Cours Probabilités CTA S3 Septembre 2024 PDF

Cours probabilités CTA N.Soukher ESTFBS Septembre 2024 (Institute) S3 Septembre 2024 1 / 86 Sommaire 1 Rappel : (combinatoire et dénombrements) (Institute) S3 S...

Cours probabilités CTA N.Soukher ESTFBS Septembre 2024 (Institute) S3 Septembre 2024 1 / 86 Sommaire 1 Rappel : (combinatoire et dénombrements) (Institute) S3 Septembre 2024 2 / 86 Sommaire 1 Rappel : (combinatoire et dénombrements) 2 Probabilités (Institute) S3 Septembre 2024 2 / 86 Sommaire 1 Rappel : (combinatoire et dénombrements) 2 Probabilités 1 Vocabulaires des Probabilités (Institute) S3 Septembre 2024 2 / 86 Sommaire 1 Rappel : (combinatoire et dénombrements) 2 Probabilités 1 Vocabulaires des Probabilités 2 Calcul des probabilités (Institute) S3 Septembre 2024 2 / 86 Sommaire 1 Rappel : (combinatoire et dénombrements) 2 Probabilités 1 Vocabulaires des Probabilités 2 Calcul des probabilités 3 Probabilités conditionnelles (Institute) S3 Septembre 2024 2 / 86 Sommaire 1 Rappel : (combinatoire et dénombrements) 2 Probabilités 1 Vocabulaires des Probabilités 2 Calcul des probabilités 3 Probabilités conditionnelles 4 Evénements indépendants (Institute) S3 Septembre 2024 2 / 86 Sommaire 1 Rappel : (combinatoire et dénombrements) 2 Probabilités 1 Vocabulaires des Probabilités 2 Calcul des probabilités 3 Probabilités conditionnelles 4 Evénements indépendants 3 Variables aléatoires (Institute) S3 Septembre 2024 2 / 86 Sommaire 1 Rappel : (combinatoire et dénombrements) 2 Probabilités 1 Vocabulaires des Probabilités 2 Calcul des probabilités 3 Probabilités conditionnelles 4 Evénements indépendants 3 Variables aléatoires 1 Variables aléatoires discrètes (Institute) S3 Septembre 2024 2 / 86 Sommaire 1 Rappel : (combinatoire et dénombrements) 2 Probabilités 1 Vocabulaires des Probabilités 2 Calcul des probabilités 3 Probabilités conditionnelles 4 Evénements indépendants 3 Variables aléatoires 1 Variables aléatoires discrètes 2 Variables aléatoires continues (Institute) S3 Septembre 2024 2 / 86 Sommaire 1 Rappel : (combinatoire et dénombrements) 2 Probabilités 1 Vocabulaires des Probabilités 2 Calcul des probabilités 3 Probabilités conditionnelles 4 Evénements indépendants 3 Variables aléatoires 1 Variables aléatoires discrètes 2 Variables aléatoires continues 3 Formules (Institute) S3 Septembre 2024 2 / 86 Sommaire 1 Rappel : (combinatoire et dénombrements) 2 Probabilités 1 Vocabulaires des Probabilités 2 Calcul des probabilités 3 Probabilités conditionnelles 4 Evénements indépendants 3 Variables aléatoires 1 Variables aléatoires discrètes 2 Variables aléatoires continues 3 Formules 4 Lois des probabilités usuelles (Institute) S3 Septembre 2024 2 / 86 Sommaire 1 Rappel : (combinatoire et dénombrements) 2 Probabilités 1 Vocabulaires des Probabilités 2 Calcul des probabilités 3 Probabilités conditionnelles 4 Evénements indépendants 3 Variables aléatoires 1 Variables aléatoires discrètes 2 Variables aléatoires continues 3 Formules 4 Lois des probabilités usuelles 1 Lois discrètes (Institute) S3 Septembre 2024 2 / 86 Sommaire 1 Rappel : (combinatoire et dénombrements) 2 Probabilités 1 Vocabulaires des Probabilités 2 Calcul des probabilités 3 Probabilités conditionnelles 4 Evénements indépendants 3 Variables aléatoires 1 Variables aléatoires discrètes 2 Variables aléatoires continues 3 Formules 4 Lois des probabilités usuelles 1 Lois discrètes 2 Lois continues (Institute) S3 Septembre 2024 2 / 86 Sommaire 1 Rappel : (combinatoire et dénombrements) 2 Probabilités 1 Vocabulaires des Probabilités 2 Calcul des probabilités 3 Probabilités conditionnelles 4 Evénements indépendants 3 Variables aléatoires 1 Variables aléatoires discrètes 2 Variables aléatoires continues 3 Formules 4 Lois des probabilités usuelles 1 Lois discrètes 2 Lois continues 3 Approximation par une loi normale (Institute) S3 Septembre 2024 2 / 86 Rappel : (combinatoire et dénombrements) Le but de cette partie est de faire quelques rappels de combinatoire a…n de faire des calculs de probabilités. I. Cardinal De…nition Soit Ω un ensemble …ni, par exemple Ω = fa1 , a2 ,....., an g. On appelle cardinal de Ω le nombre d’éléments de Ω, noté Card (Ω). Ici on a Card (Ω) = n (Institute) S3 Septembre 2024 3 / 86 Rappel : (combinatoire et dénombrements) Propriétés : Soient A et B deux parties de Ω. On a : Card (A [ B ) = Card (A) + Card (B ) Card (A \ B ) Card (A) = Card (Ω) Card (A) (Institute) S3 Septembre 2024 4 / 86 Rappel : (combinatoire et dénombrements) Propriétés : Soient A et B deux parties de Ω. On a : Card (A [ B ) = Card (A) + Card (B ) Card (A \ B ) Card (A) = Card (Ω) Card (A) Si les ensembles A1 , A2 ,..., Ap constituent une partition de Ω, alors on a : Card (Ω) = Card (A1 ) + Card (A2 ) +... + Card (Ap ) (Institute) S3 Septembre 2024 4 / 86 Rappel : (combinatoire et dénombrements) Propriétés : Soient A et B deux parties de Ω. On a : Card (A [ B ) = Card (A) + Card (B ) Card (A \ B ) Card (A) = Card (Ω) Card (A) Si les ensembles A1 , A2 ,..., Ap constituent une partition de Ω, alors on a : Card (Ω) = Card (A1 ) + Card (A2 ) +... + Card (Ap ) Soient Ω1 et Ω2 deux ensembles …nis. On a : Card (Ω1 Ω2 ) = Card (Ω1 ).Card (Ω2 ) (Institute) S3 Septembre 2024 4 / 86 Rappel : (combinatoire et dénombrements) Example Dans un groupe de 90 étudiants, 60 ont validé le module de Math, 72 ont validé le module de Physique et 14 n’ont validé aucun module. Combien d’étudiants ont validé les deux modules ? (Institute) S3 Septembre 2024 5 / 86 Rappel : (combinatoire et dénombrements) Soient Ω l’ensemble des étudiants, A l’ensemble des étudiants ayant validé le module de Math, B l’ensemble des étudiants ayant validé le module de Physique C l’ensemble des étudiants n’ayant validé aucun modules. On a : Card (Ω) = 90; Card (A) = 72; Card (B ) = 60 et Card (C ) = 14. On cherche Card (A \ B ). (Institute) S3 Septembre 2024 6 / 86 Rappel : (combinatoire et dénombrements) On a C = A\B = A[B Card (C ) = Card (Ω) Card (A) Card (B ) + Card (A \ B ) D’où Card (A \ B ) = Card (C ) Card (Ω) + Card (A) + Card (B ) = 56 En conclusion, 56 étudiants ont validé les deux modules. (Institute) S3 Septembre 2024 7 / 86 Rappel : (combinatoire et dénombrements) II. Arrangements avec répétition. De…nition C’est le nombre de façons de choisir successivement avec remise k objets, ordonnés, parmi n objets. La situation suivante peut par exemple être considérée comme des arrangements avec répétition, noté nk. Example On jette un dé à 6 faces 2 fois, il y a 62 = 36 possibilités. Ici Ω = f1, 2, 3, 4, 5, 6g (Institute) S3 Septembre 2024 8 / 86 Rappel : (combinatoire et dénombrements) III. Arrangements sans répétition. De…nition C’est le nombre de façons de choisir successivement sans remise k objets, ordonnés, parmi n objets. La situation suivante peut par exemple être considérée comme des arrangements sans répétition, noté Akn , dé…ni par: Akn = n(n 1)(n 2)...