Insiemi Convessi e Non Convessi PDF

Insiemi convessi e non con convessi Un insieme A si dice convesso presi qualunque due elementi che indichiamo X1 e X2 appartenenti all’insieme A la loro combinazione lineare convessa, quindi il segmento che li unisce è ancora un elemento di A. Funzioni convesse e funzioni concave L’epigra co di una...

Insiemi convessi e non con convessi Un insieme A si dice convesso presi qualunque due elementi che indichiamo X1 e X2 appartenenti all’insieme A la loro combinazione lineare convessa, quindi il segmento che li unisce è ancora un elemento di A. Funzioni convesse e funzioni concave L’epigra co di una funzione è l’insieme dei punti che si trovano sopra o sulla sua curva gra co. In pratica, è la parte del piano che contiene tutti i punti maggiore o uguale ai valori della funzione. Se disegniamo una funzione su un gra co, l’epigra co è tutta la zona al di sopra della curva, inclusa la curva stessa. L’ipografo di una funzione è l’opposto dell’epigra co. L’ipografo di una funzione è l’insieme dei punti che si trovano sotto o sulla curva del suo gra co. L’ipografo di una funzione è l’insieme dei punti del piano che hanno minore o uguale ai valori della funzione. In altre parole, è la regione che sta sotto il gra co della funzione, inclusa la curva stessa. Funzione concava e convessa Una funzione f è de nita su A, dove è un sottoinsieme di R si dice convessa se il suo epigra co è un insieme convesso. La funzione si dice concava del suo ipogra co, è un insieme convesso. esempio: Poiché epi(x^2) è un insieme convesso concludo che la funzione f(x)=x^2 è convessa. esempio: Poiché ipo(√x) è un insieme convesso, concludo che la funzione f(x)= √x è concava esempio Poiché epi(1/x) non è un insieme convesso, concludo che f(x)=1/x non è convessa. Poiché ipo (1/x) non è un insieme convesso, concludo che f(x)=1/x non è nemmeno concava. esempio: Poiché sia l’epi (x) che l’ipo(x) sono insiemi convessi, concludo che la funzione è sia concava che convessa. Una funzione f è convessa se presi due punti qualunque sul suo gra co, il segmento che li unisce si trova al di sopra del gra co. Se le disuguaglianze di queste de nizioni sono strette, allora abbiamo una funzione strettamente concava o strettamente convessa. Struttura metrica di R Dati due numeri X1 e X2 appartenenti a R ( insieme dei numeri reali), si dice distanza tra X1 e X2 la funzione: d(x1,x2)= | x2-x1| Si dice intorno completo di centro X0 e raggio r>0 l’insieme dei numeri reali che hanno una distanza x0 inferiori al raggio r. ( x0-r , x0+r ) Si dice intorno DX di centro X0 e raggio r>0 l’intervallo: I+r (x0)= [x0, x0+r) Si dice intorno SX di centro X0 e raggio r>0 l’intervallo: I-r (x0)= [x0-r , x0) Consideriamo un insieme A appartenente all’insieme dei numeri reali, un elemento a appartenente all’insieme A si dice interno all’insieme A se esiste almeno un intorno completo di centro X0=a (con raggio scelto piccolo a piacere) tutto contenuto in A.Un elemento a appartenente all’insieme A si dice esterno ad esso se esiste almeno un intorno completo di X0=a (con raggio scelto a piacere) che NON interessa A. Gli elementi a che appartengono all’insieme A si dicono punti di frontiera dell’insieme se non sono ne interni ne esterni ad A. fi fi fi fi fi fi fi fi fi fi fi fi fi esempio: consideriamo A=( 2,5 ] Sono punti interni a tutti i numeri di A per i quali posso trovare un intorno completo contenuto in ( 2,5 ]. Ir(2)= (2-r, 2+r) poiché 2+r>2 questo intorno interessa (2,5]. L’insieme dei punti esterni a (2,5] è costituito da (-∞,2)u(5,+ ∞). Sono punti di frontiera di (2,5] tutti quei punti che non sono nè interni nè esterni a (2,5]. Quindi l’insieme dei punti di frontiera di (2,5] è costituito dall’unico elemento {5}. Punti di esso Data una funzione f appartenente all’insieme dei numeri reali, consideriamo un punto X0 appartenente all’insieme A si dice punto di esso se esiste un intorno sx X0 in cui f è concava ed esiste un intorno dx in cui la funzione è convessa. Massimi e minimi locali I massimi e minimi locali (o relativi) di una funzione sono i punti in cui la funzione assume un valore massimo o minimo rispetto ai punti vicini. - Un punto x0 è un massimo locale se