Etude des circuits monophasés en régime sinusoïdal PDF

Chapitre 1 Etude des circuits monophasés en régime sinusoidal  Chapitre 1 : Etude des circuits monophasés en régime sinusoïdal Etude des circuits monophasés en régime sinusoïdal 1.1- Introduction : Le régime sinusoïdal...

Chapitre 1 Etude des circuits monophasés en régime sinusoidal  Chapitre 1 : Etude des circuits monophasés en régime sinusoïdal Etude des circuits monophasés en régime sinusoïdal 1.1- Introduction : Le régime sinusoïdal constitue, après le régime continu, le régime électrique le plus couramment utilisé. Les électriciens ont introduit des modèles théoriques très intéressants qui permettent d’utiliser en régime sinusoïdal les mêmes lois et théorèmes qu’en régime continu. Nous allons étudier la réponse des circuits soumis à un signal (v(t) ou i(t)) de forme sinusoïdale, on parle de signaux alternatifs (AC). Ces signaux jouent un rôle très important dans les sciences physiques :  Ils sont présents dans de nombreux domaines (Oscillations mécaniques, physiques des ondes, optique, physique quantique, électricité, …).  Ils sont faciles à générer, EDF transport l’énergie électrique sous formes de signaux sinusoïdaux. Dans les télécoms, les informations sont transportées par des ondes électromagnétiques de forme sinusoïdale (Ou plutôt par une somme d’ondes sinusoïdales).  On montre en mathématiques (Analyse de Fourier) que tout signal périodique peut s’écrire comme une somme infinie de fonctions sinusoïdales d’où le rôle universel joué par ces dernières. De plus, elles sont faciles à manipuler (Dériver, intégrer, …). 1.2- Définition d’un circuit monophasé : Un circuit monophasé est un circuit alimenté par une tension alternative sinusoïdale v(t) et parcouru par un courant alternatif sinusoïdal i(t). Les valeurs de v(t) et de i(t) changent avec le temps. Le circuit est constitué d’une phase notée Ph ou L référencée par rapport à une masse ou un neutre N. Figure 1.1 : Récepteur monophasé. 1.3- Généralités : 1.3.1- Importance du régime sinusoïdal :  La plus grande partie de l’énergie électrique est produite sous forme de courant alternatif sinusoïdal.  Les fonctions sinusoïdales sont simples à manipuler mathématiquement et électriquement.  Toute fonction périodique de forme quelconque peut être décomposée en une somme de signaux sinusoïdaux (Décomposition en série de Fourier). 1.3.2- Fonction périodique : Un signal s(t ) est périodique, de période « T » si, quel que soit l’instant t, nous avons : s(t )  s(t  T ) 1  Chapitre 1 : Etude des circuits monophasés en régime sinusoïdal T est la période du signal exprimée en seconde (s); nous utilisons les multiples et sous-multiples de cette unité. Cette période représente le temps qui sépare deux passages successifs par la même valeur avec le même sens de variation. La fréquence « f » qui est exprimée en hertz (Hz) donne le nombre de périodes par seconde. Nous pouvons aussi utiliser surtout les multiples de cette unité : kHz, MHz et même des GHz dans le cas de l’hyperfréquence. Nous pouvons aussi rencontrer dans des documentations anciennes le terme de cycle par seconde qui a été remplacé par le Hertz. 1 f  en Hz (ou s 1 ) T La Figure 1.2 représente trois cas particuliers de fonctions périodiques, à savoir :  La fonction : Tension sinusoïdale u1 (t ).  La fonction : Tension dents de scie u 2 (t ).  La fonction : Tension carrée sans offset (Tension de décalage) u 3 (t ). Figure 1.2 : Exemples de fonctions périodiques de période T. 1.3.3- Fonction sinusoïdale : Le régime sinusoïdal, appelé souvent régime harmonique, joue un rôle considérable en électronique linéaire, et plus généralement dans la théorie des systèmes linéaires pour diverses raisons :  La forme du signal sinusoïdal est la seule qui se conserve à la traversée d’un système linéaire. En effet, l’intégrale ou la dérivée d’une sinusoïde reste toujours une sinusoïde avec une amplitude et une phase qui peuvent varier.  La théorie de Fourier montre que tout signal peut être décomposé en une somme infinie de signaux sinusoïdaux. Nous pouvons donc prévoir la réponse d’un système linéaire à un signal quelconque connaissant sa réponse harmonique.  Enfin, le signal sinusoïdal est très répandu parce qu’il est facile à produire. Dans cette partie, nous étudions des circuits linéaires dans lesquels les signaux imposés par les générateurs sont sinusoïdaux. 