Textbook for 9th Grade Mathematics (PDF)

‫ـــم‬ ‫لـــی ُم َح َّمـــ ٍد َو آلِ ُم َح َّمـــ ٍد َو َع ِّج ْ‬ ‫ـــل َف َر َج ُه ْ‬ ‫ـــل َع ٰ‬ ‫اَللّٰ ُه َّ‬ ‫ـــم َص ِّ‬ ‫پایۀنهم‬ ‫د...

‫ـــم‬ ‫لـــی ُم َح َّمـــ ٍد َو آلِ ُم َح َّمـــ ٍد َو َع ِّج ْ‬ ‫ـــل َف َر َج ُه ْ‬ ‫ـــل َع ٰ‬ ‫اَللّٰ ُه َّ‬ ‫ـــم َص ِّ‬ ‫پایۀنهم‬ ‫دورۀ ّاولمتوسطه‬  ‫وزارت آموزش و پرورش‬ ‫سازمان پژوهش و برنامه ریزی آموزشی‬ ‫ریاضی پایۀ نهم دورۀ ا ّول متوسطه ـ ‪905‬‬ ‫نام کتاب‪:‬‬ ‫سازمان پژوهش و برنامهریزی آموزشی‬ ‫پدیدآورنده‪:‬‬ ‫دفتر تألیف کتابهای درسی عمومی و متوسطه نظری‬ ‫مدیریت برنامهریزی درسی و تألیف‪:‬‬ ‫حمیدرضا امیری‪ ،‬علی ایرانمنش‪ ،‬طیبه حمزه بیگی‪ ،‬خسرو داودی‪ ،‬محمدهاشم رستمی‪ ،‬ابـراهیم‬ ‫شناسه افزوده برنامهریزی و تألیف‪:‬‬ ‫ریحانی‪ ،‬محمد رضا س ّیدصالحی‪ ،‬احمد شاهورانی‪ ،‬میرشهرام صدر‪ ،‬شادی صفینیا‪ ،‬اکرم‬ ‫قابلرحمت و محمد مقاصدی (اعضای شورای برنامهریزی)‬ ‫حمیدرضا امیری‪ ،‬علی ایرانمنش‪ ،‬خسرو داودی‪ ،‬کبری دلشاد‪ ،‬ابراهیم ریحانی‪ ،‬محمدرضا‬ ‫س ّیدصالحی‪ ،‬هوشنگ شرقی و میرشهرام صدر ( اعضای گروه تألیف) ـ افسانه حجتی طباطبایی‪،‬‬ ‫سید اکبر میرجعفری ( ویراستار)‬ ‫اداره ّ‬ ‫کل نظارت بر نشر و توزیع مواد آموزشی‬ ‫مدیریت آماده‌سازی هنری‪:‬‬ ‫احمدرضا امینی (مدیر امور فنی و چاپ) ـ مجید ذاکری یونسی (مدیر هنری) ـ مهدی کریمخانی‬ ‫شناسه افزوده آمادهسازی‪:‬‬ ‫(طراح گرافیک و طراح جلد) ـ مریم نرصتی (صفحهآرا) ـ سیاوش ذوالفقاریان‪ ،‬الهام محبوب‬ ‫(تصویرگر) ـ مریم دهقانزاده (رسام) ـ زهرا ایامنینرص‪ ،‬سیفالله بیکمحمددلیوند‪ ،‬علی‬ ‫نجمی‪ ،‬سپیده ملکایزدی‪ ،‬ناهید خیامباشی (امور آمادهسازی)‬ ‫تهران‪ :‬خیابان ایرانشهر شمالی ـ ساختمان شمارۀ ‪ 4‬آموزش و پرورش (شهید موسوی)‬ ‫نشانی سازمان‪:‬‬ ‫تلفن‪9 :‬ـ‪ ،88831161‬دورنگار‪ ،88309266 :‬کد پستی‪1584747359 :‬‬ ‫وبگاه‪ www.chap.sch.ir :‬و ‪www.irtextbook.ir‬‬ ‫شرکت چاپ ونشر کتاب های درسی ایران‪ :‬تهران ـ کیلومتر ‪ ١٧‬جادۀ مخصوص کرج ـ‬ ‫ناشر‪:‬‬ ‫خیابان ‪( 61‬داروپخش) تلفن‪ 5 :‬ـ ‪ ،44985161‬دورنگار‪ ،44985160 :‬صندوق پستی‪139 :‬ـ ‪37515‬‬ ‫شرکت چاپ و نشر کتابهای درسی ایران «سهامی خاص»‬ ‫چاپخانه‪:‬‬ ‫چاپ ششم ‪1399‬‬ ‫سال انتشار و نوبت چاپ‪:‬‬ ‫کلیه حقوق مادی و معنوی این کتاب متعلق به سازمان پژوهش و برنامه ریزی آموزشی وزارت آموزش و‬ ‫پرورش است و هرگونه استفاده از کتاب و اجزای آن به صورت چاپی و الکترونیکی و ارائه در پایگاه های مجازی‪،‬‬ ‫نمایش‪ ،‬اقتباس‪ ،‬تلخیص‪ ،‬تبدیل‪ ،‬ترجمه‪ ،‬عکس برداری‪ ،‬نقاشی‪ ،‬تهیه فیلم و تکثیر به هر شکل و نوع‪ ،‬بدون کسب‬ ‫مجوز از این سازمان‪ ،‬ممنوع است و متخلفان تحت پیگرد قانونی قرار می گیرند‪.‬‬ ‫‪ISBN 978 -964 - 05 - 2435 - 0‬‬ ‫شابک ‪978- 964-05 - 2435- 0‬‬  ‫انسان عصار ٔه همه موجودات عالم است‪.‬‬ ‫با تربیت صحیح ممکن نیست که یک مملکتی تحت تأثیر استعمار باشد‪.‬‬ ‫اگر ملتی بخواهد به طرف سعادت پرواز کند‪ ،‬باید با دو بال تهذیب نفس و علم باشد‪.‬‬ ‫امامخمینی​( ُقدّ ِ َس ِس ُّرهُ)‬  ‫فهرست‬ ‫ف‬ ‫مجموعه ها ‪1...................................................‬‬ ‫صل ‪1‬‬ ‫ ‬ ‫اول‪ :‬معرفی مجموعه ‪2..............................................‬‬ ‫درس ّ‬ ‫درس دوم‪ :‬مجموعه های برابر و نمایش مجموعه ها ‪6...................‬‬ ‫درس سوم‪ :‬اجتماع‪ ،‬اشتراک و تفاضلِ مجموعه ها ‪11..................‬‬ ‫درس چهارم‪ :‬مجموعه ها و احتمال ‪15...................................‬‬ ‫ف‬ ‫عددهای حقیقی‪18...............................................‬‬ ‫صل ‪2‬‬ ‫ ‬ ‫درس ا ّول‪ :‬عددهای گویا ‪19................................................‬‬ ‫درس دوم‪ :‬عددهای حقیقی ‪23............................................‬‬ ‫درس سوم‪ :‬قدر مطلق و محاسب ٔه تقریبی ‪28..............................‬‬ ‫ف‬ ‫استدالل و اثبات در هندسه ‪32.............................‬‬ ‫صل ‪3‬‬ ‫ ‬ ‫درس ا ّول‪ :‬استدالل ‪33......................................................‬‬ ‫درس دوم‪ :‬آشنایی با اثبات در هندسه ‪37.................................‬‬ ‫درس سوم‪ :‬هم نهشتی مثلث ها‪44.........................................‬‬ ‫درس چهارم‪ :‬حل مسئله در هندسه ‪49...................................‬‬ ‫درس پنجم‪ :‬شکل های متشابه ‪53.........................................‬‬  ‫ف‬ ‫توان و ریشه ‪59....................................................‬‬ ‫صل ‪4‬‬ ‫ ‬ ‫درس ا ّول‪ :‬توان صحیح ‪60..........................................................‬‬ ‫درس دوم‪ :‬نماد علمی‪65...........................................................‬‬ ‫درس سوم‪ :‬ریشه گیری ‪68.........................................................‬‬ ‫درس چهارم‪ :‬جمع و تفریق رادیکال ها ‪73.....................................‬‬ ‫ف‬ ‫عبارت های جبری ‪78............................................‬‬ ‫صل ‪5‬‬ ‫ ‬ ‫درس ا ّول‪ :‬عبارت های جبری و مفهوم اتحاد ‪79...............................‬‬ ‫درس دوم‪ :‬چند اتحاد دیگر‪ ،‬تجزیه و کاربردها ‪86............................‬‬ ‫درس سوم‪ :‬نابرابری ها و نامعادله ها ‪90.........................................‬‬ ‫ف‬ ‫خط و معادله های خطی ‪95....................................‬‬ ‫صل ‪6‬‬ ‫ ‬ ‫درس ا ّول‪ :‬معادل ٔه خط ‪96...........................................................‬‬ ‫درس دوم‪ :‬شیب خط و عرض از مبدأ‪102.....................................‬‬ ‫درس سوم‪ :‬دستگاه معادله های خطی ‪108...................................‬‬  ‫ف‬ ‫عبارت های گویا     ‪113............................................‬‬ ‫صل ‪7‬‬ ‫ ‬ ‫درس ا ّول‪ :‬معرفی و ساده کردن عبارت های گویا‪114......................‬‬ ‫درس دوم‪ :‬محاسبات عبارت های گویا ‪119...................................‬‬ ‫درس سوم‪ :‬تقسیم چندجمله ای ها‪126........................................‬‬ ‫ف‬ ‫حجم و مساحت‪130..............................................‬‬ ‫صل ‪8‬‬ ‫ ‬ ‫اول‪ :‬حجم و مساحت کره ‪131............................................‬‬ ‫درس ّ‬ ‫درس دوم‪ :‬حجم هرم و مخروط ‪135............................................