TRANSFERENCIA DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO, CALOR Y MASA PDF

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L. Garcell Puyans transferencia de cantidad de movimiento, calor y masa a. D íaz García G. S uris Conde de movimiento, calor y masa transferencia de cantidad p ^r m¿ m b S ¿ Zt +=#=9 E 5' S i+ £ n & ^ | & 8 g > T D < A g 3 g - Dir P P S ?{tr.of«iíS» a» |S í ® A, 8^ íT s A S 3 - J - I I » 65 1 i < /A 'X ^ S 0 transferencia de cantidad de movimiento, calor y masa Lic. Leonel Garcell Puyans Lic. Armando Díaz García Lic. Gustavo Suris Conde Editorial Pueblo y Educación Edición: M. Se. Luis Enrique Gutiérrez Fernández Diseño: María Elena Gil Macbeath Ernesto Elizarán Vázquez Ilustración: José Carlos Chateloín Primera reimpresión, 1992 © Leonel Garcell Puyans y coautores, 1988 © Editorial Pueblo y Educación, 1988 EDITORIAL PUEBLO Y EDUCACIÓN Ave. 3ra. A No. 4605, entre 46 y 60, Playa, Ciudad de La Habana Prólogo En eí pian de estudio de pregrado de Ingeniería química se estudian, en la dis­ ciplina de O peraciones unitarias, las características y los m étodos de cálculo fun­ dam entales de los procesos y equipos de transporte de fluidos, separaciones m e­ cánicas, intercam bio de calor y transferencia de masa. D ados los objetivos de las operaciones unitarias, y los requerimientos organizativos del plan y los progra­ mas de estudio, estas tem áticas se imparten en diferentes semestres de forma in­ dependiente. Por otra parte, la literatura que trata acerca de la m ecánica de los ñuidos y de los procesos de transferencia de calor y de masa, es bastante extensa y, en los últimos años, ha alcanzado enorm es proporciones. Sin embargo, debido a las lim itaciones de tiem po que exigen los estudios de pregrado, no es factible abordar en los programas analíticos, la totalidad de los conocim ientos que cada año se increm entan y que enriquecen el saber humano. Por ello, en la enseñanza de la ingeniería química, existe un interés creciente por consolidar el dominio de los principios fundam entales que facilite a los egresados asimilar los avances teó­ ricos y prácticos en el campo de la tecnología química. Cada día es más evidente que el conocim iento de las leyes básicas del trans­ porte de cantidad de movim iento, de energía calorífica y de masa, adquiere gran im portancia en el análisis de sistemas de ingeniería. Por ello, a partir de 1960, con la publicación del libro F enóm enos de transporte, de R.B. Bird y colaborado­ res, se logra, por primera vez, que el estudio de los fenóm enos de transporte ad­ quiera su propia identidad, incluyéndose com o una asignatura o com o disciplina en los planes de estudio de Ingeniería química de varias universidades, en Cuba y en el extranjero. Como consecuencia de este m ovim iento, en los últimos años han visto la luz varias obras escritas en inglés, español y ruso, en las que se re­ fleja la evolución de los criterios de sus autores acerca de los temas tratados, así como el ordenam iento que debe seguirse en un curso de Fenómenos de transporte para estudiantes de Ingeniería química de pregrado y para cursos de posgrado; y se señala, en los diferentes libros, que estos pueden resultar de interés también para los que se dedican a otras ramas de la ciencia y la técnica, tales como: físi­ ca del suelo, m eteorología, biología, reología, etcétera. M uchas de estas publica­ ciones están escritas con determ inada estructura y con un nivel m atem ático bas­ tante elevado, por lo que se dificulta su utilización com o texto básico para estu­ diantes de pregrado que se inician en el estudio de esta tem ática. En el presente texto se estudian los principios físicos y las leyes que describen los fenóm enos de transferencia de cantidad de m ovim iento, de calor y de masa; se hace énfasis en el enfoque fenom enológico e integral de los temas que se abor­ dan, así com o en las relaciones, diferencias y analogías que existen en estos pro­ cesos entre sí. Con estos conocim ientos, el estudiante cuenta con una herramienta que le permite ampliar los fundam entos teóricos de las operaciones unitarias y sus posibilidades de aplicación. El texto no está cargado con un desarrollo m atem ático profundo que dificulte la asequibilidad de los contenidos, pero sí hace uso de los principios y las gene-  ralizacioi..s m atem áticas necesarias que faciliten la com prensión y aplicación de los ^ei dS tratados, de acuerdo con los objetivos de la disciplina. Este libro es el texto básico ce la disciplina de Fenóm enos de transporte para estudios de pregrado en Ingeniería química. N o obstante, su contenido es también de utilidad para cursos y entrenam ientos de posgrado de los ingenieros químicos incorporados a la d 'encia y a la producción. Al desarrollar los contenidos de los diferentes capítulos, se ha tenido en cuen­ ta los requisitos de carácter didáctico y m etodológico propios de un texto básico para la Educación Superior. Para la confección del libro se han revisado diversas fuentes bibliográficas. También, en determ inados capítulos, se han introducido algunos resultados de trabajos e investigaciones propios de los autores, así como la elaboración de daU - obtenidos en la literatura realizada también por los au­ tores del texto. El libro se ha desarrollado utilizando el Sistema Internacional de Unidades (SI). Además, los autores han