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Cours de Probabilités - Sommaire

• Probabilités
• Rappel : Combinatoire et dénombrements
• Vocabulaires des Probabilités
• Calcul des probabilités
• Probabilités conditionnelles
• Événements indépendants
• Variables aléatoires
  • Variables aléatoires discrètes
  • Variables aléatoires continues
• Formules
  • Lois des probabilités usuelles
    • Lois discrètes
    • Lois continues
    • Approximation par une loi normale

Rappel : Combinatoire et Dénombrements

• Définition du Cardinal : Soit Ω un ensemble fini, par exemple Ω = {a₁, a₂, ..., aₙ}. Le cardinal de Ω, noté Card(Ω), est le nombre d'éléments de Ω. Card(Ω) = n.

• Propriétés :

  • Card(A ∪ B) = Card(A) + Card(B) - Card(A ∩ B)
  • Card(A) = Card(Ω) - Card(A)
  • Card(Ω) = Card(A₁) + Card(A₂) + ... + Card(Aₚ) si les ensembles A₁, A₂, ..., Aₚ constituent une partition de Ω.
  • Card(Ω₁ × Ω₂) = Card(Ω₁) × Card(Ω₂) si Ω₁ et Ω₂ sont deux ensembles finis.

• Exemple : Dans un groupe de 90 étudiants, 60 ont validé le module de Math, 72 ont validé le module de Physique et 14 n'ont validé aucun module. Combien d'étudiants ont validé les deux modules ? Réponse : 56 étudiants.

II. Arrangements avec répétition

• Définition : Nombre de façons de choisir successivement avec remise k objets ordonnés parmi n objets.
• Exemple : On jette un dé à 6 faces 2 fois, il y a 6² = 36 possibilités.

III. Arrangements sans répétition

• Définition : Nombre de façons de choisir successivement sans remise k objets ordonnés parmi n objets. Aₙₖ = n(n-1)...(n-k+1)
• Exemple : Le nombre de tiercés possibles lorsque 14 chevaux prennent le départ est A₁₄³ = 14 × 13 × 12 = 2184.

IV. Permutations

• Définition : Nombre de façons d'ordonner un ensemble à n éléments. n!
• Exemple : Le nombre de façons d'attribuer des chaises à 8 convives autour d'une table est 8! = 40320 possibilités.

IV. Combinaisons

• Définitions : Soit Ω un ensemble à n éléments, k un entier tel que (0 ≤ k ≤ n). On appelle combinaison de k éléments de Ω toute partie de Ω ayant k éléments. Cₙᵏ = n! / (k! (n-k)!)
• Exemple : Le nombre de façons de choisir 4 boules simultanément dans une urne comprenant 10 boules est C₁₀⁴ = 10!/(4!6!) = 210.

I. Vocabulaire des probabilités

• Expérience aléatoire : Une expérience dont le résultat dépend du hasard.
• Événement : Une partie de l'univers Ω.
• Univers : Ensemble de tous les résultats possibles d'une expérience aléatoire.
• Exemple : On lance un dé à six faces. Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. A = {4, 5} est l'événement "obtenir 4 ou 5".

II. Calcul des Probabilités

• Axiomes du Calcul des Probabilités :
  • On appelle probabilité sur l'univers Ω toute application P : P(Ω) → [0, 1]
  • P(Ω) = 1
  • Pour tout couple de parties disjointes A et B de Ω, P(A ∪ B) = P(A) + P(B)

2. Propriétés des Probabilités

• P(Ø) = 0
• Pour tout A ⊂ Ω, P(A) = 1 - P(A)
• Pour tout A, B ∈ P(Ω), A ⊂ B ⇒ P(A) ≤ P(B)
• Pour tout couple A et B de P(Ω) P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
• Pour toute famille A₁, ..., Aₚ d'événements deux à deux incompatibles, P(A₁ U ... U Aₚ) = P(A₁) + ... + P(Aₚ)
• Pour tout système complet d'événements A₁, ..., Aₚ, P(A₁ U ... U Aₚ) = 1

III. Equiprobabilités

• Définition : L'équiprobabilité correspond au cas où tous les événements élémentaires ont la même probabilité.
• Calcul : P(A) = Card(A) / Card(Ω)

III. Probabilités conditionnelles

• Définition : P(A|B) = P(A∩ B) / P(B)
• Exemple : On jette deux dés. Quelle est la probabilité que la somme fasse 6 sachant que l'un des deux marque 4 ? Réponse : 2 / 11.

IV. Événements indépendants

• Définition : Deux événements A et B sont indépendants si : P(A ∩ B) = P(A) × P(B)
• Exemple : On lance un dé deux fois. A = "obtenir un nombre impair au premier lancer". B = "obtenir 3 ou 6 au deuxième lancer".

I. Variables aléatoires

• Définition : Une variable aléatoire X est une application de Ω dans IR. X(Ω) = {x₁, x₂, ..., xₙ,...}
• Exemples : Somme des chiffres dans le lancer de deux dés.

I. Variables aléatoires discrètes

• Définition : Une variable aléatoire X est discrète si son ensemble de valeurs est fini ou infini dénombrable.
• Exemple : Nombre de faces obtenues en lançant quatre fois une pièce.

Paramètres des variables aléatoires discrètes

• Espérance (E(X)) : Valeur moyenne de la variable X. E(X) = ∑₁ⁿ xᵢ P(X = xᵢ)
• Variance (V(X)) : Mesure de la dispersion de X autour de sa moyenne. V(X) = E((X - E(X))²)
• Écart type (σ(X)) : Racine carrée de la variance. σ(X) = √V(X)

II. Variables aléatoires continues

• Définition : Une variable aléatoire X est continue si son ensemble de valeurs est un intervalle de IR.

• Fonction de répartition (F(x)): F(x) = P(X ≤ x)

• Densité de probabilité (f(x)) : F’(x) = f(x), ∫₋∞ᵉ f(x) dx = 1

III. Formules

• E(aX + b) = aE(X) + b
• V(aX + b) = a²V(X)
• E(X₁ + X₂ + ... + Xₙ) = E(X₁) + E(X₂) + ... + E(Xₙ)
• V(X₁ + X₂ + ... + Xₙ) ≠ V(X₁) + V(X₂) + ... + V(Xₙ) si les variables ne sont pas indépendantes.

Approximation par une loi normale

• Théorème de la limite centrale : Pour n suffisamment grand, la somme de n variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées suit approximativement une loi normale.

Lois des probabilités usuelles

• Loi uniforme : Distribution égale des probabilités sur un intervalle. f(u) = 1/(b - a)
• Loi exponentielle : Utilise pour modéliser des temps d'attente ou des durées.
• Loi normale (de Gauss) : Loi de probabilités continue, de forme en cloche symétrique.

Approximation Poissonienne/Approximation d'une loi binomiale par une loi de Poisson

• Conditions pour l'approximation : n grand (n ≥ 50) et le produit np petit (np ≤ 5).