‬‬ ‫درس سوم‪ :‬سطح و حجم ‪140....................................................‬‬  ‫سخنیبامعلّ م‬ ‫کتاب ریاضی پایهٔ نهم بر مبنای برنامهٔ درسی ملی و در ادامهٔ تغییرکتاب های درسی‬ ‫دوره اوّ ل متوسطه تألیف شده است‪.‬زمانی تأکید کتابهای درسی ریاضی‬ ‫ٔ‬ ‫پایههای هفتم و هشتم‬ ‫بیشتر بر توانایی انجام محاسبات بوده است‪.‬در رویکرد جدید ضمن حفظ این هدف‪ ،‬تأکید اصلی‬ ‫قوه تفکر و تعقل و رشد توانایی حل مسئله است‪.‬اگرچه رسیدن به چنین هدفی با‬ ‫بر پرورش ٔ‬ ‫موانع‪ ،‬مشکالت و دشواریهای فراوانی روبهروست و تحقق کامل آن به سرعت امکانپذیر نیست؛‬ ‫جامعه آموزش ریاضی را تعیین‬ ‫ٔ‬ ‫مدنظر قرار دادن چنین هدفی می تواند جهت اصلی حرکت‬ ‫ولی ّ‬ ‫عهده معلّم است‪.‬قدرت انعطاف و هماهنگی‬ ‫ٔ‬ ‫کند‪.‬اصلی ترین و مؤثرترین نقش در این جهت به‬ ‫و همراهی معلّمان با برنامه های جدید ستودنی است‪.‬مؤلفان کتاب حاضر سعی کرده اند که‬ ‫برای ادای وظیفه نسبت به آموزش معلّمان‪ ،‬ضمن اطالع رسانی به موقع دربارهٔ تألیف‪ ،‬کتاب‬ ‫راهنمای معلّم و نیز فیلم های آموزشی را به موقع در اختیار همکاران عزیز قرار دهند‪.‬‬ ‫ساختار کتاب از سه بخش فعالیت‪ ،‬کار درکالس و تمرین تشکیل شده است‪.‬آنچه در انجام‬ ‫مدنظر بوده است‪ ،‬آشنایی دانش آموزان با مفهوم درسی و سهیم بودن‬ ‫یک فعالیت به طور عمده ّ‬ ‫در ساختن دانش مورد نظر است‪.‬فعالیت ها شامل مراحلی مانند درک کردن‪ ،‬کشف کردن‪،‬‬ ‫حل مسئله‪ ،‬استدالل کردن‪ ،‬بررسی کردن‪ ،‬حدس و آزمایش‪ ،‬توضیح یک راه حل‪ ،‬مرتب کردن‪،‬‬ ‫مقایسه راه حل های مختلف است‪.‬هدایت فعالیت ها توسط معلّم‬ ‫ٔ‬ ‫درباره یک راه حل و‬ ‫ٔ‬ ‫قضاوت‬ ‫انجام می پذیرد و هرجا که الزم باشد‪ ،‬راهنمایی توسط معلّم ارائه خواهد شد‪.‬در بسیاری موارد‬ ‫انجام فعالیت ساده و آسان نیست و صدالبته اجرای مناسب دارای ارزش زیادی خواهد بود‪.‬این‬ ‫حد متوسط طراحی شدهاند‪.‬معلّم میتواند با توجه به زمان و توانایی دانشآموزانش‬ ‫فعالیتها در ّ‬ ‫ارائه توضیحاتی بیشتر و تغییراتی‪ ،‬فعالیت را ساده تر نماید‪.‬‬ ‫ٔ‬ ‫آنها را غنی تر کند یا با‬ ‫هدایت گفتوگوی کالسی یا گفتمان ریاضی که در آن دانشآموزان‬ ‫ِ‬ ‫هنگام انجام فعالیت‪،‬‬ ‫به ارائهٔ دیدگاه ها و دفاع از اندیشه (ایده)های خود و نیز قضاوت و ارزیابی افکار و روش های‬ ‫‪1‬‬ ‫عهده معلّم است‪.‬به طور خالصه فراهم کردن‬ ‫ٔ‬ ‫ریاضی دیگر دانش آموزان می پردازند‪ ،‬به‬ ‫فرصت های یادگیری و دادن مجال به دانش آموز برای اینکه خود به کشف مفهوم بپردازد‪،‬‬ ‫می تواند یکی از دغدغه های همکاران عزیزمان باشد‪.‬‬ ‫کار در  کالس با هدف تثبیت و تعمیق و در مواردی تعمیم یادگیری طراحی شده است و‬ ‫مصوب فرهنگستان‬ ‫‪١‬ــ ّ‬ ‫  عهده‬ ‫ٔ‬ ‫حل تمرین به‬ ‫انتظار این است که دانش آموزان بیشترین سهم را در حل آن داشته باشند‪ّ.‬‬ ‫دانش آموزان است؛ امّ ا ارائه و بررسی پاسخ های دانش آموزان در کالس ضروری است‪.‬‬ ‫درباره ضرورت آموزش راهبردهای حل مسئله در بین پژوهشگران وآموزشگران تقریب ًا‬ ‫ٔ‬ ‫اتفاق نظر وجود دارد‪.‬با این حال دربارهٔ چگونگی این کار نظرات متفاوتی هست‪.‬در این کتاب‬ ‫آموزش راهبردها از متن درس جدا نشده است‪.‬ضمن ًا اصراری بر ذکر عناوین راهبردها جز‬ ‫موارد مشخص و آشنا نبوده است‪.‬بنابراین سعی شده است که از عبارات و واژه های نامأنوس‬ ‫اجتناب شود‪.‬با آنکه بخش جداگانه ای با عنوان حل مسئله در کتاب وجود ندارد؛ ولی در‬ ‫اکثر فعالیت ها دانش آموزان به نوعی درگیر فرایند حل مسئله می شوند‪.‬عالوه بر این‪ ،‬اساس ًا‬ ‫آموزش راهبردها معمو ًال به زمانی طوالنی نیاز دارد؛ زیرا هر راهبرد خود ممکن است شامل‬ ‫ارائه راه حل ها و روش های مختلف برای یک مسئله نیز به صورت‬ ‫ٔ‬ ‫ده ها راهبرد جزئی تر باشد‪.‬‬ ‫هدفمند دنبال شده است‪.‬پژوهش ها نشان می دهند که دانش آموزان هنگام روبه رو شدن با‬ ‫یک مسئله ــ به ویژه وقتی که الگوریتمی مشخص برای حل آن فرانگرفته باشند ــ به روش های‬ ‫متفاوتی عمل می کنند‪.‬‬ ‫اولیه کتاب‪ ،‬مؤلفان جلسات فشرده ای را برای نقد و اصالح‬ ‫ٔ‬ ‫نسخه‬ ‫ٔ‬ ‫پس از آماده شدن‬ ‫کتاب برگزار کردند و برخی تغییرات و اصالحات را در کتاب اعمال نمودند‪.‬عالوه بر این نظرات‬ ‫مدنظر قرار گرفت‪.‬الزم است مراتب تقدیر‬ ‫اعتباربخشی و نیز نظرات دبیران سراسر کشور نیز ّ‬ ‫اولیه کتاب را مطالعه کرده اند و نظرات و بررسی ها‬ ‫ٔ‬ ‫نسخه‬ ‫ٔ‬ ‫و تشکر خود را از تمام همکارانی که‬ ‫و پیشنهادهای خود را به واحد تحقیق‪ ،‬توسعه و آموزش ریاضی ارسال کرده اند‪ ،‬اعالم کنیم‪.‬‬ ‫ده ها نقد رسیده از سراسر کشور نویدبخش حضور و مشارکت مؤ ثرتر دبیران ریاضی در تألیف‬ ‫کتابهای درسی است‪.‬گفتنی است مشاورانی علمی از مراکز آموزشی و پژوهشی و دانشگاه ها‬ ‫نیز بخش هایی محدود از کتاب را مطالعه و مورد نقد قرار دادند که جا دارد از آنها قدردانی شود‪.‬‬ ‫واحد تحقیق‪ ،‬توسعه و آموزش ریاضی آمادگی دریافت نظرات و دیدگاه های تمامی همکاران و‬ ‫عزیزان را از طریق وبگاه واحد‪ 1‬دارد‪.‬به عالوه بسیاری از مطالب مربوط به پشتیبانی کتاب از‬ ‫طریق وبگاه واحد قابل دریافت است‪.‬اطمینان داریم که با اتکال به خدای متعال‪ ،‬تنها با تالش‪،‬‬ ‫اراده و همت معلّمان عزیز می توان به برآورده شدن اهداف کتاب امیدوار بود‪.‬‬ ‫‪www.mathrde.ir‬ــ‪١‬‬ ‫‪...............................................................................................................................................................................................................................‬‬ ‫‪.....................................................................................................................................................‬‬ ‫‪.....................................................................................................................................................‬‬ ‫‪.....................................................................................................................................................‬‬ ‫‪.....................................................................................................................................................‬‬ ‫‪.....................................................................................................................................................