Clasificación de los Números PDF

CLASIFICACION DE LOS NUMEROS Números naturales 1, 2, 3, 4, … son los números que utilizamos para contar CLASIFICACION DE LOS NUMEROS El cero: El número cero indica la ausencia de cantidad, propiedades importantes del número cero: i) n-n=0...

CLASIFICACION DE LOS NUMEROS Números naturales 1, 2, 3, 4, … son los números que utilizamos para contar CLASIFICACION DE LOS NUMEROS El cero: El número cero indica la ausencia de cantidad, propiedades importantes del número cero: i) n-n=0 ii) n+0=0+n=n iii) n*0=0*n=0 iv) Si a*b ó ab=0, entonces a=0 ó b=0 (no necesariamente ambos a la vez) CLASIFICACION DE LOS NUMEROS Números enteros…-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,… es el conjunto de números que incluye a los números naturales, al cero y a los números naturales precedidos del signo menos “-” CLASIFICACION DE LOS NUMEROS Números racionales: Los números que pueden expresarse r=m/n, donde m y n son números enteros y n≠0, por ejemplo: ½, -3/7, 46=46/1, 0.17= 17/100. Nota la división entre cero no está definida, 3/0, 0/0 son valores que no están definidos. CLASIFICACION DE LOS NUMEROS Números irracionales: Los números que no pueden expresarse como 3 3 un cociente entre enteros, por ejemplo: 3, 5, 2, 𝜋𝜋, 2 𝜋𝜋 CLASIFICACION DE LOS NUMEROS Números reales: CLASIFICACION DE LOS NUMEROS Números reales: Números reales y complejos CLASIFICACION DE LOS NUMEROS Propiedades de los números reales: CLASIFICACION DE LOS NUMEROS Propiedades de los números reales: Ley de cierre: a) La suma de dos números reales es un número real b) El producto de dos números reales es un número real Existencia del elemento identidad: a) Existe un único número real, el cero, tal que: a+0=0+a=a; por lo que decimos que 0 es el elemento identidad para la suma. b) Existe un único número real, el uno, tal que: a*1=1*a=a; por lo que decimos que 1 es el elemento identidad para el producto. CLASIFICACION DE LOS NUMEROS Propiedades de los números reales: Existencia de elementos inversos: a) Para cada número real “a” existe un único “inverso aditivo” u “opuesto”, denotado por –a, tal que: a+(-a)=a+(-1)a=0 b) Para cada número real a ≠ 0 existe un único “inverso multiplicativo” o “ −1 ó 1 tal que: 𝑎𝑎 ∗ 𝑎𝑎 −1 = 𝑎𝑎 −1 ∗ 𝑎𝑎 = 1, reciproco”, denotado por 𝑎𝑎 𝑎𝑎 1 1 es decir, 𝑎𝑎 ∗ = ∗ 𝑎𝑎 = 1 𝑎𝑎 𝑎𝑎 Nota: el cero no posee inverso multiplicativo, pues no existe un número real que multiplicado por cero sea uno. CLASIFICACION DE LOS NUMEROS Propiedades de los números reales: Definición de la resta (o substracción): Sean a y b dos números reales. La operación resta denotada por a-b, se define como a-b=a+(-b) Definición de la operación división: Sean a y b dos números reales, con b ≠ 0. La operación “división”, denotada por −1 1 a÷b, se define como 𝑎𝑎 ÷ 𝑏𝑏 = 𝑎𝑎𝑏𝑏 = 𝑎𝑎 ∗ 𝑏𝑏 CLASIFICACION DE LOS NUMEROS Propiedades de los números reales: Definición de valor absoluto: El valor absoluto del número real a, denotado por 𝑎𝑎 se define así: 𝑎𝑎, 𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑎𝑎 ≥ 0 𝑎𝑎 = −𝑎𝑎, 𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑎𝑎 < 0 Propiedades del valor absoluto. Sean a, b números reales 𝑎𝑎 ∗ 𝑏𝑏 = 𝑎𝑎 ∗ 𝑏𝑏 𝑎𝑎 𝑎𝑎 = 𝑏𝑏 𝑏𝑏 𝑎𝑎 = −𝑎𝑎 𝑎𝑎 2 = 𝑎𝑎2 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 ≤ 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 (desigualdad del triángulo) 𝑎𝑎 − 𝑏𝑏 ≥ 𝑎𝑎 − 𝑏𝑏 CLASIFICACION DE LOS NUMEROS Propiedades de los números reales: CLASIFICACION DE LOS NUMEROS Propiedades de los números reales: CLASIFICACION DE LOS NUMEROS Propiedades de los números reales: CLASIFICACION DE LOS NUMEROS Números complejos: No todos los números son números reales. El conjunto C de los números de la forma a+bi, donde a y b son números reales e i2=-1 son conocidos como números complejos. Debido a que cada número real puede ser escrito como x+0i, se deduce que cada número real es también un número complejo. 1 3 Ejemplo: 3+ −4 = 3 + 2𝑖𝑖, −5𝑖𝑖, 2𝜋𝜋𝜋𝜋, + i 2 2 CLASIFICACION DE LOS NUMEROS Orden de las operaciones: En expresiones que involucran combinaciones de operaciones, el siguiente orden se observa: 1. Ejecute las operaciones con signos de agrupación primero; si los símbolos están anidados dentro del grupo de símbolos, proceda desde el más interno hacia afuera. 