(n k + 1) En utilisant la notation factorielle, n! = n (n 1)...3 2 1 , on a Akn = (n n!k )! Example Le nombre de tiercés possibles lorsque 14 chevaux prennent le départ, est : A314 = 14 13 12 = 2184 possibilités. Ici Ω = f1, 2,..., 13, 14g (Institute) S3 Septembre 2024 9 / 86 Rappel : (combinatoire et dénombrements) Permutations. De…nition C’est le nombre de façons d’ordonner un ensemble à n éléments, et c’est n!. Example Le nombre de façons d’attribuer des chaises à 8 convives autour d’une table, est 8! = 40320 possibilités (Institute) S3 Septembre 2024 10 / 86 Rappel : (combinatoire et dénombrements) IV. Combinaisons. Dé…nitions Soit Ω un ensemble à n éléments, k un entier tel que (0 k n). On appelle combinaison de k éléments de Ω toute partie de Ω ayant k éléments. Example Le nombre de façons de choisir 4 boules simultanément dans une urne 4 4 = A 10 = 10! = 210 comprenant 10 boules, est C10 4! 4! 6! (Institute) S3 Septembre 2024 11 / 86 Rappel : (combinatoire et dénombrements) IV. Combinaisons. Dé…nitions Soit Ω un ensemble à n éléments, k un entier tel que (0 k n). On appelle combinaison de k éléments de Ω toute partie de Ω ayant k éléments. Le nombre de combinaisons à k éléments d’un ensemble Ωàn A kn éléments est le nombre noté Cn , dé…ni par : Cn = k ! = k !(nn! k )! k k Example Le nombre de façons de choisir 4 boules simultanément dans une urne 4 4 = A 10 = 10! = 210 comprenant 10 boules, est C10 4! 4! 6! (Institute) S3 Septembre 2024 11 / 86 Probabilités I. Vocabulaire des probabilités 1. Expérience aléatoire Expérience aléatoire est une expérience dont le résultat dépend du hasard. Chacun des résultats possibles s’appelle une éventualité (ou une issue). L’ensemble Ω de tous les résultats possibles d’une expérience aléatoire s’appelle l’univers de l’expérience. 2. Evènement L’évènement A est une partie de l’univers Ω 3. Exemple On lance un dé a six faces. L’espace fondamental décrit l’ensemble des lancés possibles: Ω = f1, 2, 3, 4, 5, 6g A = f4, 5g Ω est l’événement "obtenir 4 ou 5". (Institute) S3 Septembre 2024 12 / 86 Probabilités 4. Opérations sur les évènements (Institute) S3 Septembre 2024 13 / 86 Probabilités II. Calcul des probabilités 1. Axiomes du calcul des probabilités On appelle probabilité sur l’univers Ω toute application P : P (Ω) ! [0, 1] (Institute) S3 Septembre 2024 14 / 86 Probabilités II. Calcul des probabilités 1. Axiomes du calcul des probabilités On appelle probabilité sur l’univers Ω toute application P : P (Ω) ! [0, 1] véri…ant P (Ω) = 1 (Institute) S3 Septembre 2024 14 / 86 Probabilités II. Calcul des probabilités 1. Axiomes du calcul des probabilités On appelle probabilité sur l’univers Ω toute application P : P (Ω) ! [0, 1] véri…ant P (Ω) = 1 et pour tout couple de parties disjointes A et B de Ω, P (A [ B ) = P (A) + P (B ). Le couple (Ω, P ) s’appelle alors un espace probabiliste (Institute) S3 Septembre 2024 14 / 86 Probabilités 2. Propriétés des probabilités : P (∅) = 0; (Institute) S3 Septembre 2024 15 / 86 Probabilités 2. Propriétés des probabilités : P (∅) = 0; Soit A 2 P (Ω), P (A) = 1 P (A); (Institute) S3 Septembre 2024 15 / 86 Probabilités 2. Propriétés des probabilités : P (∅) = 0; Soit A 2 P (Ω), P (A) = 1 P (A); Soient A, B 2 P (Ω), A B =) P (A) P (B ); (Institute) S3 Septembre 2024 15 / 86 Probabilités 2. Propriétés des probabilités : P (∅) = 0; Soit A 2 P (Ω), P (A) = 1 P (A); Soient A, B 2 P (Ω), A B =) P (A) P (B ); Soient A, B 2 P (Ω), P (A [ B ) = P (A) + P (B ) P (A \ B ); (Institute) S3 Septembre 2024 15 / 86 Probabilités 2. Propriétés des probabilités : P (∅) = 0; Soit A 2 P (Ω), P (A) = 1 P (A); Soient A, B 2 P (Ω), A B =) P (A) P (B ); Soient A, B 2 P (Ω), P (A [ B ) = P (A) + P (B ) P (A \ B ); Pour toute famille A1 ,... , Ap d’événements deux à deux incompatibles, P (A1 [ [ Ap ) = P (A1 ) + + P (Ap ). (Institute) S3 Septembre 2024 15 / 86 Probabilités 2. Propriétés des probabilités : P (∅) = 0; Soit A 2 P (Ω), P (A) = 1 P (A); Soient A, B 2 P (Ω), A B =) P (A) P (B ); Soient A, B 2 P (Ω), P (A [ B ) = P (A) + P (B ) P (A \ B ); Pour toute famille A1 ,... , Ap d’événements deux à deux incompatibles, P (A1 [ [ Ap ) = P (A1 ) + + P (Ap ). Pour tout système complet d’événements A1 ,... , Ap , P (A1 [ [ Ap ) = 1. (Institute) S3 Septembre 2024 15 / 86 Probabilités 2. Propriétés des probabilités : P (∅) = 0; Soit A 2 P (Ω), P (A) = 1 P (A); Soient A, B 2 P (Ω), A B =) P (A) P (B ); Soient A, B 2 P (Ω), P (A [ B ) = P (A) + P (B ) P (A \ B ); Pour toute famille A1 ,... , Ap d’événements deux à deux incompatibles, P (A1 [ [ Ap ) = P (A1 ) + + P (Ap ). Pour tout système complet d’événements A1 ,... , Ap , P (A1 [ [ Ap ) = 1. Si Ω = fω 1 ,... , ω n g, et si p1 ,... , pn sont des réels de [0, 1], on dé…nit une probabilité sur Ω par P (X = ω i ) = pi si et seulement si p1 + + pn = 1. Dans ce cas, pour tout A Ω, on a P (A) = ∑ pi. i ;ω i 2A (Institute) S3 Septembre 2024 15 / 86 Probabilités 3. Equiprobabilités L’équiprobabilité correspond au cas où tous les événements élémentaires ont la même probabilité. Si l’espace fondamental est …ni: Ω = fω 1 ,... , ω n g on peut dé…nir une mesure de probabilité sur Ω en posant Card (A ) "Nombre de cas favorables " P (A) : = Card (Ω) = "Nombre total de cas " Example On lance un dé non truqué à six faces. Quelle est la probabilité d’avoir un chi¤re impair ? On a Ω = f1, 2, 3, 4, 5; 6g Card (f1,3,5 g) et donc P ("chi¤re impair ") = Card (Ω) = 12 (Institute) S3 Septembre 2024 16 / 86 Probabilités III. Probabilités conditionnelles De…nition Ω désigne un ensemble …ni et P est une probabilité sur Ω. Soient A et B deux événements tels que P (B ) > 0. On appelle probabilité P (A \B ) conditionnelle de A sachant B le réel P (AjB ) = PB (A) = P (B ). PB est une probabilité sur Ω. (Institute) S3 Septembre 2024 17 / 86 Probabilités Example On jette deux dés non truqués. Quelle est la probabilité que la somme fasse 6 sachant que l’un des deux marque 4 ? On pose A = "la somme fait 6", B = "un des dés marque 4". On a Ω = f1, 2, 3, 4, 5; 6g f1, 2, 3, 4, 5; 6g A = f(1; 5), (2; 4), (3; 3), (4; 2), (5, 1)g B = f(4; 1), (4; 2),..., (4; 6)g [ f(1; 4), (2; 4),..., (6; 4)g A \ B = f(2; 4), (4; 2)g Ainsi on a P (A \B ) Card (A \B ) 2 P (AjB ) = PB (A) = P (B ) = Card (B ) = 11 (Institute) S3 Septembre 2024 18 / 86 Probabilités Formule de Bayes pour deux événements : Si A et B sont deux événements de probabilité non nulle, alors P (A ) P ( A j B ) = P ( B j A ) P (B ). Ceci permet de calculer P (AjB ) connaissant P (B jA) ou vice-versa. Example Un test de dépistage T est e¤ectué sur une population dont 10% présente une a¤ection A non apparente. Le test donne 30% de résultats positifs. On sait que ce test donne 97% de résultats positifs sur les personnes présentant A. Quelle est la probabilité d’être atteint si T est positif ? Posons A = "les malades", T + = "Test positif ". On écrit: P (A ) 97 10 97 P (AjT + ) = P (T + jA) P (T + ) = 100 30 = 300 = 0.323 33 (Institute) S3 Septembre 2024 19 / 86 Probabilités Formule des probabilités totales Si fA1 , A2 ,..., An g est un sysème complet d’évènements, alors quel que soit l’évènement B, on a: P (B ) = ∑ PA i (B )P (Ai ) 1 i n Cas particulier: si A Ω, on a Ω = A [ A et P (B ) = P (A)P (B jA) + P (A)P (B jA) On considère