considerado sus propias experiencias ad­ quiridas durante la im partición de varios cursos de pregrado; de ahí que la forma en que se han estructurado los capítulos surge com o una propuesta original de los autores. El capítulo 1 tiene un carácter general. Trata sobre los aspectos básicos uni­ versales de la disciplina, donde se vincula esta a las asignaturas precedentes de Operaciones unitarias, y se destaca su objetivo fundam ental; se introduce al lec­ tor en los aspectos esenciales de los tres procesos de transferencia típicos de la ingeniería química: el transporte m olecular de cantidad de m ovim iento, de calor y de masa, y se explican los m étodos de cálculo de propiedades de transporte más difundidos en la literatura. En este capítulo el lector com ienza a percatarse de que los procesos aparentem ente independientes, que se han estudiado en las O pe­ raciones unitarias, en realidad no lo son, sino que están muy relacionados entre sí m ediante m ecanism os idénticos. U na vez realizado este análisis general, se continúa estudiando cada proceso de transferencia en particular, siguiendo un orden de precedencia. Por ello, en los capítulos 2 y 3 solo se trata el transporte m olecular de cantidad de m ovim ien­ to; en el capítulo 4 se aborda el transporte m olecular de calor y, en el capítulo 5, el tr a n n o rte m olecular de masa. En estos cuatro capítulos m encionados, se es­ tudia la aplicación de los balances de cantidad de m ovim iento, de energía calorí­ fica y de masa, a un volum en de control, con el objetivo de fam iliarizar al lector con la aplicación de las leyes de Newton, de Fourier y de Fick, y con los prin­ cipios de conservación de la cantidad de m ovim iento, de energía y de masa en problemas sencillos de flujo viscoso, de conducción de calor y de difusión. En los capítulos 3, 4 y 5 se estudia tam bién un m étodo más efectivo para plan­ tear problemas de flujo en geom etrías complejas, a partir de ecuaciones diferen­ ciales generales, las cuales se sim plifican con el objetivo de adaptarlas al proble­ ma que es objeto de análisis. Estas ecuaciones son: las ecuaciones de contir. idad y de movim iento; la ecuación de energía, y la ecuación de continuidad para transferencia de m asa m olecular. El capítulo 3 puede considerarse com o el más im portante del texto, ya que su conocim iento facilita la com prensión de los contenidos de los capítulos posterio­ res, así com o de otros tem as y disciplinas que hacen uso de los principios, con­ ceptos y ecuaciones aquí estudiados. Una vez con u u m o el estudio del capitulo 5, el lector dispone de una base teórica y práctica más sólida acerca del transporte m olecular. Por consiguiente, se halla en condiciones de pasar al estudio del transporte turbulento. En este caso no se ha considerado el análisis separado por capítulos para cada proceso de transferencia, sino que, en el mismo capítulo 6 (dada la similitud en el trata­ miento y en los principios) se trata el transporte turbulento de cantidad de mo­ vimiento, de calor y de masa, en orden consecutivo, pero como una sola unidad. En este capítulo hay que destacar la atención que se le presta al flujo no newto- niano en régimen turbulento, cuestión esta poco difundida en la literatura sobre fenóm enos de transporte. El mismo criterio de estructura de este capítulo se ha extendido a los capítulos 7 y 8. El capítulo 7 «e ocupa de los fenóm enos de transporte en la interfase, funda­ m entalm ente en sistem as sólido-fluido. En este capítulo se analiza la aplicación del analisis dim ensional a las ecuaciones de m ovim iento, de energía y de conti­ nuidad para el transporte de masa; se estudian brevem ente las capas lím ite hi­ drodinámica, térmica y de concentración; se profundiza en las definiciones del factor de fricción, de los coeficientes de transferencia de calor y de masa, así com o en las analogías entre los tres procesos de transferencia. Todos estos con­ tenidos del capítulo son im portantes en la evaluación v el diseño de equipos. En el capítulo 8 se tratan brevemente los balances m acroscópicos de cantidad de movim iento, de masa y de energías calorífica y m ecánica. Esta técnica es im­ portante para plantear y solucionar problemas que resultan difíciles de resolver por la vía de la solución de las ecuaciones diferenciales generales. Toda sugerencia que sirva para el mejoramiento y perfeccionam iento del li­ bro, será recibida con agradecim iento por parte de los autores, ya que la obra no se considera com o un texto acabado, sino más bien com o un texto en el que se in­ tenta por primera vez satisfacer las exigencias del programa estatal vigente y, al mismo tiempo, adecuarlo a las características actuales de los estudiantes de pre­ grado. Por último, se agradece también la colaboración de todos aquellos que, de una forma u otra, han contribuido a la confección y edición del libro. Santiago de Cuba, 1984 Los autores índice 1 F u n d a m en to s de los fe n ó m e n o s de transporte 1 1.1 Fenóm enos de transporte 2 1.2 Leyes físicas fundam entales 3 1.3 Tipos de fenóm enos de transporte. Ecuación general de transporte m olecu­ lar 3 1.4 D eterm inación de las propiedades de transporte Í9 1.5 Preguntas 36 1.6 Problemas 37 2 Transporte m olecular d e cantidad de m ovim iento 39 2.1 D efiniciones y conceptos básicos 39 2.2 Balance de cantidad de m ovim iento en