Circuits Électriques - Régime Sinusoidal 2024-2025 PDF

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Université Hassan II de Casablanca Circuits électriques Faculté des Sciences Aïn Chock Circuits électriques Lois fondamentales du courant continu Dipôles passifs élémentaire Régime sinusoïdale Principaux théorèmes Puissance et énergie Régime transitoire Quadripôles électriques Prof. A. TOUHAMI 1 Université Hassan II de Casablanca Circuits électriques Faculté des Sciences Aïn Chock Régime sinusoïdal Prof. A. TOUHAMI 2 Université Hassan II de Casablanca Circuits électriques Faculté des Sciences Aïn Chock  Production d’énergie (courants électriques)  Fonctions sinusoïdales sont simples à manipuler mathématiquement  Fonctions périodiques peuvent être décomposées en une somme de signaux sinusoïdaux. Prof. A. TOUHAMI 3 Université Hassan II de Casablanca Circuits électriques Faculté des Sciences Aïn Chock Grandeur sinusoïdale x(t )  X m.sin .t    x(t ) X m Amplitude du signal T Xm T Période du signal (s) 1 f  Fréquence du signal (Hz) 0 t T Xm 2.  Pulsation du signal (rd/s) T  Phase à l’origine du temps (rd) Prof. A. TOUHAMI 4 Université Hassan II de Casablanca Circuits électriques Faculté des Sciences Aïn Chock Constantes caractéristiques Valeur moyenne la moyenne des valeurs instantanées mesurées sur une période complète T 1  x(t )  . x(t ).dt T 0 Dans le cas d’un signal sinusoïdal alternatif la valeur moyenne est toujours nulle On rencontre des difficultés pour avoir des informations sur le signal sinusoïdal Prof. A. TOUHAMI 5 Université Hassan II de Casablanca Circuits électriques Faculté des Sciences Aïn Chock Valeur efficace Elle spécifie l’aptitude du signal alternatif à fournir de la puissance à une charge résistive T 1 Xm .  x(t ) .dt  2 X eff T 0 2 Même si le signal est sinusoïdal alternatif, l’intégral ainsi définie sera toujours positive et non nulle. Prof. A. TOUHAMI 6 Université Hassan II de Casablanca Circuits électriques Faculté des Sciences Aïn Chock Déphasage entre deux signaux sinusoïdaux Deux signaux sont synchrones, s’ils ont la même fréquence. Le déphasage entre deux signaux, est la différence de phase à l’origine des signaux étudiés. Le déphasage est une valeur algébrique qui est généralement compris entre  et  x1 (t )  X m1.sin .t  1  x2 (t )  X m 2.sin .t  2  Le déphasage de x2 (t ) par rapport à x1 (t ) est la quantité:    2  1 Prof. A. TOUHAMI 7 Université Hassan II de Casablanca Circuits électriques Faculté des Sciences Aïn Chock Si  est positif, le signal x2 (t ) est en avance de phase par rapport au signal x1 (t ) Si  est négatif, le signal x2 (t ) est en retard de phase par rapport au signal x1 (t ) Si  est nulle, on dit que les deux signaux x1 (t ) et x2 (t ) sont en phase Si    , on dit que les deux signaux x1 (t ) et x2 (t ) sont en opposition de phase  Si   , on dit que les deux signaux x1 (t ) et x2 (t ) sont en 2 quadrature de phase Prof. A. TOUHAMI 8 Université Hassan II de Casablanca Circuits électriques Faculté des Sciences