2  Chapitre 1 : Etude des circuits monophasés en régime sinusoïdal 1.3.3.1- Définition : Le signal sinusoïdal est un signal périodique particulier. Sa loi d’évolution s’exprime à l’aide des fonctions « Sinus » ou « cosinus ». On dit qu’un réseau linéaire fonctionne en régime sinusoïdal ou régime harmonique si ses tensions et courants ont pour expressions algébriques : s(t )  S Max. cos( t   ) ou s(t )  S Max. sin( t   ) Pour des raisons de commodité, en vue de ce qui va suivre (Représentation de Fresnel et représentation complexe), nous préférons définir le signal sinusoïdal par la deuxième expression qui correspond à une sinusoïde. Nous avons présenté à la Figure 1.3(a) le signal cosinusoïdal s1 (t ) et à la Figure 1.3(b) le signal sinusoïdal s 2 (t ) : s1 (t )  S Max. cos( t ) et s2 (t )  S Max. sin( t ) La variable temps « t » est supposée varier de « −∞ » à « +∞ », s(t) est la valeur (ou amplitude) instantanée exprimée en Volt ou en Ampère. Figure 1.3 : Représentation temporelle (cartésienne) d’un signal cosinusoïdal (a) et d’un signal sinusoïdal (b). 2 SMax représente la valeur crête à crête de s(t ). SMax est l’amplitude maximale ou crête du signal s(t ) en Volt [V] ou Ampère [A].  t   représente l’angle de phase instantanée appelé souvent phase instantanée, qui exprimée généralement en radian [Rad] et parfois en [degré].  est la pulsation (Appelée parfois vitesse angulaire) du signal. La pulsation est reliée à la fréquence et à la période T par : 2   2 f  T Exprimée en radian par seconde [Rad/s].  est l’angle de phase appelé souvent phase à l’origine (à t = 0) exprimée en radian [Rad] ou en [degré]. 3  Chapitre 1 : Etude des circuits monophasés en régime sinusoïdal 1.3.3.2- Valeur moyenne et valeur efficace : La valeur moyenne d’une fonction sinusoïdale s(t )  S Max. sin( t   ) est : T T. s(t ).dt . SMax.sin( t ).dt  Max. cos( t )0  0 1 1 S SMoy  s(t )  T T 0 T 0 T Puisque la valeur moyenne d’une fonction sinusoïdale pure est nulle, nous n’utilisons que rarement en électricité la notion de la valeur maximale S Max d’une fonction périodique. En revanche, nous préférons lui substituer une grandeur plus significative Seff, appelée valeur efficace, telle que : T 1 T 0 S eff . s 2 (t ). dt Si nous prenons le cas particulier d’un signal sinusoïdal s(t ) avec : s(t )  S Max. sin( t   ) La valeur efficace devient :  1  cos(2  t ) T 2 T 2  T 1 1 S2 S eff . s 2 (t ).dt .  S Max 2. sin 2 ( t ).dt  Max.   .dt T 0 T T 2 T T 2  2  T 2 2 S Max  sin(2  t )  2 S Max S Max 2 . t  Soit : S eff  2 T  2   T 2 S eff 2 2 Les forces électromotrices, les tensions et les courants d’un circuit électrique en régime sinusoïdal ont pour expression la forme suivante : s(t )  S eff 2. cos( t   ) ou s(t )  S eff 2. sin( t   ) Les grandeurs de ces variables sont toujours données (ou lues), sur la plupart des appareils, en valeurs efficaces. 1.4- Systèmes de phase : En courant alternatif, on distingue le fil neutre, qui sert de référence de tension, et le fil (les fils) de phase, qui transporte (Transportent) le courant. Il existe différents systèmes de courant alternatif :  Le monophasé : C’est le système le plus utilisé pour les réseaux domestiques. Il utilise deux câbles : la phase et le neutre.  Le biphasé : Ancien système devenu très rare. Utilise deux fils de phase, et pas de fil neutre.  Le triphasé : Principalement utilisé pour le transport de l’utilisation de fortes puissances. Il utilise trois fils de phase et un fil neutre. 4  Chapitre 1 : Etude des circuits monophasés en régime sinusoïdal 1.5- Représentation d’une grandeur sinusoïdale : 1.5.1- Représentation vectorielle (Méthode de Fresnel) : La représentation de Fresnel est un outil graphique permettant d’ajouter, de soustraire, de dériver et d’intégrer des fonctions sinusoïdales de même fréquence. L’intérêt de la représentation de Fresnel c’est de séparer la partie temporelle de la partie de phase. 1.5.1.1- Intérêt : Remplacer les calculs algébriques par une méthode graphique. 1.5.1.2- Principe : À une grandeur sinusoïdale s(t )  S Max. cos( t   ), on associe un vecteur OM , appelé vecteur de Fresnel. De module : OM  S Max. Tournant autour de O dans le sens trigonométrique (Antihoraire) à la vitesse angulaire . D’angle orienté (OX , OM ) à l’instant t et de mesure ( t   ). Le vecteur de Fresnel associé à s(t ) est défini de la façon suivante :  OM  S OM  Max (OX , OM )   Le diagramme de Fresnel est le suivant : Figure 1.4 : Représentation de Fresnel. La projection du vecteur OM sur l’axe OX représente la grandeur sinusoïdale s(t )  S Max. cos( t   ). Exemple : Soient deux tensions : u(t )  U eff 2. sin(t   ) et v(t )  Veff 2. sin(t )  Tracer les diagrammes de Fresnel. 