una sola dirección (lineal) 47 2.3 Condiciones límite 48 2.4 Procedim iento para plantear y resolver problemas de flujo viscoso 49 2.5 Flujo de una película de líquido que desciende por un plano inclinado 50 2.6 Flujo entre dos placas paralelas 55 2.7 Flujo a través de un tubo de sección circular 58 2.8 Preguntas 63 2.9 Problemas 64 3 E cuaciones básicas d el flu jo la m in a r isotérm ico 66 3.1 Conceptos y definiciones básicos 66 3.2 R elación entre el esfuerzo y la velocidad de deformación. M odelos Teológi­ cos 72 3.3 Ecuaciones básicas que describen el flujo viscoso isotérm ico 82 3.4 A plicación de las ecuaciones diferenciales básicas en el planteam iento de problemas de flujo viscoso, isotérm ico y estacionario 93 3.5 Preguntas 110 3.6 Problemas 110 4 Transporte m olecular de energía calorífica 113 4.1 Transporte de calor por conducción 113 4.2 Balances de energía calorífica en un volumen de control 116 4.3 Condiciones límite 116 4.4Procedim iento para plantear y resolver problemas de balance de calor en un volum en de control 117 4.5 Ecuación diferencial para la conducción de calor 120 4.6 Procedim iento para plantear y resolver problemas de transporte de calor u ti­ lizando las ecuaciones generales de conducción 123 4.7 Transporte de calor en sistem as con fluidos en movimiento. Convección for­ zada y libre 131 4.8 Ecuación de energía calorífica 132 4.9 Ecuación de m ovimiento para la convección libre 141 4.10 Analogía entre los procesos de transporte de cantidad dé movimiento y de calor 145 4.11 Preguntas 146 4.12 Problemas 147 5 Transporte m olecular de ¡nasa 151 5.1 Transporte de masa por difusión 151 5.2 Formas de expresar la concentración de las m ezclas 152 5.3 Velocidades de difusión 153 5.4 Balance de masa en un volum en de control 156 5.5 Condiciones lím ite 156 5.6 Procedindento para plantear y resolver problemas de balance de masa en un volum en de control 157 5.7 Ecuación de continuidad del com ponente A en una m ezcla binaria 159 5.8 Teoría de la película en transferencia de masa 173 5.9 Transferencia de masa en una película de líquido que desciende sobre una pared inclinada 178 5.10 Preguntas 181 5.11 Problemas 181 Transporte turbulento 184 6.1 Transporte turbulento de cantidad de movim iento 184 6.2 Transporte de calor en flujo turbulento 205 6.3 Transporte de masa en flujo turbulento 215 6.4 Preguntas 223 6.5 Problemas 225 7 Transporte en sistem as de dos fa s e s 227 7.1 A nális iim ensional de las ecuaciones de movimiento, de energía y de con ­ tinuidad para un com ponente dado 227 7.2 Form ación d las capas lím ite hidrodinámica, térmica y de transporte de m a­ sa 235 i 7.3 D efinición del factor de fricción 245 7.4 D efinición del coeficiente de transferencia de calor 266 7.5 D efinición del coeficiente de transferencia de masa 286 7.6 A nalogías entre los procesos de tra v rerencia de cantidad de movimiento, de calor y de masa 289 7.7 Preguntas 298 7.8 Problemas 301 8 B alances macroscópicos 303 8.1 Balance macroscópico de masa 303 8.2 B alances macroscópicos de cantidad de movim iento 309 8.3 Balances m acroscópicos de energía 314 8.4 Balances m acroscópicos de energía m ecánica 320 8.5 Preguntas 328 8.6 Problemas 329 A p én d ice 331 Sim bologla 338 Bibliografía 345 'I 1 Fundamentos de los fenómenos de transporte La industria química se caracteriza por las transformaciones físicas y quími­ cas a que es sometida la materia prima que en ella se elabora. Los procesos tec­ nológicos de estas industrias pueden estudiarse por dos vías diferentes. Una de ellas consiste en considerar el proceso de una industria química en particular como una unidad, es decir, estudiar detalladam ente los equipos y las distintas etapas del proceso que constituyen una tecnología determinada. La otra vía es clasificar y estudiar, atendiendo a sus funciones, las diferentes operaciones comu­ nes que pueden utilizarse en distintas in d u s tria s , y c u y a s c a r a c te rís tic a s , p rin c i­ pios de funcionam iento, criterios de diseño, e tc é te ra , son se m e ja n te s e in d e p e n ­ dientes del material que se elabora y del tipo de proceso en particular. Estas ope­ raciones básicas comunes se denominan operaciones unitarias. En esencia, los procesos tecnológicos de cualquier industria química están constituidos por ope­ raciones unitarias relacionadas entre sí, que siguen determinado orden y que de­ penden de la s transformaciones que debe experimentar una materia prima para obtener un producto deseado. Como ejemplo de operaciones unitarias pueden citarse las siguientes: fluidiza'- ción, filtración, sedimentación, centrifugación, condensación, evaporación, ab­ sorción, destilación, lixiviación, etcétera. En general, el concepto operaciones unitarias ha sido aplicado a aquellas ope­ raciones en las que los fenóm enos que en ellas tienen lugar, son esencialm ente de carácter físico. Las operaciones y los procesos en los que ocurren reacciones quí­ micas son estudiados en otra disciplina, denominada ingeniería de reacciones quí­ micas. Otra característica de las operaciones unitarias es que la mayoría de las ecuaciones que las describen, así como los criterios de diseño, se basan funda­ mentalm ente en resultados obtenidos empíricamene. Debido a esta circunstancia, tradicionalm ente se han estudiado las operaciones unitarias como procesos que aparentemente no