Aïn Chock x1 (t ) x1 (t ) x2 (t ) x2 (t ) 0 t 0 t signaux x1 (t ) et x2 (t ) sont en phase signaux x1 (t ) et x2 (t ) sont en opposition de phase x1 (t ) x1 (t ) x2 (t ) x2 (t ) 0 t 0 t signaux x1 (t ) et x2 (t ) sont en quadrature signaux x1 (t ) et x2 (t ) sont en quadrature retard de phase avance de phase Prof. A. TOUHAMI 9 Université Hassan II de Casablanca Circuits électriques Faculté des Sciences Aïn Chock Retard temporel x1 (t )  X m1.sin .t  1  x2 (t )  X m 2.sin .t  2  Le déphasage de x2 (t ) par rapport à x1 (t ) est la quantité:    2  1 x2 (t )  X m 2.sin .t  2   X m 2.sin .t    1       x2 (t )  X m 2.sin  .  t   1   X m 2.sin .  t  t   1           t    2.. f t est appelé le retard temporel lié au déphasage  entre les deux signaux x1 (t ) et x2 (t ) Prof. A. TOUHAMI 10 Université Hassan II de Casablanca Circuits électriques Faculté des Sciences Aïn Chock Mesure de déphasage Retard de phase Choix d’un instant de référence sur le signal x1 (t ) x1 (t ) X m1 X m2 Exemple: le maximum du signal X m1 x2 (t ) Choisir le maximum du signal x2 (t ) le plus proche 0 t à l’instant de référence t Exemple: le maximum du signal X m 2 Si ce maximum X m 2 se trouve à droite du maximum X m1 : x2 (t ) est en retard de phase par rapport à x1 (t ) Le déphasage est négatif :   0   2.. f.t Prof. A. TOUHAMI 11 Université Hassan II de Casablanca Circuits électriques Faculté des Sciences Aïn Chock Avance de phase Choix d’un instant de référence sur le signal x1 (t ) x1 (t ) X m1 X m2 Exemple: le maximum du signal X m1 Choisir le maximum du signal x2 (t ) le plus proche 0 t à l’instant de référence t x2 (t ) Exemple: le maximum du signal X m 2 Si ce maximum X m 2 se trouve à gauche du maximum X m1 : x2 (t ) est en avance de phase par rapport à x1 (t ) Le déphasage est positif :   0   2.. f.t Prof. A. TOUHAMI 12 Université Hassan II de Casablanca Circuits électriques Faculté des Sciences Aïn Chock Nombre complexe  z Forme cartésienne b z  a  j.b r  0 a  Module r  z  a 2  b2 a  cos  . z b  sin  . z Argument a   arctan   b Forme polaire z  r.  cos    j.sin     r.exp  j.  Prof. A. TOUHAMI 13 Université Hassan II de Casablanca Circuits électriques Faculté des Sciences Aïn Chock Signal sinusoïdal Une grandeur sinusoïdale x(t ) est caractérisée par deux nombres : Amplitude : X m Phase : .t   La grandeur complexe associée au signal x(t ) est donnée par : j..t   x(t )  X m.e  X m.e j.e j..t X m  X m.e j Amplitude complexe du signal x(t )  X m.e j..t Prof. A. TOUHAMI 14 Université Hassan II de Casablanca Circuits électriques Faculté des Sciences Aïn Chock X m  X eff. 2 X eff  X eff.e j Amplitude efficace complexe du signal x(t )  X m.e j..t  X eff. 2.e j.. j Notation phaseur X eff  X eff.e j  X eff. Toutes les informations dont nous avons besoin pour reconstituer le signal réel sont contenues dans l’amplitude complexe Xm  X m   arg( X m ) Prof. A. TOUHAMI 15 Université Hassan II de Casablanca Circuits électriques Faculté des Sciences Aïn Chock Exemple Signal Amplitude Fréquence Phase   u (t ) U m  300V f   50 Hz   2. 