‬‬ ‫‪.....................................................................................................................................................‬‬ ‫ف‬ ‫‪.....................................................................................................................................................‬‬ ‫‪.....................................................................................................................................................‬‬ ‫ ‬ ‫‪.....................................................................................................................................................‬‬ ‫ص‬ ‫مجموعه ها‬ ‫‪.....................................................................................................................................................‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪.....................................................................................................................................................‬‬ ‫ل‬ ‫‪.....................................................................................................................................................‬‬ ‫‪.....................................................................................................................................................‬‬ ‫‪.....................................................................................................................................................‬‬ ‫‪.....................................................................................................................................................‬‬ ‫‪.....................................................................................................................................................‬‬ ‫‪.....................................................................................................................................................‬‬ ‫‪.....................................................................................................................................................‬‬ ‫‪.....................................................................................................................................................‬‬ ‫‪.....................................................................................................................................................‬‬ ‫‪...........................................................................‬‬ ‫َو ُه َو الَّذی َج َع َل لَکُم ال ُّنجو َم لِتَهتَدوا ِب ٰها فی ظُل ِ‬ ‫ُامت ال َبـ ّرِ َو ال َبح ِر ……‬ ‫(خداوند) کسی است که ستارگان را برای شما قرار داد‪ ،‬تا در‬ ‫ٰ‬ ‫او‬ ‫تاریکی های خشکی و دریا‪ ،‬به وسیلۀ آنها راه یابید‪...‬‬ ‫(سور ٔه انعام‪ ،‬آی ٔه ‪)٩٧‬‬ ‫سیاره هایی که‬‫منظومۀ شمسی مجموعه ای است شامل ستارۀ خورشید و ّ‬ ‫خاصی در حال چرخش هستند‪.‬البته ستاره هایی با بزرگی‬ ‫ّ‬ ‫روی مدارهای‬ ‫چندهزار برابر خورشید هم وجود دارند که اگر این ستاره ها به اندازۀ‬ ‫خورشید به زمنی نزدیک بودند‪ ،‬متام آسمان ما را می پوشاندند‪.‬‬ ‫‪1‬‬  ‫درس ا ّول‪ :‬معرفی مجموعه‬ ‫فعالیت‬ ‫‪1‬‬ ‫‪60‬‬ ‫در شکل روبه رو شمارنده های طبیعی عدد ‪ ٦٠‬را نوشته ایم و بین‬ ‫‪15‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2 5‬‬ ‫آنها شمارنده های ّاول را مشخص کرده ایم‪.‬شما هم شمارنده های ‪ ٦٠‬را‬ ‫که ّاول نیستند‪ ،‬در یک منحنی بسته قرار دهید‪.‬‬ ‫‪30‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪20‬‬ ‫اگر شمارنده های طبیعی و ّاو ِل عدد ‪ ٦٠‬یعنی ‪ ٣ ،٢‬و ‪ ٥‬را در داخل‬ ‫‪10‬‬ ‫‪6‬‬ ‫دو آکالد قرار دهیم و آن را با حروفی چون ‪ A‬یا ‪ B‬یا … نام گذاری کنیم و بنویسیم }‪A = {2,3,5‬؛‬ ‫مجموعه ‪A‬‬ ‫ٔ‬ ‫در این صورت یک مجموعه تشکیل داده ایم و به هریک از عددهای ‪ ٣ ، ٢‬و ‪ ٥‬یک عضو‬ ‫مجموعه ‪ A‬دارای ‪ ٣‬عضو است‪.‬‬‫ٔ‬ ‫می گوییم؛ پس‬ ‫٭ شما شمارنده های مرکب عدد ‪ ٦٠‬را به صورت یک مجموعه بنویسید و آن را ‪ B‬بنامید‪.‬‬ ‫مجموعه شامل شمارنده های عدد ‪ ٦٠‬که نه ّاول باشند‪ ،‬و نه مرکب‪ ،‬چند عضو دارد؟ این‬‫ٔ‬ ‫٭‬ ‫مجموعه را نیز ‪ C‬بنامید و آن را نمایش دهید‪.‬‬ ‫همه شمارنده های دورقمی ‪ ٦٠‬را تشکیل دهید؛ این مجموعه چند عضو‬ ‫مجموعه ‪ D‬شامل ٔ‬‫ٔ‬ ‫٭‬ ‫دارد؟‬ ‫شمارنده زوج عدد ‪ 60‬را تشکیل دهند‪.‬احمد‬ ‫ٔ‬ ‫مجموعه شامل ‪3‬‬ ‫ٔ‬ ‫از رضا و احمد خواسته شد تا‬ ‫نوشت‪ }4,6,10{ :‬و رضا نوشت‪ }6,10,12{ :‬به نظر شما چرا جواب های آنها با هم فرق دارد؟‬ ‫مجموعه معین و یکتا نباشد‪،‬‬ ‫ٔ‬ ‫کننده یک‬ ‫ٔ‬ ‫نتیجه‪ :‬عبارت هایی شبیه این عبارت‪ ،‬که مشخص‬ ‫مجموعه ای را مشخص نمی کند‪.‬‬ ‫در نمایش مجموعه ها‪ ،‬ترتیب نوشتن عضوهای مجموعه‪ ،‬مهم نیست و با جابه جایی‬ ‫مجموعه جدیدی ساخته نمی شود؛ همچنین با تکرار عضوهای یک‬ ‫ٔ‬ ‫عضوهای یک مجموعه‪،‬‬ ‫مجموعه جدیدی ساخته نمی شود؛ بنابراین به جای {‪ }3,3,4‬می نویسیم {‪.}3,4‬‬ ‫ٔ‬ ‫مجموعه‪،‬‬ ‫معرفی مجموعه‬ ‫ما‪ ،‬در زندگی روزمره در صحبت ها و نوشته هایمان از واژه هایی مانند دسته‪ ،‬گروه و مجموعه‬ ‫استفاده میکنیم؛ برای مثال وقتی میگوییم «گروهی از ورزشکاران وارد ورزشگاه شدند»‪ ،‬نام ورزشکاران‬ ‫را مشخص نکرده ایم‪ ،‬درحالی که ما از مجموعه در ریاضی برای بیان و نمایش دسته ای از اشیای‬ ‫مشخص (عضویت این اشیا در مجموعه کامالً معین باشد) و متمایز (غیرتکراری) استفاده میکنیم‪.‬‬ ‫‪2‬‬  ‫فعالیت‬ ‫مجموعه مورد نظر را نمایش دهید‪.‬‬ ‫ٔ‬ ‫کننده یک مجموعه است؟‬ ‫‪١‬ــ کدامیک از عبارتهای زیر مشخص ٔ‬ ‫الف) عددهای طبیعی و یک رقمی ب) چهار شاعر ایرانی ج) دو عدد ّاو ِل کوچک تر از ‪12‬‬ ‫‪٢‬ــ با توجه به شرط متمایز بودن عضوهای یک مجموعه‪ ،‬جاهای خالی را پرکنید‪:‬‬ ‫الف) به جای }‪ A = {١,2,1,4,5‬باید بنویسیم }__ ‪A = {__, __, __,‬‬ ‫بودن عدد ____ در }‪ B = {٥,٦,5,7‬آن را به صورت ________‬ ‫ب) به دلیل تکراری ِ‬ ‫می نویسیم‪.