guardan relación alguna entre sí, lo cual trae como consecuen­ cia que las semejanzas de carácter cualitativo y cuantitativo, entre determinados tipos o grupos de operaciones unitarias, sean ignoradas como tales o sean consi­ deradas com o simples coincidencias casuales. Sin embargo, cada operación unitaria se fundamenta esencialm ente en el transporte de masa, de calor, de cantidad de movimiento, o en sus com binacio­ nes. Así. por ejemplo, en el diseño de bombas y de sistemas de tuberías se aplican los principios del transporte de cantidad de movimiento: el diseño de intercam- >iadores de calor se basa en los mecanismos fundam entales del transporte de energía calorífica e. igualmente, en el proyecto de una columna de absorción se utilizan los principios del transporte de masa. Por consiguiente, el conocim iento de las características fenom enológicas, de los principios y las leyes que rigen los fenóm enos de transporte de cantidad de movimiento, de calor y, de masa, así com o las relaciones y semejanzas entre uno y otro procesos, resulta fundamental para la ampliación de las bases y del campo de aplicación de las operaciones uni- l 1 /  I tarias. El estudio de los fen ó m e n o s de transporte proporciona estos conocim ientos como un sistema integral y no com o simples mecanismos de transferencia inde­ pendientes, lo cual facilita la com prensión e información posterior adicional en el estudio de cualquier operación unitaria particular. Este primer capítulo tiene como objetivo fundam ental introducir a los estu­ diantes en la asignatura, de manera que estos puedan vincularla con otras disci­ plinas del plan de estudio y, a su vez, conozcan algunos aspectos básicos gene­ rales. Con este objetivo se estudia la ecuación general de transporte m olecular de una propiedad, la cual constituye el tipo de expresión m atem ática más difundido que da lugar a las ecuaciones básicas que describen el transporte molecular de cantidad de movimiento, de calor y de masa. Además, se explican los métodos más utilizados para predecir las propiedades físicas de los m ateriales, que son ca­ racterísticas de los tres tipos m encionados del transporte molecular. 1.1 Fenómenos de.transporte Los fenóm enos de transporte tienen lugar en aquellos procesos, conocidos.’ o.Tio procesos de transferencia, en los que se establece el movim iento de una pro­ piedad (masa o energía) en una o varias direcciones bajo la acción de una fuerza impulsora. Al movim iento de la propiedad se le llama flu jo. Por ejemplo, si una diferencia de temperatura es aplicada a una m ezcla gasesosa uniforme, las mo­ léculas más pesadas tienden a migrar hacia la zona de baja temperatura, mien­ tras que las más ligeras lo harán hacia la zona de alta temperatura. Este fenó­ meno, en el que se produce el flujo o transporte de masa debido a una diferencia de temperatura, se conoce com o difusión térmica. El transporte de masa también puede ocurrir bajo la influencia de una fuerza exterior aplicada, por ejemplo, un campo electrom agnético que actúe sobre una m ezcla de gases ionizados. Este fenóm eno se denomina difusión fo rza d a. Otro tipo de fenóm eno de transporte lo constituye el flu jo de electrones (corriente eléc­ trica) a través de sólidos, líquidos y gases al establecerse una diferencia de po­ tencial. Como se ha visto, el transporte de masa se produce por varios mecanismos. La transferencia de masa debido a una diferencia de concentración constituye el m ecanism o más difundido en los procesos que se estudian en Ingeniería química; este mecanism o será analizado, en detalle, en capítulos posteriores. En el análisis de determinadas operaciones unitarias, también resulta de gran importancia conocer los m ecanism os de transferencia de cantidad de movimiento (flujo de fluidos) y de calor (conducción, radiación). En general, los fenómenos de transporte pueden ocurrir en sistem as de una sola fase o en sistemas de varias fases. Un gran número de los procesos de transferencia de cantidad de movimien­ to, de calor y de masa, se describen mediante una relación m atem ática simple de la forma flujo-gradiente. En el epígrafe 1.3 se estudiará este tipo de relación. Los fenóm enos de transporte anteriormente mencionados, en los cuales una propiedad se transfiere á través de un medio debido a un gradiente de concentra­ ción de la propiedad, deben ser diferenciados de aquellos en los que el transporte de la propiedad tiene lugar como consecuencia del m ovimiento de la masa del m aterial. A modo de ejemplo puede tomarse el caso de un líquido que fluye a tra­ vés de un intercam biadoi de calor. Este líquido aumenta su temperatura por el 2 calor transferido desde las paredes calientes; pero, además, la energía calorífica así adquirida es transportada desde la entrada hasta la salida del intercambiador por el flujo de la masa de líquido. Este m ecanism o se conoce como transporte por convección. 