Estatística para Economia e Gestão II - PDF

Estatı́stica para Economia e Gestão II Variáveis e vectores aleatórios (parte 1) Variável aleatória Uma das ferramentas fundamentais na estatı́stica é a variável aleatória que permite modelizar e analisar fenómenos sujeitos a incertezas. Uma variável aleatória é uma função que assoc...

Estatı́stica para Economia e Gestão II Variáveis e vectores aleatórios (parte 1) Variável aleatória Uma das ferramentas fundamentais na estatı́stica é a variável aleatória que permite modelizar e analisar fenómenos sujeitos a incertezas. Uma variável aleatória é uma função que associa a cada elemento do espaço dos resultados Ω um número real. Denotamos a variável aleatória por uma letra maiúscula, como X, e o valor assumido por essa variável por uma letra minúscula, como x. Matematicamente, a definição de variável aleatória pode ser expressa da seguinte forma: X : Ω → R, ω 󰀁→ X(ω) A função X associa a cada resultado ω resultante da experiência aleatória a um valor numérico X(ω) correspondente. Por exemplo, considere uma ex- periência que consiste no lançamento de um dado equilibrado de seis faces. Podemos definir a variável aleatória X como o número que aparece na face superior do dado. Nesse caso, X pode assumir os valores 1, 2, 3, 4, 5 ou 6, dependendo do resultado do lançamento. A definição de variável aleatória é essencial na estatı́stica, pois permite que trabalhemos com quantidades mensuráveis e realizemos cálculos proba- bilı́sticos. Com base na variável aleatória, podemos calcular probabilidades, distribuições, médias, variâncias e outros parâmetros estatı́sticos relevantes. 1 Função de distribuição Uma das principais caracterı́sticas de uma variável aleatória é a sua função de distribuição F (x). Essa função define a probabilidade de a variável aleatória assumir um valor menor ou igual a um determinado número x. Matematicamente, a função de distribuição é definida como: F (x) = P (X ≤ x). Uma variável aleatória pode ser classificada como discreta ou contı́nua, dependendo do conjunto de valores que ela pode assumir. Uma variável aleatória discreta assume apenas um número finito ou infinito numerável de valores. Por exemplo, o número de carros que passam por uma rua em um determinado intervalo de tempo é uma variável aleatória discreta. Por outro lado, uma variável aleatória contı́nua pode assumir qualquer valor num determinado intervalo. Por exemplo, a temperatura em graus Celsius numa determinada cidade é uma variável aleatória contı́nua. Propriedades da função de distribuição A função de distribuição possui algumas propriedades importantes: 0 ≤ F (x) ≤ 1 para todo x no domı́nio da variável aleatória F (x1 ) ≤ F (x2 ) se x1 < x2 (função não decrescente) limx→−∞ F (x) = 0 e limx→∞ F (x) = 1 Essas propriedades garantem que a função de distribuição esteja sempre entre 0 e 1, seja não-decrescente e se aproxime de 0 quando x tende para menos infinito e se aproxime de 1 quando x tende para mais infinito. 2 Utilizações da função de distribuição A função de distribuição é amplamente utilizada na estatı́stica para várias finalidades: Cálculo de probabilidades: A partir da função de distribuição, podemos determinar a probabilidade de a variável aleatória estar dentro de um determinado intervalo. Por exemplo, P (a < X ≤ b) = F (b) − F (a). Cálculo de quantis: Os quantis são pontos que dividem a distribuição em partes iguais. A função de distribuição permite calcular esses quan- tis. Por exemplo, o quantil de ordem p, designado por qp , é tal que F (qp ) = p (aplicável a variáveis aleatórias contı́nuas). Caracterização da distribuição: A forma da função de distribuição fornece informações sobre o tipo de distribuição que a variável aleatória segue. Por exemplo, através da forma da função de distribuição poder- se-á definir se a distribuição é ou não simétrica. 3 Ex. 1. Considere uma experiência aleatória que consiste no lançamento sequencial de duas moedas. Apresente o espaço dos resultados associado a esta experiência. Defina a variável aleatória X : Ω → R, tal que X representa o número de faces no lançamento de duas moedas, determine o conjunto dos valores assumidos pela variável com probabilidade diferente de zero. Determine A de forma a que X −1 (1) = A. Determine a função de distribuição da variável aleatória X. Ex. 2. Considere um dado com seis faces, numeradas de 1 a 3, com duas faces associadas a cada número. Assuma-se a experiência aleatória que consiste em lançar sequencialmente o dado duas vezes. Apresente o espaço dos resultados associado a esta experiência. Defina a variável aleatória X : Ω → R, tal que X representa a soma do número de pontos obtidos nos dois lançamentos, determine o conjunto dos valores assumidos pela variável com probabilidade diferente de zero. Determine A de forma a que X −1 (4) = A. Determine a função de distribuição da variável aleatória X. 4 Ex. 3. Num teste de escolha múltipla, são consideradas 3 questões, com duas alternativas (A e B), uma delas correcta, assumindo que as respostas são dados ao acaso. Para a experiência aleatória responder ao teste, apresente o espaço dos resultados. Defina a variável aleatória X : Ω → R, tal que X representa a nota obtida no teste onde cada questão vale 1 valor, determine o conjunto dos valores assumidos pela variável com probabilidade diferente de zero. Determine a função de distribuição da variável aleatória X. Discuta a complexidade do problema, caso, em vez de 3 questões e 2 alternativas, se considerem 5 questões e 4 alternativas. Váriável aleatória discreta – contı́nua. Funções: probabilidade e densidade Para variáveis aleatórias discretas, usamos a função de probabilidade ele- mentar P (X = x) para calcular a probabilidade de a variável aleatória assumir um valor especı́fico x. Essa função atribui a cada valor possı́vel da variável aleatória a sua probabilidade correspondente. Matematicamente, a função de probabilidade elementar é definida como: P (X = x) = P ({ω ∈ Ω : X(ω) = x}) Já para variáveis aleatórias contı́nuas, utilizamos a função de densidade de probabilidade f (x). Essa função poderá ser usada para definir a probabil- idade da variável aleatória assumir valores na vizinhança de um ponto x. 5 A área sob a curva da função de densidade de probabilidade num deter- minado intervalo representa a probabilidade de a variável aleatória assumir um valor dentro desse intervalo. Matematicamente, a função de densidade de probabilidade é definida como: 󰁝 b P (a ≤ X ≤ b) = f (x) dx a onde a e b são os limites do intervalo. Diferenças entre função de densidade de probabilidade e função de probabili- dade elementar A função de densidade de probabilidade é utilizada para variáveis aleatórias contı́nuas, enquanto a função de probabilidade elementar é usada para variáveis aleatórias discretas. A função de densidade de probabilidade de- screve de a variável aleatória assumir valores num determinado intervalo, enquanto a função de probabilidade elementar atribui uma probabilidade especı́fica a cada valor possı́vel da variável aleatória discreta. Utilização na definição da função de distribuição A função de densidade de probabilidade é usada para definir a função de distribuição de uma variável aleatória contı́nua. A função de distribuição F (x) é calculada como o integral da função de densidade de probabilidade até um determinado valor x: 󰁝 x F (x) = P (X ≤ x) = f (t) dt −∞ 6 A função de distribuição fornece informações sobre a probabilidade de a variável aleatória assumir valores menores ou iguais a um determinado valor x. Propriedades da função de densidade de probabilidade A função de densidade de probabilidade possui as seguintes propriedades: f (x) ≥ 0 para todo x no domı́nio da variável aleatória. A área sob a curva da função de densidade de probabilidade num de- terminado intervalo representa a probabilidade de a variável aleatória assumir um valor nesse intervalo. A integral da função de densidade de probabilidade em todo o domı́nio da variável aleatória é igual a 1: 󰁝 ∞ f (x) dx = 1 −∞ 7 Ex. 4. Seja X uma variável aleatória discreta com função de distribuição 󰀻 󰁁 󰁁 󰁁 󰁁 0, x 1). Calcule P (X > 1). Determine a função de probabilidade elementar de X. Ex. 5. Seja X uma variável aleatória discreta com função de probabilidade elementar 󰀻 󰁁 󰁁 󰁁 󰁁 0.2, x = 0 󰁁 󰁁 󰁁 󰁁 󰁁 󰀿0.5, x = 1 f (x) = 󰁁 󰁁 󰁁 󰁁 0.3, x = 2 󰁁 󰁁 󰁁 󰁁 󰁁 󰀽0, outros valores de x Calcule P (X ≥ 1). Determine a função de distribuição de X. 8 Ex. 6. Seja X uma variável aleatória contı́nua com função de densidade 󰀻 󰁁 󰀿1, 0 < x < 1 f (x) = 󰁁 󰀽0, outros valores de x Determine a função de distribuição de X. Calcule P (0.25 < X ≤ 0.75). Ex. 7. Seja X uma variável aleatória contı́nua com função de densidade 󰀻 󰁁 󰁁 󰁁 󰁁 x2 , 0 1). Determine a função de densidade de X. 9 Ex. 9. Seja X uma variável aleatória contı́nua com função de densidade 1 f (x) = , −∞ < x < ∞ π(1 + x2 ) Determine a função de distribuição de X. Considerando que a função de densidade é uma função par, sem usar a função de distribuição, calcule P (X > 0). Vectores aleatórios Um vector aleatório é uma extensão da ideia de variável aleatória para múltiplas dimensões. Enquanto uma variável aleatória representa um único valor numérico, um vector aleatório representa uma coleção de valores numéricos associados a um acontecimento aleatório. Seja X = (X1 , X2 ,... , Xn ) um vector aleatório com n componentes. Cada componente Xi é uma variável aleatória que pode assumir diferentes val- ores numéricos. Um vector aleatório discreto possui uma função de prob- abilidade conjunta P (X1 = x1 , X2 = x2 ,... , Xn = xn ), que atribui uma probabilidade a cada combinação de valores possı́veis das componentes do vector. Um vector aleatório contı́nuo possui uma função de densidade de probabilidade conjunta f (x1 , x2 ,... , xn ), que descreve a probabilidade de o vector assumir um valor numa vizinhança do ponto (x1 , x2 ,... , xn ). 10 Função de distribuição conjunta A função de distribuição conjunta F (x1 ,... , xn ) de um vector aleatório é definida como a probabilidade de o vector assumir valores menores ou iguais a (x1 ,... , xn ), assim, F (x1 ,... , xn ) = P (X1 ≤ x1 ,... , Xn ≤ xn ). As propriedades e utilizações do vector aleatório são semelhantes às pro- priedades e utilizações da variável aleatória, mas agora estendidas para múltiplas dimensões: Função de probabilidade conjunta: No caso discreto, a função de proba- bilidade conjunta descreve a probabilidade de o vector aleatório assumir uma combinação especı́fica de valores. No caso contı́nuo, a função de densidade de probabilidade conjunta descreve a probabilidade de o vector aleatório assumir valores na vizinhança de uma determinada combinação. Função de distribuição conjunta: A função de distribuição conjunta fornece informações sobre a probabilidade de o vector aleatório ser menor ou igual a uma determinada combinação de valores. Funções marginais: As funções marginais descrevem a probabilidade de cada componente individual do vector aleatório. No caso discreto, é a função de probabilidade marginal. No caso contı́nuo, é a função de densidade de probabilidade marginal. Independência: No contexto de vectores aleatórios, a independência é definida em termos da função de probabilidade conjunta. Os com- ponentes de um vector aleatório são considerados independentes se a 11  função de probabilidade conjunta pode ser expressa como o produto das funções de probabilidade