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Questions and Answers
Quelle est la date d'invention de la topologie ?
Quelle est la date d'invention de la topologie ?
1736
Quel est le nom de la ville où Euler a inventé la topologie ?
Quel est le nom de la ville où Euler a inventé la topologie ?
Königsberg
La topologie s'intéresse-t-elle à la position dans l'espace ?
La topologie s'intéresse-t-elle à la position dans l'espace ?
- Non (correct)
- Oui
Quel est le problème topologique des sept ponts de Königsberg ?
Quel est le problème topologique des sept ponts de Königsberg ?
Quel est le principal principe qui régit la résolution du problème des sept ponts de Königsberg ?
Quel est le principal principe qui régit la résolution du problème des sept ponts de Königsberg ?
Dans quel cas le nombre de ponts doit être pair pour qu'un chemin soit possible ?
Dans quel cas le nombre de ponts doit être pair pour qu'un chemin soit possible ?
Quelles sont les transformations continues ?
Quelles sont les transformations continues ?
Comment appelle-t-on les déformations continues qui conservent la correspondance 1 à 1 et qui sont réciproquement continues ?
Comment appelle-t-on les déformations continues qui conservent la correspondance 1 à 1 et qui sont réciproquement continues ?
Une correspondance 1 à 1 entre deux ensembles de points conserve toujours la topologie.
Une correspondance 1 à 1 entre deux ensembles de points conserve toujours la topologie.
Les coupures et les coutures modifient la correspondance 1 à 1 lors d'une déformation.
Les coupures et les coutures modifient la correspondance 1 à 1 lors d'une déformation.
Les courbes ouvertes et les courbes fermées sont homéomorphes.
Les courbes ouvertes et les courbes fermées sont homéomorphes.
Quel est le concept fondamental utilisé pour classer les surfaces en topologie ?
Quel est le concept fondamental utilisé pour classer les surfaces en topologie ?
Les surfaces avec un nombre pair de demi-torsions sont orientables.
Les surfaces avec un nombre pair de demi-torsions sont orientables.
Les surfaces avec un nombre impair de demi-torsions sont homéomorphes aux surfaces avec un nombre pair de demi-torsions.
Les surfaces avec un nombre impair de demi-torsions sont homéomorphes aux surfaces avec un nombre pair de demi-torsions.
Les surfaces avec un nombre pair de demi-torsions sont homéomorphes entre elles.
Les surfaces avec un nombre pair de demi-torsions sont homéomorphes entre elles.
Quelle est la caractéristique d'Euler d'un polyèdre fermé et sans trous ?
Quelle est la caractéristique d'Euler d'un polyèdre fermé et sans trous ?
La caractéristique d'Euler d'un polyèdre est modifiée par une déformation continue.
La caractéristique d'Euler d'un polyèdre est modifiée par une déformation continue.
Le cube topologique est un cube parfait de base qui a subi des déformations continues.
Le cube topologique est un cube parfait de base qui a subi des déformations continues.
Quelles sont les deux principales méthodes pour modifier la correspondance 1 à 1 lors d'une déformation ?
Quelles sont les deux principales méthodes pour modifier la correspondance 1 à 1 lors d'une déformation ?
La présence d'une couture ou d'une coupure dans une déformation garantit que la déformation est homéomorphe.
La présence d'une couture ou d'une coupure dans une déformation garantit que la déformation est homéomorphe.
L'existence d'un homéomorphisme entre deux ensembles garantit que l'un peut être déformé continûment en l'autre sans coutures ni coupures.
L'existence d'un homéomorphisme entre deux ensembles garantit que l'un peut être déformé continûment en l'autre sans coutures ni coupures.
L'homéomorphisme est équivalent à une déformation continue.
L'homéomorphisme est équivalent à une déformation continue.
Un cylindre est une surface orientable.
Un cylindre est une surface orientable.
Un ruban de Möbius est une surface orientable.
Un ruban de Möbius est une surface orientable.
Un cylindre peut être déformé continûment en un ruban de Möbius.