1.2 Leyes físicas fundamentales Los fenóm enos de transporte de cantidad de movimiento, calor y masa, o la com binación de estos, pueden ser descritos m atemáticamente mediante la aplica­ ción de tres leyes físicas fundam entales, independientem ente de la naturaleza del fluido o sólido que interviene en el proceso. Esas tres leyes son: 1) la ley de la conservación de la masa; 2) la segunda ley del movimiento de N ew ton y 3) la primera ley de la termodinámica*. La aplicación de estas leyes, en forma de ba­ lances de m ateriales, de cantidad de m ovimiento y de energía, en un sistema o proceso determinado, permite su formulación matemática mediante ecuaciones: !a ecuación de continuidad, que resulta al aplicar un balance de masa; la ecuación de m ovim iento, que se obtiene por un balance de cantidad de m ovimiento o de fuerza, y la ecuación de energía, que se deriva de un balance de energía. Además de las ecuaciones obtenidas a partir de las tres leyes físicas funda­ mentales, para describir un fenóm eno en particular es preciso em plear otras re­ laciones o ecuaciones auxiliares; por ejemplo, las ecuaciones de estado y las ecua­ ciones reológicas. las cuales dependen dé la naturaleza del m aterial y describen las relaciones existentes entre las propiedades físicas de los m ateriales y otras va­ riables termodinám icas y de procesos, tales como temperatura, presión, gradiente de velocidad, etcétera. 1.3 Tipos de fenómenos de transporte. Ecuación general de transporte molecular Los mecanismos fundam entales del transporte de cantidad de movimiento, de calor y de masa, están muy relacionados entre sí. Las ecuaciones de transporte que los describen tienen la misma forma, tal como se ha explicado en el epígra­ fe 1.1. Para determinados lenóm enos, estos mecanismos son idénticos. Los mecanismos de transporte de masa o de energía pueden ser de dos tipos: 1) m olecular y 2) turbulento. El transporte m olecular se caracteriza por el mo­ vimiento individual de las moléculas; el transporte turbulento resulta del movi­ m iento de grandes grupos de m oléculas (rem olinos). La ecuación general de transporte molecular puede obtenerse a partir de un m odelo gaseoso simple. La ecuación resultante derivada de este m odelo puede ser aplicada para describir los procesos de transporte molecular de cantidad de mo­ vimiento, de calor y de masa,* en gases, líauidos y sólidos. ‘ Aunque la segunda ley de la termodinámica es también importante en el análisis de algunas situaciones en el ñujo de fluidos, su consideración está fuera del alcance de este libro. 3  Un m odelo gaseoso que se puede utilizar es el modelo postulado por la teoría cinética sim plificada de los gases perfectos, cuyas características fundam entales son las siguientes: 1. El gas está constituido por m oléculas esféricas rígidas de diám etro d (pueden imaginarse como las bolas de un juego de b illar). 2. No existen fuefzas de atracción y de repulsión entre las m oléculas. 3. El volum en de una m olécula es despreciable en com paración con el volumen del espacio intermolecular. 4. Las m oléculas son perfectam ente elásticas. 5. Cada m olécula se mueve aleatoriam ente, en diferentes direcciones, con una misma velocidad promedio c. 6. Cada m olécula recorre un espacio / entre dos colisiones consecutivas. La dis­ tancia I se denomina recurrido libre medio. 7. El tiem po requeridojpor la m olécula para viajar la distancia /, a la velocidad c, es 7. Por tanto, t —l/c. 8. El número de m oléculas es lo suficientem ente grande como para tomarse va­ lores estadísticos promedios de las propiedades que describen todas las m olé­ culas. Puede considerarse que el gas ideal descrito ocupa un volumen en forma de cubo, tal com o se representa en la figura 1.1. Dado que el m ovim iento de las mo­ léculas es al azar, ellas pueden m overse en todas las direcciones posibles. Para representar esas direcciones se utilizará un sistema de coordenadas rectangulares y, com o sim plificación, se considerará que el m ovimiento de las m oléculas se pro­ ducirá en direcciones paralelas a los ejes X. y y Z. Por consiguiente, la sexta par­ te del número total de m oléculas se moverá en cada uno de los sentidos ± A"; ± Y ; ± Z. Puede suponerse que el elem ento de volumen del m odelo gaseoso está divi­ dido en dos partes de volúm enes iguales, de espesor / y de área (AxAr). Todas las propiedades del gas son idénticas en ambas partes. 4  Se supondrá ahora que las m oléculas situadas en las regiones correspondientes a las dos partes poseen una cierta propiedad asociada a el:las. Por tanto, en cada parte, las m oléculas tienen una determ inada "concentración de esa propiedad. Esta concentración, que se representará por r. se define com o la cantidad de propie­ dad por unidad de volumen" del gas. Puede establecerse que la concentración promedio de cada parte corresponde a la concentración en los planos 1 y 2 (som­ breados en la figura), situados en el centro de cada una de ellas. De acuerdo con esto, la concentración en la parte 2 puede ser relacionada con la concentración en la parte 1 por medio de la expresión siguiente: r ‘= r ' + , ( ^ ' (1 J ) donde d r / d y representa el increm ento de concentración en la dirección + K; l es- la distancia del plano 1 al 2. Se considerará que el transporte d e la propiedad se efectúa bajo condiciones estacionarias, es decir, que n o se p r o d u c e n v a r i a c i o n e s d e la s c o n c e n t r a c i o n e s y de las propiedades del sistema con el tiempo. De acuerdo con esto, el gradiente d r / d y es constante en el elem ento de volumen. Si las m oléculas se mueven, la propiedad asociada a ellas también se moverá. El m ovim iento de la propiedad que se transfiere puede expresarse mediante la d ensidad de flu jo , i//, la cual representa el flujo por unidad de área: K