2 La valeur instantanée de cette tension est donnée par :   u (t )  U m.cos .t     300.cos  314.t    2 La valeur efficace de la tension est : Um U eff   212.13V 2 Prof. A. TOUHAMI 16 Université Hassan II de Casablanca Circuits électriques Faculté des Sciences Aïn Chock La représentation complexe de cette tension s’écrit   j. 314.t   j..t   u (t )  U m.e  300.e  2 V L’amplitude complexe est donnée par :   j. j. U m  U m.e 2  300.e 2 V L’amplitude efficace complexe est donnée par :   j. j. U eff  U eff.e 2  212.13.e 2V La notation phaseur est donnée par :  U eff  U eff   212.13V   2 Prof. A. TOUHAMI 17 Université Hassan II de Casablanca Circuits électriques Faculté des Sciences Aïn Chock Représentation graphique d’un signal sinusoïdal  M (t ) y (t ) OM  x(t ).e x  y (t ).e y   (t ) M 0 (t  0)   OM .t  (t )  .t    0 x(t )   x(t )  OM.cos(.t   )  OM  .cos( ).e x  .sin( ).e y    y (t )  OM.sin(.t   ) Prof. A. TOUHAMI 18 Université Hassan II de Casablanca Circuits électriques Faculté des Sciences Aïn Chock Diagramme de Fresnel  M (t ) y (t )   Sm  (t ) M 0 (t  0) .t Sm   0 x(t )  0 Axe origine des phases Dans la représentation de Fresnel une grandeur physique sinusoïdale de vitesse angulaire constante  peut être représentée par sa valeur maximale Sm ou effective Seff et par sa phase  OM  Sm   ou OM  Seff   Prof. A. TOUHAMI 19 Université Hassan II de Casablanca Circuits électriques Faculté des Sciences Aïn Chock Résistance i (t ) R i (t ) i (t )  I m.sin .t  vR (t ) vR (t )  R.i (t )  RI m.sin .t   VRm.sin .t  Le courant traversant une résistance et la tension à ses bornes sont en phase vR (t ) i (t ) Im VRm  R.I m 0 t Prof. A. TOUHAMI 20 Université Hassan II de Casablanca Circuits électriques Faculté des Sciences Aïn Chock Bobine L i (t ) i (t ) i (t )  I m.sin .t  vL (t ) di(t ) d  I m.sin .t     vL (t )  L.  L.  L.I m..cos .t   VLm.sin  .t   dt dt  2 Le courant traversant une bobine et la tension à ses bornes sont en quadratique  avance de phase ( 2 ) vL (t ) i (t ) VLm  L.I m.   0 t 2 Im Prof. A. TOUHAMI 21 Université Hassan II de Casablanca Circuits électriques Faculté des Sciences Aïn Chock Condensateur C i (t ) i (t ) i (t )  I m.sin .t  vC (t ) 1 1 I   vC (t ) . i(t ).dt . I m.sin .t .dt   m.cos .t   VCm.sin  .t   C C C.  2 Le courant traversant un condensateur et la tension à ses bornes sont en  quadratique retard de phase ( 2 ) vC (t ) Im i (t )   2 Im 0 VCm  t C. Prof. A. TOUHAMI 22 Université Hassan II de Casablanca Circuits électriques Faculté des Sciences Aïn Chock Association série d’une résistance et d’un condensateur i (t ) R i (t ) C i (t ) i (t )  I m.sin .t  vR (t ) vC (t ) vRC (t )  vR (t )  vC (t ) vRC (t ) 1 I   vRC (t )  R.i (t ) . i (t ).dt  R.I m.sin .t   m.sin  .t    VRCm.sin .t   RC  C C.  2 Im VRm  R.I m  RC VRCm I VCm  m C. Prof. A. TOUHAMI 23 Université Hassan II de Casablanca Circuits électriques Faculté des Sciences Aïn Chock 2 i (t )  I  1 VRCm   R.I m    m   Im. R2  2 2 2 vRC (t ) C  100nF C  1 F  C.  