esiste un intorno di x0 in cui tutti i valori della funzione sono minori o uguali a f (x 0 ). f (x) ≤ f (x 0 ) ∀x in un intorno di x 0 - Un punto x 0 è un minimo locale se esiste un intorno di x 0 in cui tutti i valori della funzione sono maggiori o uguali a f (x 0 ). f (x) ≥ f (x 0 ) ∀x in un intorno di x 0 I limiti Operazioni algebriche con i limiti Consideriamo due funzioni appartenenti all’insieme dei numeri reali: f e g. Il limite della somma algebrica o differenza è uguale alla somma algebrica o differenza del limite: lim [ f (x) ± g(x)] = lim f (x) ± lim g(x), x→x 0 x→x 0 x→x 0 Il limite di un prodotto di due funzioni è uguale al prodotto dei due limiti ( x→x 0 ) ( x→x 0 ) lim [ f (x) ⋅ g(x)] = lim f (x) ⋅ lim g(x) x→x 0 Il limite di un rapporto di due funzioni è uguale al rapporto dei due limiti, purché la funzione al denominatore non sia costantemente nulla f (x) lim x→x 0 f (x) lim = x→x 0 g(x) limx→x 0 g(x) Purché g(x) sia diverso da zero Forme di indecisione A questi risultati possiamo dare un valore a meno che non siamo davanti ad una forma di indecisione, ci sono diversi metodi per risolverle e quindi trovare un risultato: Quando abbiamo il limite del rapporto tra due polinomi per x-> ∞ oppure per x-> - ∞ , si può dividere numeratore e denominatore per la stessa potenza più grande che compare in ciascun polinomio; Se la forma dí indecisione è del tipo 0/0 quando abbiamo il rapporto tra die polinomi per x->x0 , allora si potrebbe fattorizzare i polinomi; Se la forma di indecisione comprare in presenza di quantità irrazionale. fl fl  Limite notevole di E Questo limite si presenta quando, separando la base dall’esponente troviamo una forma dí indecisione che ha come risultato la base che tende a 1e l’esponente a +∞. Cioè la forma di indecisione di tipo esponenziale, che si può risolvere con il limite notevole di e. x→+∞ ( x) x n lim 1 + = en Esempio: x→+∞ ( x ) x 24 lim 1+ 24 Base: 1 + →1 x Esponente: x → + ∞ Forma di indecisione: 1∞ Applicando il limite notevole: e 24 Funzioni continue Una funzione si dice continua in un punto Xo se il limite della funzione per x che tende a xo è uguale al valore della funzione in quel punto. In formula: lim f (x) = f (x 0 ) x→x 0 Questo signi ca che la funzione non ha interruzioni, salti o buchi in quel punto. Se questa proprietà vale per tutti i punti del dominio della funzione, allora la funzione è continua in tutto il suo dominio. la funzione f (x) = x 2 è continua ovunque perché non ha interruzioni. 1 la funzione f (x) = ha una discontinuità in x = 0 perché lì non è de nita. Il gra co di questa funzione x presenta una discontinuità in x=0. In questo punto, la funzione non è de nita e il gra co mostra un comportamento di divergenza quando si avvicina a zero. La linea rossa tratteggiata indica il punto di discontinuità. Classi cazione delle discontinuità Una discontinuità di una funzione in un punto x0 si veri ca quando la funzione non è continua in quel punto, ovvero quando almeno una delle seguenti tre condizioni di continuità non è soddisfatta: 1. Il limite destro e sinistro della funzione esistono e sono niti (discontinuità eliminabile): lim f (x) = f (x 0 ) lim f (x) = f (x 0 ) x→x 0− x→x 0+ 2. Il limite destro e sinistro devono essere uguali (discontinuità di prima specie): lim f (x) = f (x 0 ) = limx→x + f (x) = f (x 0 ) x→x 0− 0 3. Il valore della funzione in x0 deve coincidere con il limite (discontinuità di seconda specie): f (x 0 ) = lim− f (x) x→x 0 Se almeno una di queste condizioni non è veri cata, allora la funzione ha una discontinuità in x0. La classi cazione delle discontinuità si divide in tre tipi principali: 1. Discontinuità eliminabile → Se il limite destro e sinistro esistono ed è nito, ma la funzione non è de nita in quel punto o assume un valore diverso. Si può "aggiustare" de nendo opportunamente la funzione. 