an* 1- 2) = F lujo/Á rea. (1.2) -El flujo viene dado por la cantidad de propiedad que se transporta en la uni­ dad de tiempo. La cantidad de propiedad en la parte 1 es r¡lA xA z. Igualmente, la cantidad de propiedad en la parte 2 es r 2lA xA z. Si t es el tiem po requerido para que l / 6 de la cantidad de propiedad r¡ lA x A z se transfiera del plano 1 al 2. la expresión (1.2) se escribirá: 1 r jA x A z 1 rj V{parte 1-2)“ — - ----~~r‘ ü - 3) 6 tA x A z 6 t De igual forma, la cantidad de propiedad de la parte 2 que se mueve hacia la parte 1, se expresa por: 1 r ,l V ipane 2 - 1) — — ' ( 1- 4 ) O t El signo ( - ) de la ecuación (1.4) surge debido a que la densidad se define po­ sitiva cuando se produce en la dirección + Y. Si existe una diferencia de concen­ tración de la propiedad entre ambas partes, la densidad de flujo neto se expresa por: i r / i r / W(neto 1-2)= ^(1-2)+ ^(2—1)= ~ ~ ~ =-------- (1-5) o t 6 t Si se sustituye la ecuación (1.1) en la expresión (1.5 ), se obtiene: = -i- L ( r , - r , - / ( i L ) ) , i í d r\ ty\neto 1—2 ) ---- -- f l -- ---) (1.6) 6 t v dy ' 5  Bajo condiciones estacionarias, d r / d y = const., por lo que yrnet0 también es constante. Por consiguiente, como l= c t, la ecuación (1.6) se transforma en: y« dy La expresión (1.7) es la ecuación general de transporte molecular. Esta ecua­ ción puede aplicarse en todos, los casos específicos de transporte m olecular de masa o energía que se estudiarán en los epígrafes que siguen. Resulta conveniente interpretar físicam ente la ecuación (1.7). Por definición m atem ática, d r / d y representa la diferencia, en la dirección Y, entre un estado final r ¡ y un estado inicial jT„ es decir, dr.a r rf - r t\ ( 1.8) dy Ay yf - y ¡ Por otra parte, la ecuación (1.7) puede escribirse tam bién de la forma siguiente: U c (-* L 6 V' dy \ Según la ecuación (1.9 ), para que la densidad de ñujo V sea positiva, el gra­ diente d r / d y tiene que ser negativo. Por la relación (1.8 ), ello es válido solo cuando r¡> r.f. De acuerdo con esto, se deduce que la densidad de flujo w va de una región de alta concentración r¡, a otra de concentración menor /}. El gra- Iiente de concentración de la propiedad puede considerarse, por consiguiente, :omo una fu e r z a im pulsora del transporte de la propiedad. De esta forma se ex­ plica con mayor claridad lo expresado en el primer párrafo del epígrafe 1.1, al definirse los procesos de transferencia. Según la ecuación (1.9 ), la dirección de V coincide con la dirección del gradiente. A continuación se verá cóm o la ecuación (1.7) permite describir los m ecanis­ mos básicos del transporte de masa, de calor y de cantidad de movimiento. \. 1.3.1 Transporte de masa Si el m odelo gaseoso (ver figura 1.1) está constituido por las m oléculas de una m ezcla binaria A y B, y si el número de m oléculas de A, en un volumeh dado de una región, es mayor que en otra región vecina, en ton ces,. de acuerdo con la ecuación (1.7), tendrá lugar la'm igración de las m oléculas de A a través de B , desde la zona de mayor concentración hacia la de concentración menor. Si se em­ plea una notación característica para representar las variables que intervienen en la transferencia de masa, puede escribirse la ecuación (1.7) de la forma si­ guiente: ( 1. 10 ) donde N A es el flujo m olar del com ponente A por unidad de área de transferencia (densidad de flujo molar del com ponente A ), en k m o l/m 2 s; C * la concentración del com ponente A , en mole por unidad de volumen, k m o l/m 3, y, D AB, la difusi- vidad de la m ezcla gaseosa. 6  I De acuerdo con la ecuación (1.7), £>,,8=1/6 le, ppr lo que sus unidades son m2/ s. La ecuación (1.10) se conoce en la literatura com o la ley de Fick. Esta ecuación describe el proceso de transporte de masa por difusión [ l l , 34, 47, 56, 61]. 1.3.2 Transporte de calor Si las m oléculas contenidas en una de las regiones del m odelo gaseoso (ver fi­ gura 1.1) poseen una energía calorífica mayor que la que tienen las m oléculas de otra región vecina, ocurrirá el transporte de esa energía (calor) desde la región de mayor energía hacia la de menor energía. La concentración de calor en cada plano del modelo es igual a pC„T, donde p es la densidad del gas; C„, el calor específico y, T, la temperatura. De acuerdo con la ecuación (1.7 ), la expresión que describe la densidad de flujo de calor puede escribirse como: q= ~a (l.H ) dy donde q es la densidad de flujo de calor, en w / m J; a es una constante de pro­ porcionalidad ( a = ( l / 6 ) / c ) , que se denomina d ifu sivid a d térmica. La difusividad térmica a tiene las mismas unidades que la difusividad, D AB. Para aquellos sistemas en los que p y Cp pueden considerarse constantes, la ecua­ ción (1.11) se expresará de la forma siguiente: dT q = - a p C „ ------- dy i dT q = - k — —, (1.12) dy donde k = a p C p es la conductividad térm ica del m aterial a través del cual se trans­ fiere el calor, siendo sus unidades W /m K. La ecuación (1.12) se conoce com o ley de F ourier [27, 40, 47]. Esta ecuación describe el transporte de calor por conducción a través de gases, líquidos y sóli­ dos. La ley de Fourier establece que el transporte m olecular de calor (conduc­ ción) se produce debido a un gradiente de temperatura, es decir, desde una zona de mayor temperatura hasta otra de temperatura menor. Sin embargo, al tenerse en cuenta que la ley de Fourier es una expresión particular de la ecuación (1.1 1 ), no resulta difícil com prender que el transporte de calor se debe, en realidad, a un gradiente de concentración de calor. 