‬‬ ‫مجموعه ‪ A‬را به صورت }‪ A = {a,b,5,7‬درنظر بگیریم‪ ،‬برای نشان دادن‬ ‫ٔ‬ ‫اگر‬ ‫مجموعه ‪ A‬است‪ ،‬می نویسیم ‪ a ∈ A‬و می خوانیم «‪ِ a‬‬ ‫عضو ‪ A‬است»‬ ‫ٔ‬ ‫اینکه ‪ a‬عضوی از‬ ‫و چون عدد ‪ ٤‬عضو ‪ A‬نیست‪ ،‬می نویسیم ‪ 4 ∉ A‬و می خوانیم «‪ ٤‬عضو ‪ A‬نیست»‪.‬‬ ‫‪A‬‬ ‫نمایش مجموعه ها با استفاده از نمودار ِون‪ :‬مجموعه را می توان با‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫شکسته بسته نمایش داد؛ به عنوان مثال‪ ،‬نمایش‬ ‫ٔ‬ ‫استفاده از منحنی ها یا خط های‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫مجموعه }‪ A = {١,2,٣,4‬با استفاده از نمودار ِون به صورت مقابل است‪.‬‬ ‫ٔ‬ ‫فعالیت‬ ‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪b‬‬ ‫مجموعه ‪ A‬و ‪ B‬رسم‬ ‫ٔ‬ ‫‪1‬ــ با توجه به نمودار ِون‪ ،‬که برای دو‬ ‫‪a‬‬ ‫‪s f‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪k‬‬ ‫شده است‪ ،‬مجموعه های ‪ A‬و ‪ B‬را با عضوهایشان مشخص کنید‪.‬‬ ‫‪n‬‬ ‫مجموعه }‪ A = {١,2,٣,4,٥,٦‬و }‪ B = {٥,٦,٧,٨‬را درنظر بگیرید‪:‬‬ ‫ٔ‬ ‫‪2‬ــ دو‬ ‫دو مجموعه را با یک نمودار ِون نمایش دهید‪.‬کدام عددها هم در منحنی ٔ‬ ‫بسته مربوط به ‪ A‬و‬ ‫بسته ‪ B‬وجود دارد؟‬ ‫هم در منحنی ٔ‬ ‫زوج ّاول را بنویسید و آن را ‪ E‬بنامید‪.‬این مجموعه چند‬ ‫مجموعه عددهای دو رقمی و ِ‬ ‫ٔ‬ ‫‪٣‬ــ‬ ‫عضو دارد؟‬ ‫‪3‬‬  ‫مجموعه تُهی می نامیم و‬ ‫ٔ‬ ‫«اگر در مجموعه ای عضوی وجود نداشته باشد‪ ،‬آن را‬ ‫مجموعه {∅} یا {‪}0‬‬ ‫ٔ‬ ‫با نماد ∅ یا {} نمایش می دهیم‪ ».‬توجه شود که این مجموعه با‬ ‫که هر کدام دارای یک عضو هستند‪ ،‬یکی نیست‪.‬‬ ‫مجموعه تهی را مشخص می کند؟‬ ‫ٔ‬ ‫‪٤‬ــ کدام یک از عبارت های زیر‪،‬‬ ‫ب) عددهای صحیح بین ‪ -١‬و ‪١‬‬ ‫الف) عددهای طبیعی بین ‪ ٥‬و ‪٦‬‬ ‫د) عددهای طبیعی یک رقمی و مضرب ‪ ٣‬که ّاول باشد‪.‬‬ ‫ج) عددهای ّاول و زوج‬ ‫کار در کالس‬ ‫مجموعه تهی باشد؛ سپس عبارت های خود را با‬ ‫ٔ‬ ‫دهنده‬ ‫ٔ‬ ‫‪١‬ــ سه عبارت بنویسید که هرکدام نشان‬ ‫نوشته های هم کالسی های خود مقایسه کنید‪.‬‬ ‫کننده مجموعه ای فقط با یک عضو باشد‪.‬‬ ‫‪٢‬ــ سه عبارت بنویسید که هرکدام مشخص ٔ‬ ‫‪٣‬ــ عبارت هایی که مجموعه ای را مشخص می کند‪ ،‬با عالمت ‪ ‬و بقیه را با عالمت × مشخص‬ ‫کنید (با ذکر دلیل)‪.‬‬ ‫   ب) سه عدد طبیعی زوج متوالی با شروع از ‪٢‬‬ ‫الف) چهار عدد فرد متوالی‬ ‫هـ) شمارندههای عدد ‪24‬‬ ‫ج) عددهای ّاو ِل کوچک تر از ‪ ٢٠‬د) سه شهر ایران‬ ‫ ز) عددهای طبیعی بین ‪ ٢‬و ‪٣‬‬ ‫و) ‪ ٥‬عدد بزرگ‬ ‫‪  4‬ــ مانند نمونه کامل کنید‪:‬‬ ‫مجموعه حروف الفبای فارسی { ی‪ ،… ،‬پ‪ ،‬ب‪ ،‬الف} = ‪A‬‬ ‫ٔ‬ ‫}…‪B = {4,8,12,‬‬ ‫}‪{3,4,5,6,7,8,9‬‬ ‫مجموعه حروف ‪ a‬و ‪ b‬و عدد ‪C :٣‬‬ ‫ٔ‬ ‫مجموعه عددهای صحیح بین ‪ -٢‬و ‪-٣‬‬ ‫ٔ‬ ‫}‪D = {5‬‬ ‫مجموعه مضرب های طبیعی عدد ‪٤‬‬ ‫ٔ‬ ‫‪B‬‬ ‫} {= ‪E‬‬ ‫مجموعه عددهای ّاول یک رقمی‬ ‫ٔ‬ ‫}‪F= {2,4,6,8‬‬ ‫مجموعه مضرب های ّاول عدد ‪٥‬‬ ‫ٔ‬ ‫مجموعه عددهای طبیعی بین ‪ ٢‬و ‪G:١٠‬‬ ‫ٔ‬ ‫}‪{3,a,b‬‬ ‫}‪H={2,3,5,7‬‬ ‫}‪{6,4,2,8‬‬ ‫‪4‬‬  ‫کننده یک مجموعه است؟ با نمودار ِون نشان دهید‪:‬‬ ‫‪5‬ــ کدامیک از عبارتهای زیر مشخص ٔ‬ ‫الف) عددهای صحیح مثبت و کمتر از ‪١٠‬‬ ‫ب) شمارنده های ّاو ِل عدد ‪١٩‬‬ ‫ج) عددهایی که شش وجه یک تاس معمولی را مشخص می کند‪.‬‬ ‫معادله ‪2x+8=1‬‬ ‫ٔ‬ ‫د) جواب های‬ ‫میوه خوشمزه‬ ‫هــ) چهار ٔ‬ ‫صحیح منفی و بزرگ تر از ‪-٨‬‬ ‫ِ‬ ‫و) عددهای‬ ‫تمرین‬ ‫‪١‬ــ متناظر با هر عبارت‪ ،‬یک مجموعه و متناظر با هر مجموعه‪ ،‬یک عبارت بنویسید و تعداد‬ ‫عضوهای هر مجموعه را تعیین کنید‪:‬‬ ‫ ‬ ‫الف) }‪A = {1,8,27,64,125‬‬ ‫ ‬ ‫ب) }‪C = {10‬‬ ‫طبیعی مضرب ‪ 5‬و کوچک تر از ‪١٠٠‬‬‫ِ‬ ‫ج) عددهای‬ ‫د) عددهای طبیعی بزرگ تر از ‪ ٤‬و کوچک تر از ‪٥‬‬ ‫هـ) عددهای صحیح منفی که بین ‪ ٤‬و ‪ ٧‬قرار دارد‪.‬‬ ‫و) عددهای ّاول دورقمی که مضرب ‪ ٧‬باشد‪.‬‬ ‫‪٢‬ــ جاهای خالی را طوری کامل کنید تا عبارت حاصل‪ ،‬درست باشد‪.‬‬ ‫الف) عبارت «‪ 5‬عدد طبیعی که بین ‪ 1‬و ‪ 20‬قرار داشته باشد»‪ ،‬یک مجموعه را مشخص _______   ‪.‬‬ ‫مجموعه }‪ {2,3,4,...,9‬دارای ________ عضو است‪.‬‬ ‫ٔ‬ ‫ب)‬ ‫مجموعه }∅ ‪ A = {0,‬دارای ________ عضو است‪.‬‬ ‫ٔ‬ ‫ج)‬ ‫مجموعه }‪ A = {3,5,7,9,11‬؛ داریم‪ ٥ :‬عضو ‪ A‬است یا با نماد ریاضی‪_______ ،‬‬ ‫ٔ‬ ‫د) با توجه به‬ ‫و ‪ ١٢‬عضو ‪ A‬نیست یا با نماد ریاضی‪.  ________ ،‬‬ ‫مجموعه متفاوت بنویسید که عدد ‪ 2‬عضو آنها باشد‪.‬‬ ‫ٔ‬ ‫‪3‬ــ سه‬ ‫‪5‬‬  ‫درس دوم‪ :‬مجموعه های برابر و منایش مجموعه ها‬ ‫دو مجموعۀ برابر‬ ‫فعالیت‬ ‫صحیح روبهرو را طوری کامل کنید که مجموع‬ ‫‪١‬ــ جدول عددهای‬ ‫‪10‬‬ ‫‪12‬‬ ‫ِ‬ ‫مجموعه‬ ‫ٔ‬ ‫عددهای روی هر سطر‪ ،‬هر ستون و هر ِ‬ ‫قطر آن برابر ‪ ١٢‬شود؛ سپس‬ ‫‪−4‬‬ ‫‪−2‬‬ ‫عددهای سطر دوم جدول را بنویسید و آن را ‪ A‬بنامید‪.‬‬ ‫مجموعه ‪ B‬را چنان بنویسید که شامل سه عدد زوج متوالی و میانگین عضوهای آن با ‪٤‬‬ ‫ٔ‬ ‫اکنون‬ ‫برابر باشد‪.‬هریک از مجموعه های ‪ A‬و ‪ B‬چند عضو دارد؟‬ ‫مجموعه ‪ A‬است؟‬ ‫ٔ‬ ‫مجموعه ‪ B‬است؟ آیا هر عضو ‪ B‬در‬ ‫ٔ‬ ‫آیا هر عضو ‪ A‬در‬ ‫مجموعه ‪ A‬و ‪ B‬یکسان اند و هر عضو‬ ‫ٔ‬ ‫همان طور که مالحظه کردید‪ ،‬عضوهای دو‬ ‫مجموعه ‪ A‬و‬ ‫ٔ‬ ‫‪ ،A‬عضوی از ‪ B‬و هر عضو ‪ ،B‬عضوی از ‪ A‬است؛ در این صورت دو‬ ‫‪ B‬برابراند و می نویسیم ‪. A = B‬‬ ‫مجموعه ‪ A‬شامل سه عدد طبیعی متوالی است بهطوری که حاصل جمع آنها برابر ‪ ٢٧‬است‪.‬ابتدا‬ ‫ٔ‬ ‫‪٢‬ــ‬ ‫‪ A‬را با عضوهای آن بنویسید؛ سپس مجموعههایی را مشخص کنید که در زیر معرفی شده و با ‪ A‬برابر است ‪:‬‬ ‫مجموعه عددهای طبیعی بین ‪ ٦‬و ‪١٠‬‬ ‫ٔ‬ ‫الف)‬ ‫مجموعه عددهای طبیعی بزرگ تر از ‪ ٧‬و کوچک تر از ‪١١‬‬ ‫ٔ‬ ‫ب)‬ ‫مجموعه سه عدد طبیعی متوالی که میانگین آنها با ‪ ٩‬برابر است‪.‬‬ ‫ٔ‬ ‫ج)‬ ‫همه عضوهایشان‬‫مجموعه }‪ {8,9,10‬با مجموعه }‪ {7,8,9‬برابر نیست؛ زیرا ٔ‬‫ٔ‬ ‫همانطور که دیدید‪،‬‬ ‫یکسان نیست‪.‬‬ ‫اگر عضوی در ‪ A‬باشد که در ‪ B‬نباشد یا عضوی در ‪ B‬باشد که عضو ‪ A‬نباشد‪ ،‬در این صورت‬ ‫مجموعه ‪ A‬با ‪ B‬برابر نیست و می نویسیم ‪.A ≠ B‬‬ ‫ٔ‬ ‫کار در کالس‬ ‫‪١‬ــ جاهای خالی را در مجموعه های زیر طوری پرکنید که مجموعه ها برابر باشد‪:‬‬ ‫__ ‪ __ 2 9   2 − 144‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪5, , , 4,  =  , 3,‬‬ ‫الف) ‪, , 25 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪5 3   5‬‬ ‫)‪(−2‬‬‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪6‬‬  ‫‪‬‬ ‫‪  2 2‬‬ ‫‪, − , __ , 0 / 625 =  , , −0 / 5 , , __ , − 2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪7 ,‬‬ ‫‪,‬‬ ‫ب)‬ ‫‪ 10‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪  3 5‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪٢‬ــ دو مجموعه به نامهای ‪ A‬و ‪ B‬مانند سؤال باال طرح کنید‪.