2. Discontinuità di prima specie (o salto) → Quando i limiti destro e sinistro esistono ma sono diversi tra loro. fi fi fi fi fi fi fi fi fi fi fi fi fi  3. Discontinuità di seconda specie → Quando almeno uno dei due limiti (destro o sinistro) non esiste o è in nito Funzioni in nite e in nitesime Una funzione f(x) si dice in nitesima in un punto x₀ se il limite della funzione per x che tende a x₀ è uguale a zero. In altre parole: lim f (x) = 0 x→x 0 Esempi La funzione f(x) = x è in nitesima in x₀ = 0, perché il limite di x per x che tende a 0 è 0. La funzione g(x) = x² - 4 è in nitesima in x₀ = 2 e in x₀ = -2, perché il limite di x² - 4 per x che tende a 2 o a -2 è 0. Una funzione f(x) si dice in nitesima in un punto x → ∞ se: lim f (x) = 0 x→∞ Una funzione f(x) si dice in nita in un punto x₀ se il limite della funzione per x che tende a x₀ è uguale a in nito. In altre parole: lim f (x) = + ∞ oppure lim f (x) = − ∞ x→x 0 x→x 0 Confronto tra in nitesimi Si considerano due funzioni f(x) e g(x) che tendono a zero per x=0. Se g(x) non è costantemente nulla, si possono confrontare gli in nitesimi con il limite del rapporto. f (x) Se lim = 0 f è un in nitesimo di ordine superiore rispetto alla funzione g per x → x0 x→x 0 g(x) f (x) Se lim = ± ∞ g è un in nitesimo di ordine superiore rispetto alla funzione f per x → x0 x→x 0 g(x) f (x) Se lim = L ∈ ℝ∖{0} le funzioni f(x) e g(x) sono asintotiche per x → x0 x→x 0 g(x) f (x) Se lim = ∄ le funzioni f(x) e g(x) non sono confrontabili per x → x0 x→x 0 g(x) Confronto tra in niti Si considerano due funzioni f(x) e g(x) che tendono a in nito per x → x 0, cioè: lim f (x) = ± ∞, lim g(x) = ± ∞ x→x 0 x→x 0 Allora: f (x) Se lim = ± ∞ la funzione f(x) si dice in nito di ordine superiore rispetto a g(x) per x → x0 x→x 0 g(x) f (x) Se lim = 0 la funzione g(x) si dice in nito di ordine superiore rispetto a f(x) per x → x0 x→x 0 g(x) f (x) Se lim = L ∈ ℝ∖{0} le funzioni f(x) e g(x) sono asintotiche per x → x0 x→x 0 g(x) f (x) Se lim = ∄ le funzioni f(x) e g(x) non sono confrontabili per x → x0 x→x 0 g(x) Metodo del confronto tra in niti e in nitesimi Teorema del confronto tra in niti fi fi fi fi fi fi fi fi fi fi fi fi fi fi fi fi fi fi fi fi  Teorema di Weierstrass teorema di esistenza, garantisce l'esistenza di un massimo e di un minimo in una funzione in un intervallo Se una funzione f è continua in un insieme compatto (cioè chiuso e limitato), allora esistono x1, x 2 ∈ [a, b], (due punti x1 e x2 all’interno di un’intervallo chiuso [a,b] nei quali la funzione raggiunge un suo valore massimo e minimo) tali che: m = f (x1) ≤ f (x) ≤ f (x 2 ) = M, ∀x ∈ [a, b] Il valore m è il minimo globale della funzione f(x) sull’intervallo [a,b]. Ciò signi ca che il valore più piccolo che la funzione assume in tutto l'intervallo si trova in x1. Per ogni b compresa tra a e b il valore della funzione non è mai inferiore a x1. Il valore M è il massimo globale della funzione f (x) sull'intervallo [a,b] ciò signi ca che il valore più grande che la funzione assume su tutto l'intervallo si trova in x 2. Questo indica che tutti i valori della funzione dell'intervallo [a,b] sono compresi tra il minimo e il massimo. Questo teorema esprime il fatto che se una funzione continua in un intervallo chiuso illimitato, allora esistono il massimo e il minimo globale. Importanza delle ipotesi: Se f (x) non è continua in [a,b]: poiché f(x) non è continua, nulla si dice sull'esistenza di massimo e minimo globale. Infatti, in questo esempio, esiste il massimo globale ma non esiste il minimo globale. Se l’intervallo non è compatto (ad esempio, aperto):anche in questo caso, non è garantita l’esistenza di massimo e minimo globali. Infatti, in questo esempio gra co, esiste il minimo globale ma non esiste il massimo globale. Se una di queste ipotesi viene meno, la funzione potrebbe non avere estremo superiore o inferiore, come dimostrano i controesempi. Il rapporto incrementale è un concetto usato per descrivere come una variabile cambia in relazione ad un’altra quando si veri ca un incremento. In termini semplici, si tratta di una misura di quanto una quantità cambia quando un’altra quantità cambia di una certa quantità.In termini pratici, per calcolare un rapporto incrementale, prendi la variazione di una variabile e la dividi per la variazione dell’altra variabile. La formula matematica del rapporto incrementale, in termini generali, è: Rapporto Incrementale = Delta y/Delta X dove: Delta y è la variazione della variabile dipendente y , Delta x è la variazione della variabile indipendente x. In