1.3.3 Transporte de cantidad de movimiento Los conceptos flujo de cantidad de m ovim iento y concentración de cantidad de m ovim iento resultan más difíciles de imaginar físicam ente que los ya analiza­ dos anteriormente en los casos de transporte de masa y de calor. 7  Considere que las m oléculas del modelo gaseoso se mueven debido a una fuer­ za exterior desde la parte 1 hacia la parte 2 (ver figura 1.1), es decir, en el sen­ tido + Y. Puede suponerse, además, que el m ovim iento se efectúa por capas ad­ yacentes, constituidas por moléculas, que se deslizan una sobre otra con una ve­ locidad constante v en el sentido + Y, pero de valores diferentes, en la dirección Z. Entonces, cada capa tendrá una masa m y, por tanto, una cantidad de m ovi­ miento mv. La concentración de cantidad de m ovim iento en cada capa es pv, y la densidad de flujo de cantidad de m ovimiento puede designarse por t. Para que ocurra el transporte de cantidad de movimiento, es necesaria una diferencia de concentración en una determ inada dirección. La diferencia de concentración lle­ va im plícita una diferencia de velocidad. En este m odelo se ha establecido que las diferencias de velocidad solo existen en la dirección Z. De todo lo explicado se deduce qup, de acuerdo con la ecuación (1.7), el flujo de cantidad de movim iento se produce en la dirección Z, mientras que el m ovim iento de las capas de m olé­ culas es en el sentido + Y. Por tanto, Xvy=- v É £ p L , (1.13) a v - i donde v = ( l / 6 ) l c es la viscosidad cinem ática del gas. Las unidades de v son las mismas que las de a y de D AB. El símbolo z vy se interpreta de la manera siguiente: el primer subíndice v indica la dirección en que se transfiere la cantidad de mo­ vimiento, mientras que el segundo subíndice y, representa la dirección del m ovi­ m iento del gas. La magnitud t se mide en pascal (Pa). Para los fluidos en los que p puede considerarse constante, la ecuación (1.13) se escribirá: d vv ?vy= ~ VP dV o: x„y= - u ^ - , (1.14) d v donde fi= vp es la viscosidad dinám ica del gas, cuyas unidades son Pa s. La ecua­ ción (1.14) es la conocida ley de N ew ton de la viscosidad [2, 34, 47, 65]. Esta ecuación describe el transporte de cantidad de m ovim iento en m ateriales que flu­ yen en régim en lam inar. Según la ley de N ew ton, la transferencia de cantidad de m ovim iento ocurre de una región de velocidad alta a otra de baja velocidad, de la misma forma que el calor fluye desde una zona caliente hacia otra fría. El gra­ diente de velocidad puede considerarse como la fu e r z a im pulsora del transporte de cantidad de movim iento. No obstante, nuevam ente se llama la atención del lector en el sentido de que la ley de Newton es una forma particular de expresar la ecuación (1.13) y, por tanto, el flujo de cantidad de movim iento se debe a un gradiente de concentración de cantidad de movimiento. Las aplicaciones de las leyes de Fick, de Fourier y de Newton, serán consi­ deradas en capítulos posteriores. En las expresiones m atem áticas de las tres leyes aparece una constante de proporcionalidad típica de cada fenómeno de transfe­ rencia: la difusividad, la conductividad térmica y la viscosidad dinámica. Estas 8 constantes se denominan, en general, propiedades d e transporte. En el próximo epígrafe se estudiarán los métodos para evaluar las propiedades de transporte de ¡’ases, líquidos y sólidos. 1.4 Determinación de las propiedades de transporte En este epígrafe se discutirán algunos de los m étodos teóricos y em píricos de evaluación de las propiedades de transporte más difundidos en la literatura*. Con vistas a la obtención de expresiones para calcular las propiedades de transporte, se han elaborado diferentes m odelos y teorías que intentan describir, de la forma más real posible, el com portam iento de las m oléculas individuales y de sus inte­ racciones, ya que las propiedades físicas de los m ateriales dependen en gran m e­ dida de las interacciones entre las m oléculas. En este sentido, la teoría más desarrollada es la teoría cinética de los gases. Por tanto, inicialm ente se hará uso de los principios y fórmulas desarrollados por la teoría cinética de los gases para obtener las expresiones que proporcionan inform ación acerca de la relación entre las propiedades de transporte y otras variables termodinám icas. Debido al carác­ ter aproximado de la mayor parte de esas teorías, se han propuesto numerosas re­ laciones em píricas y semiempíricas; ver, por ejemplo, el libro de Reid y Sher- wood. 1.4.1 Propiedades de transporte de gases Por la ecuación (1.7) se sabe que cualquiera de las tres propiedades de trans­ porte, es igual a: (1.15) Si se supone que el m odelo gaseoso cumple !as leyes de los gases perfectos, se tiene que: (1.16) donde c es la velocidad media de las m oléculas; R, la constante universal de los gases; T, la temperatura del gas y, M, la masa m olecular del gas. El recorrido libre m edio l se expresa m ediante la fórmula: donde P es la presión del gas; d , el diám etro de las m oléculas y, A = \¡2 N a {Na - número de Avogadro). *En la literatura especializada existen extensas tablas de propiedades de transporte, de ma­ nera que los métodos presentados aquí para su predicción se utilizan solo en ausencia de estos datos o p ara estimar el cambio de sus valores con la tem peratura, la presión, la con­ centración, etcétera. 