Clasificación de los Números en Matemáticas

Clasificación de los Números

• Los números naturales (1, 2, 3, 4...) se utilizan para contar. El conjunto de números naturales es infinito.
• El cero representa la ausencia de cantidad. Tiene propiedades importantes:
  • n - n = 0
  • n + 0 = 0 + n = n
  • n * 0 = 0 * n = 0
  • Si a*b = 0, entonces a = 0 o b = 0 (no necesariamente ambos).
• Los números enteros incluyen los números naturales, el cero y los números naturales con signo negativo (-1, -2, -3...). Son cerrados bajo suma, resta y multiplicación.
• El módulo o valor absoluto de un número es su valor sin considerar el signo.
• Los números racionales se pueden expresar como una fracción m/n, donde m y n son enteros y n ≠ 0. Ejemplos: ½, -3/7, 46/1, 17/100
• Los números racionales incluyen números enteros, decimales exactos y decimales periódicos. La división por cero no está definida.
• Los números irracionales no se pueden expresar como una fracción. Ejemplos: √3, √5, √2, π.
• Los números reales incluyen todos los números racionales e irracionales. La unión de los números racionales e irracionales forman los números reales, que son densos en la recta numérica, lo que significa que hay un número real entre cada par de números reales.
• Los números complejos incluyen todos los números reales y se expresan como a + bi, donde a y b son números reales e i² = -1.

Propiedades de los Números Reales

• Ley de Cierre:
  • La suma de dos números reales es un número real.
  • El producto de dos números reales es un número real.
• Existencia del Elemento Identidad:
  • El cero es el elemento identidad de la suma (a + 0 = a).
  • El uno es el elemento identidad de la multiplicación (a * 1 = a).
• Existencia de Elementos Inversos:
  • Cada número real "a" tiene un inverso aditivo (-a) tal que a + (-a) = 0.
  • Cada número real "a" distinto de cero tiene un inverso multiplicativo (1/a) tal que a * (1/a) = 1.
• Propiedades de los Negativos:
  • (−1)a = -a
  • −(−a) = a
  • (−a)b = a(−b) = −(ab)
  • (−a)(−b) = ab
  • (a + b) = −a − b
  • (a − b) = b − a
• Propiedades de las Fracciones:
  • Multiplicación: Para multiplicar fracciones, multiplique los numeradores entre sí y los denominadores entre sí.
  • División: Para dividir fracciones, multiplique la primera fracción por el recíproco de la segunda fracción.
  • Suma/Resta con mismo denominador: Si las fracciones tienen el mismo denominador, sume o reste los numeradores y mantenga el mismo denominador.
  • Suma/Resta con denominadores diferentes: Si las fracciones tienen denominadores diferentes, encuentre un denominador común y luego sume o reste los numeradores.
• Orden de las Operaciones: En expresiones que involucran varias operaciones, siga este orden: paréntesis, exponentes, multiplicación/división (de izquierda a derecha), suma/resta(de izquierda a derecha).
• Definición de Valor Absoluto: El valor absoluto de un número real 'a', denotado por |a|, es el valor del número sin su signo. Para a ≥ 0, |a| = a; y para a < 0, |a| = -a.
• Desigualdad del Triángulo (valor absoluto): |a + b| ≤ |a| + |b| .

Conversión de Decimales a Fracciones

• Si el decimal es finito, se puede convertir directamente a una fracción.
• Si el decimal es infinito, se puede convertir a una fracción usando técnicas algebraicas.

Intervalos

• Un intervalo es un conjunto de números reales entre dos puntos.
• Los intervalos pueden ser abiertos, cerrados o semiabiertos. Intervalos abiertos no incluyen los puntos extremos y se denotan con paréntesis (paréntesis). Intervalos cerrados incluyen los puntos extremos y se denotan con corchetes [ ].