Vectores tridimensionales, coordenadas esféricas PDF

Vectores tridimensionales, coordenadas esféricas. Un vector en tres dimensiones puede ser representado por: Dos ángulos y una magnitud (coordenadas esféricas) Magnitud y cosenos directores ̂ Vectores expresados con dimensiones (vectores 𝜆𝜆) V...

Vectores tridimensionales, coordenadas esféricas. Un vector en tres dimensiones puede ser representado por: Dos ángulos y una magnitud (coordenadas esféricas) Magnitud y cosenos directores ̂ Vectores expresados con dimensiones (vectores 𝜆𝜆) Vectores tridimensionales, coordenadas esféricas. Coordenadas esféricas Paso 1: Identificar la magnitud del vector F, el ángulo 𝜙𝜙, se mide desde el eje x positivo hacia la proyección del vector F en el plano xy y 𝜃𝜃𝑧𝑧 que se mide positivo desde el eje z(positivo) hacia el vector F, en el plano formado por el eje z y el vector F Vectores tridimensionales, coordenadas esféricas. Coordenadas esféricas Paso 2 se colocan los valores en las siguientes ecuaciones. 𝐹𝐹𝑥𝑥 = 𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝜙𝜙𝜙𝜙𝜙𝜙𝜙𝜙𝜃𝜃𝑧𝑧 𝐹𝐹𝑦𝑦 = 𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝜙𝜙𝜙𝜙𝜙𝜙𝜙𝜙𝜃𝜃𝑧𝑧 𝐹𝐹𝑧𝑧 = 𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝜃𝜃𝑧𝑧 Paso 3 utilice las expresiones anteriores para escribir la expresión cartesiana: 𝐹𝐹⃗ = 𝐹𝐹𝑥𝑥 𝚤𝚤̂ + 𝐹𝐹𝑦𝑦 𝚥𝚥̂ + 𝐹𝐹𝑧𝑧 𝑘𝑘 Vectores tridimensionales, coordenadas esféricas. Resolver el siguiente ejemplo: Paso 1: Identificar los valores de las siguientes variables 𝐹𝐹 , 𝜙𝜙, 𝜃𝜃𝑍𝑍 Vectores tridimensionales, coordenadas esféricas. Resolver el siguiente ejemplo: Paso 2: Sustituir en las ecuaciones 𝐹𝐹𝑥𝑥 = 𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝜙𝜙𝜙𝜙𝜙𝜙𝜙𝜙𝜃𝜃𝑧𝑧 𝐹𝐹𝑦𝑦 = 𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝜙𝜙𝜙𝜙𝜙𝜙𝜙𝜙𝜃𝜃𝑧𝑧 𝐹𝐹𝑧𝑧 = 𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝜃𝜃𝑧𝑧 Paso 3: Finalmente, expresar el vector en su forma cartesiana 𝐹𝐹⃗ = 𝐹𝐹𝑥𝑥 𝚤𝚤̂ + 𝐹𝐹𝑦𝑦 𝚥𝚥̂ + 𝐹𝐹𝑧𝑧 𝑘𝑘 Vectores tridimensionales, coordenadas esféricas. Ejemplo: Vectores tridimensionales, coordenadas esféricas. Ejemplo: Vectores tridimensionales, coordenadas esféricas. Ejemplo: Vectores tridimensionales, coordenadas esféricas. Ejemplo: Vectores tridimensionales, coordenadas esféricas. Cosenos directores Vectores tridimensionales, coordenadas esféricas. Cosenos directores Paso 1: ⃗ Identificar el vector 𝐹𝐹, el ángulo 𝜃𝜃𝑥𝑥 , el ángulo entre el eje x positivo y el vector 𝐹𝐹⃗ , 𝜃𝜃𝑥𝑥 = 𝛼𝛼 el ángulo 𝜃𝜃𝑦𝑦 , el ángulo entre el eje y positivo y el vector 𝐹𝐹⃗ , 𝜃𝜃𝑦𝑦 = 𝛽𝛽 el ángulo 𝜃𝜃𝑧𝑧, el ángulo entre el eje z positivo y el vector 𝐹𝐹, ⃗ 𝜃𝜃𝑧𝑧 = 𝛾𝛾 Observaciones: Para los cosenos directores, las líneas de dimensión que describen el ángulo del vector siempre estarán desde los ejes de coordenadas al vector 𝐹𝐹⃗ si estuvieran disponibles solo 2 cosenos directores, el tercero se puede obtener de la siguiente expresión: 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 2 𝜃𝜃𝑥𝑥 + 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 2 𝜃𝜃𝑦𝑦 + 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 2 𝜃𝜃𝑧𝑧 =1 Vectores tridimensionales, coordenadas esféricas. Cosenos directores Paso 2: Utilizar las ecuaciones de cosenos directores para encontrar las componentes cartesianas x, y y z. 𝐹𝐹𝑥𝑥 = Fcos𝜃𝜃𝑥𝑥 = 𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝛼𝛼 𝐹𝐹𝑦𝑦 = Fcos𝜃𝜃𝑦𝑦 = 𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝛽𝛽 𝐹𝐹𝑧𝑧 = Fcos𝜃𝜃𝑧𝑧 = 𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝛾𝛾 Paso 3: Finalmente escribir el vector 𝐹𝐹⃗ en coordenadas cartesianas como: 𝐹𝐹𝑥𝑥 𝚤𝚤̂ + 𝐹𝐹𝑦𝑦 𝚥𝚥+̂ 𝐹𝐹𝑧𝑧 𝑘𝑘 Vectores tridimensionales, coordenadas esféricas. Cosenos directores Ejemplo: Dado el siguiente vector, expresarlo con coordenadas cartesianas Vectores tridimensionales, coordenadas esféricas. Cosenos directores Ejemplo: Vectores tridimensionales, coordenadas esféricas. Cosenos directores Ejemplo: Vectores tridimensionales, coordenadas esféricas. Cosenos directores Ejemplo: PROBLEMA COSENOS DIRECTORES 𝐹𝐹1 60 ANGULO COSENO 𝐹𝐹2 100 x 45 0.7071 x 120 -0.5000 y 60 0.5000 y 45 0.7071 z -60 -0.5000 z 60 0.5000 i j k MAGNITUD VECTOR UNITARIO 𝐹𝐹1 𝑢 60 0.707 0.500 -0.500 1 42.426 30.000 -30.000 60 𝐹𝐹2 𝑢 100 -0.500 0.707 0.500 1 -50.000 70.711 50.000 100 𝐹𝐹1 + 𝐹𝐹2 102.96 -7.574 100.711 20.000 VECTOR UNITARIO -0.074 0.978 0.194 1 ANGULO 94.22 11.99 78.80 PRODUCTO PUNTO 2121.32 -2121.32 1500.00 1500.00 ANGULO 0.25 LEY DEL COSENO 102.96