Cours de Thermodynamique - Université Hassan II - 2024/2025

Université Hassan II ENSC Département de Physique-Chimie Cours de THERMODYNAMIQUE 1 ère Année Semestre 1 Filière: LEPC & LEM Année universitaire : 2024/2025...

Université Hassan II ENSC Département de Physique-Chimie Cours de THERMODYNAMIQUE 1 ère Année Semestre 1 Filière: LEPC & LEM Année universitaire : 2024/2025 Pr: A. EL BACHIRI 1  Chapitre I : Généralités I.1. Introduction I.2. Complément mathématique I.3. Vocabulaire thermodynamique I.4. Coefficients thermo-élastiques I.5. Gaz parfait 2 I.1. Introduction La thermodynamique : science qui a pour objet : La description des systèmes thermodynamiques L’étude de l’évolution des systèmes thermodynamiques en fonction des échanges : d’énergie et de matière avec le milieu extérieur La thermodynamique a des applications dans de nombreux domaines, notamment dans les moteurs, les réfrigérateurs, les systèmes énergétiques, et elle est essentielle pour comprendre les 3 phénomènes physiques et chimiques.  La thermodynamique peut être décrite par deux manières différentes : l'aspect macroscopique : le système est considéré dans son ensemble en étudiant les grandeurs physiques macroscopiques facilement mesurables comme ( P, V, T, m...) pour établir les lois macroscopiques reliant ces grandeurs entre elles. C’est la thermodynamique classiques. l'aspect microscopique : on s'intéresse aux propriétés de la matière à l'échelle microscopique en utilisant comme variables les grandeurs cinétiques des atomes ou molécules individuelles (pi ,vi ,Ei...). C’est la thermodynamique Statistique. La thermodynamique est une science qui permet de comprendre comment l’énergie est transférée et transformée dans les systèmes physiques, et elle repose sur des lois fondamentales. Elle s’applique à une multitude de domaines, allant de la physique et 4 de la chimie à l’ingénierie et aux sciences de l’environnement. I.2. Complément mathématique 1.2.1.Fonction à deux variables Une fonction à deux variables est une application de E  IR 2 vers IR, qui a tout couple (x,y) associe le réel z. f : E  IR IR 2 ( x , y ) f ( x, y )  z Exemples f ( x, y )  x ²  y ²  z nRT f (T ,V )  P V 5 1.2.2.Dérivées partielles et différentielle d’une fonction à deux variables Soit : f(x,y) : fonction à deux variables x et y la dérivée partielle  f  de f(x,y) par rapport x :  x  y la dérivée normale de f(x,y) par rapport à x en supposant que y est constant.  f  la dérivée partielle  y  de f(x,y) par rapport y :  x la dérivée normale de f(x,y) par rapport à y en supposant que x est constant. 6 les dérivées partielles d’ordre 2 de f(x,y) sont :  ² f    f          x ²  y , y x   x  y  y  ² f    f     y ²           x, x y   y  x  x  ² f    f     xy           y,x x   y  x  y  ² f    f     xy           x, y x   y  x  y 7 La différentielle de f(x,y) est définie par :  f   f  f ( x, y )   .dx   .dy  x  y  y  x Si   ² f   ² f    xy     yx     y,x   x, y f est une différentielle exacte ou totale On écrit alors:  f   f  df ( x, y )   .dx   .dy  x  y  y  x 8 Exemples 1 f ( x, y )  x ²  y ²  z  z   f       2x  x  y  x  y  z   f    y     y    2y  x  x f ( x, y)  2 x.dx  2 y.dy 9 2 nRT f (T ,V )  P V  P   f  nR       T V  T  y V  P   f  nRT       V T  V T V² nR nRT f (T ,V )  P .dT .dV V V² 10 3 On considère la forme différentielle suivante : x² 2 x3 f ( x, y )  dx . 