Geometria DeLLO Spazio Tridimensionale PDF

CAPITOLO 8: GEOMETRIA DELLO SPAZIO TRIDIMENSIONALE Definizione: Un spazio tridimensionale è uno spazio vettoriale di dimensione 3. Essendo qualsiasi spazio tridimensionale isomorfo ad R3 , lavoreremo con R3.      ...

CAPITOLO 8: GEOMETRIA DELLO SPAZIO TRIDIMENSIONALE Definizione: Un spazio tridimensionale è uno spazio vettoriale di dimensione 3. Essendo qualsiasi spazio tridimensionale isomorfo ad R3 , lavoreremo con R3.       1 0 0 Fissiamo la base canonica e1 = 0, e2 = 1 e e3 = 0. Se non diversamente specificato, ogni coordinata sarà 0 0 1 espressa rispetto alla base canonica. Il sottospazio vettoriale Span(e1 ) corrisponde all’asse x. Il sottospazio vettoriale Span(e2 ) corrisponde all’asse y. Il sottospazio vettoriale Span(e3 ) corrisponde all’asse z.   x Ogni vettore y  ∈ R3 è chiamato punto dello spazio: si tratta di un sottospazio affine di dimensione 0. z   xi D’ora in poi un punto Pi avrà coordinate  yi . zi La distanza tra due punti P1 e P2 si calcola ricordando il Teorema di Pitagora, i.e. p d(P1 , P2 ) = (x1 − x2 )2 + (y1 − y2 )2 + (z1 − z2 )2. L’unico punto M equidistante da due punti P1 e P2 si chiama punto medio e si calcola tramite la formula  x1 +x2  2 M =  y1 +y 2 2 . z1 +z2 2 Tre punti P1 , P2 , P3 non allineati (non giacenti sulla stessa retta) danno luogo a un triangolo. La mediana di un lato del triangolo è il segmento che unisce un vertice al punto  medio  del lato opposto. Il punto di incontro delle tre mediane x1 +x2 +x3 3 si chiama baricentro e si calcola tramite la formula  y1 +y32 +y3 . z1 +z2 +z3 3 PIANI NELLO SPAZIO Un piano α dello spazio è un sottospazio affine di dimensione 2, i.e. un sottoinsieme dello spazio della forma         x0 ℓ1 ℓ2  α : P0 + Span(v1 , v2 ) =  y0  + t1 m1  + t2 m2  : t1 , t2 ∈ R , z0 n1 n2       ℓ1 ℓ2 dove P è un punto dello spazio e v1 = m1  e v2 = m2  sono due vettori linearmente indipendenti, chiamati n1 n2 vettori direttori. Si noti come per gli elementi pensati come vettori si continui a usare la parola vettore. Si noti inoltre che tutti gli elementi di Span(v1 , v2 ) sono vettori direttori di α, perché combinazione lineare dei vettori v1 , v2 , i.e. vettori dipendenti con v1 , v2. Per tre punti non allineati passa un’unico piano.       ℓ1 ℓ2  Dato un piano α : P0 + Span m1  , m2  , esso può essere presentato in due modi: n1 n2   Equazioni parametriche: al variare dei parametri t1 , t2 ∈ R ottengo tutti i punti del piano; servono a dirmi come è fatto il generico punto del piano:  x = x0 + t1 ℓ1 + t2 ℓ2  y = y0 + t1 m1 + t2 m2  z = z0 + t1 n1 + t2 n2   Equazioni   cartesiane: le soluzioni dell’equazione mi danno tutti i punti del piano; servono a dirmi se un punto x y  giace sul piano oppure no: z ax + by + cz + d = 0, con a, b, c, d ∈ R. Ricordando il Teorema di Rouché-Capelli, questa equazione ammette ∞3−1 = ∞2 soluzioni, come atteso (avendo il piano dimensione 2). L’equazione cartesiana di un piano nello spazio si ottiene imponendo   x − x0 ℓ1 ℓ2 det  y − y0 m1 m2  = 0. z − z0 n1 n2 Dati due punti P1 e P2 qualsiasi su un piano, il vettore P1 − P2 è un vettore direttore del piano.   x − x0 Ma allora vogliamo che  y − y0  sia un vettore direttore del piano, i.e. vogliamo che appartenga a Span(v1 , v2 ). z−z   0 x In altre parole i punti y  che giacciono sul piano sono tutti e soli quelli tali che quella matrice di ordine 3 ha z rango 2, i.e. ha determinante zero. Proposizione (sui piani dello spazio)   a Dato un piano α : ax + by + cz + d = 0 nello spazio, si ha che  b  è un vettore perpendicolare a α. c     x1 x2 DIM: Considerando due punti  y1  e  y2  sul piano α, si ha che devono soddisfare l’equazione di α, i.e. z1 z2 ax1 + by1 + cz1 + d = 0 e ax2 + by2 + cz2 + d = 0. Sottraendo le due equazioni otteniamo     a x1 − x2 a(x1 − x2 ) + b(y1 − y2 ) + c(z1 − z2 ) =<  b  ,  y1 − y2  >= 0. c z1 − z2   x1 − x2 Poiché  y1 − y2  è un qualsiasi vettore direttore di α, si ha la tesi. □ z1 − z2 Osservazione: Un piano parallelo ad un piano di equazione ax + by + cz + d = 0 ha un’equazione del tipo ax + by + cz + e = 0, i.e. due piani paralleli hanno lo stesso vettore perpendicolare. Osservazione: Per lo stesso piano, potremmo avere equazioni parametriche diverse, poiché scegliendo un punto di passaggio diverso da P0 o due vettori direttori diversi le equazioni saranno diverse. Osservazione: Per lo stesso piano, potremmo avere equazioni cartesiane diverse, poiché le soluzioni dell’equazione ax + by + cz + d = 0 sono le stesse di k(ax + by + cz + d) = 0, per ogni k ∈ R. PER INDIVIDUARE UN PIANO BASTA AVERE UN PUNTO E DUE VETTORI DIRETTORI. Passaggio da equazioni parametriche a equazioni cartesiane Se ho le equazioni parametriche, allora ho un punto di passaggio e due vettori direttori, quindi basta procedere come scritto alla pagina precedente. Passaggio da equazioni cartesiane a equazioni parametriche Trovare le parametriche significa risolvere il sistema dato dall’equazione del piano. Dalle soluzioni trovo un punto di passaggio e due vettori direttori, quindi le parametriche. PRODOTTO VETTORIALE     x1 x2 Fissiamo la base canonica e1 , e2 , e3 di R3. Siano v, w ∈ R3 , i.e. v =  y1  e w =  y2 . Il prodotto vettoriale di v e z1 z2 w (in questo ordine) è un vettore definito da   ^ e1 e2 e3 v w = det x1 y1 z1  , x2 y2 z2       y z1 x z1 x y1 w = det 1 e − det 1 e + det 1 V i.e. v e. In altre parole y2 z2 1 x2 z2 2 x2 y2 3    y1 z1  det y2 z2    y1 z2 − y2 z1    x z1   ^   v w = −det 1  = z1 x2 − z2 x1 .  x2 z2  x1 y2 − x2 y1     x y1  det 1  x2 y2 V V V V In generale non vale la proprietà associativa, i.e. in generale (v1 v2 ) v3 ̸= v1 (v2 v3 )! Ma valgono molte altre proprietà. Proprietà del prodotto vettoriale   V 0 (a) v w = 0 se e solo se v, w sono linearmente dipendenti, i.e. proporzionali. 0 V V (b) v w = −(w v). V (c) v w è perpendicolare sia a v che a w. DIM (Proprietà del prodotto vettoriale). (a) L’affermazione segue dalla proprietà (g) del determinante. (b) L’affermazione segue dalla proprietà (e) del determinante. V (c) Dobbiamo dimostrare che < v w, v >= 0 (identica la dimostrazione per w). Ricordando la definizione di prodotto scalare, vogliamo dimostrare che       y z1 x z1 x y1 det 1 x1 − det 1 y1 + det 1 z = 0. y2 z2 x2 z2 x2 y2 1   x1 y1 z1 Ma questo è vero, poiché l’espressione a sinistra è det x1 y1 z1 , ma allora la tesi segue dalla proprietà (g) x2 y2 z2 del determinante. V Un’altra proprietà importante del prodotto vettoriale è data dalla relazione ||v w|| = ||v|| ||w|| senα, dove α è l’angolo compreso tra v e w. Da questa segue immediatamente che Area del triangolo Dati tre punti A, B, C ∈ R3 , l’area del triangolo ABC si può calcolare usando la seguente formula V ||(C − A) (B − A)|| Area(ABC) =. 2 Osservazione: Se i tre punti sono nel piano R2 , basta pensarli nello spazio aggiungendo una terza coordinata nulla. 3 Osservazione: Il prodotto vettoriale è utile per calcolare V il complemento ortogonale di un piano vettoriale di R. In ⊥ altre parole, se W = Span(v, w), allora W = Span(v w). RETTE NELLO SPAZIO Una retta r dello spazio è un sottospazio affine di dimensione 1, i.e. un sottoinsieme dello spazio della forma       x0 ℓ  r : P0 + Span(v) =  y0  + t m : t ∈ R , z0 n     ℓ dove P0 è un punto dello spazio e v = m ∈ R3 è il vettore direttore. n Si noti come per gli elementi pensati come vettori si continui a usare la parola vettore.   