C. 0 t  1   RC   arctan    R.C.  1   1  vRC (t )  I m. R 2 .sin  .t  arctan   C 2. 2   R.C.   Plus que la capacité est importante plus que la tension globale et le courant tendent à être en phase Prof. A. TOUHAMI 24 Université Hassan II de Casablanca Circuits électriques Faculté des Sciences Aïn Chock Association série d’une résistance et d’une bobine R L i (t ) i (t ) i (t ) i (t )  I m.sin .t  vR (t ) vL (t ) vRL (t )  vR (t )  vL (t ) vRL (t ) di(t )   vRL (t )  R.i(t )  L.  R.I m.sin .t   L.I m..sin  .t    VRLm.sin .t   RL  dt  2 VRLm VLm  L.I m.  RL Im VRm  R.I m Prof. A. TOUHAMI 25 Université Hassan II de Casablanca Circuits électriques Faculté des Sciences Aïn Chock VRLm   R.I m    L.I m.   I m. R 2  L2. 2 2 2 i (t ) vRL (t ) L  100mH L  0.1mH  L.  0 t  RL  arctan    R    L.   vRL (t )  I m. R 2  L2. 2.sin  .t  arctan     R  Plus que l’inductance est faible plus que la tension globale et le courant tendent à être en phase Prof. A. TOUHAMI 26 Université Hassan II de Casablanca Circuits électriques Faculté des Sciences Aïn Chock Impédance complexe Un circuit est linéaire si le courant auquel est soumis et la tension ont les mêmes fonctions avec un déphase  i (t )  I m.cos .t  et v(t )  Vm.cos .t    ou i (t )  I m.sin .t  et v(t )  Vm.sin .t    Expressions complexes du courant et de la tension i (t )  I m.ei..t  I m.  cos .t   j.sin .t    Vm.  cos .t     j.sin .t     i..t   v(t )  Vm.e Prof. A. TOUHAMI 27 Université Hassan II de Casablanca Circuits électriques Faculté des Sciences Aïn Chock On prend la partie réelle de l’expression complexe du courant ou de la tension si le courant ou la tension varient en cosinus   i (t )   i (t )  I m.cos .t  et   v(t )   v(t )  Vm.cos .t    Si le courant ou la tension varient en sinus, on prend la partie imaginaire de l’expression complexe du courant ou de la tension   i (t )   i (t )  I m.sin .t  et   v(t )   v(t )  Vm.sin .t    Impédance complexe d’un dipôle Vm j. Z v(t )  Z.e j.arg Z  Z.e i (t ) Im V i (t )  I m.ei..t Z  m Im i..t   v(t )  Vm.e arg  Z    Prof. A. TOUHAMI 28 Université Hassan II de Casablanca Circuits électriques Faculté des Sciences Aïn Chock Impédance complexe d’une résistance La tension aux bornes d’une résistance et le courant qui la traverse sont en phase (  0). v R (t ) VRm.e j..t VRm ZR    R i R (t ) I Rm.e j..t I Rm Impédance complexe d’une bobine La relation entre la tension et le courant dans une bobine est donnée par : di L (t ) v L (t )  L.  L. j..i L (t ) dt v L (t ) j..L.i L (t ) ZL    j..L i L (t ) i L (t ) Prof. A. TOUHAMI 29 Université Hassan II de Casablanca Circuits électriques Faculté des Sciences Aïn Chock Impédance complexe d’un condensateur La relation entre la tension et le courant dans un condensateur est donnée par : 1 1 vC (t ) . i C (t ).dt .i C (t ) C j..C 1.i C (t ) v (t ) j..C 1 ZC  C   i C (t ) i C (t ) j..C Prof. A. TOUHAMI 30 Université Hassan II de Casablanca Circuits électriques Faculté des Sciences Aïn Chock Impédance complexe du dipôle RLC série R L C i (t ) i (t ) i (t ) i (t ) vR (t ) vL (t ) vC (t ) vRLC (t ) Si on associe le courant et les tensions à leurs notations complexes : 1 v RLC (t )  v R (t )  v L (t )  vC (t )  R.i (t )  j..L.i(t ) .i(t ) j..C   1   1  v RLC (t )   R  j.  