3 dy y² 3 y la forme différentielle f est elle exacte? On a :   f  f  x ² 2 x 3 f ( x, y )    dx    dy  dx . 3 dy  x  y  y  x y² 3 y  f  x²     x  y y ² et  f  2 x3    . 3  y  x 3 y 11   ² f    f    x²  2 x²   yx    y  x   y   y²     y3       et  ² f    f    2 x3  2 x²   xy    x    x   y    3 y3     y3       Donc : la forme différentielle f est exacte Déterminer alors la fonction f(x,y) 12 Pour y = cte:  df  x² x² x² x3     df  dx  f ( x, y )   dx   K ( y)  dx  y y ² y² y² 3 y²  df  2 x3 2 x3     3  K ' ( y)   3  K ' ( y )  0  K ( y )  cte  dy  x 3y 3y 3 x f ( x, y )   cte 3 y² 13 1.2.3.Relation entre les dérivées partielles Soit f ( x, y , z )  0 une équation caractéristique de trois variables indépendantes deux à deux. On peut expliciter : x = x(y,z), y = y(x,z) et z = z(x,y).  x   x  x  x( y, z )  dx    dy    dz ( E1 )  y  z  z  y  y   y  y  y ( x, z )  dy    dx    dz ( E2 )  x  z  z  x  z   z  z  z ( x, y )  dz    dy    dx ( E3 )  y  x  x  y 14 (E1) dans (E3) donne :  z   z   x   x   dz    dy      dy    dz   y  x  x  y  y  z  z  y   z   x   z    z   x           dy      dz  x  y  y  z  y  x   x  y  z  y  z   x      1 ( E4 )  x  y  z  y  z   x   z          0 ( E5 )  x  y  y  z  y  x 15 L’équation E(4) implique :  z  1     x  y  x     z  y On démontrera de même que :  x  1  z  1    et     y  z  y   y  x  y   x  z  z  x L’équation E(5) implique :  z   x   z  1  z   x   y                   1  x  y  y  z  y  x  y   x  y  y  z  z  x    z  x 16 I.3. Vocabulaire thermodynamique I.3.1. Définitions * Système Un système thermodynamique est l’ensemble des corps situés à l’intérieur d’une surface fermée appelée frontière. Le milieu extérieur constitue donc, le reste de l’univers. Frontière du système Milieu extérieur Milieu extérieur + système = univers 17 * Système ouvert : s’il peut échanger de la matière et de l’énergie avec le milieu extérieur * Système fermé : s’il peut échanger de l’énergie avec le milieu extérieur * Système isolé : s’il ne peut échanger ni matière ni énergie avec le milieu extérieur * Système homogène : si la nature de ses constituants est la même en tout point * Phase : partie homogène d’un système (qui présente la même composition en tout) 18 * Variables d’état Les variables d’état d’un système thermodynamique : les variables macroscopiques (m, P, V, T, n...) observables permettant de décrire le système. * Variable intensive Les variables intensives ne dépendent pas de la masse. Exemples : la pression (P); la température (T)….. * Variable extensive Les variables extensives dépendent de la masse. Exemple : le volume (V), l’énergie (U)……. 19 * Equation d’état Les variables d’état ne sont pas toutes indépendantes, mais liées entre elles par des équations d’état de type : F(P,V,T) = 0 Exemple : l’équation d’état d’un gaz parfait est : PV  nRT  0 Dans ce cas, il n’y a que deux variables indépendantes d’où : P = P(V,T) ou T = T(V,P) ou V= V(T,P). 20  I.3.2.Éléments de statique des fluides Équation fondamentale de la statique des fluides Soit un fluide : Homogène :Sa masse volumique ρ(M) est la même en tout point M du fluide. Considérons une tranche du fluide horizontale comprise entre les altitudes z et z + dz possédant une surface S 21 Inventaire des forces appliquées sur cette tranche de hauteur dz C’est l’équation fondamentale de la statique des fluides projeté sur l’axe des z orienté vers le haut 22 On suppose que le fluide est incompressible : sa masse volumique est constante. Par intégration on trouve : Pour déterminer la constante on fixe un niveau de référence : la surface libre ou la pression vaut la pression atmosphérique. Et suivant le choix de l’origine du point O c’est à dire z = 0 soit en surface soit au fond du fluide. 23 Les isobares (l’ensembles des points M tel que p(M) = cte) sont des plans horizontaux. Équilibre d’une atmosphère isotherme. Variation de la pression avec l’altitude 24 Conclusion :Les niveaux les plus bas(z ⇝ 0) sont les plus peuplés 25 Poussée d’ARCHIMÈDE. Tout corps plongé dans un fluide subit une force dirigée vers le haut (poussée) égale en norme au poids du volume du fluide déplacé 26 * l’équilibre thermodynamique d’un système Un système simple est dit en équilibre thermodynamique s’il est immobile par rapport à un repère galiléen et que son état n’évolue pas au cours du temps. Cela se traduit par : Remarque: L’état d’équilibre d’un système est lié à l’homogénéité des variables intensives. Quand un système est dans un état d’équilibre, les variables d’état ont la même valeur en tout point du système. 27 Transformation d’un système Quand un système passe: d’un état d’équilibre initial un état d’équilibre final Le système a subit une transformation thermodynamique. La transformation est ouverte l’état initial et l’état final sont différents Transformation est fermée ( cyclique) les deux états sont confondus 28 Transformation irréversible Un système : brutale état d’équilibre initial A état d’équilibre final B la transformation irréversible. On ne connaît pas les états intermédiaires entre A et B Figure 1: Transformation irréversible 29 Exemple : Compression brutale d’un gaz, sous l’action d’une masse M de l’état A(P1,V1) à l’état B(P2,V2) brutale Transformation irréversible 30 Transformation quasi-statique Un système : Suite d’état d’équilibre état d’équilibre initial A état d’équilibre final B la transformation est quasi-statique. Figure 2: Transformation quasi-statique 31 Exemple : Compression d’un gaz, sous l’action de plusieurs billes de masse m chacune telle que Sm = M Transformation quasi-statique 32 Transformation réversible Si les états intermédiaires entre A et B sont infiniment proches et par une évolution inverse on revient à l’état A en passant exactement par les mêmes états Alor s la transformation est réversible. Figure 3: Transformation réversible 33 Exemple : Pour réaliser la compression précédente, on utilise des billes infiniment petites. Transformation réversible 34 Transformation isotherme C’est une transformation qui se fait à température constante (T = cte). Exemple : Cas d’un gaz parfait P.V  nRT   P  cte hyperbole  T  cte  V Figure 4: Transformation isotherme( P1V1=P2V2) 35 Transformation isochore C’est une transformation qui se fait à volume constant (V = cte). Exemple : Cas d’un gaz parfait V  cte  droite// à L' axe P Figure 5: Transformation isochore (V1 = V2) 36 Transformation isobare C’est une transformation qui se fait à pression constant (P = cte). Exemple : Cas d’un gaz parfait P  cte  droite// à L' axe V Figure 6: Transformation isobare (P1 = P2) 37 Transformation adiabatique C’est une transformation qui s’effectue sans échange de chaleur : (Q = 0). Exemple : Cas d’un gaz parfait : Transforma tion adiabatiqu e PV   cte(hyperbole) Figure 7: Transformation adiabatique ( PV   cte ) 38 I.4. Coefficients thermo-élastiques dV  VdT  TVdP  V   V  Or dV    dT    dP  T  P  P T 1  V  Coefficient de dilatation     -1) V T  P isobare (K 1  V  T     Coefficient de compressibilité V  P T isotherme (Pa-1) 39 39   dP  PdT  PdV  P   P  Or dP    dT    dV  T V  V T 1  P  Coefficient de compressibilité    isochore (K-1) P  T V 1  P  Coefficient de la variation relative     de pression en fonction de volume P  V T à température constante (m-1) 40 40 Relations aux dérivées partielles 𝜕𝑉 𝜕𝑉 𝜕𝑇 𝜕𝑇 𝑑𝑉 = ቇ 𝑑𝑇 + ቇ 𝑑𝑝 (1) 𝑑𝑇 = ቇ 𝑑𝑉 + ቇ 𝑑𝑝 (2) 𝜕𝑇 𝑝 𝜕𝑝 𝑇 𝜕𝑉 𝑝 𝜕𝑝 𝑉 41  𝜕𝑇 1 ൰ 𝜕𝑝 𝑉 2 ⇒ 𝑑𝑉 = 𝑑𝑇 − ൚𝜕𝑇 𝑑𝑝 𝜕𝑇 ൰ ൰ 𝜕𝑉 𝜕𝑉 𝑝 𝑝 𝜕𝑇 𝜕𝑉 1 𝜕𝑉 ൰ 𝜕𝑝 𝑉 ⟹ ቇ = 𝑒𝑡 ቇ = − ൚𝜕𝑇 𝜕𝑇 𝑝 𝜕𝑇൰ 𝜕𝑝 𝑇 ൰ 𝜕𝑝 𝑉 𝜕𝑉 𝑝 42  Application : Relation entre les cœfficients thermoélastiques 𝟏 (A) ⇒ −𝝌𝑻. 𝑽 𝒑. 𝜷 = −𝟏 ⇒ 𝒑. 𝜷. 𝝌𝑻 = 𝜶 𝜶.𝑽 Loi de dilatation 𝜕𝑉 𝜕𝑉 On a : 𝑑𝑉 = 𝜕𝑇 ቇ 𝑑𝑇 + 𝜕𝑝 ቇ 𝑑𝑝 = 𝛼𝑉𝑑𝑇 − 𝜒𝑇 𝑉𝑑𝑝 𝑝 𝑇 𝑑𝑉 ⇒ = 𝛼. 𝑑𝑇 − 𝜒𝑇. 𝑑𝑝 𝑉 𝑉 On suppose que α et 𝝌𝑻 sont constantes ; donc : 𝐿𝑛( ) = 𝛼. 𝑇 − 𝜒𝑇. 𝑝 𝑉0  Si 𝛼. 𝑇 − 𝜒𝑇. 𝑝 ≪ 1 alors : 𝑽 = 𝑽𝟎 (𝟏 + 𝜶. 𝑻 − 𝝌𝑻. 𝒑)  Si 𝛼. 𝑇 ≫ 𝜒𝑇. 𝑝 alors : 𝑽 = 𝑽𝟎 (𝟏 + 𝜶. 𝑻) 43 I.5. Gaz parfait 1.5.1 Lois expérimentales L’étude expérimentale d’un gaz de masse m a conduit aux lois suivante: Lois de Mariotte (Boyle ) : transformation isotherme ( T = cte) : PV = cte Lois de Gay-Lussac : transformation isobare ( P = cte ) : V/T = cte Loi de Charles : transformation isochore ( V = cte ) : P/T = cte La vérification simultanée de ces trois lois : P.V  c te T 44 44 1.5.2 Loi d’Avogadro-Ampère Des volumes égaux de tous les gaz pris dans les mêmes conditions de température,T; et de pression, P, renferment le même nombre de molécules N ( ou le même nombre de mole, n). 1 mole N A molécules  N m V  n    n moles N molécules N M V  A m Où NA : le nombre d’Avogadro N A= 6.022 1023 molécules/mole. M et Vm sont respectivement, la masse molaire et le volume molaire. 45 1.5.3 Définition expérimentale d’un gaz parfait Les lois précédentes sont d’autant mieux vérifiées que: * la pression du gaz est plus faible * T est élevée Un gaz qui vérifie simultanément, ces lois est un gaz parfait. Remarque Dans les conditions normales: T= 273.15 K= 0°C et P =101325 Pa =1 atm, Une mole de gaz parfait occupe un volume molaire : Vm = 22.4 l 46 1.5.4 Equation d’état d’un gaz parfait Soit une mole d’un gaz parfait On a:  PA.VMA PB.VMB  AB : TA  TB  PA.VMA  PB.VMB  T   A TB   : P  P  VMB  VMC  PB.VMB  PC.VMC   BC B C TB TC TB TC  PA.VMA PB.VMB PC.VMC    c te TA TB TC 47 On pose : PA.VMA PB.VMB PC.VMC    c te  R  P.VM  RT TA TB TC R : la constante des gaz parfaits. En général: un gaz parfait constitué par ‘n’ moles, occupant le volume V  P.VM  RT loi de Mariotte ou   V  PV  nRT VM  loi des gaz parfaits  n 48 Détermination de R On se place dans les conditions normales : T0= 273.15 K= 0°C P0=101325 Pa =1 atm Vm0 = 22.4 l P0.VM 0 R  R  8.314 J / mol.K T0 49