الدوال الخاصة: جاما وبيتا

Podcast Beta

Play an AI-generated podcast conversation about this lesson

Questions and Answers

ما هو القانون الصحيح لعلاقة دالة جاما عندما يكون $0 < n < 1$؟

$\Gamma(n) \Gamma(1 + n) = \frac{\pi}{\cos(\pi n)}$

$\Gamma(n) \Gamma(1 - n) = \frac{\pi}{\sin(\pi n)}$ (correct)

$\Gamma(n) = (n - 1) \Gamma(n - 1)$

$\Gamma(n + 1) = n \Gamma(n)$

إذا كان $n = \frac{5}{3}$، فما هو قيمة $\Gamma(n)$ وفقًا لقانون دالة جاما؟

$\Gamma(\frac{5}{3}) = \Gamma(\frac{5}{3} + 1)$

$\Gamma(\frac{5}{3}) = \Gamma(\frac{2}{3}) + 1$

$\Gamma(\frac{5}{3}) = \Gamma(1 - \frac{5}{3})$

$\Gamma(\frac{5}{3}) = \frac{3}{2} \Gamma(\frac{2}{3})$ (correct)

ما هي خاصية دالة جاما التي تنطبق في حالة $n + 1$؟

$\Gamma(n + 1) = n!$ (correct)

$\Gamma(n + 1) = n \Gamma(n)$ (correct)

$\Gamma(n + 1) = (n + 1) \Gamma(n - 1)$

$\Gamma(n + 1) = (n + 2) \Gamma(n)$

باستخدام العلاقة $\Gamma(n) \Gamma(1 - n) = \frac{\pi}{\sin(\pi n)}$، إذا كان $n = \frac{7}{3}$، كيف يتم حساب $\Gamma(n)$؟

$\Gamma(\frac{7}{3}) = \frac{\pi}{\sin(\frac{7 \pi}{3}) \Gamma(1 - \frac{7}{3})}$ Signup and view all the answers

عند استخدام دوال بيتا وجاما، ما يدل على العلاقة بين $\Gamma(n)$ و$\Gamma(n+1)$؟

$\Gamma(n+1) = n \Gamma(n)$ Signup and view all the answers

ما هي المعادلة الصحيحة لتمثيل دالة بيتا بناءً على المحتوى؟

$I_0(x + n) = n x(x + 1)(x + 2) \cdots (x + n - 1)$ Signup and view all the answers