‬پاسخ خود را با دوستانتان مقایسه کنید‪.‬‬ ‫زیرمجموعه‬ ‫فعالیت‬ ‫‪D‬‬ ‫مجموعه عددهای جدول فعالیت قبل را ‪ D‬بنامید؛ سپس عضوهای‬ ‫ٔ‬ ‫ِ‬ ‫مجموعه ‪ D‬را در نمودار ون روبه رو بنویسید‪:‬‬ ‫ٔ‬ ‫در نمودار باال‪ ،‬عضوهایی را که بر ‪ ٣‬بخشپذیر است‪ ،‬با یک منحنی بسته مشخص کنید و ‪ B‬بنامید‪.‬‬ ‫مجموعه ‪ B‬را بنویسید‪.‬آیا هر عضو ‪ ،B‬عضوی از ‪ D‬نیز هست؟‬ ‫ٔ‬ ‫مجموعه ‪ ،D‬عددهای زوج را مشخص کنید و آن را ‪ C‬بنامید؛ آیا ‪D = C‬؟‬ ‫ٔ‬ ‫در‬ ‫مجموعه ‪ B‬همگی در ‪ D‬هست؛ یعنی هر عضو ‪ ،B‬عضوی از‬ ‫ٔ‬ ‫همان طور که دیدید‪ ،‬عضوهای‬ ‫زیرمجموعه ‪ D‬است و می نویسیم ‪. B ⊆ D‬‬ ‫ٔ‬ ‫مجموعه ‪B‬‬ ‫ٔ‬ ‫‪ D‬است؛ در این صورت‬ ‫زیرمجموعه ‪ D‬است؟‬ ‫ٔ‬ ‫مجموعه ‪C‬‬ ‫ٔ‬ ‫آیا‬ ‫مجموعه خودش‬ ‫ٔ‬ ‫با توجه به تعریف زیر مجموعه‪ ،‬واضح است که هر مجموعه‪ ،‬زیر‬ ‫هست؛ یعنی اگر ‪ A‬مجموعه ای دلخواه باشد‪ ،‬داریم‪.A⊆A :‬‬ ‫اکنون زیرمجموعه ای از ‪ D‬را مشخص کنید که عضوهای آن عددهای فرد باشد؛ نام دیگر این‬ ‫مجموعه چیست؟‬ ‫آیا عبارت ‪ {10,4,-6,2} ⊆ D‬درست است؟ چرا؟‬ ‫زیرمجموعه ‪ A‬نیست و مینویسیم ‪.B ⊆ A‬‬ ‫ٔ‬ ‫اگر بتوانیم عضوی در ‪ B‬بیابیم که در ‪ A‬نباشد‪ ،‬میگوییم ‪B‬‬ ‫مجموعه دلخواهی مانند ‪ A‬نباشد؟‬ ‫ٔ‬ ‫مجموعه تُهی عضوی هست که در‬ ‫ٔ‬ ‫آیا در‬ ‫زیرمجموعه هر مجموعه ای دلخواه مانند ‪ A‬است؛ یعنی؛ ‪.∅⊆A‬‬ ‫ٔ‬ ‫مجموعه تهی‬ ‫ٔ‬ ‫‪7‬‬  ‫مثال‪ :‬دلیل درستی رابطه های زیر مشخص شده است‪.‬‬ ‫مجموعه سمت چپ‪ d ،‬هست که در مجموعه سمت راست‬ ‫ٔ‬ ‫الف) }‪{a,b,d} ⊆ {a,b,c,e‬؛ زیرا در‬ ‫نیست‪.‬‬ ‫مجموعه‬ ‫ٔ‬ ‫مجموعه سمت چپ‪ ،‬عضوی از‬ ‫ٔ‬ ‫ب) }‪{-1,0,1,3} ⊆ {4,3,0,1,-1,2‬؛ زیرا هر عضو‬ ‫‪B‬‬ ‫سمت راست است‪.‬‬ ‫‪A‬‬ ‫همه عضوهای ‪A‬‬ ‫ج) با توجه به شکل مقابل ‪ A ⊆ B‬درست است؛ زیرا ٔ‬ ‫‪2 1‬‬ ‫‪a‬‬ ‫در ‪ B‬قرار دارند و ‪ B ⊆ A‬درست است؛ زیرا عضوی در ‪ B‬مانند ‪ ٢‬می توان‬ ‫‪b‬‬ ‫یافت که در ‪ A‬وجود ندارد‪.‬‬ ‫کار در کالس‬ ‫‪C‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪١‬ــ با توجه به نمودار مقابل‪ ،‬دلیل درستی یا نادرستی عبارت های زیر‬ ‫را مشخص کنید‪:‬‬ ‫‪, C ⊆ A , B⊆A , A ⊆ C‬‬ ‫‪A⊆ B , B ⊆ C , ∅ ⊆ A‬‬ ‫‪٢‬ــ مجموعه های ‪ B، A‬و ‪ C‬را درنظر بگیرید؛ سپس درستی یا نادرستی عبارت های زیر را‬ ‫مشخص کنید (با ذکر دلیل)‪:‬‬ ‫}‪A = {1,3,6,4} , B = {5,1,3} , C = {2, 5,1,3,6‬‬ ‫‪B ⊆ A , 3⊆B , A⊆B , B⊆C , A ⊆ C , 2∈A‬‬ ‫‪{1,4}∈ A , 6 ∉ A , {5,6} ⊆ C , 5 ∈ C‬‬ ‫‪, 0⊆ A‬‬ ‫همه زیرمجموعه های }‪ A = {a,b,c‬در زیر نوشته شده است‪:‬‬ ‫‪3‬ــ ٔ‬ ‫}‪∅, {a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c‬‬ ‫مانند نمونه‪ ،‬تمام زیرمجموعه های هریک از مجموعه های زیر را بنویسید‪:‬‬ ‫ب) }‪{a,b,c,d‬‬ ‫مجموعه عددهای طبیعی بین ‪ ٩‬و ‪.١٢‬‬ ‫ٔ‬ ‫الف)‬ ‫نمایش مجموعه های اعداد‬ ‫در سال های گذشته با عددهای طبیعی آشنا شده اید؛ از این عددها برای شمارش استفاده می کنیم‪.‬‬ ‫‪8‬‬  ‫مجموعه عددهای طبیعی را با ‪ ‬نمایش می دهیم و آن را به صورت زیر می نویسیم‪:‬‬ ‫ٔ‬ ‫}‪ = {1, 2, 3, 4, 5,...‬‬ ‫تاکنون نمایش مجموعه ها را با عضوها و نمودار ِون آموخته اید‪.‬یک روش دیگر برای نمایش‬ ‫مجمـوعه عـددهـای طـبیعی زوج‬ ‫ٔ‬ ‫مجموعـه هـا استفـاده از نـمادهـای ریـاضی است؛ بـرای مـثال‪:‬‬ ‫}‪ E = {2,4,6, 8 ,...‬را درنظر بگیرید‪.‬می دانیم عضوهای این مجموعه خاصیت مشترکی دارد؛ یعنی‬ ‫همگی آنها مضرب ‪ ،٢‬است و از قبل می دانیم که هر عدد زوج طبیعی به صورت ‪ 2k‬قابل نمایش است که‬ ‫}‪E = {2k k ∈ ‬‬ ‫در آن ‪ ، k ∈ ‬پس می نویسیم‪:‬‬ ‫مجموعه عددهای طبیعی‬ ‫ٔ‬ ‫مجموعه عددهایی به شکل ‪ 2k‬به طوری که ‪ k‬متعلق به‬ ‫ٔ‬ ‫و می خوانیم ‪ E‬برابر است با‬ ‫مجموعه ‪ E‬عالمت « » خوانده می شود‪« :‬به طوری که»‪.‬در زیر چند مجموعه را با نمادهای‬ ‫ٔ‬ ‫است‪.‬در‬ ‫ریاضی نوشته ایم‪:‬‬ ‫مجموعه عددهای طبیعی فرد‪O = {2k − 1 k ∈ } :‬‬‫ٔ‬ ‫الف)‬ ‫}‪ A = {x ∈  7 ≤ x ≤ 10‬یا }‪A = {x ∈  6 < x < 11‬‬ ‫ب) }‪A = {7, 8 ,9,10‬‬ ‫ج) زیرمجموعهای از ‪ ‬که عضوهای آن همگی بر ‪ ٣‬بخش پذیر است‪{3k k ∈ } :‬‬ ‫مجموعه }‪ A = {5n + 3 n ∈ ‬را با عضوهایش مشخص کنید‪:‬‬ ‫ٔ‬ ‫مثال‪:‬‬ ‫برای این منظور جدول زیر را کامل کنید و در هر مرحله بهجای ‪ n‬یک عدد طبیعی در ‪ ٥n +3‬قرار دهید‪.‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪...‬‬ ‫‪5n + 3‬‬ ‫‪5(1) + 3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪5(2) + 3‬‬ ‫‪‬‬‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪5(3) + 3‬‬ ‫‪‬‬‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪5(4) + 3‬‬ ‫‪‬‬‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪...‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪18‬‬ ‫‪23‬‬ ‫‪W‬‬ ‫بنابراین داریم‪A = {8 , 13 , 18 , 23 , 28 , 33 , 38 ,...} :‬‬ ‫‪‬‬ ‫مجموعه عددهای حسابی را با ‪ W‬نمایش می دهند‪W = {0,1,2,3,...} :‬‬ ‫ٔ‬ ‫مجمـوعـه عـددهـای حسابـی را مـی تـوان با نـمادهـای ریاضی بـه صـورت‬ ‫ٔ‬ ‫‪⊆W‬‬ ‫}‪ W = {k − 1 k ∈ ‬نوشت‪.‬‬ ‫‪z‬‬ ‫هر عدد طبیعی یک عدد حسابی است؛ یعنی ‪ ⊆ W‬‬ ‫‪W‬‬ ‫‪‬‬ ‫مـجـمـوعـه عددهای صحیـح را بــا ‪ ‬نـمـایش مـی دهـیـم‪:‬‬ ‫ٔ‬ ‫‪ = {..., −3, −2, −101‬‬ ‫}‪, , , 2, 3,...‬‬ ‫همه عددهایطبیعیوحسابی‪،‬عضو ‪ ‬همهستند؛پس‪ ⊆ W ⊆  :‬‬ ‫ٔ‬ ‫‪9‬‬  ‫کار در کالس‬ ‫مجموعه های زیر را با عضوها مشخص کنید‪:‬‬ ‫}‪A = {x | x ∈  , − 5 ≤ x < 5‬‬ ‫ب)‬ ‫مجموعه عددهای صحیح فرد‬ ‫ٔ‬ ‫الف)‬ ‫ج) }‪B = {3 k + 2 k ∈ ‬‬ ‫مجموعه عددهای گویا را با ‪ Q‬نمایش می دهیم‪.‬چون ّاولین عدد گویای بزرگ تر از هر عدد گویا‬ ‫مجموعه عددهای‬ ‫ٔ‬ ‫مشخص نیست‪ ،‬نمی توان این مجموعه را با عضوها مشخص کرد؛ به همین دلیل‬ ‫‪a‬‬ ‫‪‬‬ ‫گویا را با نمادهای ریاضی تعریف می کنیم‪Q =  a, b ∈ , b ≠ 0 :‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪‬‬ ‫توجه کنید که هر عدد صحیح‪ ،‬عددی گویا است؛ یعنی برای هر عدد صحیح ‪ a‬داریم‪، a = :‬‬ ‫‪1‬‬ ‫درنتیجه ‪.  ⊆ Q‬‬ ‫تمرین‬ ‫مجموعه }‪ A = {-2,-1,0,1,2‬را درنظر بگیرید‪.‬کدام یک از مجموعه های زیر با هم‬ ‫ٔ‬ ‫‪١‬ــ‬ ‫برابر است؟‬ ‫}‪B = {x| x∈A , x2 ≤ 2} , C = {x| x∈A, -1 ≤ x ≤ 1} , D = {x| x∈A , x4 = 1‬‬ ‫‪2‬ــ سه مجموعه مانند ‪ B ، A‬و ‪ C‬بنویسید؛ به طوری که ‪ A ⊆ B‬و ‪.B ⊆ C‬آیا می توان نتیجه‬ ‫گرفت ‪A ⊆ C‬؟‬ ‫‪٣‬ــ تمام زیرمجموعه های هریک از مجموعه های زیر را بنویسید‪:‬‬ ‫ب) }‪B = {2x | x = 0,2,3‬‬ ‫الف) }‪A = {x | x ∈ , 2x + 1 = 3‬‬ ‫‪٤‬ــ نمودار روبه رو‪ ،‬وضعیت مجموعه های ‪  ،W،Q‬و ‪‬‬ ‫‪W‬‬ ‫را نسبت به هم نشان می دهد؛ آنها را نام گذاری و با عالمت ⊇ باهم‬ ‫مقایسه کنید‪.‬‬ ‫‪٥‬ــ درستی یا نادرستی عبارتهای زیر را با ذکر دلیل مشخص‬ ‫کنید‪:‬‬ ‫ب) هر عدد حسابی عددی گویاست‪.‬‬ ‫الف) هر عدد گویا عددی حسابی است‪.‬‬ ‫د) بعضی از عددهای گویا‪ ،‬عدد صحیح اند‪.‬‬ ‫ج) هر عدد صحیح عددی گویاست‪.‬‬ ‫‪10‬‬  ‫درس سوم‪ :‬اجتماع‪ ،‬اشتراک و تفاضلِ مجموعه ها‬ ‫فعالیت‬ ‫‪١‬ــ در کالس درس‪ ،‬علی و رضا عضو هر دو تیم والیبال و فوتبال هستند‪.‬سامان‪ ،‬احسان‪،‬‬ ‫محمد‪ ،‬حسن‪ ،‬کیوان و سبحان فقط در تیم فوتبال بازی می کنند‪.‬‬ ‫فرشید و حسین فقط در تیم والیبال و ّ‬ ‫مجموعه دانش آموزان عضو تیم والیبال را با ‪ V‬و فوتبال را با ‪ F‬نشان دهیم‪ ،‬این‬ ‫ٔ‬ ‫الف) اگر‬ ‫مجموعه ها را با نمودار ِون نمایش دهید و سپس با عضوهایشان بنویسید‪.‬‬ ‫مجموعه دانش آموزانی را که در هر دو تیم عضویت دارند‪ ،‬بنویسید‪.‬‬ ‫ٔ‬ ‫ب)‬ ‫مجموعه دانشآموزانی را که حداقل در یکی از این دو تیم عضویت دارند‪ ،‬بنویسید‪.‬‬ ‫ٔ‬ ‫ج)‬ ‫مجموعه }‪ A = {x ∈  | x ≤ 6‬و }‪ B = {x ∈  | −2 ≤ x ≤ 3‬را درنظر بگیرید و‬ ‫ٔ‬ ‫‪٢‬ــ دو‬ ‫مجموعه های زیر را با عضوهایشان تشکیل دهید‪:‬‬ ‫{ = ‪( A‬الف‬ ‫}‬ ‫{ = ‪( B‬ب‬ ‫}‬ ‫مجموعه ‪ A‬و ‪ B‬هست (ج‬ ‫ٔ‬ ‫مجموعه عددهایی که در هر دو‬ ‫ٔ‬ ‫{=‬ ‫}‬ ‫(این مجموعه را اشتراک ‪ A‬و ‪ B‬می نامیم و با نماد ‪ A∩B‬نشان می دهیم)‪.‬‬ ‫مجموعه ‪ A‬و ‪ B‬هست (د‬ ‫ٔ‬ ‫مجموعه عددهایی که حداقل در یکی از دو‬ ‫ٔ‬ ‫{=‬ ‫}‬ ‫(این مجموعه را اجتماع ‪ A‬و ‪ B‬می نامیم و با نماد ‪ A  B‬نشان می دهیم)‪.‬‬ ‫مجموعه ‪ A‬و ‪ ،B‬مجموعه ای ِ‬ ‫شامل‬ ‫ٔ‬ ‫اشتراک دو مجموعه‪ :‬اشتراک دو‬ ‫مجموعه ‪ A‬و هم عضو‬ ‫ٔ‬ ‫همه عضوهایی است که هم عضو‬ ‫ٔ‬ ‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫مجموعه ‪ B‬است‪.‬این مجموعه را با نماد ‪ A∩B‬نشان‬ ‫ٔ‬ ‫می دهیم‪.‬در نمودار روبه رو قسمت هاشور خورده اشتراک‬ ‫دو مجموعه را نشان می دهد‪.‬‬ ‫‪AABB=={{xx| x| x∈∈A,‬‬ ‫}}‪xx∈∈BB‬و‬ ‫‪A,‬‬ ‫‪AB‬‬ ‫مجموعه ‪ A‬و ‪،B‬‬ ‫ٔ‬ ‫اجتماع دو مجموعه‪ :‬اجتماع دو‬ ‫همه عضوهایی که حداقل در یکی‬ ‫مجموعه ای است شامل ٔ‬ ‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫مجموعه ‪ A‬و ‪ B‬باشد‪.‬این مجموعه را با نماد ‪A  B‬‬ ‫ٔ‬ ‫از دو‬ ‫نشان می دهیم‪.‬در نمودار‪ ،‬قسمت هاشور خورده‪ ،‬اجتماع‬ ‫دو مجموعه را نشان می دهد‪.‬‬ ‫‪A B‬‬ ‫‪‬‬ ‫}‪ x ∈ B‬یا ‪A  B = {x | x ∈ A‬‬ ‫‪11‬‬  ‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫مثال‪ :‬با توجه به نمودار زیر ابتدا مجموعه های ‪ A‬و ‪ B‬را با‬ ‫‪2‬‬ ‫عضوهایشان می نویسیم و سپس ‪ A∩B‬و ‪ A  B‬را تشکیل می دهیم‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪6‬‬ ‫}‪ B = {3, 4, 5, 6, 7‬و }‪A = {1, 2, 3, 4, 5, 8‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪7‬‬ ‫}‪A  B = {3, 4, 5‬‬ ‫‪,‬‬ ‫}‪A  B = {1, 2, 3, 4, 5, 8, 6, 7‬‬ ‫فعالیت‬ ‫مجموعه }‪ A  B = {a, b,c,d,e‬و }‪ A  B = {b,e‬را درنظر بگیرید‪.‬از دانشآموزان‬ ‫ٔ‬ ‫‪١‬ــ دو‬ ‫یک کالس خواسته شده است که با توجه به این دو مجموعه‪ ،‬مجموعههای ‪ A‬و ‪ B‬را با نمودار ِون نمایش‬ ‫دهند‪.‬پاسخ چهار دانش ِ‬ ‫آموز این کالس را در زیر میبینید‪:‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫درباره درستی یا نادرستی پاسخ این دانش آموزان بحث‬ ‫ٔ‬ ‫الف)‬ ‫‪a‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪c‬‬ ‫کنید و برای درستی یا نادرستی آنها دلیل بیاورید‪.‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪d‬‬ ‫پاسخ حمیده‬ ‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪d‬‬ ‫پاسخ ریحانه‬ ‫پاسخ زهرا‬ ‫پاسخ حنانه‬ ‫ب) آیا شما هم می توانید جواب درست دیگری به این سؤال بدهید؟ پاسخ خود را با پاسخ‬ ‫هم کالسی های خود مقایسه کنید‪.‬‬ ‫‪٢‬ــ با توجه به ّاولین فعالیت این درس و ورزشکاران دو تیم والیبال و فوتبال مجموعه ای تشکیل‬ ‫دهید که هر عضو آن عضو تیم والیبال باشد‪ ،‬ولی عضو تیم فوتبال نباشد (فقط در تیم والیبال بازی‬ ‫کند)‪.‬این مجموعه را «‪ V‬منهای ‪ »F‬می نامیم و با نماد ‪ V - F‬نمایش می دهیم‪:‬‬ ‫{= ‪V − F‬‬ ‫}‬ ‫{= ‪F− V‬‬ ‫}‬ ‫‪12‬‬  ‫مجموعه ‪ A( A - B‬منهای ‪ )B‬مجموعه ای است شامل‬ ‫ٔ‬ ‫تفاضل دو مجموعه‪:‬‬ ‫مجموعه ‪ B‬نیستند‪.‬در شکل زیر‬ ‫ٔ‬ ‫مجموعه ‪ A‬هستند؛ ولی عضو‬ ‫ٔ‬ ‫همه عضوهایی که عضو‬ ‫ٔ‬ ‫مجموعه های ‪ A - B‬و ‪ B - A‬هاشور خورده است‪:‬‬ ‫}‪A − B = {x | x ∈ A, x ∉ B‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪A−B‬‬ ‫‪B−A‬‬ ‫در این صورت‪:‬‬ ‫}‪B = {c,d, k,f ,s, t‬‬ ‫و‬ ‫}‪A = {a, b,c,d,e, k‬‬ ‫مثال‪ :‬اگر‬ ‫}‪A − B = {a, b,e‬‬ ‫و‬ ‫}‪B − A = {f ,s, t‬‬ ‫کار در کالس‬ ‫‪C‬‬ ‫‪١‬ــ با توجه به نمودار زیر کدام عبارت‪ ،‬درست و کدام نادرست‬ ‫‪A‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪B‬‬ ‫است؟‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪( A ⊆ C‬الف‬ ‫‪( B ⊆ C‬ب‬ ‫)‪( C ⊆ (A  B‬ج‬ ‫‪2‬‬ ‫‪( (A  B) ⊆ C‬د‬ ‫)‪( 4 ∉ (A ∩ B‬و )‪( 2 ∈ (A  B‬هـ‬ ‫‪( A  B = A‬ز‬ ‫)‪( 4 ∈ (A  B‬ط )‪( 5 ∈ (A  B‬ح‬ ‫مجموعه شمارنده های طبیعی عدد ‪ ١٨‬را ‪B‬‬ ‫ٔ‬ ‫مجموعه شمارنده های طبیعی عدد ‪ ١٢‬را ‪ A‬و‬ ‫ٔ‬ ‫‪٢‬ــ‬ ‫بنامید‪.‬ابتدا ‪ A‬و ‪ B‬را تشکیل و سپس به سؤاالت زیر پاسخ دهید‪:‬‬ ‫شمارنده ‪ ١٢‬نباشد‪.‬‬ ‫ٔ‬ ‫شمارنده ‪ ١٨‬باشد؛ ولی‬ ‫ٔ‬ ‫الف) مجموعهای تشکیل دهید که هر عضو آن‪،‬‬ ‫شمارنده ‪ ١٨‬باشد‪.‬‬ ‫ٔ‬ ‫شمارنده ‪ ١٢‬و هم‬ ‫ٔ‬ ‫ب) مجموعهای تشکیل دهید که عضوهای آن‪ ،‬هم‬ ‫‪٣‬ــ مجموعه های ( ‪ )  -  ( ،)  - ‬و ( ‪ )W - ‬را تشکیل دهید‪.