2. Resuelva los exponentes antes de ejecutar multiplicaciones o divisiones, a menos que los símbolos de agrupamiento indiquen lo contrario. 3. Ejecute multiplicaciones y divisiones, en el orden de izquierda a derecha, antes de desarrollar adiciones o substracciones (también se ejecutan de izquierda a derecha), a menos que los símbolos de agrupamiento indiquen lo contrario. CLASIFICACION DE LOS NUMEROS Ejercicio, evalúe las siguientes expresiones: a) -5-32 b) 3-4 5 − 6 2 − 8 c) 3 − 8 ∗ 5 − (−1 − 2 ∗ 3) * 32 − 52 2 d) Pruebe que la ley distributiva extendida a(b+c+d)=ab+ac+ad e) Pruebe que la multiplicación es distributiva sobre la substraccion: a(b-c)=ab-ac a) Muestre que –(a+b)=-a-b 𝑎𝑎 𝑐𝑐 b) Muestre que si = , entonces ad=bc 𝑏𝑏 𝑑𝑑 3 4 c) Resuelva + 10 15 CLASIFICACION DE LOS NUMEROS Ejercicios para clase: 5 50 Considere el siguiente set de números: −5, − , 0, 5, 𝜋𝜋, , 625 3 7 Que números pertenecen a los naturales ´Que números pertenecen a los enteros Que números pertenecen a los racionales Que números pertenecen a los irracionales Represente el siguiente arreglo de números en la recta numérica 2 3, −5, 0, , 5, −1.5, −𝜋𝜋 3 CLASIFICACION DE LOS NUMEROS Para operar con fracciones se suele utilizar el MCD, mínimo común denominador de los divisores de las fracciones a sumar o restar: 5 7 + la factorización de cada denominador da lo siguiente: 36 120 36=22 ⋅ 𝟑𝟑𝟐𝟐 y 120=𝟐𝟐𝟑𝟑 ⋅ 3 ⋅ 𝟓𝟓 Encontramos el MCD al formar el producto de todos los factores presentes en estas factorizaciones, usando la máxima potencia de cada factor: 23 ⋅ 32 ⋅ 5=360 5 10 7 3 50 21 71 ⋅ + ⋅ = + = 36 10 120 3 360 360 360 CLASIFICACION DE LOS NUMEROS Algoritmo de Euclides para determinar el Mínimo común divisor de dos números Se divide el número mayor entre el menor y se encuentra el residuo Posteriormente se divide el divisor de la primera operación entre el residuo, y asi sucesivamente hasta que el cociente es exacto. El ultimo divisor que queda es el MCD. Por ejemplo 120 y 36 (ejercicio anterior) 120/36=3, residuo 12 Se divide 36/12=3; por lo tanto, el MCD de 120 y 36 es 12 CLASIFICACION DE LOS NUMEROS Divisibilidad entre 2: Los números que terminan en dos o en cero, son divisibles por 2 Divisibilidad entre 3: Los números cuyos dígitos son múltiplos de 3, por ejemplo 369, 3+6+9=18; múltiplo de 3. Divisibilidad entre 4: si los últimos dos dígitos son divisibles por 4, el número es divisible entre 4, por ejemplo 728, 28 es múltiplo de 4, por lo tanto 728 es múltiplo de 4 (128) Divisibilidad entre 5: todos los números que terminan en cero o cinco son divisibles por 5. Divisibilidad entre 6: todos los números que son divisibles por 2 y por 3 al mismo tiempo. Divisibilidad entre 7: Un número es divisible por 7 si, al duplicar la cifra de las unidades y restarla del resto del número, el resultado de esta operación es divisible por 7.Ejemplo: 371 es divisible por 7 porque 37 - (2x1) = 35, que es divisible por 7. Un número es divisible por 8 cuando termina en 000 o si los tres últimos dígitos forman un número divisible por 8. Ejemplo: 7128 es divisible por 8 porque 128 es divisible por 8. Un número es divisible por 9 si la suma de todas sus cifras también es divisible por 9. Ejemplo: 7272 es divisible por 9 porque 7 + 2 + 7 + 2 = 18, lo que es divisible es divisible por 9. CLASIFICACION DE LOS NUMEROS Conversión de decimales a fracciones CLASIFICACION DE LOS NUMEROS Conversión de decimales a fracciones Algunos ejercicios: Encontrar la fracción 0.121212… Encontrar la fracción 6.5555… Encontrar la fracción 0.666… Encontrar la fracción de 4.7222… Encontrar la fracción de 1.8999… Encontrar la fracción de 1.2010101… CLASIFICACION DE LOS NUMEROS Conversión de decimales a fracciones CLASIFICACION DE LOS NUMEROS Conversión de decimales a fracciones CLASIFICACION DE LOS NUMEROS Conversión de decimales a fracciones CLASIFICACION DE LOS NUMEROS Ejercicios: CLASIFICACION DE LOS NUMEROS Algunos ejercicios para practicar: CLASIFICACION DE LOS NUMEROS Algunos ejercicios para practicar: