Dérivées Partielle et Systèmes Thermodynamiques

Généralités sur la Thermodynamique

• La thermodynamique est l'étude des transformations de l'énergie.
• Elle étudie les échanges d'énergie entre un système et son environnement.

Outils mathématiques

• Fonctions à plusieurs variables: Une fonction à plusieurs variables relie plusieurs variables entre elles.
• Exemple: L'équation d'état d'un gaz parfait (PV = nRT) relie la pression (P), le volume (V), la température (T) et le nombre de moles (n).
• Dérivées partielles: Les dérivées partielles permettent de calculer l'effet d'une variable sur une autre fonction quand les autres variables sont constantes. 
• Exemple : df/dx est la dérivée partielle de f par rapport à x, en tenant y constant.

Différentielle d'une fonction

• La différentielle d'une fonction de deux variables indépendantes (x,y) est donnée par : df = (∂f/∂x)dx + (∂f/∂y)dy
• Exemple 1 : Si P = NkT, alors dP = (∂P/∂n)dn + (∂P/∂T)dT
• Exemple 2 : Si f(x,y) = xy^n + 2x + y², alors df = y^n dx + nx y^(n-1) dy + 2 dx + 2y dy.

Différentielle Totale Exacte (D.T.E)

• Une forme différentielle est une D.T.E si sa partie "dx" et "dy" vérifie une condition donnée (critère de Cauchy).

Exercices de Calcul de Dérivées Partielles

• Des exercices sont fournis, avec des fonctions f(x, y), pour déterminer les dérivées partielles successives f$x$, f$y$, f${xx}$, f${yy}$, f${xy}$, f${yx}$.

Concepts de base et définitions (Système thermodynamique)

• Définition d'un système thermodynamique : région spatiale délimitée (frontière) avec son environnement.
• L'environnement est tout ce qui n'appartient pas au système.
• Système ouvert: Échange de matière et d'énergie avec l'environnement.
• Système fermé: Échange d'énergie mais pas de matière avec l'environnement.
• Système isolé: Ni échange de matière, ni échange d'énergie avec l'environnement.

Concepts de base et définitions (Variables d'état)

• Variables macroscopiques qui définissent l'état d'un système : Pression (P), Volume (V), Température (T), Masse (m), Nombre de moles (n), Masse volumique (ρ).
• Unités de mesure : P en Pa ou N/m²; V en m³ ou litres ; T en Kelvin ou degrés Celsius ; m en kg; n en moles; ρ en kg/m³.

Concepts de base et définitions (Variables extensives et intensives)

• Variables extensives: proportionnelles à la quantité de matière (ex : volume, masse, nombre de molécules).
• Variables intensives: indépendantes de la quantité de matière (ex : pression, température, masse volumique).

Concepts de base et définitions (Équation d'état)

• Relation entre les variables d'état d'un système.
• Gaz parfait : PV = nRT

Concepts de base et définitions (Constantes)

• Valeur de la constante des gaz parfaits pour différents ensembles d'unités (atm.L/mol.K, Pa.m³/mol.K, etc.)

Concepts de base et définitions (Fonction d'état)

• Grandeur physique dont la variation ne dépend que des états initial et final, pas du chemin suivi.
• Exemples: énergie interne (U), enthalpie (H), entropie (S).

Éléments de thermique (Température)

• Mesure macroscopique de l'énergie cinétique moyenne des particules d'un système.
• Échelles de température : Celsius, Fahrenheit, Kelvin.

Éléments de thermique (Chaleur)

• Mesure de l'énergie échangée entre deux systèmes à différentes températures.
• La chaleur échange entre les corps chaud et froid.

Éléments de thermique (Chaleur massique)

• Quantité de chaleur nécessaire pour augmenter la température d'un kilogramme d'une substance de 1K, sans changer d'état.
• Valeurs données pour l'eau, le fer, l'aluminium etc.

Éléments de thermique (Calorimétrie)

• Mesure des quantités de chaleurs échangées entre les différents systèmes, ou utilisation d'un calorimètre pour calculer la capacité thermique du système ou la température d'équilibre entre plusieurs systèmes.

Travail des forces de pression

• Travail effectué par les forces de pression sur un système thermodynamique.
• Calcul du travail en fonction des variations de volume (dV) et de pression (dP).
• Différence entre travail réversible et irréversible.

Premier principe de la thermodynamique

• Conservation de l'énergie : dans un système fermé, la variation d'énergie interne est égale à la somme algébrique du travail et de la chaleur échangés.

Deuxième principe de la thermodynamique

• L'entropie est une fonction d'état qui quantifie le degré de désordre d'un système.
• L'entropie d'un système isolé ne peut qu'augmenter.
• Divers énoncés du deuxième principe (Clausius et Kelvin).
• Cycle de Carnot: cycle idéal et réversible utilisé pour les machines thermiques.
• Rendement d'une machine thermique: rapport entre le travail utile et l'énergie fournie.

Fonction Entropie (S)

• Calcul de variation d'entropie en fonction des transformations et variables d'état du systèmes .

Fonction Enthalpie (H)

• Définition de l'enthalpie et son calcul sur un système thermodynamique.

Loi de Laplace

• Définition de la loi de Laplace sur un gaz parfait lors d'une transformation adiabatique.

Ce quiz explore les concepts de dérivées partielles, en mettant l'accent sur la fonction f(x, y) et ses dérivées par rapport à x et y. Il aborde également des exemples d'applications pratiques et des types de systèmes thermodynamiques, tels que les bouteilles isothermes et les réfrigérateurs. Testez vos connaissances sur ces sujets importants en mathématiques et en physique.