pratica, il rapporto incrementale misura quanto cambia (la variabile dipendente) quando (la variabile indipendente) cambia di un certo valore. In forma estesa, le variazioni e sono espresse come: dove: Delta y = y2 - y1 Delta X = x2- x1 Quindi, la formula nale diventa: Rapp. Incrementale= y2-y1 / x2-x1 Le derivate un concetto fondamentale in matematica che descrive come una funzione cambia rispetto a una delle sue variabili indipendenti. In termini più semplici, la derivata di una funzione misura la velocità di variazione o la pendenza della funzione in un punto speci co. fi fi fi fi fi fi La derivata di una funzione f(x) in un punto x = a è de nita come il limite del rapporto incrementale quando l’incremento di x tende a zero. La derivata in un punto fornisce la pendenza della retta tangente alla curva della funzione in quel punto. Se la derivata è positiva, la funzione cresce. Se la derivata è negativa, la funzione decresce. Se la derivata è zero, la funzione è piatta. La derivata elementare è la derivata di una funzione che può essere calcolata utilizzando le regole di derivazione di base, senza ricorrere a tecniche avanzate. In altre parole, sono le derivate delle funzioni più semplici e comuni, che possono essere calcolate direttamente applicando le regole standard di derivazione. Algebra delle derivate La regola di derivazione di una funzione composta conosciuta anche come regola della catena, permette di calcolare la derivata di una funzione che è composta da due o più funzioni. Quando una funzione è dentro un’altra, devi “derivare” la funzione esterna e moltiplicarla per la derivata della funzione interna. I punti di non derivabilità sono quei punti dove una funzione non ha una tangente de nita. L’equazione della retta tangente L’equazione di una curva in un punto speci co si trova usando il concetto di derivata. La retta tangente rappresenta la retta che tocca la curva in un punto senza attraversarla, e la sua pendenza é data dalla derivata della funzione in quel punto. Il teorema de l’Hopital Stabilisce che, se abbiamo due funzioni f(x) e g(x) che tendono entrambe a 0 o entrambe all’in nito quando x si avvicina a un punto a , e se entrambe le funzioni sono derivabili in un intervallo che contiene a (eccetto forse nel punto stesso), allora il limite del rapporto tra f(x) e g(x) può essere calcolato come il limite del rapporto delle loro derivate, a condizione che il limite delle derivate esista Teoremi di calcolo differenziale Il teorema sul legame tra continuità e derivabilità riguarda la relazione tra due concetti fondamentali nel calcolo differenziale: la derivata e la continuità di una funzione. 1. Continuità:Una funzione è continua in un punto se non ci sono “salti” o “interruzioni” nel suo gra co in quel punto. Questo signi ca che, quando ci avviciniamo al punto , i valori della funzione devono avvicinarsi a senza interruzioni. 2. Derivabilità:Una funzione f(x) è derivabile in un punto x = a se esiste il limite che de nisce la sua derivata, ossia la pendenza della tangente alla curva in quel punto. Questo signi ca che la funzione ha una pendenza ben de nita in quel punto e non ci sono angoli o discontinuità. Derivabilità implica continuità: Se una funzione è derivabile in un punto, allora è continua in quel punto. Continuità non implica derivabilità: Una funzione può essere continua in un punto senza essere derivabile in quel punto. Quindi, la derivabilità è una condizione più forte rispetto alla continuità. Se una funzione è derivabile, deve essere continua, ma il contrario non è sempre vero. Derivabilita e differenziabilità Una funzione è differenziabile in un punto se ha una derivata ben de nita in quel punto. Una funzione è derivabile in un punto se il limite che de nisce la derivata esiste in quel punto. fi fi fi fi fi fi fi fi fi fi fi La parola “differenziabilità” può essere usata per indicare l’esistenza della derivata di una funzione in un punto, mentre “derivabilità” viene usata più speci camente per esprimere che la derivata è esistente in quel punto e può essere calcolata. Conclusione: Derivabilità e differenziabilità sono sinonimi. Entrambi i termini si riferiscono all’esistenza della derivata in un punto. fi