‬‬ ‫قرارداد‪ :‬تعداد عضوهای هر مجموعه مانند ‪ A‬را با (‪ n)A‬نمایش می دهیم؛ به‬ ‫عنوان مثال‪ ،‬اگر ‪ A‬مجموعه ای ‪ k‬عضوی باشد‪ ،‬می نویسیم ‪.n(A) = k‬‬ ‫در این صورت ‪.n(A) = 4‬‬ ‫}‪A = {2, 4, 6, 7‬‬ ‫مثال ً اگر‬ ‫‪13‬‬  ‫تمرین‬ ‫‪ C = {1, 7,1011‬را در نظر‬ ‫‪١‬ــ مجموعه های }‪ A = {2, 4, 6, 8, 9‬و }‪ B = {1, 5, 7, 3, 9‬و } ‪,‬‬ ‫بگیرید؛ سپس هریک از مجموعه های زیر را با عضوهایشان مشخص کنید‪:‬‬ ‫‪( A  B‬الف‬ ‫‪( B  C‬ب‬ ‫‪( A  C‬ج‬ ‫‪( A ∩ B‬د‬ ‫‪( A - B‬هـ‬ ‫‪( C - B‬و‬ ‫)‪ ((A - C)  (B - C‬ز‬ ‫‪ ((A  B) - C‬ح‬ ‫‪( A∩A‬ط‬ ‫∅∩‪( A‬ی‬ ‫‪( B  B‬ک‬ ‫∅ ‪  ( C ‬ل‬ ‫‪٢‬ــ با توجه به نمودار زیر‪ ،‬عبارت های درست را با ‪ ‬و گزاره های نادرست را با × مشخص‬ ‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫کنید‪:‬‬ ‫ب) ‪(A - B)  (A ∩ B) = A‬‬ ‫الف) }‪B-A={6,7‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ج) }‪(A − B)  (B − A) = {1, 2, 6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪7‬‬ ‫د) ‪n (A  B) = 8‬‬ ‫هـ) ‪ A - B = B - A‬و) )‪n (A - B) = n (B - A‬‬ ‫شده زیر را در جاهای خالی قرار دهید‪:‬‬ ‫‪٣‬ــ کلمات و مجموعه های داده ٔ‬ ‫‪ )٣‬اجتماع‬ ‫‪A )2‬‬ ‫ ‬ ‫‪B )١‬‬ ‫‪)A  B( )٥‬‬ ‫ ‬ ‫زیرمجموعه‬ ‫ٔ‬ ‫‪)٤‬‬ ‫مجموعه ______ همان دو مجموعه است‪.‬‬ ‫ٔ‬ ‫الف) اشتراک دو مجموعه‪ ،‬زیر‬ ‫زیرمجموعه ______ است‪.‬‬ ‫ٔ‬ ‫مجموعه ‪ A‬و ‪B‬‬ ‫ٔ‬ ‫ب) هریک از دو‬ ‫مجموعه ‪ A‬و ‪ B‬است‪.‬‬ ‫ٔ‬ ‫مجموعه ‪ A‬و ‪ ______ B‬هر یک از دو‬ ‫ٔ‬ ‫ج) اشتراک دو‬ ‫مجموعه ______ است‪.‬‬‫ٔ‬ ‫زیرمجموعه‬ ‫ٔ‬ ‫مجموعه ‪A - B‬‬ ‫ٔ‬ ‫د)‬ ‫مجموعه ______ مساوی است‪.‬‬ ‫ٔ‬ ‫مجموعه (‪ )B - A‬و (‪ )A∩B‬با‬ ‫ٔ‬ ‫هـ) اجتماع دو‬ ‫مجموعه موردنظر را هاشور بزنید‪.‬‬‫ٔ‬ ‫‪٤‬ــ در هریک از شکل های زیر‬ ‫‪A‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪B−A‬‬ ‫‪(A − C)  C‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪14‬‬  ‫درس چهارم‪ :‬مجموعه ها و احتمال‬ ‫محاسبه احتمال هر پیشامد از دستور زیر استفاده کردیم‪:‬‬ ‫ٔ‬ ‫در سال گذشته برای‬ ‫تعداد حالت های مطلوب‬ ‫___________________ = احتمال رخ دادن یک پیشامد‬ ‫همه حالت های ممکن‬‫تعداد ٔ‬ ‫اکنون با توجه به آشنایی و شناخت شما نسبت به مجموعه ها و نمادگذاری ها‪ ،‬تا حدودی‬ ‫راحت تر می توان این فرمول را نوشت و به کار برد‪.‬‬ ‫ِ‬ ‫احتمال‬ ‫همه حالت های مطلوب را ‪ A‬و‬ ‫مجموعه ِ‬ ‫شامل ٔ‬ ‫ٔ‬ ‫همه حالت های ممکن را ‪،S‬‬ ‫مجموعه ِ‬ ‫شامل ٔ‬ ‫ٔ‬ ‫اگر‬ ‫رخ دادن پیشامد ‪ A‬را با نماد )‪ P(A‬نشان دهیم‪ ،‬دستور باال به صورت )‪ P(A) = n(A‬نوشته می شود‪.‬‬ ‫)‪n(S‬‬ ‫یادآوری‬ ‫مثال‪ :‬اگر تاسی را بیندازیم‪ ،‬احتمال هر یک از پیشامدهای زیر را به دست آورید‪:‬‬ ‫الف) عدد رو شده مضرب ‪ ٣‬باشد‪.‬‬ ‫ب) عدد رو شده ّاول باشد‪.‬‬ ‫ج) عدد رو شده از ‪ ٦‬بزرگ تر باشد‪.‬‬ ‫د) عدد رو شده از ‪ ٧‬کمتر باشد‪.‬‬ ‫حل‪ :‬الف) پیشامد مطلوب یعنی رو شدن مضرب ‪ ٣‬را ‪ A‬می نامیم؛ در این صورت داریم‪:‬‬ ‫‪A = {3, 6} , S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ; n(A) = 2 , n(S) = 6‬‬ ‫‪n(A) 2 1‬‬ ‫= )‪⇒ P(A‬‬ ‫= =‬ ‫‪n(S) 6 3‬‬ ‫‪ ;B = {2, 3, 5} ; n(B) = 3‬پیشامد رو شدن عدد ّاول‪B :‬‬ ‫ب)‬ ‫‪n(B) 3 1‬‬ ‫= )‪P(B‬‬ ‫= =‬ ‫‪n(S) 6 2‬‬ ‫‪ ; C = ∅ → n(∅) = 0‬پیشامد رو شدن عدد بزرگ تر از ‪C : ٦‬‬ ‫ج)‬ ‫‪0‬‬ ‫= )∅(‪⇒ P(C) = P‬‬ ‫‪=0‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪ ;D = {1, 2, 3, 4, 5, 6} = S‬پیشامد رو شدن عدد کمتر از ‪D : ٧‬‬ ‫د)‬ ‫‪n(S) 6‬‬ ‫= )‪⇒ P(D) = P(S‬‬ ‫‪= =1‬‬ ‫‪n(S) 6‬‬ ‫‪15‬‬  ‫فعالیت‬ ‫‪1‬‬ ‫همه حالت های ممکن را که عقربه می تواند بایستد‬ ‫چرخنده مقابل‪ٔ ،‬‬ ‫ٔ‬ ‫با توجه به‬ ‫‪3‬‬ ‫مجموعه ‪ S‬بنامید‪ S.‬را با عضوهایش نمایش دهید و به‬ ‫ٔ‬ ‫و عددی را نمایش دهد‪،‬‬ ‫‪2‬‬ ‫سؤال های زیر پاسخ دهید‪:‬‬ ‫الف) مانند نمونه برای هر مجموعه با بیان یک جمله‪ ،‬یک پیشامد تعریف کنید‪:‬‬ ‫→ }‪A = {3,1‬‬ ‫ناحیه ‪ ١‬یا ‪ ٣‬بایستد) یا (عقربه روی عدد فرد بایستد)‬ ‫(عقربه روی ٔ‬ ‫→ }‪B = {1, 2‬‬ ‫ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬ ‫→ }‪C = {2, 3‬‬ ‫→ }‪ D = {2‬ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬ ‫ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬ ‫پاسخ خود را با پاسخ هم کالسی هایتان مقایسه کنید‪.‬‬ ‫ب) هریک از زیرمجموعه های ‪ S‬را پیشامد تصادفی می نامیم‪.‬احتمال رخداد هریک از‬ ‫این پیشامدها را به دست آورید‪.‬چه تعداد از این پیشامدها هم شانس اند؟ پاسخ های خود را با پاسخ‬ ‫هم کالسی هایتان مقایسه کنید‪.‬‬ ‫همه زیرمجموعه های ‪ S‬را تشکیل دهید‪.‬‬ ‫ج) ٔ‬ ‫کار در کالس‬ ‫‪ ١٠‬کارت یکسان با شماره های ‪ ١‬تا ‪ ١٠‬را داخل جعبه ای قرار می دهیم و تصادفی یک کارت‬ ‫بیرون می آوریم‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪9 10‬‬ ‫همه حالت های ممکن }‪ S = {1, 2,,10‬است‪.‬پیشامد ‪ A‬را به این صورت‬ ‫مجموعه ٔ‬ ‫ٔ‬ ‫الف)‬ ‫مجموعه ‪ A‬را تشکیل دهید و احتمال‬ ‫ٔ‬ ‫تعریف می کنیم که «عدد روی کارت خارج شده از ‪ ٥‬کمتر باشد»‪.‬‬ ‫رخداد پیشامد آن را به دست آورید‪.‬‬ ‫ب) مجموعه یا پیشامدی تعریف کنید که احتمال رخ ِ‬ ‫دادن آن پیشامد‪ 4 ،‬باشد‪.‬‬ ‫‪10‬‬ ‫ج) اگر ‪ B‬پیشامد خارج شدن عدد ّاول و ‪ C‬پیشامد خارج شدن عدد زوج باشد‪ ،‬مجموعه های ‪B‬‬ ‫ِ‬ ‫رخداد هریک را محاسبه کنید‪.‬آیا پیشامدهای ‪ B‬و ‪ C‬هم شانس اند؟ چرا؟‬ ‫و ‪ C‬را تشکیل دهید و احتمال‬ ‫‪16‬‬  ‫تمرین‬ ‫‪١‬ــ اگر تاسی را بیندازیم‪ ،‬چقدر احتمال دارد‪:‬‬ ‫ب) عدد رو شده زوج و از ‪ ٢‬بزرگ تر باشد‪.‬‬ ‫الف) عدد رو شده زوج باشد‪.‬‬ ‫د) عدد رو شده از ‪ ٣‬کمتر باشد‪.‬‬ ‫ج) عدد رو شده زوج و ّاول باشد‪.‬‬ ‫همه حالت های ممکن را تشکیل دهید‬ ‫مجموعه ٔ‬ ‫ٔ‬ ‫‪٢‬ــ اگر خانواده ای دارای سه فرزند باشد‪ّ ،‬اوال ً‬ ‫(هر عضو این مجموعه را به طور مثال به صورت (د‪,‬د‪,‬پ) نمایش دهید)‪.‬ثانیاً چقدر احتمال دارد این‬ ‫خانواده دارای دو دختر (یعنی دقیقاً دو دختر) باشد؟‬ ‫مهره سبز وجود دارد‪.‬اگر ‪ ١‬مهره را تصادفی‬ ‫مهره آبی و ‪ٔ ٥‬‬ ‫مهره قرمز و ‪ٔ ٤‬‬ ‫‪٣‬ــ در جعبه ای ‪ٔ ٣‬‬ ‫از این جعبه خارج کنیم‪ ،‬چقدر احتمال دارد‪:‬‬ ‫ب) این مهره سبز نباشد‪.‬‬ ‫ ‬ ‫الف) این مهره آبی باشد‪.‬‬ ‫ج) این مهره قرمز یا سبز باشد‪.