un groupe formé de 60 hommes et 40 femmes. Dans ce groupe, 30% des hommes sont heureux et 60% des femmes sont heureuses. On choisit un individu au hasard. Quelle est la probabilité qu’il soit un heureux ? Quelle est la probabilité qu’elle soit une femme, sachant qu’elle est heureuse ? (Institute) S3 Septembre 2024 20 / 86 Probabilités Formule des probabilités totales Si fA1 , A2 ,..., An g est un sysème complet d’évènements, alors quel que soit l’évènement B, on a: P (B ) = ∑ PA i (B )P (Ai ) 1 i n Cas particulier: si A Ω, on a Ω = A [ A et P (B ) = P (A)P (B jA) + P (A)P (B jA) Exemple On considère un groupe formé de 60 hommes et 40 femmes. Dans ce groupe, 30% des hommes sont heureux et 60% des femmes sont heureuses. On choisit un individu au hasard. Quelle est la probabilité qu’il soit un heureux ? Quelle est la probabilité qu’elle soit une femme, sachant qu’elle est heureuse ? (Institute) S3 Septembre 2024 20 / 86 Probabilités IV. Evènements indépendants De…nition Deux évènements A et B d’un même espace probabilisé sont dits indépendants si et seulement si la réalisation de l’un n’a aucune in‡uence sur la probabilité de réalisation de l’autre. On a alors : P (AjB ) = P (A) et P (B jA) = P (B ) Corollary Deux événements A et B sont dits indépendants si et seulement si : P (A \ B ) = P (A)P (B ) Exemple On lance un dé deux fois. Soit les événements : A =”obtenir un point impair au premier lancer” B =”obtenir le point 3 ou 6 au deuxiéme lancer” (Institute) S3 Septembre 2024 21 / 86 Probabilités Remarque Il ne faut pas confondre événements indépendants et événements incompatibles : indépendants =) P (A \ B ) = P (A)P (B ) incompatibles =) P (A \ B ) = 0 (Institute) S3 Septembre 2024 22 / 86 Probabilités Remarque Il ne faut pas confondre événements indépendants et événements incompatibles : indépendants =) P (A \ B ) = P (A)P (B ) incompatibles =) P (A \ B ) = 0 Dans une suite de tirages successifs avec remise, les tirages sont indépendants. (Institute) S3 Septembre 2024 22 / 86 Probabilités Remarque Il ne faut pas confondre événements indépendants et événements incompatibles : indépendants =) P (A \ B ) = P (A)P (B ) incompatibles =) P (A \ B ) = 0 Dans une suite de tirages successifs avec remise, les tirages sont indépendants. Dans une suite de tirages successifs sans remise, les tirages ne sont pas indépendants. (Institute) S3 Septembre 2024 22 / 86 Probabilités Remarque Il ne faut pas confondre événements indépendants et événements incompatibles : indépendants =) P (A \ B ) = P (A)P (B ) incompatibles =) P (A \ B ) = 0 Dans une suite de tirages successifs avec remise, les tirages sont indépendants. Dans une suite de tirages successifs sans remise, les tirages ne sont pas indépendants. Si A et B sont indépendants, il en est de même pour les paires d’événements A et B; A et B; A et B. (Institute) S3 Septembre 2024 22 / 86 Variables aléatoires Une variable aléatoire consisté à associer une valeur numérique à chaque élément de Ω. I. Variables aléatoires De…nition Soit Ω un espace fondamental équipé d’une mesure de probabilité P. On appelle variable aléatoire X toute application X : Ω ! R. Exemples : La somme des chi¤res dans le lancer de deux dés. On jette deux dés équilibrés de deux couleurs di¤érentes. A chaque élément (i; j ) 2 Ω = f1,..., 6g f1,..., 6g, on associe la somme i + j. On dé…nit ainsi une application X : Ω ! R. L’ensemble des valeurs prises par cette application (noté X (Ω)) est : X (Ω) = f2, 3, 4,....12g (Institute) S3 Septembre 2024 23 / 86 Variables aléatoires Rappel: si I R, et X : Ω ! R est une variable aléatoire, on note X (I ) l’ensemble X 1 (I ) = fω 2 Ω : X (ω ) 2 I g 1 C’est "l’image réciproque de I par X ". Notations : Si x 2 R, P (X = x ) := P (X 1 (fx g)). Un exemple: On lance deux dés. Soit X la variable aléatoire "somme des valeurs obtenues". Calculer P (X = 5). On a Ω = f1,..., 6g f1,..., 6g, X 1 (f5g) = f(1, 4); (4, 1); (2, 3); (3, 2)g, 4 d’où P (X = 5) = 36 = 0, 11111.... (Institute) S3 Septembre 2024 24 / 86 Variables aléatoires Rappel: si I R, et X : Ω ! R est une variable aléatoire, on note X (I ) l’ensemble X 1 (I ) = fω 2 Ω : X (ω ) 2 I g 1 C’est "l’image réciproque de I par X ". Notations : Si x 2 R, P (X = x ) := P (X 1 (fx g)). Si I R, P (X 2 I ) := P (X 1 (I )). Un exemple: On lance deux dés. Soit X la variable aléatoire "somme des valeurs obtenues". Calculer P (X = 5). On a Ω = f1,..., 6g f1,..., 6g, X 1 (f5g) = f(1, 4); (4, 1); (2, 3); (3, 2)g, 4 d’où P (X = 5) = 36 = 0, 11111.... (Institute) S3 Septembre 2024 24 / 86 Variables aléatoires discrétes I. Variables aléatoires discrétes De…nition Une variable aléatoire X est dite discrète si son image X (Ω) est …nie ou in…ni dénombrable: X (Ω) = fx1 , x2 ,..., xn ,...g La loi de probabilité de X est la donnée de P (X = x1 ); P (X = x2 );...; P (X = xn ). On a toujours P (X = x1 ) +... + P (X = xn ) = 1. La fonction de répartition de X est par dé…nition: F (x ) : = P (X x ) = ∑ P (X = xi ) xi x (Institute) S3 Septembre 2024 25 / 86 Variables aléatoires discrétes Exemple. On joue quatre fois à pile ou face. Soit X la variable aléatoire "nombre de face obtenus". Ici Ω = f0, 1g4 , et donc X (Ω) = f0, 1, 2, 3, 4g On a Card (Ω) = 24 = 16. 1 4 C2 On a de plus P (X = 0) = 16 , P (X = 1) = 16 , P (X = 2) = 164 = 3 6 16 , P (X= 3) = C164 = 16 4 1 , P (X = 4) = 16 La fonction 8 de répartition de X est donc donnée par: > > 0 0 > 1 0 x > < 16 5 16 1 x > 16 2 x > 15 > > 3 x a ) = 1 FX ( a ) , De…nition On appelle atome de la variable aléatoire X tout réel a pour lequel P (X = a) > 0. Propriété — Les atomes de la variable aléatoire X sont exactement les points de discontinuité de la fonction de répartition. (Institute) S3 Septembre 2024 28 / 86 Variables aléatoires discrétes P (X > a ) = 1 FX ( a ) , P (a < X b ) = FX ( b ) FX ( a ) , De…nition On appelle atome de la variable aléatoire X tout réel a pour lequel P (X = a) > 0. Propriété — Les atomes de la variable aléatoire X sont exactement les points de discontinuité de la fonction de répartition. (Institute) S3 Septembre 2024 28 / 86 Variables aléatoires discrétes P (X > a ) = 1 FX ( a ) , P (a < X b ) = FX ( b ) FX ( a ) , P ( X = a ) = FX ( a ) lim FX (t ) t !a De…nition On appelle atome de la variable aléatoire X tout réel a pour lequel P (X = a) > 0. Propriété — Les atomes de la variable aléatoire X sont exactement les points de discontinuité de la fonction de répartition. (Institute) S3 Septembre 2024 28 / 86 Paramétres variables aléatoires discrétes Espérance. De…nition Soit X une v.a. discrète, on note X (Ω) = fx1 , x2 ,..., xn g. L’espérance de X , notée E (X ) est par dé…nition n E (X ) : = ∑ xi P (X = xi ) i =1 = x1 P (X = x1 ) + x2 P (X = x2 ) +... + xn P (X = xn ). C’est la valeur "moyenne" de la variable X. (Institute) S3 Septembre 2024 29 / 86 Paramétres variables aléatoires discrétes Exemple. On joue quatre fois à pile ou face. Soit X la variable aléatoire "nombre de face obtenus". Quelle est l’espérance de X ? Ici Ω = f0, 1g4 et X (Ω) = f0, 1, 2, 3, 4g 1 4 6 4 1 Alors E (X ) = 0 16 + 1 16 + 2 16 + 3 16 + 4 16 =2 (Institute) S3 Septembre 2024 30 / 86 Paramétres variables aléatoires discrétes Si X (Ω) est …ni, E (X ) existe toujours. (Institute) S3 Septembre 2024 31 / 86 Paramétres variables aléatoires discrétes Si X (Ω) est …ni, E (X ) existe toujours. Si X (Ω) est in…ni, E (X ) existe sous réserve de convergence. (Institute) S3 Septembre 2024 31 / 86 Paramétres variables aléatoires discrétes Si X (Ω) est …ni, E (X ) existe toujours. Si X (Ω) est in…ni, E (X ) existe sous réserve de convergence. Soit X une variable aléatoire discrète et soit f une fonction réelle. Alors f (X ) est une variable aléatoire discrète et on a : E (f (X )) = ∑ f (xi )P (xi ) x i 2X ( Ω ) (Institute) S3 Septembre 2024 31 / 86 Paramétres variables aléatoires discrétes Si X (Ω) est …ni, E (X ) existe toujours. Si X (Ω) est in…ni, E (X ) existe sous réserve de convergence. Soit X une variable aléatoire discrète et soit f une fonction réelle. Alors f (X ) est une variable aléatoire discrète et on a : E (f (X )) = ∑ f (xi )P (xi ) x i 2X ( Ω ) En particulier si f (x ) = x r , On obtient E (X r ) = ∑ xir P (xi ) x i 2X ( Ω ) E (X r )s’appelle le moment d’ordre r de X. (Institute) S3 Septembre 2024 31 / 86 Paramétres variables aléatoires discrétes Ecart type. De…nition Soit X une v.a. discrète, on note X (Ω) = fx1 , x2 ,..., xn g. La variance de X , notée V (X ) est par dé…nition n V (X ) := E ((X E (X ))2 ) = ∑ (xi E (X ))2 P (X = xi ) i =1 = (x1 E (X ))2 P (X = x1 ) + (x2 E (X ))2 P (X = x2 ) +... + (xn E (X ))2 P (X = xn ). p σ(X ) est par dé…nition L’écart type σ (X ) : = V (X ) C’est une mesure de la "dispersion" de la variable X autour de sa moyenne E (X ). (Institute) S3 Septembre 2024 32 / 86 Paramétres variables aléatoires discrétes Exemple. On joue quatre fois à pile ou face. Soit X la variable aléatoire "nombre de face obtenus". Quelle est l’écart type de X ? Ici Ω = f0, 1g4 , X (Ω) = f0, 1, 2, 3, 4g et E (X ) = 2 1 4 6 On sait V (X ) = (0 2)2 16 + (1 2)2 16 + (2 2)2 16 + (3 2 4 2 1 2) + ( 4 2 ) = 1 16 p 16 Donc σ(X ) = 1 = 1 (Institute) S3 Septembre 2024 33 / 86 Variables aléatoires continues II. Variables aléatoires continues De…nition Une variable aléatoire X est dite continue si son image X (Ω) est un intervalle de R, borné ou non. X (Ω) = I R La fonction de répartition de X est par dé…nition l’application notée FX dé…nie de R vers [0; 1] par : Rx 8x 2 R, FX (x ) = P (X x ) = ∞ (??) Propriétés : Soit X une variable aléatoire continue, FX sa fonction de répartition et fX sa densité de probabilité. On a : FX est continue sur R, (Institute) S3 Septembre 2024 34 / 86 Variables aléatoires continues II. Variables aléatoires continues De…nition Une variable aléatoire X est dite continue si son image X (Ω) est un intervalle de R, borné ou non. X (Ω) = I R La fonction de répartition de X est par dé…nition l’application notée FX dé…nie de R vers [0; 1] par : Rx 8x 2 R, FX (x ) = P (X x ) = ∞ (??) Propriétés : Soit X une variable aléatoire continue, FX sa fonction de répartition et fX sa densité de probabilité. On a : FX est continue sur R, FX est croissante sur R, (Institute) S3 Septembre 2024 34 / 86 Variables aléatoires continues II. Variables aléatoires continues De…nition Une variable aléatoire X est dite continue si son image X (Ω) est un intervalle de R, borné ou non. X (Ω) = I R La fonction de répartition de X est par dé…nition l’application notée FX dé…nie de R vers [0; 1] par : Rx 8x 2 R, FX (x ) = P (X x ) = ∞ (??) Propriétés : Soit X une variable aléatoire continue, FX sa fonction de répartition et fX sa densité de probabilité. On a : FX est continue sur R, FX est croissante sur R, lim FX (t ) = 0 t! ∞ (Institute) S3 Septembre 2024 34 / 86 Variables aléatoires continues II. Variables aléatoires continues De…nition Une variable aléatoire X est dite continue si son image X (Ω) est un intervalle de R, borné ou non. X (Ω) = I R La fonction de répartition de X est par dé…nition l’application notée FX dé…nie de R vers [0; 1] par : Rx 8x 2 R, FX (x ) = P (X x ) = ∞ (??) Propriétés : Soit X une variable aléatoire continue, FX sa fonction de répartition et fX sa densité de probabilité. On a : FX est continue sur R, FX est croissante sur R, lim FX (t ) = 0 t! ∞ (Institute) S3 Septembre 2024 34 / 86 Variables aléatoires continues La densité de probabilité Soit X une variable aléatoire continue et soit FX sa fonction de répartition. On appelle densité de probabilitéRde X la fonction, notée fX ,véri…ant : x 8x 2 R, FX (x ) = P (X x ) = ∞ fX (t )dt 0 On :fX (x ) = FX (x ) Proposition Une fonction fX est une densité de probabilité ssi: fx ( x ) 0 8x 2 R (Institute) S3 Septembre 2024 35 / 86 Variables aléatoires continues La densité de probabilité Soit X une variable aléatoire continue et soit FX sa fonction de répartition. On appelle densité de probabilitéRde X la fonction, notée fX ,véri…ant : x 8x 2 R, FX (x ) = P (X x ) = ∞ fX (t )dt 0 On :fX (x ) = FX (x ) Proposition Une fonction fX est une densité de probabilité ssi: fx ( x ) 0 8x 2 R R +∞ f (t )dt ∞ X =1 (Institute) S3 Septembre 2024 35 / 86 Variables aléatoires continues Propriétés : P (X a ) = P ( X < a ) = FX ( a ) (Institute) S3 Septembre 2024 36 / 86 Variables aléatoires continues Propriétés : P (X a ) = P ( X < a ) = FX ( a ) P (X a ) = P (X > a ) = 1 FX ( a ) (Institute) S3 Septembre 2024 36 / 86 Variables aléatoires continues Propriétés : P (X a ) = P ( X < a ) = FX ( a ) P (X a ) = P (X > a ) = 1 FX ( a ) P (a < X b ) = P (a X b ) = P (a < X < b ) = P (a X < b ) = FX ( b ) FX ( a ) (Institute) S3 Septembre 2024 36 / 86 Variables aléatoires continues Propriétés : P (X a ) = P ( X < a ) = FX ( a ) P (X a ) = P (X > a ) = 1 FX ( a ) P (a < X b ) = P (a X b ) = P (a < X < b ) = P (a X < b ) = FX ( b ) FX ( a ) P (X = a) = 0, (Institute) S3 Septembre 2024 36 / 86 Variables aléatoires continues Exemple : Soit X une variable aléatoire dont la densité de probabilité est donnée par : ke 3x si x 0 fX ( x ) = 0 sinon 1 Déterminer k et représenter fX (x ). (Institute) S3 Septembre 2024 37 / 86 Variables aléatoires continues Exemple : Soit X une variable aléatoire dont la densité de probabilité est donnée par : ke 3x si x 0 fX ( x ) = 0 sinon 1 Déterminer k et représenter fX (x ). 2 Déterminer et représenter la fonction de répartition FX (x ). (Institute) S3 Septembre 2024 37 / 86 Variables aléatoires continues Exemple : Soit X une variable aléatoire dont la densité de probabilité est donnée par : ke 3x si x 0 fX ( x ) = 0 sinon 1 Déterminer k et représenter fX (x ). 2 Déterminer et représenter la fonction de répartition FX (x ). 