Un cylindre peut être déformé continûment en un ruban de Möbius.
Un ruban de Möbius peut être déformé continûment en un cylindre.
Un ruban de Möbius peut être déformé continûment en un cylindre.
Deux surfaces avec le même nombre de demi-torsions sont toujours homéomorphes.
Deux surfaces avec le même nombre de demi-torsions sont toujours homéomorphes.
Deux surfaces avec des nombres différents de demi-torsions peuvent être homéomorphes.
Deux surfaces avec des nombres différents de demi-torsions peuvent être homéomorphes.
Qu'est-ce qu'un homéomorphisme ?
Qu'est-ce qu'un homéomorphisme ?
Deux surfaces homéomorphes ne sont pas nécessairement orientables.
Deux surfaces homéomorphes ne sont pas nécessairement orientables.
Deux surfaces non-homéomorphes peuvent avoir le même nombre de demi-trosions.
Deux surfaces non-homéomorphes peuvent avoir le même nombre de demi-trosions.
Une réflexion planaire est toujours une transformation qui inverse l'orientation.
Une réflexion planaire est toujours une transformation qui inverse l'orientation.
Une translation est toujours une transformation qui conserve l'orientation.
Une translation est toujours une transformation qui conserve l'orientation.
Une rotation est toujours une transformation qui inverse l'orientation.
Une rotation est toujours une transformation qui inverse l'orientation.
Une rotation de 180 degrés est équivalente à une réflexion planaire.
Une rotation de 180 degrés est équivalente à une réflexion planaire.
Une réflexion axiale est toujours une transformation qui conserve l'orientation.
Une réflexion axiale est toujours une transformation qui conserve l'orientation.
Un vissage est toujours une transformation qui conserve l'orientation.
Un vissage est toujours une transformation qui conserve l'orientation.
Une roto-réflexion est toujours une transformation qui inverse l'orientation.
Une roto-réflexion est toujours une transformation qui inverse l'orientation.
Une réflexion axiale est équivalente à la composition de deux réflexions planaires.
Une réflexion axiale est équivalente à la composition de deux réflexions planaires.
Une rotation est équivalente à la composition de deux réflexions planaires.
Une rotation est équivalente à la composition de deux réflexions planaires.
Un vissage est équivalent à la composition de quatre réflexions planaires.
Un vissage est équivalent à la composition de quatre réflexions planaires.
Un demi-vissage est équivalent à la composition de trois réflexions planaires.
Un demi-vissage est équivalent à la composition de trois réflexions planaires.
Une roto-réflexion est équivalente à la composition de trois réflexions planaires.
Une roto-réflexion est équivalente à la composition de trois réflexions planaires.
Quelle est la différence principale entre une roto-réflexion et un vissage ?
Quelle est la différence principale entre une roto-réflexion et un vissage ?
Quelle est la brique élémentaire des isométries dans l'espace ?
Quelle est la brique élémentaire des isométries dans l'espace ?
Les isométries dans l'espace peuvent être décomposées en un produit de réflexions axiales.
Les isométries dans l'espace peuvent être décomposées en un produit de réflexions axiales.
Un vissage peut être considéré comme la composition d'une roto-réflexion et d'une translation.
Un vissage peut être considéré comme la composition d'une roto-réflexion et d'une translation.
Quelle est la principale propriété des transformations isométriques ?
Quelle est la principale propriété des transformations isométriques ?
Flashcards
Topologie
Topologie
Branche des mathématiques qui étudie les propriétés des objets géométriques qui restent inchangées après des déformations continues.
Le problème des 7 ponts de Königsberg
Le problème des 7 ponts de Königsberg
Un problème mathématique qui a posé la question de savoir s'il était possible de traverser tous les ponts de la ville de Königsberg une seule fois sans passer deux fois par le même pont.
Déformation continue
Déformation continue
Une transformation qui conserve le nombre de zones et de ponts d'un graphe.