‬‬ ‫‪٤‬ــ اگر تاسی را دو بار بیندازیم (یا دو تاسِ آبی و قرمز را با هم بیندازیم)‪ ،‬چقدر احتمال دارد‪:‬‬ ‫همه حالت های ممکن را ‪ S‬بنامیم‪)n(s) = 36 ،‬‬ ‫مجموعه ٔ‬ ‫ٔ‬ ‫(اگر‬ ‫ب) دو عدد رو شده‪ ،‬مثل هم باشد‪.‬‬ ‫الف) هر دو بار‪ ،‬عدد ّاول رو شود‪.‬‬ ‫د) مجموع دو عدد‪ ٧ ،‬باشد‪.‬‬ ‫ج) دو عدد رو شده‪ ،‬مضرب ‪ ٣‬باشد‪.‬‬ ‫خواندنی‬ ‫در بسیاری از کتاب های ریاضی‪ ،‬از مجموعه به عنوان گروهی (یا دسته ای) از‬ ‫اشیا نام برده شده است‪.‬غافل از آنکه اگر بگوییم مجموعه گروهی از اشیا است‪ ،‬باید‬ ‫بگوییم گروه چیست؟! آیا می توانیم گروه را تعریف کنیم؟‬ ‫درواقع چاره ای نیست جز آنکه مانند سیمورلیپ شوتز (ریاضی دان معاصر)‬ ‫همه شاخه های ریاضی مجموعه یک مفهوم بنیادی است‪.‬به عبارت دیگر‬ ‫بگوییم‪ :‬در ٔ‬ ‫جزء نخستین تعریف نشده هاست‪ ،‬مانند مفاهیمی چون نقطه و خط در هندسه‪،‬‬ ‫مجموعه ِ‬ ‫که برای آنها تعریف دقیقی نداریم ولی آنها را با اثر خود می شناسیم‪.‬‬ ‫‪17‬‬ ‫‪.........................................................................................................................................................‬‬ ‫‪.........................................................................................................................................................‬‬ ‫‪.........................................................................................................................................................‬‬ ‫‪.........................................................................................................................................................‬‬ ‫‪.........................................................................................................................................................‬‬ ‫‪.........................................................................................................................................................‬‬ ‫‪.........................................................................................................................................................‬‬ ‫‪.........................................................................................................................................................‬‬ ‫‪.........................................................................................................................................................‬‬ ‫ف‬ ‫‪.........................................................................................................................................................‬‬ ‫ ‬ ‫عددهای حقیقی‬ ‫‪.........................................................................................................................................................‬‬ ‫‪.........................................................................................................................................................‬‬ ‫ص‬ ‫‪2‬‬ ‫‪.........................................................................................................................................................‬‬ ‫ل‬ ‫‪.........................................................................................................................................................‬‬ ‫‪.........................................................................................................................................................‬‬ ‫‪.........................................................................................................................................................‬‬ ‫‪.........................................................................................................................................................‬‬ ‫‪.........................................................................................................................................................‬‬ ‫‪.........................................................................................................................................................‬‬ ‫‪.........................................................................................................................................................‬‬ ‫‪.........................................................................................................................................................‬‬ ‫‪.........................................................................................................................................................‬‬ ‫‪.........................................................................................................................................................‬‬ ‫صی ک َُّل شَ ْی ٍء َع َد ًدا»‬ ‫«… َو ا َ ٰحا َط بِ ٰا لَ َدیْ ِه ْم َو ا َ ْح ٰ‬ ‫«… و او (خداوند) به آنچه نزد آنهاست احاطه دارد و همه چیز را به عدد‬ ‫(سور ٔه جن‪ ،‬آی ٔه ‪)28‬‬ ‫شمارش کرده است‪».‬‬ ‫غیاثالدین جمشید کاشانی زبردستترین حسابدان‪ ،‬برجستهترین ریاضیدان دورۀ اسالمی و از بزرگترین‬ ‫ال خالقانه و از طریق محاسبه و مقایسه محیط‬ ‫مفاخر تاریخ ایران بهشمار میرود‪.‬کاشانی به روشی کام ً‬ ‫چندضلعیهای محاطی و محیطی توانست عدد ‪ π‬که عددی حقیقی و گنگ است را تا ‪ ١٦‬رقم بعد از اعشار‬ ‫محاسبه کند که تا حدود ‪ ١٥٠‬سال پس از وی کسی در جهان نتوانست با دقت بهتری آن را محاسبه کند‪.‬او در‬ ‫ابتدای رسالۀ محیطیه خود به زبانِ ریاضی به نام خدا را چنین بیان میکند‪:‬‬ ‫ِ‬ ‫نسبت محیط دایره به قطرش آگاه است‪».‬‬ ‫«به نام او که از اندازۀ‬ ‫‪18‬‬  ‫‪...............‬‬ ‫‪..........‬‬ ‫‪..........‬‬ ‫‪..........‬‬ ‫‪..........‬‬ ‫‪..........‬‬ ‫درس ا ّول‪ :‬عددهای گویا‬ ‫‪..........‬‬ ‫‪..........‬‬ ‫‪..........‬‬ ‫‪..........‬‬ ‫‪..........‬‬ ‫فعالیت‬ ‫‪..........‬‬