3 Calculer les probabilités des événements (X 3) et ( 1 X < 3). (Institute) S3 Septembre 2024 37 / 86 Paramétres variables aléatoires continues Espérance et écart type. Soit X une v.a. continue, de loi donnée par une densité fX. L’espérance de X , notée E (X ) est par dé…nition R +∞ E (X ) = ∞ tfX (t )dt C’est la valeur "moyenne" de la variable X. La variance V (X ) est par dé…nition R +∞ V (X ) := E ((X E (X ))2 ) = ∞ (t E (X ))2 fX (t )dt L’écart type σ(X ) est par dé…nition p σ (X ) = V (X ) (Institute) S3 Septembre 2024 38 / 86 Paramétres variables aléatoires continues Exemple : Calculer l’espérance et l’écart-type de la variable aléatoire de l’exemple précédent. (Institute) S3 Septembre 2024 39 / 86 Formules III. Formules Soient a, b 2 R, et X une v.a. discrète ou continue. On a les formules suivantes. E (aX + b ) = aE (X ) + b V (aX + b ) = a2 V (X ) Si X1 , X2 ,..., Xn sont n variables, on a toujours E (X1 + X2 +... + Xn ) = E (X1 ) + E (X2 ) +... + E (Xn ) Par contre, en général, on a V (X1 + X2 +... + Xn ) 6= V (X1 ) + V (X2 ) +... + V (Xn ) (Institute) S3 Septembre 2024 40 / 86 Formules Soient X1 , X2 ,..., Xn , n variables aléatoires. On dit qu’elles sont indépendantes si pour tout I1 ; I2 ;... ; In intervalles de R on a P ((X1 2 I1 ) \ (X2 2 I2 ) \... \ (Xn 2 In )) = P (X1 2 I1 ) P (X2 2 I2 )... P (Xn 2 In ) Si X1 , X2 ,..., Xn , sont indépendantes, on a la formule remarquable V (X1 + X2 +... + Xn ) = V (X1 ) + V (X2 ) +... + V (Xn ) ainsi on a p σ(X1 + X2 +... + Xn ) = V (X1 ) + V (X2 ) +... + V (Xn ) (Institute) S3 Septembre 2024 41 / 86 Variables aléatoires Exemple. On lance une pièce non truquée n fois. Soit Xi la variable aléatoire "résultat du lancé numéro i". On a Xi (Ω) = f0, 1g, E (Xi ) = 12 et V (Xi ) = 14. Supposons les lancés indépendants, considérons la variable Yn = "moyenne du nombre de pile", X 1 +.....+X n Yn = n D’après les formules précédentes on a E (Yn ) = 12 , V (Yn ) = 1 4n , σ(Yn ) = 1 p 2 n On constate que σ(Yn ) tend vers 0 quand n tend vers l’in…ni. C’est la "loi des grands nombres". (Institute) S3 Septembre 2024 42 / 86 L’inégalité de Tchebychev Soit X une variable aléatoire (discrète ou continue) sur un espace fondamental. On note E (X ) et V (X ) l’espérance et la variance. Pour tout ε > 0, on a l’inégalité suivante. V (X ) P (jX E (X )j ε) ε2 Cette formule montre quantitativement que "plus l’écart type est faible, plus la probabilité de s’écarter de la moyenne est faible". (Institute) S3 Septembre 2024 43 / 86 Lois des probabilités usuelles Introduction il est toujours possible d’associer à une v.a une probabilité et dé…nir ainsi une loi de probabilité. Lorsque le nombre d’épreuves augmente indé…niment, les fréquences observées pour le phénomène étudié tendent vers les distributions de probabilité ou loi de probabilité. (Institute) S3 Septembre 2024 44 / 86 Lois des probabilités usuelles Introduction il est toujours possible d’associer à une v.a une probabilité et dé…nir ainsi une loi de probabilité. Lorsque le nombre d’épreuves augmente indé…niment, les fréquences observées pour le phénomène étudié tendent vers les distributions de probabilité ou loi de probabilité. Identi…er la loi de probabilité suivie par une v.a donnée est essentiel car cela conditionne le choix des méthodes employées pour répondre à une question biologique donnée. (Institute) S3 Septembre 2024 44 / 86 Lois des probabilités usuelles I. Lois de probabilité discrètes usuelles 1. Loi uniforme On dit qu’une v.a.d X suit une loi uniforme sur f1,..., ng ssi X (Ω) = f1,..., ng et 8k 2 X (Ω) P (X = k ) = n1 n +1 L’espérance d’une v.a.d uniforme est E (X ) = 2 (Institute) S3 Septembre 2024 45 / 86 Lois des probabilités usuelles I. Lois de probabilité discrètes usuelles 1. Loi uniforme On dit qu’une v.a.d X suit une loi uniforme sur f1,..., ng ssi X (Ω) = f1,..., ng et 8k 2 X (Ω) P (X = k ) = n1 n +1 L’espérance d’une v.a.d uniforme est E (X ) = 2 n2 1 La variance est V (X ) = 12 (Institute) S3 Septembre 2024 45 / 86 Lois des probabilités usuelles I. Lois de probabilité discrètes usuelles 1. Loi uniforme On dit qu’une v.a.d X suit une loi uniforme sur f1,..., ng ssi X (Ω) = f1,..., ng et 8k 2 X (Ω) P (X = k ) = n1 n +1 L’espérance d’une v.a.d uniforme est E (X ) = 2 n2 1 La variance est V (X ) = 12 q n2 1 L’écart type est σ(X ) = 12 (Institute) S3 Septembre 2024 45 / 86 Lois des probabilités usuelles 2. Loi Bernoulli Epreuve de Bernoulli De…nition On appelle épreuve de Bernoulli de paramètre p toute épreuve aléatoire n’ayant que deux résultats possibles : S appelé succès avec la probabilité p S appelé échec avec la probabilité q = 1 p. On a : Ω = fS, S g Exemple On lance une pièce de monnaie, p = q = 0, 5. (Institute) S3 Septembre 2024 46 / 86 Lois des probabilités usuelles 2. Loi Bernoulli Epreuve de Bernoulli De…nition On appelle épreuve de Bernoulli de paramètre p toute épreuve aléatoire n’ayant que deux résultats possibles : S appelé succès avec la probabilité p S appelé échec avec la probabilité q = 1 p. On a : Ω = fS, S g Exemple On lance une pièce de monnaie, p = q = 0, 5. On lance un dé et on considère S =”obtenir la face 3 ou 5”. (Institute) S3 Septembre 2024 46 / 86 Lois des probabilités usuelles Loi de Bernoulli Soit Ω = fS, S g l’univers d’une épreuve de Bernoulli de paramètre p et soit X la variable aléatoire désignant le nombre de succès. On a alors : X (Ω) = f0, 1g Dé…nition X est appelée variable de Bernoulli et la loi de X est appelée loi de Bernoulli de paramètre p. alors on a : X (Ω) = f0, 1g et la loi de probabilité de X est donnée par : 8k 2 X ( Ω ) P (X = k ) = p k q 1 k L’espérance d’une v.a.d uniforme est E (X ) = p (Institute) S3 Septembre 2024 47 / 86 Lois des probabilités usuelles Loi de Bernoulli Soit Ω = fS, S g l’univers d’une épreuve de Bernoulli de paramètre p et soit X la variable aléatoire désignant le nombre de succès. On a alors : X (Ω) = f0, 1g Dé…nition X est appelée variable de Bernoulli et la loi de X est appelée loi de Bernoulli de paramètre p. alors on a : X (Ω) = f0, 1g et la loi de probabilité de X est donnée par : 8k 2 X ( Ω ) P (X = k ) = p k q 1 k L’espérance d’une v.a.d uniforme est E (X ) = p La variance est V (X ) = p (1 p ) = pq (Institute) S3 Septembre 2024 47 / 86 Lois des probabilités usuelles Loi de Bernoulli Soit Ω = fS, S g l’univers d’une épreuve de Bernoulli de paramètre p et soit X la variable aléatoire désignant le nombre de succès. On a alors : X (Ω) = f0, 1g Dé…nition X est appelée variable de Bernoulli et la loi de X est appelée loi de Bernoulli de paramètre p. alors on a : X (Ω) = f0, 1g et la loi de probabilité de X est donnée par : 8k 2 X ( Ω ) P (X = k ) = p k q 1 k L’espérance d’une v.a.d uniforme est E (X ) = p La variance est V (X ) = p (1 p ) = pq p L’écart type est σ(X ) = pq (Institute) S3 Septembre 2024 47 / 86 Lois des probabilités usuelles 3. Loi binomiale On répète n fois, de manière indépendante, une épreuve de Bernoulli de paramètre p. Soit X la variable aléatoire désignant le nombre de succès. (Institute) S3 Septembre 2024 48 / 86 Lois des probabilités usuelles Dé…nition X est appelée variable binomiale et la loi de X est appelée loi binomiale de paramètres n et p. Alors on a : X (Ω) = f0, 1,..., ng et la loi de probabilité de X est donnée par : 8k 2 X (Ω) P (X = k ) = Cnk p k q n k L’espérance d’une v.a.d binomiale est E (X ) = np On note X ! B (n, p ). C’est la loi d’une somme de n variables Xi de Bernoulli, indépendantes et (Institute) S3 Septembre 2024 49 / 86 Lois des probabilités usuelles Dé…nition X est appelée variable binomiale et la loi de X est appelée loi