L.   .i(t ) Z  R  j.  L.     C.    C.  Prof. A. TOUHAMI 31 Université Hassan II de Casablanca Circuits électriques Faculté des Sciences Aïn Chock Représentation de Fresnel 1 1 1 L..I m.I m L..I m.I m L..I m.I m C. C. C. R.I m VRLCm  Z.I m RLC  0 0 RLC  0 RLC  0 R.I m VRLCm  Z.I m 0 0 VRLCm  Z.I m R.I m Impédance du dipôle Impédance du dipôle Impédance du dipôle est de type inductif est de type résistif est de type capacitif RLC  0 RLC  0 RLC  0 Prof. A. TOUHAMI 32 Université Hassan II de Casablanca Circuits électriques Faculté des Sciences Aïn Chock 2 2  I   1  VRLCm   R.I m    L.I m.  m   I m. R 2   L.  2   C.   C.   1   L.  .I m. L. C.  tan RLC    1 L..I m 1.I m   C. R.I m R R.C. VRLCm  Z.I m  L. 1  RLC RLC  arctan     R R.C.  0 R.I m   L. 1  2  1  vRLC (t )  I m. R   L.  2 .sin  .t  arctan     C.    R R.C.   Prof. A. TOUHAMI 33 Université Hassan II de Casablanca Circuits électriques Faculté des Sciences Aïn Chock i (t ) vRLC (t ) Z L  ZC Z L  ZC Z L  ZC 0 t Selon les valeurs des impédances Z L et ZC , la tension globale vRLC (t ) aux bornes de ce circuit peut être en phase ou en avance de phase ou en retard de phase par rapport au courant i(t ) traversant ce circuit. Prof. A. TOUHAMI 34 Université Hassan II de Casablanca Circuits électriques Faculté des Sciences Aïn Chock Impédance complexe du dipôle RLC parallèle iRLC (t ) iR (t ) iL (t ) iC (t ) v(t ) R L C iRLC (t ) Si on associe le courant et les tensions à leurs notations complexes : v(t ) v(t ) i RLC (t )  i R (t )  i L (t )  i C (t )    j..C.v(t ) R j..L 1 1  1 1 1 i RLC (t )     j.C. .v(t ) Y    j.C.  R j.L.  Z R j.L. Prof. A. TOUHAMI 35 Université Hassan II de Casablanca Circuits électriques Faculté des Sciences Aïn Chock Représentation de Fresnel 1 1 1 C..Vm.Vm C..Vm.Vm C..Vm.Vm L. L. L. Vm RLC  0 R I RLCm  Y.Vm 0 RLC  0 Vm RLC  0 R I RLCm  Y.Vm 0 Vm 0 I RLCm  Y.Vm R Admittance du dipôle Admittance du dipôle Admittance du dipôle est de type inductif est de type résistif est de type capacitif RLC  0 RLC  0 RLC  0 Prof. A. TOUHAMI 36 Université Hassan II de Casablanca Circuits électriques Faculté des Sciences Aïn Chock 2 2 2 2 V   V  1  1  I RLCm   m    C..Vm  m   Vm.     C.    R  L.  R  L.   1  C..Vm 1.Vm  C.  .Vm.   1  tan RLC     L. L.  R.  C.   Vm  L.  I RLCm  Y.Vm R RLC  0   1  RLC  arctan  R.  C.   0 Vm   L.   R    1  2 2 1  1  iRLC (t )  Vm.     C.  .sin  .t  arctan   R C.      R L.     L.  Prof. A. TOUHAMI 37 Université Hassan II de Casablanca Circuits électriques Faculté des Sciences Aïn Chock v(t ) iRLC (t ) Z L  ZC Z L  ZC Z L  ZC 0 t Selon les valeurs des impédances Z L et ZC , le courant iRLC (t ) globale traversant le dipôle RLC parallèle peut être en phase ou en avance de phase ou en retard de phase par rapport à la tension v(t ) aux bornes du dipôle. Prof. A. TOUHAMI 38