ℓ Si noti inoltre che tutti i multipli di m sono vettori direttori di r, perché Span(v) = Span(tv), per ogni t ∈ R. n Per due punti distinti passa un’unica retta.     x0 ℓ Data una retta r :  y0  + Span m essa può essere presentata in due modi: z0 n Equazioni parametriche: al variare del parametro t ∈ R ottengo tutti i punti della retta; servono a dirmi come è fatto il generico punto della retta:  x = x0 + tℓ  y = y0 + tm  z = z0 + tn  Equazioni cartesiane:   le soluzioni del sistema di equazioni mi danno tutti i punti della retta; servono a dirmi x se un punto y  giace sulla retta oppure no: z ( ax + by + cz + d = 0 ex + f y + gz + h = 0 con a, b, c, d, e, f, g, h ∈ R. Si noti come si pensi ad una retta come intersezione di due piani. Ricordando il Teorema di Rouché-Capelli, questo sistema ammette ∞3−2 = ∞1 soluzioni, come atteso (avendo la retta dimensione 1). Le equazioni cartesiane di una retta nello spazio si ottiengono imponendo   x − x0 ℓ rg  y − y0 m = 1. z − z0 n Dati due punti P1 e P2 qualsiasi sulla retta, il vettore P1 − P2 è un vettore direttore della retta.     x − x0 ℓ Ma allora vogliamo che  y − y0  sia un vettore direttore della retta, i.e. sia proporzionale al vettore m. In altre   z − z0 n x parole i punti y  che giacciono sulla retta sono tutti e soli quelli tali che quella matrice 3 × 2 ha rango 1. z Proposizione (sulle rette dello spazio)     ( a V e ax + by + cz + d = 0 Data una retta r : nello spazio, si ha che  b  f  è un vettore direttore di r. ex + f y + gz + h = 0 c g     a e DIM: Dalla Proposizione sui piani dello spazio, si ha che  b  e f  sono vettori perpendicolari dei piani la cui c g intersezione è la retta r. Poiché il prodotto vettoriale di questi due vettori è perpendicolare a entrambi (per la Proprietà (c) del prodotto vettoriale). Allora esso è forzato ad essere un vettore direttore per entrambi i piani, i.e. è il vettore direttore della retta in cui si intersecano. □ Osservazione: Due rette sono parallele se i loro vettori direttori sono proporzionali, i.e. uno multiplo dell’altro, i.e. se sono dipendenti. Osservazione: Per la stessa retta, potremmo avere equazioni   parametriche diverse, poiché scegliendo un punto di ℓ passaggio diverso da P0 o un vettore direttore diverso da m le equazioni saranno diverse. n Osservazione: Per la stessa retta, potremmo avere equazioni cartesiane diverse, poiché sappiamo che esistono molti sistemi equivalenti con lo stesso insieme di soluzioni. PER AVERE UNA RETTA BASTA AVERE UN PUNTO E UN VETTORE DIRETTORE. Passaggio da equazioni parametriche a equazioni cartesiane Se ho le equazioni parametriche, allora ho un punto di passaggio e un vettore direttore, quindi basta procedere come scritto alla pagina precedente. Passaggio da equazioni cartesiane a equazioni parametriche Trovare le parametriche significa risolvere il sistema dato dalle equazioni della retta. Dalle soluzioni trovo un punto di passaggio e un vettore direttore, quindi le parametriche. In alternativa, posso applicare la Proposizione sulle rette dello spazio e ricavare un vettore direttore dal prodotto vettoriale. Ora si tratta solo di trovare un punto di passaggio (i.e. una soluzione qualsiasi del sistema, per esempio imponendo una incognita a zero e ricavando le altre). Due rette nello spazio si dicono sghembe se non sono incidenti e non sono parallele (i.e. se non sono complanari). Osservazione: Esistono rette sghembe perpendicolari. Proposizione (sulle rette sghembe) Date due rette r ed s dello spazio sghembe, esiste un’unica retta perpendicolare ad entrambe e incidente entrambe. DIM (idea): Consideriamo il piano α passante per r e perpendicolare ad s e il piano β passante per s e perpendicolare ad