binomiale de paramètres n et p. Alors on a : X (Ω) = f0, 1,..., ng et la loi de probabilité de X est donnée par : 8k 2 X (Ω) P (X = k ) = Cnk p k q n k L’espérance d’une v.a.d binomiale est E (X ) = np La variance est V (X ) = np (1 p ) = npq On note X ! B (n, p ). C’est la loi d’une somme de n variables Xi de Bernoulli, indépendantes et (Institute) S3 Septembre 2024 49 / 86 Lois des probabilités usuelles Dé…nition X est appelée variable binomiale et la loi de X est appelée loi binomiale de paramètres n et p. Alors on a : X (Ω) = f0, 1,..., ng et la loi de probabilité de X est donnée par : 8k 2 X (Ω) P (X = k ) = Cnk p k q n k L’espérance d’une v.a.d binomiale est E (X ) = np La variance est V (X ) = np (1 p ) = npq p L’écart type est σ(X ) = npq On note X ! B (n, p ). C’est la loi d’une somme de n variables Xi de Bernoulli, indépendantes et (Institute) S3 Septembre 2024 49 / 86 Lois des probabilités usuelles Exemple. On joue n fois à pile ou face avec une pièce non truquée. On suppose les lancés indépendants. Soit S la variable "nombre de pile obtenus". Si on note Xi la variable dé…nie par Xi = 1 si "pile" au i-ème lancé, on a S = X1 + X2 +... + Xn. Les variables Xi sont de Bernoulli, indépendantes, et S suit une loi Binomiale de paramètre p = 12. Reconnaissance On reconnait qu’une variable aléatoire X suit une loi binomiale de paramètres n et p si X représente le nombre de succès obtenus en répétant n fois, de manière indépendante, une épreuve de Bernoulli de paramètre p. (Institute) S3 Septembre 2024 50 / 86 Lois des probabilités usuelles Remarque On a : n ∑ Cnk p k q n k =1 k =0 Avec les coe¢ cients Cnk sont aussi appelés coe¢ cients binomiaux. Ils véri…ent la formule de récurrence Cnk 1 + Cnk = Cnk+1 L’expression de la loi binomiale est le terme général des coe¢ cients du binôme de Newton n (p + q )n = ∑ Cnk p k q n k k =0 d’où le nom de loi binomiale. Pour les grandes valeurs de n les calculs de la loi binomiale deviennent très di¢ ciles. On peut, sous certaines conditions, utiliser des approximations avec d’autres lois (voir plus loin). (Institute) S3 Septembre 2024 51 / 86 Lois des probabilités usuelles 4. Loi de Poisson. Une variable X suit une loi de Poisson si X (Ω) = f0, 1,..., n,....g = N et la loi de probabilité de X est donnée par : λk e 8k 2 X ( Ω ) P (X = k ) = λ k! où λ > 0 est le paramètre de la loi. L’espérance d’une variable de Poisson est E (X ) =.λ (Institute) S3 Septembre 2024 52 / 86 Lois des probabilités usuelles 4. Loi de Poisson. Une variable X suit une loi de Poisson si X (Ω) = f0, 1,..., n,....g = N et la loi de probabilité de X est donnée par : λk e 8k 2 X ( Ω ) P (X = k ) = λ k! où λ > 0 est le paramètre de la loi. L’espérance d’une variable de Poisson est E (X ) =.λ La variance est aussi V (X ) = λ (Institute) S3 Septembre 2024 52 / 86 Lois des probabilités usuelles 4. Loi de Poisson. Une variable X suit une loi de Poisson si X (Ω) = f0, 1,..., n,....g = N et la loi de probabilité de X est donnée par : λk e 8k 2 X ( Ω ) P (X = k ) = λ k! où λ > 0 est le paramètre de la loi. L’espérance d’une variable de Poisson est E (X ) =.λ La variance est aussi V (X ) = λ p L’écart type est σ(X ) = λ (Institute) S3 Septembre 2024 52 / 86 Lois des probabilités usuelles Remarque C’est la loi des petites probabiités ou loi des événements rares ( c’est-à-dire des événements avec une probabilité faible) et sans mémoire, dans un intervalle de temps donné par exemple : Le nombre de personnes atteintes d’une maladie Example Le nombre de pannes d’un système mécanique durant une période donnée: λ est le taux moyen de pannes la durée de la période. (Institute) S3 Septembre 2024 53 / 86 Lois des probabilités usuelles Remarque C’est la loi des petites probabiités ou loi des événements rares ( c’est-à-dire des événements avec une probabilité faible) et sans mémoire, dans un intervalle de temps donné par exemple : Le nombre de personnes atteintes d’une maladie Le nombre d’accidents sur une portion de route Example Le nombre de pannes d’un système mécanique durant une période donnée: λ est le taux moyen de pannes la durée de la période. (Institute) S3 Septembre 2024 53 / 86 Lois des probabilités usuelles Remarque C’est la loi des petites probabiités ou loi des événements rares ( c’est-à-dire des événements avec une probabilité faible) et sans mémoire, dans un intervalle de temps donné par exemple : Le nombre de personnes atteintes d’une maladie Le nombre d’accidents sur une portion de route Le nombre d’accidents annuels provoqués par un automobiliste assuré Example Le nombre de pannes d’un système mécanique durant une période donnée: λ est le taux moyen de pannes la durée de la période. (Institute) S3 Septembre 2024 53 / 86 Lois des probabilités usuelles Remarque C’est la loi des petites probabiités ou loi des événements rares ( c’est-à-dire des événements avec une probabilité faible) et sans mémoire, dans un intervalle de temps donné par exemple : Le nombre de personnes atteintes d’une maladie Le nombre d’accidents sur une portion de route Le nombre d’accidents annuels provoqués par un automobiliste assuré Le nombre de décès par suicide Example Le nombre de pannes d’un système mécanique durant une période donnée: λ est le taux moyen de pannes la durée de la période. (Institute) S3 Septembre 2024 53 / 86 Lois des probabilités usuelles Remarque C’est la loi des petites probabiités ou loi des événements rares ( c’est-à-dire des événements avec une probabilité faible) et sans mémoire, dans un intervalle de temps donné par exemple : Le nombre de personnes atteintes d’une maladie Le nombre d’accidents sur une portion de route Le nombre d’accidents annuels provoqués par un automobiliste assuré Le nombre de décès par suicide Le nombre de déchets dans une fabrication Example Le nombre de pannes d’un système mécanique durant une période donnée: λ est le taux moyen de pannes la durée de la période. (Institute) S3 Septembre 2024 53 / 86 Lois des probabilités usuelles Exemple On admet que le nombre moyen d’appels téléphoniques reçus par un standard, durant une heure est égal à 10 appels. Donner la probabilité que le nombre d’appels reçus durant une période de 6 mn soit 4. (Institute) S3 Septembre 2024 54 / 86 Lois des probabilités usuelles Soit X la variable aléatoire qui représente le nombre d’appels reçus pendant la période T = 6mn = 0, 1 heure. On a X ! P (1), Donc P (X 4) = 1 P (X < 4) (Institute) S3 Septembre 2024 55 / 86 Lois des probabilités usuelles Reconnaissance On reconnait qu’une variable aléatoire X suit une loi de Poisson de paramètre si X représente le nombre de succès obtenus en répétant, de manière indépendante, une épreuve de Bernoulli pendant une période donnée durant laquelle la moyenne de succès est égale à λ. (Institute) S3 Septembre 2024 56 / 86 Lois des probabilités usuelles Approximation d’une loi binomiale par une loi de Poisson Proposition Soit X une variable aléatoire qui suit une loi binomiable de paramètres n et p. Si n est assez grand (n 50) et p petit de telle sorte que le produit np soit 5 (p 0, 1), alors on peut approximer la