marginais de cada componente. Ex. 10. Numa experiência aleatória, lança-se sequencialmente um dado e duas vezes uma moeda. O dado tem três faces numeradas com o número 1 e três faces numeradas com o número 2. Apresente o espaço dos resultados associados a esta experiência aleatória. Defina o vector aleatório (X, Y ) : Ω → R2 , tal que X representa os pontos obtidos no lançamento do dado, e Y representa o número de faces no lançamento das duas moedas. Determine o conjunto de todos os valores possı́veis para o vector aleatório com probabilidade diferente de zero. Defina a função de probabilidade conjunta para o vector (X, Y ). Defina a função de distribuição conjunta de (X, Y ). Ex. 11. Considere um vector aleatório X = (X1 , X2 ) com a seguinte função de densidade de probabilidade conjunta: 󰀻 󰁁 󰀿 2x1 +x2 , se 0 < x1 < 1, 0 < x2 < 2 4 f (x1 , x2 ) = 󰁁 󰀽0, caso contrário Calcule a função de distribuição conjunta de X1 e X2. 12 Função de distribuição marginal A função de distribuição marginal descreve a probabilidade de ocorrência de valores especı́ficos em uma única variável aleatória, ignorando as outras variáveis em um conjunto. Se tivermos um conjunto de variáveis aleatórias X = (X1 , X2 ,... , Xn ), a função de distribuição marginal da variável Xi designada por FXi (xi ) e é definida da seguinte forma: FXi (xi ) = P (X1 < ∞,... , Xi−1 < ∞, Xi ≤ xi , Xi+1 < ∞,... , Xn < ∞) Esta função atribui uma probabilidade acumulada à ocorrência de val- ores em Xi , independentemente das outras variáveis do conjunto X. Essa definição permite analisar uma variável aleatória especı́fica sem a necessi- dade de considerar todas as outras variáveis do conjunto. Função de probabilidade e densidade marginais No contexto de vectores aleatórios, a função de probabilidade e a função de densidade marginal são utilizadas para descrever as propriedades individuais de cada componente do vector, independentemente das outras componentes. A função de probabilidade marginal é utilizada em vectores aleatórios dis- cretos, determinando a probabilidade de cada componente individual do vector assumir um determinado valor, ignorando as outras componentes. Seja X = (X1 , X2 ,... , Xn ) um vector aleatório discreto. A função de prob- abilidade marginal P (Xi = xi ) de uma componente Xi é obtida somando- se as probabilidades de todas as combinações possı́veis das outras compo- 13 nentes, mantendo Xi fixo. 󰁛 󰁛󰁛 󰁛 P (Xi = xi ) = ··· ··· P (X1 = x1 ,... , Xn = xn ) x1 xi−1 xi+1 xn A função de probabilidade marginal fornece informações sobre a distribuição de cada componente individualmente, independentemente das outras com- ponentes do vector. A função de densidade marginal é utilizada em vectores aleatórios contı́nuos, descrevendo a probabilidade de cada componente individual do vector as- sumir valores numa vizinhança de um determinado valor, ignorando as out- ras componentes. Seja X = (X1 , X2 ,... , Xn ) um vector aleatório contı́nuo com função de den- sidade de probabilidade conjunta f (x1 , x2 ,... , xn ). A função de densidade marginal fXi (xi ) de uma componente Xi é obtida integrando-se a função de densidade conjunta em relação a todas as outras componentes: 󰁝 ∞ 󰁝 ∞󰁝 ∞ 󰁝 ∞ fXi (xi ) = ··· ··· f (x1 ,... , xn ) dx1... dxi−1 dxi+1... dxn −∞ −∞ −∞ −∞ A função de densidade marginal fornece informações sobre a distribuição de cada componente individualmente, independentemente das outras compo- nentes do vector. As funções de probabilidade marginal e densidade marginal possuem pro- priedades semelhantes às funções de probabilidade e densidade de uma variável aleatória única. Algumas propriedades e utilizações incluem: Descrição individual: As funções de probabilidade marginal e densi- dade marginal fornecem informações sobre a distribuição de cada com- 14  ponente do vector aleatório individualmente, permitindo analisar cada componente separadamente. Independência: Se as componentes de um vector aleatório forem in- dependentes, a função de probabilidade conjunta será o produto das funções de probabilidade marginais, e a função de densidade conjunta será o produto das funções de densidade marginais. Distribuições condicionadas No contexto de vectores aleatórios, a função de probabilidade condicionada e a função de densidade condicionada são utilizadas para descrever a prob- abilidade de um acontecimento associado a uma componente do vector, levando em consideração informações sobre as outras componentes. A função de probabilidade condicionada é utilizada em vectores aleatórios discretos, calcula a probabilidade de uma componente do vector assumir um determinado valor, dado que as outras componentes assumem valores especı́ficos. Seja X = (X1 ,... , Xn ) um vector aleatório discreto. A função de probabilidade condicionada P (Xi = xi |X1 = x1 ,... , Xi−1 = xi−1 , Xi+1 = xi+1 ,... , Xn = xn ) de uma componente Xi dado um conjunto de com- ponentes X1 = x1 ,... , Xi−1 = xi−1 , Xi+1 = xi+1 ,... , Xn = xn é obtida dividindo-se a probabilidade conjunta das componentes especificadas pela probabilidade conjunta das componentes fixadas: P (Xi = xi |X1 = x1 ,... , Xi−1 = xi−1 , Xi+1 = xi+1 ,... , Xn = xn ) = P (X1 = x1 ,... , Xn = xn ) P (X1 = x1 ,... , Xi−1 = xi−1 , Xi+1 = xi+1 ,... , Xn = xn ) 15 A função de densidade condicionada é utilizada em vectores aleatórios contı́nuos, calculando probabilidade de uma componente do vector assumir um valor na numa determinada vizinhança, dado que as outras componentes assumem valores especı́ficos. Seja X = (X1 ,... , Xn ) um vector aleatório contı́nuo com função de densidade de probabilidade conjunta f (x1 ,... , xn ). A função de densidade condicionada fXi (xi |x1 ,... , xi−1 , xi+1 ,... , xn ) de uma com- ponente Xi dado um conjunto de componentes x1 ,... , xi−1 , xi+1 ,... , xn é obtida dividindo-se a função de densidade conjunta das componentes es- pecificadas pela função de densidade conjunta das componentes fixadas. f (x1 ,... , xn ) fXi (xi |x1 ,... , xi−1 , xi+1 ,... , xn ) = f (x1 ,... , xi−1 , xi+1 ,... , xn ) As funções de probabilidade condicionada e densidade condicionada pos- suem propriedades semelhantes às funções de probabilidade e densidade de uma variável aleatória. Algumas propriedades e utilizações incluem: Descrição condicional: As funções de probabilidade condicionada e den- sidade condicionada fornecem informações sobre a probabilidade de ocorrência de um acontecimento associado a uma componente do vec- tor, levando em consideração informações sobre as outras componentes. Independência condicional: Se as componentes de um vector aleatório forem independentes condicionalmente, a função de probabilidade con- junta condicional será o produto das funções de probabilidade condi- cionadas, e a função de densidade conjunta condicional será o produto das funções de densidade condicionadas. 16 Ex. 12. Continuação do exercı́cio 10: Defina as funções de probabilidade marginal para X e para Y. Calcule fX|Y =1 (x) e fY |X=1 (y). O que é que poderá concluir acerca da independência entre X e Y ? Ex. 13. Continuação do exercı́cio 11: Calcule a função de densidade de probabilidade marginal de X1. Ex. 14. Considere um vector aleatório X = (X1 , X2 , X3 ) com a seguinte função de densidade de probabilidade conjunta: 󰀻 󰁁 󰀿 2 x1 x2 x3 , se 0 < x1 < 1, 0 < x2 < 2, 0 < x3 < 3 9 f (x1 , x2 , x3 ) = 󰁁 󰀽0, caso contrário Calcule a função de densidade marginal de X2. Calcule a função de densidade condicionada de X2 dado que X1 = 1/2 e X3 = 2. Guia livro: – Cap. 3: p. 123–141 – Cap. 4: p. 187–203; p. 220–224 Exerc. recomendados: – Cap. 3: 1, 9, 12, 21 – Cap. 4: 1(a–e), 4(a–d), 14(a–d), 16 17