ما هو العامل الأساسي في حساب دالة جاما وفقاً للمحتوى؟

$n!$ Signup and view all the answers

أي من العبارات التالية صحيحة حول العلاقة بين دالة بيتا ودالة جاما؟

دالة بيتا هي حالة خاصة من دالة جاما. Signup and view all the answers

ما الذي يُمثله $I(x)$ في المعادلات المعطاة؟

دالة بيتا Signup and view all the answers

أي من هذه الخيارات يعبر عن تكامل مرتبط بالدالة المعطاة؟

$\int (1 - t) dt$ Signup and view all the answers

ما هي الصيغة النهائية لدالة بيتا عند استخدام العمليات المعطاة؟

$n! (x + 1)(x + 2) \cdots (x + n)$ Signup and view all the answers

ما هي العلاقة بين $Γ(x)$ و $Γ(n)$ وفقاً للمحتوى؟

$Γ(n) = n!$ Signup and view all the answers

كيف يرتبط تكامل $I(x)$ بالنقاط المحددة في المعطى؟

يعمل على إيجاد قيم دالة بيتا عند قيم معينة. Signup and view all the answers

ما هي قيمة التكامل $\int_0^1 \log x , dx$؟

-1 Signup and view all the answers

ما هو التعبير الصحيح لدالة غاما $\Gamma(n)$؟

$\Gamma(n) = \int_0^\infty e^{-x} x^{n-1} , dx$ Signup and view all the answers

ما هو التكامل $\int_0^\infty e^{-t} t , dt$؟

1 Signup and view all the answers

ما هي قيمة $t$ عندما يكون $x=1$ في التحويل $t=\log \left(\frac{1}{x}\right)$؟

0 Signup and view all the answers

ما هو الشكل الذي يمكن أن يعبر عنه التكامل $\int_0^2 \frac{dx}{2-x}$؟

$\log(2)$ Signup and view all the answers

ما نتيجة التكامل $\int_0^1 \frac{1}{x} , dx$؟

∞ Signup and view all the answers

كيف يتم اشتقاق $dx$ عند استخدام التحويل $x=e^{-t}$؟

$dx = -e^{-t} dt$ Signup and view all the answers

ما التكامل الذي يمثل منطقة تحت منحنى دالة اللوغاريتم الطبيعي؟

$\int_0^1 \log x , dx$ Signup and view all the answers

ما هي أهمية الدوال الخاصة في الرياضيات؟

تسهيل حسابات معقدة Signup and view all the answers

من الذي وضع دالة جاما الأولى؟

ليونهارت أويلر Signup and view all the answers

ما هو الشكل الرياضي لدالة جاما للمقدار $n$؟

$ ext{Γ}(n) = ext{Γ}(n-1) imes (n-1)$ Signup and view all the answers

يتعلق تعريف دالة بيتا بعملية التكامل. فما هو شكلها الرياضي؟

$ B(m,n) = rac{ ext{Γ}(m) ext{Γ}(n)}{ ext{Γ}(m+n)} $ Signup and view all the answers

كم عدد المرات التي تظهر فيها دالة بيتا في التطبيقات الرياضية والفيزيائية؟

تظهر بشكل متكرر Signup and view all the answers

أي من الخصائص التالية يخص دالة بيتا؟

$ B(m,n) = B(n,m) $ Signup and view all the answers

كسر العبارة التالية غير صحيحة: يشتمل علم الرياضيات على الدوال الخاصة التي تلعب دورا هاما في نظرية تقريب الدوال.

خطأ. Signup and view all the answers

ما هي العلاقة الرياضية التي تربط دالة بيتا ودالة جاما؟

يمكن استخدام دالة بيتا لإيجاد قيمة دالة جاما. Signup and view all the answers

متى يمكن استخدام دالة جاما؟

عندما يكون $ n > 0 $. Signup and view all the answers

أي من التعبيرات التالية يمثل النتيجة لدالة بيتا عندما $ m = 1 $ و $ n = 1 $؟

$ B(1, 1) = 1 $ Signup and view all the answers

ما هو المجال الذي تُستخدم فيه الدوال الجاما والبيتا بشكل رئيسي؟

الرياضيات Signup and view all the answers

أي من الخصائص التالية صحيحة بالنسبة لدالة جاما؟

$ ext{Γ}(n) = (n-1)! $ Signup and view all the answers

كيف تعبر دالة بيتا عن التكامل بين الحدود $ 0 $ و $ 1 $؟

$ ext{(د) } B(m,n) = rac{1}{ ext{Γ}(m) ext{Γ}(n)} $ Signup and view all the answers

ما هي صيغة دالة غاما عندما يكون $n = 1$؟

$\Gamma(1) = 1$ Signup and view all the answers

ما القيمة الناتجة عن حساب $B(1, 1)$؟

1 Signup and view all the answers

ما هو التعريف الرياضي لدالة بيتا $B(m, n)$؟

$B(m, n) = \int_0^1 x^{m-1} (1 - x)^{n-1} dx$ Signup and view all the answers

أي من القيم التالية هي نتيجة معادلة $\Gamma(n) = \int_0^\infty e^{-x} x^{n-1} dx$؟

$\Gamma(2) = 2$ Signup and view all the answers

ما هي العلاقة بين دالتي غاما وبيتا؟

$\Gamma(m) \Gamma(n) = B(m, n)$ Signup and view all the answers

إذا كانت $0 < n < 1$، ما هي القيمة الناتجة عن $\Gamma(n) \Gamma(1 - n)$؟

$\sin(\pi n)$ Signup and view all the answers

عند حساب $\Gamma(\frac{1}{2})$، ما هي القيمة الناتجة؟

$\pi$ Signup and view all the answers

ما هي صيغة دالة غاما عند اقتران الجذر التربيعي للعدد 2؟

$\Gamma(\sqrt{2})$ Signup and view all the answers

ما هي حد قيمة $B(3, 3)$؟

$\frac{1}{20}$ Signup and view all the answers

متى تكون القيمة الناتجة عن $\Gamma(0)$؟

$\infty$ Signup and view all the answers

أي من القيم التالية لا تعتبر نتيجة ممكنة لدالة غاما؟

$\Gamma(n) < 0$ Signup and view all the answers

ما هو التعريف الأساسي لدالة بيتا $B(m, n)$؟

$B(m, n) = \frac{\Gamma(m) \Gamma(n)}{\Gamma(m+n)}$ Signup and view all the answers

أي من الخيارات التالية هو خاصية لدالة غاما؟