loi binomiale B (n; p ) par une loi de Poisson de paramètre λ = np : λk e λ Cnk p k q n k k! (Institute) S3 Septembre 2024 57 / 86 Lois des probabilités usuelles 5. Loi géométrique On répète, de manière indépendante, une épreuve de Bernoulli de paramètre p jusqu’à l’obtention du premier succès. Soit X la variable aléatoire désignant le nombre de répétitions e¤ectuées. (Institute) S3 Septembre 2024 58 / 86 Lois des probabilités usuelles Dé…nition La loi de probabilité de X est appelée loi géométrique (ou loi de Pascal) de paramètres p. Alors on a : X (Ω) = IN et la loi de probabilité de X est donnée par : 8k 2 X (Ω) P (X = k ) = pq k 1 L’espérance d’une variable de géométrique est E (X ) =. p1 (Institute) S3 Septembre 2024 59 / 86 Lois des probabilités usuelles Dé…nition La loi de probabilité de X est appelée loi géométrique (ou loi de Pascal) de paramètres p. Alors on a : X (Ω) = IN et la loi de probabilité de X est donnée par : 8k 2 X (Ω) P (X = k ) = pq k 1 L’espérance d’une variable de géométrique est E (X ) =. p1 q La variance est aussi V (X ) = p2 (Institute) S3 Septembre 2024 59 / 86 Lois des probabilités usuelles Dé…nition La loi de probabilité de X est appelée loi géométrique (ou loi de Pascal) de paramètres p. Alors on a : X (Ω) = IN et la loi de probabilité de X est donnée par : 8k 2 X (Ω) P (X = k ) = pq k 1 L’espérance d’une variable de géométrique est E (X ) =. p1 q La variance est aussi V (X ) = p2 p q L’écart type est σ(X ) = p (Institute) S3 Septembre 2024 59 / 86 Lois des probabilités usuelles Reconnaissance On reconnait qu’une variable aléatoire X suit une loi géométrique de paramètre p si X représente le nombre de répétitions indépendantes d’une épreuve de Bernoulli de paramètre p jusqu’à ce que le premier succès se réalise. Example Une urne contient 5 boules blanches et 10 boules noires. On tire des boules au hasard et avec remise jusqu’à ce qu’on obtienne la première boule blanche (succès). Quelle est la probabilité que la première boule blanche soit tirée après 4 tirages ? (Institute) S3 Septembre 2024 60 / 86 Lois des probabilités usuelles Soit X la variable aléatoire qui représente le nombre de boules tirées jusqu’à l’obtention d’une boule blanche. X ! G ( 31 ) P (X = 4) = ( 23 )3 13 (Institute) S3 Septembre 2024 61 / 86 Lois des probabilités usuelles 6. Loi hypergéométrique Soit Ω = S [ S un ensemble formé de N = N1 + N2 éléments. On suppose S formé de N1 éléments S formé de N2 éléments. On choisit au hasard, simultanément ou successivement sans remise, n éléments dans l’ensemble Ω. Soit X la variable aléatoire désignant le nombre d’éléments choisis appartenant à S (succés). (Institute) S3 Septembre 2024 62 / 86 Lois des probabilités usuelles Dé…nition La loi de probabilité de X est appelée loi hypergéométrique de paramètres N, N1 et n. Alors on a : X (Ω) = [sup f0; n (N N1 )g; inf fn; N1 g] et la loi de probabilité de X est donnée par : C Nk C Nn k 8k 2 X ( Ω ) P (X = k ) = 1 C Nn N1 L’espérance d’une v.a.d hypergéométrique est E (X ) = np N1 Avec p = N et q = 1 p (Institute) S3 Septembre 2024 63 / 86 Lois des probabilités usuelles Dé…nition La loi de probabilité de X est appelée loi hypergéométrique de paramètres N, N1 et n. Alors on a : X (Ω) = [sup f0; n (N N1 )g; inf fn; N1 g] et la loi de probabilité de X est donnée par : C Nk C Nn k 8k 2 X ( Ω ) P (X = k ) = 1 C Nn N1 L’espérance d’une v.a.d hypergéométrique est E (X ) = np La variance est V (X ) = npq N N n 1 N1 Avec p = N et q = 1 p (Institute) S3 Septembre 2024 63 / 86 Lois des probabilités usuelles Dé…nition La loi de probabilité de X est appelée loi hypergéométrique de paramètres N, N1 et n. Alors on a : X (Ω) = [sup f0; n (N N1 )g; inf fn; N1 g] et la loi de probabilité de X est donnée par : C Nk C Nn k 8k 2 X ( Ω ) P (X = k ) = 1 C Nn N1 L’espérance d’une v.a.d hypergéométrique est E (X ) = np La variance est V (X ) = npq N n q N 1 L’écart type est σ(X ) = npq N N n 1 N1 Avec p = N et q = 1 p (Institute) S3 Septembre 2024 63 / 86 Lois des probabilités usuelles Exemple Un joueur coche une grille de loto : il choisit 6 numéros parmi f1, 2,..., 49g Parmi les 49 numéros, il y a 6 numéros gagnants (succès) et 43 numéros non gagnants. 1 Calculer la probabilité qu’a le joueur pour obtenir k numéros gagnants, (Institute) S3 Septembre 2024 64 / 86 Lois des probabilités usuelles Exemple Un joueur coche une grille de loto : il choisit 6 numéros parmi f1, 2,..., 49g Parmi les 49 numéros, il y a 6 numéros gagnants (succès) et 43 numéros non gagnants. 1 Calculer la probabilité qu’a le joueur pour obtenir k numéros gagnants, 2 En moyenne, combien de numéros gagnants obtient-on en jouant une grille de loto ? (Institute) S3 Septembre 2024 64 / 86 Lois des probabilités usuelles Notons X la variable aléatoire correspondant au nombre de numéros gagnants. On a X ! H (49; 6; 6), Donc X (Ω) = [0; 6] et 6 k C 6k C 43 k 2 f1,..., 6g P (X = k ) = 6 C 49 6 On a E (X ) = np = 6 49 = 36 49 ' 0, 735 Donc en moyenne, on obtient moins d’un numéro gagnant par grille cochée. (Institute) S3 Septembre 2024 65 / 86 Lois des probabilités usuelles II. Lois de probabilité continues usuelles 1. Loi uniforme On dit qu’une v.a X continue suit une loi uniforme sur l’intervalle [a,b] si sa fonction de densité f est 1 f (u ) = b a si a u b 0 sinon sa fonction 8 de répartition est: < 0 si u a u a F (u ) = si a u b : b a 1 u a a +b L’espérance d’une variable uniforme est E (X ) = 2 (Institute) S3 Septembre 2024 66 / 86 Lois des probabilités usuelles II. Lois de probabilité continues usuelles 1. Loi uniforme On dit qu’une v.a X continue suit une loi uniforme sur l’intervalle [a,b] si sa fonction de densité f est 1 f (u ) = b a si a u b 0 sinon sa fonction 8 de répartition est: < 0 si u a u a F (u ) = si a u b : b a 1 u a a +b L’espérance d’une variable uniforme est E (X ) = 2 (b a )2 La variance est V (X ) = 12 (Institute) S3 Septembre 2024 66 / 86 Lois des probabilités usuelles II. Lois de probabilité continues usuelles 1. Loi uniforme On dit qu’une v.a X continue suit une loi uniforme sur l’intervalle [a,b] si sa fonction de densité f est 1 f (u ) = b a si a u b 0 sinon sa fonction 8 de répartition est: < 0 si u a u a F (u ) = si a u b : b a 1 u a a +b L’espérance d’une variable uniforme est E (X ) = 2 (b a )2 La variance est V (X ) = 12 bpa L’écart type est σ(X ) = 2 3 (Institute) S3 Septembre 2024 66 / 86 Lois des probabilités usuelles Densité de la loi uniforme sur l’intervalle [a,b] (Institute) S3 Septembre 2024 67 / 86 Lois des probabilités usuelles Fonction de répartition de la loi uniforme (Institute) S3 Septembre 2024 68 / 86 Lois des probabilités usuelles 2. Loi exponentielle On dit qu’une v.a X continue suit une loi exponentielle si sa fonction 0 si u 0 densité f est: f (u ) = λu λe si u 0 sa fonction de répartition est : 0 si u 0 F (u ) = 1 e λu si u 0 avec λ > 0 1 L’espérance d’une variable exponentielle est E (X ) = λ (Institute) S3 Septembre 2024 69 / 86 Lois des probabilités usuelles 2. Loi exponentielle On dit qu’une v.a X continue suit une loi exponentielle si sa fonction 0 si u 0 densité