r. Allora la retta cercata è α ∩ β (unica per costruzione). Anzitutto questa è una retta perché α e β non sono paralleli per costruzione e due piani in R3 si intersecano in una retta per la formula di Grassmann. Del resto r ∩ (α ∩ β) = r ∩ β ̸= ∅ e s ∩ (α ∩ β) = s ∩ α ̸= ∅. Resta da mostrare che α ∩ β è perpendicolare sia ad r che ad s, ma questo è chiaro perché questa retta è perpendicolare al piano individuato dalle due direzioni di r e di s. □ DISTANZE NELLO SPAZIO Dati due insiemi I, J ⊆ R3 nello spazio, definiamo la distanza tra I e J come d(I, J) := inf{d(Pi , Pj ) : Pi ∈ I, Pj ∈ J}. Essenzialmente riconduciamo la distanza tra due insiemi a calcolare la distanza tra due punti. Nel caso di oggetti lineari (rette, piani...) la distanza è realizzata dall’idea di perpendicolarità. Distanza tra due punti: d(P1 , P2 ) = p (x1 − x2 )2 + (y1 − y2 )2 + (z1 − z2 )2. Distanza punto-piano tra un punto P0 e un piano α : ax + by + cz + d = 0: |ax0 + by0 + cz0 + d| d(P0 , α) = √. a2 + b2 + c2 La formula si ottiene individuando il punto Q di intersezione tra il piano α e la retta perpendicolare ad r passante per il punto P , calcolando la distanza d(P, Q). Distanza punto-retta: la distanza tra un punto P e una retta r si riconduce alla distanza tra il punto P e il punto Q, intersezione tra r e il piano perpendicolare a r passante per P. Distanza tra due rette parallele: date due rette parallele r ed s basta prendere un punto P qualsiasi su r e fare la distanza d(P, s). Distanza tra due rette sghembe si calcola individuando i due punti di intersezione tra le due rette e l’unica retta incidente e perpendicolare ad entrambe. Distanza tra un piano e una retta parallela ad esso: dato il piano α e una retta r parallela al piano, basta considerare un punto P qualsiasi su r e fare la distanza d(P, α). Si noti che non è la stessa cosa considerare un punto qualsiasi su α e fare la distanza punto-retta. Distanza tra due piani paralleli α e β è la distanza punto-piano tra un punto qualsiasi di α e il piano β. Distanza tra oggetti incidenti è 0, applicando la definizione. Sfere   xC Siano C =  yC  un punto di R3 e un numero reale r ≥ 0. zC La sfera C di centro C e raggio r è l’insieme dei punti dello spazio che distano r da C, i.e. C := {P ∈ R3 : d(P, C) = r}. Applicando la formula della distanza tra due punti otteniamo che l’equazione cartesiana della sfera è (x − xC )2 + (y − yC )2 + (z − zC )2 = r2. Svolgendo i due quadrati otteniamo un’equazione del tipo x2 + y 2 + z 2 + ax + by + cz + d = 0, con a, b, c, d ∈ R. Valgono allora le formule xC = − a2. yC = − 2b. zC = − 2c q r = a4 + 2 b2 c2 4 + 4 − d. a2 b2 c2 Si noti che x2 + y 2 + z 2 + ax + by + cz + d = 0 è l’equazione di una sfera se e solo se 4 + 4 + 4 − d ≥ 0. Per quattro punti non complanari a tre a tre non allineati passa un’unica sfera. Infatti sostituendo le coordinate dei quattro punti all’equazione della sfera, otteniamo un sistema di quattro equazioni nelle incognite a, b, c, d. Allora il Teorema di Cramer ci garantisce che esso ammette un’unica soluzione, i.e. un’unica sfera passante per i quattro punti dati. Dati una sfera S : x2 + y 2 + z 2 + ax + by + cz + d = 0 di centro C e raggio r e un piano α : ex + f y + gz + h = 0, con a, b, c, d, e, f, g, h ∈ R si ha che α ∩ S = ∅ se d(C, α) > r. α ∩ S = {punto} se d(C, α) = r, i.e. il piano α è tangente alla sfera S. α ∩ S = {circonferenza nello spazio} se d(C, α) < r, le cui equazioni cartesiane sono ( x2 + y 2 + z 2 + ax + by + cz + d = 0 ex + f y + gz + h = 0 Allora esistono anche i sistemi non lineari, le cui soluzioni corrispondono ai punti di altri oggetti geometrici... Ma facciamo che questa storia ve la racconto un’altra volta. ESEMPI di base per la Geometria dello Spazio    1 2 Scrivere equazioni parametriche e cartesiane della retta r passante per P = −1 e con vettore direttore  3 . 