиралт нь дараах байдлаар өөртэйгөө ижил төрлийн элементар хувиргалтаар (урвуу гэж нэрлэдэг) буцаагддаг. Үүнд: 1) Хоёр мөрийн байр солих нь ахин тэр хоёр мөрийн байрийг солих замаар буцаагдана. 18  2) Мөрийг a тоогоор үржүүлэх үйлдэл нь уг мөрийг 1/a тоогоор үржүү- лэх үйлдлээр буцаагдана. 3) Ri мөрийг a тоогоор үржүүлж түүнээс өөр Rj мөр дээр нэмэх үйл- дэл нь Ri мөрийг −a тоогоор үржүүлж Rj мөр дээр нэмэх үйлдлээр буцаагдана. ⌈ Сүүлийн хувиргалтын хувьд тайлбарлая. Анхны матриц R1 , R2 , R3 , R4 гэсэн дөрвөн мөртэй ба R2 мөрийг a тоогоор үржүүлж R3 мөр дээр нэмсэн байг. Тэгвэл буцаах үйлдэл нь R2 мөрийг −a тоогоор үржүүлж R3 мөр дээр нэмэх үйлдэл байна. Учир нь         R1 R1 R1 R1  R2  R2 R2   R2        R3  →  R3 + a · R2 →  (R3 + a · R2 ) − a · R2  =  R3       R4 R4 R4 R4 байна. ⌋ 19 Теорем 1.1-ийн баталгаа Шугаман тэгшитгэлийн систем нь ямар нэг элементар хувиргалтуудын дарааллаар шинэ шугаман тэгшитгэлд шилжсэн гэе. Тэгвэл анхны сис- темийн шийд бүр шинэ системийн шийд болно. Учир нь тэгшитгэлүүдийг нэмэх эсвэл тэгшитгэлийг тэгээс ялгаатай тоогоор үржүүлэхэд үргэлж тэн- цэтгэл хэвээр байна. Үүнтэй адилаар шинэ системээс элементар хувиргал- туудаар (анхны хувиргалтуудын урвуу хувиргалтууд) анхны систем гарах тул шинэ системийн шийд бүр анхны системийн шийд болно. Энэ нь анхны систем ба шинэ системүүд нь ижил шийдтэй болохыг харуулж байна. 20 §1 Семинарын Бодлогууд 1. Бүх шийдийг хоёр янзаар параметр оруулан ол. a) 2x + 3y = 1 b) x − 2y + 5z = 1 2. Дурын s, t тоонуудын хувьд өгсөн системийнхээ шийд болох уу? a) x = 19t − 35, y = 25 − 13t, z = t нь ( 2x + 3y + z = 5 7y − 4z = 0 системийн шийд мөн үү? b) x1 = 2s + 12t + 13, x2 = s, x3 = −s − 3t − 3, x4 = t нь ( 2x1 + 5x2 + 9x3 + 3x4 = −1 x1 + 2x2 + 4x3 =1 системийн шийд мөн үү? 21 3. Өгсөн  3x1 + 2x2 − x3 + x4 = −1  2x1 − x3 + 2x4 = 0  3x1 + x2 + 2x3 + 5x4 = 2  системээс матрицуудыг бич. 4. Дараах өргөтгөсөн матрицад харгалзах ШТС-ийг бич.   2 −1 0 −1  −3 2 1 0  0 1 1 3 ( x + 2y = 3 5. системийн шийдийг ол. −x − y = −1 6. Дараах системийн бүх шийдийг ол.  3x + 4y + z = 1  2x + 3y − z = 2  4x + 3y − z = −2  22