f est: f (u ) = λu λe si u 0 sa fonction de répartition est : 0 si u 0 F (u ) = 1 e λu si u 0 avec λ > 0 1 L’espérance d’une variable exponentielle est E (X ) = λ 1 La variance est V (X ) = λ2 (Institute) S3 Septembre 2024 69 / 86 Lois des probabilités usuelles 2. Loi exponentielle On dit qu’une v.a X continue suit une loi exponentielle si sa fonction 0 si u 0 densité f est: f (u ) = λu λe si u 0 sa fonction de répartition est : 0 si u 0 F (u ) = 1 e λu si u 0 avec λ > 0 1 L’espérance d’une variable exponentielle est E (X ) = λ 1 La variance est V (X ) = λ2 1 L’écart type est σ(X ) = λ (Institute) S3 Septembre 2024 69 / 86 Lois des probabilités usuelles Densité de la loi exponentielle (Institute) S3 Septembre 2024 70 / 86 Lois des probabilités usuelles Fonction de répartition de la loi exponentielle (Institute) S3 Septembre 2024 71 / 86 Lois des probabilités usuelles 3. Loi normale ou loi de Gauss On dit qu’une v.a X continue suit une loi normale de paramètres µ et σ si sa fonction de répartition a pour densité f où (u µ )2 f (u ) = p1 e 2σ2 σ 2π avec µ 2 R et σ > 0 L’espérance d’une variable normale est E (X ) = µ C’est la loi de probabilité la plus importante de ce cours. (Institute) S3 Septembre 2024 72 / 86 Lois des probabilités usuelles 3. Loi normale ou loi de Gauss On dit qu’une v.a X continue suit une loi normale de paramètres µ et σ si sa fonction de répartition a pour densité f où (u µ )2 f (u ) = p1 e 2σ2 σ 2π avec µ 2 R et σ > 0 L’espérance d’une variable normale est E (X ) = µ La variance est V (X ) = σ2 C’est la loi de probabilité la plus importante de ce cours. (Institute) S3 Septembre 2024 72 / 86 Lois des probabilités usuelles 3. Loi normale ou loi de Gauss On dit qu’une v.a X continue suit une loi normale de paramètres µ et σ si sa fonction de répartition a pour densité f où (u µ )2 f (u ) = p1 e 2σ2 σ 2π avec µ 2 R et σ > 0 L’espérance d’une variable normale est E (X ) = µ La variance est V (X ) = σ2 L’écart type est σ(X ) = σ C’est la loi de probabilité la plus importante de ce cours. (Institute) S3 Septembre 2024 72 / 86 Lois des probabilités usuelles (Institute) S3 Septembre 2024 73 / 86 Lois des probabilités usuelles Remarque Soit X une variable aléatoire continue qui suit une loi normale de paramètres µ et σ. Alors on a : Ru (t µ )2 F (u ) = p1 e 2σ2 dt ∞ σ 2π La fonction de répartition d’une loi normale N (µ, σ) ne peut pas être exprimée à l’aide de fonctions usuelles. Pour surmonter cette di¢ culté, nous utilisons des tables numériques donnant les valeurs de la fonction de répartition d’une loi normale centrée réduite N (0, 1). (Institute) S3 Septembre 2024 74 / 86 Lois des probabilités usuelles Remarque Soit X une variable aléatoire continue qui suit une loi normale de paramètres µ et σ. Alors on a : Ru (t µ )2 F (u ) = p1 e 2σ2 dt ∞ σ 2π La fonction de répartition d’une loi normale N (µ, σ) ne peut pas être exprimée à l’aide de fonctions usuelles. Pour surmonter cette di¢ culté, nous utilisons des tables numériques donnant les valeurs de la fonction de répartition d’une loi normale centrée réduite N (0, 1). Pour calculer numériquement les valeurs de la fonction de répartition d’une loi normale N (µ, σ) quelconques, nous utilisons les propositions suivantes (Institute) S3 Septembre 2024 74 / 86 Lois des probabilités usuelles Calculs de probabilités avec les lois normales Pour calculer numériquement P (a < X < b ) où X suit une loi normale N (µ, σ), on commence par se ramener à la loi centrée réduite N (0, 1). En e¤et, on a a µ X µ b µ P (a < X < b ) = P ( σ < σ < σ ) X µ et Y = σ a pour loi N (0, 1). Les calculs avec la loi N (0, 1) se font en utilisant les remarquables propriétés suivantes. (Institute) S3 Septembre 2024 75 / 86 Lois des probabilités usuelles Soit X une variable normale centrée réduite. On pose F (x ) = P (X x ). Cette probabilité s’interprète comme "l’aire sous la courbe en cloche": On a F ( x ) = P (X x) = 1 F (x ) (parité). (Institute) S3 Septembre 2024 76 / 86 Lois des probabilités usuelles Soit X une variable normale centrée réduite. On pose F (x ) = P (X x ). Cette probabilité s’interprète comme "l’aire sous la courbe en cloche": On a F ( x ) = P (X x ) = 1 F (x ) (parité). On a P (jX j x ) = 2F (x ) 1. (Institute) S3 Septembre 2024 76 / 86 Lois des probabilités usuelles Exemple. Soit X une v.a. de loi normale N (1, 2). Calculer P (X 2). On a 1 P (X 2) = P (Y 2 ), X 1 où Y = 2 est centrée réduite. On a donc 1 P (Y 2) =1 P (Y 0, 5) = 1 F (0, 5). La table numérique de N (0, 1) donne F (0, 5) = 0, 695. La réponse est donc P (X 2) = 0, 3085. (Institute) S3 Septembre 2024 77 / 86 Lois des probabilités usuelles (Institute) S3 Septembre 2024 78 / 86 Lois des probabilités usuelles III. Approximation par une loi normale 1. Théorème de la limite centrale Theorem Soit X1 , X2 ,..., Xn n variables aléatoires indépendantes, de même loi de probabilité, donc de même espérance µ et de même variance σ2. n on considère la variable aléatoire Sn = ∑ Xi. Alors : i =1 Pour npassez grand, la variable aléatoire Sn converge vers la loi N (nµ, nσ). p On note Sn N (nµ, nσ). (Institute) S3 Septembre 2024 79 / 86 Lois des probabilités usuelles Exemple. On jette une pièce 500 fois, on suppose les lancers indépendants. Soit X = "nombre de piles". Calculer P (X 260). Posons Xi = 1 si "pile" au i-ème lancer, 0 si "face". C’est une variable de Bernoulli et X = X1 + X2 +... + X500. On a E (Xi ) = 21 , et σ(Xpi ) = 12. 500 Le TCL dit que N ( 500 2 , 2 ) approche bien la loi de X. Ainsi P (X 260) ' P (Y p20 ) 500 2 (X 250 ) où Y = p500 est centrée réduite. Le calcul donne P (X 260) ' 0, 1867. (Institute) S3 Septembre 2024 80 / 86 Lois des probabilités usuelles 2- Approximation de la loi binomiale Soit X ! B (n; p ). Alors : Pour n su¢ samment grand (n > 50) et p et q pas trop proches de zéro (np > 5 et nq > 5), la loi binomiale B (n; p ) peut être approximée par la p loi normale de paramètres µ = np et σ= npq. p X N (np, npq ) (Institute) S3 Septembre 2024 81 / 86 Lois des probabilités usuelles k µ P (X = k ) ' σ1 ϕ( σ ), 0 k n k µ k µ P (k1 X k2 ) ' φ( 2σ ) φ( 1σ ), 0 k1 < k2 n (Institute) S3 Septembre 2024 82 / 86 Lois des probabilités usuelles Exemple On lance un dé 4500 fois. On appelle X la variable aléatoire qui compte le nombre d’apparition de la face N 1. 1. Quelle est la loi de probabilité de X ? 2. Calculer les probabilités suivantes : p (X = 1000) et p (980 X 1030) (Institute) S3 Septembre 2024 83 / 86 Lois des probabilités usuelles 3. Approximation de la loi Poisson Soit X ! P (λ). Alors : Pour λ su¢ samment grand (λ > 20), la loi de Poisson P (λp ) peut être approximéeppar la loi normale de paramètres µ = λ et σ = λ X N (λ, λ) (Institute) S3 Septembre 2024 84 / 86 Lois des probabilités usuelles k µ P (X = k ) ' σ1 ϕ( σ ), k 2 N k µ k µ P (k1 X k2 ) ' φ( 2σ ) φ( 1σ ), k1 < k2 (Institute) S3 Septembre 2024 85 / 86 Lois des probabilités usuelles Example Une clinique traite en moyenne deux urgences par jour. Quelle est la probabilité pour que la clinique traite plus de 70 urgences par mois ? (Institute) S3 Septembre 2024 86 / 86