2 −1 Equazioni parametriche per r sono  x = 1 + 2t  r : y = −1 + 3t  z =2−t  Di conseguenza l’equazione cartesiana di r è ( x + 2z − 5 = 0 r: y + 3z − 5 = 0 ottenuta ricavando t = 2 − z e sostituendo t nelle altre due.       −1 1 0 Scrivere equazioni parametriche e cartesiane del piano α passante per P =  2  e parallelo a 0 e 1. 0 1 1 Equazioni parametriche per α sono  x = −1 + t  α: y =2+ℓ  z =t+ℓ  mentre l’equazione cartesiana di α è   x+1 1 0 α : det y − 2 0 1 = x + y − z − 1 = 0. z 1 1       −2 0 1 Scrivere equazioni parametriche e cartesiane del piano α passante per A =  1 , B = −1 e C = 0. 0 1 1   3 Si tratta di ricavare due vettori direttori per α. Una possibilità per il primo è C − A = −1 mentre una   1 1 possibilità per il secondo è C − B = 1. Quindi l’equazione cartesiana del piano cercato, usando come punto 0 di passaggio il punto C, è   x−1 3 1 α : det  y −1 1 = x − y − 4z + 3 = 0. z−1 1 0 Scrivere l’equazione cartesiana del piano parallelo al piano α : x − 2y + 5z − 3 = 0 e passante per l’origine. Essendo il piano cercato del tipo x − 2y + 5z + d = 0, si tratta del piano x − 2y + 5z = 0.     1 1 Scrivere l’equazione cartesiana del piano passante per P = 0 e con vettore perpendicolare  3 . 1 −2 Il piano cercato è del tipo x+3y −2z +d = 0. Imponendo il passaggio per P , si tratta del piano x+3y −2z +1 = 0. Esercizio sulle rette sghembe   x = 1 + t  x = 3 + 2ℓ  Nello spazio, si considerino le due rette r : y = 1 − t e s : y = −5   z = 1 + 2t z = −ℓ   Si mostri che r ed s sono sghembe. Si determinino equazioni parametriche dell’unica retta perpendicolare ed incidente entrambe. Si calcoli la distanza tra r ed s. Svolgimento Anzitutto osserviamo che r ed s non sono parallele. Infatti si ha che la matrice avente per colonne i vettori direttori delle rette ha rango 2, i.e.   1 2 rg −1 0  = 2. 2 −1 Notiamo anche che r ed s sono perpendicolari perché il prodotto scalare dei due vettori direttori è zero (e questo sarebbe bastato per concludere che non erano parallele). Inoltre r ed s non sono incidenti.  Infatti,  se si intersecassero, nella retta r avremmo 1 − t = −5, vale a dire t = 6 e 7 il punto di intersezione sarebbe −5 che non appartiene alla retta s, perché se vi appartenesse, avremmo −ℓ = 13, 13 i.e. ℓ = −13 e x = −23 ̸= 7. Quindi r ∩ s = ∅. Per trovare l’unica retta perpendicolare ed incidente ad entrambe le rette date, consideriamo il prodotto vettoriale tra i due vettori direttori delle rette       1 ^ 2 1 −1  0  = 5. 2 −1 2 Consideriamo   il piano α contenente la retta r e perpendicolare   ad s. Si tratta di un piano passante per il punto 1 2 P1 = 1 ∈ r e avente per vettore perpendicolare il vettore  0 . Si tratta allora di un piano avente per equazione 1 −1 2x − z + d = 0. Imponendo il passaggio per P1 si ottiene 2x − z − 1 = 0. Consideriamo   il piano α contenente la retta r e perpendicolare ads.  Si tratta di un piano passante per il punto 3 1 P2 = −5 ∈ s e avente per vettore perpendicolare il vettore −1. Si tratta allora di un piano avente per 0 2 equazione x − y + 2z + d = 0. Imponendo il passaggio per P2 si ottiene x − y + 2z − 8 = 0. Quindi equazioni cartesiane per la retta cercata sono ( 2x − z − 1 = 0 x − y + 2z − 8 = 0 Per trovare i due punti di intersezione della retta appena trovata con r ed s basta inserire le parametriche di r ed s nelle equazioni dei piani β e α, rispettivamente.     2 1 Svolgendo i calcoli otteniamo r ∩ β = P = 0 e s ∩ α = Q = −5 3 1 Ma allora la distanza tra le due rette r ed s è p √ d(r, s) = d(P, Q) = (1 − 2)2 + (−5 − 0)2 + (1 − 3)2 = 30.