9  La densidad de un gas ideal viene dada por: (1.18) RT La expresión de la viscosidad dinámica //, o simplemente viscosidad, se obtie­ ne a partir de la ecuación (1.1 5 ), com binándola con las ecuaciones (1.16), (1.17) y (1.18): _ 1 1 RT J 8R T PM \8 R ^ *P 6 °P 6 APnd2 V nM r t 6 A n ^ 'd 1 A ^M T _ (1 1 9 ) d2 ♦ La conductividad térmica está relacionada con la difusividad térmica me­ diante la expresión: k= a p C p. Para gases monoatómicos, Cp= ( 5 / 2 )(R /M ). Por tanto, para un gas m onoatóm ico, la expresión será: 1 „ 1 RT _/ 8R T PM 5 i? ¿Pro*2 V -n i fc= apCp- — lcpC p 6 6 \V ttM /? r 2 M 12^7t.3/2^ V M A "y¡ T /M ( 1.20) d 2 La expresión de la difusividad se obtiene combinando las ecuaciones (1.15), (1.16) y (1.17): 1 , - 1 RT I 8R T J) Aa*— — le — \ / 6 6 ,4P7tc/2 V R- V 8R* r /2úf2 V ' A " 'y J T ' / M ------------- 7T7T------------- ( 1-21) Pdl La ecuación (1.21) representa la difusividad de una m ezcla de dos com ponen­ tes (A y A*), cuyas m oléculas son esferas rígidas de iguales masa y diámetro. Cuando la m ezcla está constituida por com ponentes cuyas m oléculas tienen dife­ rente masa y diámetro, la ecuación (1.21) se transforma en  Las ecuaciones (1.19), (1.20), (1.21) y (1.22), pueden ser usadas para predecir las propiedades de transporte de aquellos gases que se comportan como un gas ideal. En general, el m odelo del gas ideal es inadecuado para describir el com por­ tam iento de muchos gases reales y, por consiguiente, las ecuaciones anteriores dan valores que se alejan significativamente de aquellos que se obtienen por vía experimental. Por esta razón, ha sido necesario elaborar modelos más rigurosos que tomen en cuenta determinados com portam ientos e interacciones de las m olé­ culas de un gas real. El com portam iento cinético-m olecular de un gas real difiere, en muchos as­ pectos, del modelo ideal descrito en el epígrafe 1.3. Las diferencias más impor­ tantes que se deben destacar son las siguientes: 1) las m oléculas de un gas real usualmente no son esferas rígidas, y su volumen puede ser apreciable en com pa­ ración con el volumen interm olecular; 2) existen fuerzas de atracción y de repul­ sión entre las m oléculas; 3) las m oléculas no son perfectam ente elásticas. D ebido a estas notables diferencias, la interacción entre las m oléculas reales es muy dis­ tinta a la supuesta en el gas ideal. Un tratam iento más riguroso de la teoría cinética de los gases establece que, para poder predecir las propiedades de transporte, es necesario conocer la forma en que se producen las interacciones interm oleculares. Se han elaborado algunas teorías que tratan de describir, mediante expresiones matem áticas, las relaciones entre las fuerzas de interacción y la distancia r entre moléculas. Una función em pírica del potencial de energía de interacción que se ha utilizado para prede­ cir, con bastante precisión, las propiedades de transporte de gases no polares a presiones próximas a la atm osférica, es el potencial (6-12) de L ennard-Jones > o , y el término (cr r)b predomina so­ bre (o r )'\ por lo que se produce una fuerza de atracción entre las moléculas. Cuando estas separaciones son pequeñas, se invierte el valor predominante de los términos, lo que significa que las moléculas se repelen unas a otras. La función (1.23) ha dado buenos resultados al aplicarla al cálculo de propie­ dades de transporte de gases inertes y m oléculas simples no polares y, frecuen- i temente, es utilizada incluso en el caso de gases polares. No obstante, para gases de m oléculas polares se ha com enzado a aplicar el potencial de S to ckm a yer [25, 46]. Esta función tiene la misma forma de la expresión (1.23). a la cual se le adiciona (entre los paréntesis) un tercer término que toma en cuenta la dependen­ cia angular de la interacción dipolo-dipolo. Es conveniente señalar que los valo­ res numéricos de los parámetros cr y £ del potencial de Stockmayer, son diferen­ tes a los del potencial de Lennard-Jones. Para m oléculas grandes, iones y radica­ les libres, hasta el presente es necesario recurrir a expresiones empíricas. Las constantes o y e , pueden determinarse a partir de datos experim entales de viscosidad. En la tabla A. 2 del apéndice se presentan los valores de las constantes de Lennard-Jones para varios gases. En los casos de gases para los que no se dispone 11 I de datos experim entales de o y e, estos pueden estimarse mediante las ecuaciones empíricas siguientes : — = 0 ,7 7 Tc y o = 0,841 F¿/3 = 2 ,4 4 (7 ’c / / >c) 1/3; (1.24) K' J - = \ , l 5 T e y < r = l,1 6 6 r ¿ //; (1.25) K - i-= l,9 2 7 > y a = \,2 2 2 V } ^ (1.26) K* donde e/íT ' está en K, y ÁT' es la constante de Boltzmann (1.38 10-23 J/m olé- cula K}; cr es el diám etro de colisión, en Á; Tc. la temperatura crítica del gas. en K; Vc, el volumen molar a Tc, en cm 3/m o l y, Pc. la presión crítica, en atm. Las variables en las ecuaciones (1.25) y (1.26) t i e n e n los mismos significados y unidades, solo que el subíndice indica o t r o e s t a d o d e a g r e g a c i ó n , es d e c i r. re­ presenta el punto normal de ebullición y, /. el punto de fusión. Las"ecuaciones (1.19), (1.20) y (1.22) pueden UtÍlÍZ