Graphe topologique
Graphe topologique
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Degré d'un sommet
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Cycle eulérien
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Chaîne eulérienne
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Homéomorphisme
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Équivalence topologique
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Couture
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Coupure
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Surface orientable
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Surface non orientable
Surface non orientable
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Caractéristique d'Euler
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Cube topologique
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Polygone convexe
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Polygone concave
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Polygone croisé
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Géométrie moderne
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Isométrie
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Déplacement
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Antidéplacement
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Groupe de symétrie
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Polygone régulier
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Symétrie de révolution
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Frise
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Angle dièdre
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Plan orthogonal à deux plans
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Rotoreflexion
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Connecteur de deux droites gauches
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Ligne de plus grande pente
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Study Notes
Géométrie
- La topologie, inventée par Euler en 1736, étudie les propriétés des figures qui ne changent pas lors de déformations continues, comme le nombre de zones et de ponts dans un territoire.
- Euler a identifié un problème lié aux 7 ponts de Königsberg (2 rivières et 7 ponts reliant les zones), et un cheminement passant par chaque pont une seule fois.
- Pour résoudre le problème, des territoires et des emplacements de ponts peuvent subir des transformations continues, maintenan t le même nombre de secteurs et de ponts.
- Les déformations continues n'affectent pas la classification topologique des régions et des ponts.
- Si l'on arrive et repart du même secteur, le nombre de ponts doit être pair.
- Si le lieu de départ et d'arrivée est différent, le nombre de ponts doit être impair.
- Les régions deviennent des points (sommets), et les ponts deviennent des lignes (arêtes).
- La topologie est une branche de la géométrie étudiée notamment avec les transformations du type « coupures » et «coutures».
Propriétés des transformations
- Les homéomorphismes préservent les propriétés topologiques des figures lors de transformations continues.
- Les objets homéomorphes peuvent être déformés sans rupture ou couture.
- Les objets qui ne sont pas homéomorphes ne peuvent pas être sans rupture ou couture entre eux.
- Deux figures sont topologiquement équivalentes s'il existe un homéomorphisme qui relie les deux.
Topologie des polyèdres
- La caractéristique d'Euler, F-A+S=E, reste toujours la même pour tout polyèdre fermé et sans trous.
- F représente le nombre de faces.
- A représente le nombre d'arêtes.
- S représente le nombre de sommets.
- E prend la valeur 2 pour tous les solides réguliers convexes étudiés.
Coupures et coutures
- Les coupures et coutures peuvent modifier certaines parties d'un polyèdre mais peuvent garder ses propriétés topologiques inchangées.
- Des changements dans grandeurs, formes et positions ne modifient pas la constante topologique.
Isométries
- Les isométries sont des transformations qui préservent les distances entre les points d'un objet.
- Les transformations isométriques incluent les rotations, les translations, les réflexions axiales et planes.
- Les isométries ne modifient pas les angles et les longueurs.
- Les transformations isométriques sont toujours un « déplacement » ou un « antidéplacement »
- Les réflexions axiales inversent l'orientation d'une figure (sens de rotation), tandis que les translations inversent également l'orientation.
Transformations dans l'espace
- Les transformations isométriques dans l'espace préservent également les angles et les distances entre les points.
- Des transformations continues avec «coupures» ou «coutures» sont possibles pour les transformations 3D.
- Les transformations peuvent maintenir les propriétés topologiques avec ou sans « coupures » ou « coutures ».
- Le théorème fondamental des isométries dans un plan est que toute isométrie peut être décomposée en au plus 3 réflexions axiales.
- Le théorème fondamental des isométries dans l'espace est qu'une isométrie peut être décomposée en au plus 4 réflexions planes.
- Les réflexions planes sont les briques élémentaires des transformations dans un plan ou dans l'espace.
Classification des isométries
- Il y a 6 types différents d'isométries dans un plan (identités, rotations, réflexions axiales, translations, réflexions glissées, antidéplacements).
- Il y a 10 types différents d'isométries dans l'espace.
Symétrie de révolution
- La symétrie de révolution indique une infinité de plans et axes de symétrie, tels qu'ils se produisent autour d'un « axe de révolution ».
- La symétrie est conservée selon un axée.
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