5  Chapitre 1 : Etude des circuits monophasés en régime sinusoïdal 1.5.2- Représentation complexe d’un signal sinusoïdal : Les nombres complexes est un outil mathématique qui nous permettra de traiter et d’étudier des circuits électriques aussi complexes que possible d’une façon purement algébrique. La représentation complexe découle directement de la représentation de Fresnel et permet plus de précision dans les résultats. Nous verrons juste après quelques définitions l’intérêt de cette notation complexe. 1.5.2.1- Rappels mathématiques sur les nombres complexes : Nous appelons nombre complexe, tout nombre de la forme : Z  a  ib Où a et b sont des nombres réels, i le nombre complexe unité tel que i 2  1. On préfère, en électricité, et pour ne pas confondre i avec un courant, écrire Z  a  jb en notant j le nombre complexe unité. Un nombre complexe est réel si la partie imaginaire est nulle. Un nombre complexe est imaginaire pur si la partie réelle est nulle. Soit deux nombres complexes Z 1 et Z 2 tels que Z1  a1  jb1 et Z 2  a2  jb2 , nous avons : Z1  Z 2  (a1  a 2 )  j (b1  b2 ) Z1. Z 2  (a1  jb1 ). (a 2  jb2 )  (a1 a 2  b1b2 )  j (a1b2  a 2 b1 ) Le signe moins qui apparaît dans cette formule est dû au terme « j 2 » qui vaut  1. Le nombre complexe conjugué Z * est obtenu en changeant le signe de la partie imaginaire : Z  a  jb et Z *  a  jb Il existe trois formes de représentation des nombres complexes :  La forme classique (Cartésienne) : Z  a  jb.  La forme trigonométrique : Z  Z. (cos   j sin  ).  La forme exponentielle (Polaire) : Z  Z.e j. Où Z est le module : Z  a 2  b 2  Z.Z *. b Et  est l’argument :   arctan  . a  j  Cas particulier : j  e 2. 1.5.2.2- Dérivation et intégration dans le domaine complexe :  Dérivation : Dans le domaine complexe, les opérations dérivations et intégrations sont beaucoup plus simples, il suffit respectivement de multiplier par j et de diviser par j l’amplitude complexe. ds(t ) d   .( S Max. sin ( t   ))   S Max. cos ( t   )   S Max. sin   t     dt dt  2 6  Chapitre 1 : Etude des circuits monophasés en régime sinusoïdal   j   t    Cette quantité représente la partie réelle de :  S Max. e  2.  j   t        j ( t  )  j    Re  S Max. e  2   Re  S Max. e.e 2   . sin   t          2 La dérivée du signal s(t ) par rapport au temps est : ds(t ) dt       Re j S Max. e j ( t  )  Re j S Max. e j. e j t  Re j. S. e j t  ds(t )  j. S dt   REPRESENTA TION COMPLEXE REPRESENTA TION TEMPORELLE La dérivation se traduit par une multiplication de l’amplitude complexe du signal d’origine par la quantité j ce qui revient à une multiplication du module du vecteur par la quantité  et par un déphasage de   2.  Intégration : Inversement, l’intégration se traduit par une rotation de   2 et une division du module par la quantité . Ceci donne :  S Max j j t   S   s(t ). dt  Re  j. e. e   Re . e j t    j  S s( t ). dt   j REPRESENTA TION TEMPORELLE  REPRESENTA TION COMPLEXE 1.5.2.3- Somme de deux vecteurs de même pulsation : Soit deux vecteurs tensions u 1 et u 2 : u1 (t )  U1. sin( t  1 ) et u 2 (t )  U 2. sin( t   2 ) Leurs amplitudes complexes sont respectivement : U1  U1. e j1 et U 2  U 2. e j2 Cherchons maintenant la somme de ces deux vecteurs. Nous savons que :      u1 (t )  u 2 (t )  Re U1. e j t  Re U 2. e j t  Re (U1  U 2 ). e j t  Ce résultat montre que l’amplitude complexe de la somme est égale à la somme des amplitudes complexes (Ce qui correspond au résultat trouvé avec les vecteurs de Fresnel). 1.6- Dipôles simples soumis à un régime sinusoïdal : 1.6.1- Dipôles de base des circuits : La relation tension-courant d’un dipôle passif à un instant donné est une relation instantanée : 7  Chapitre 1 : Etude des circuits monophasés en régime sinusoïdal Dipôle Symbole Relation tension-courant Résistance v R (t )  R. i(t ) (ou Résistor) di(t ) 1 Inductance v L (t )  L. , i(t ) . v L (t ). dt dt L (ou Bobine) dvC (t ) 1 Condensateur i(t )  C. , vC (t ) . i(t ). dt dt C 1.6.2- Relation courant-tension : En régime sinusoïdal permanent, le courant i (t ) s’écrit sous la forme : i(t )  I Max. sin(t   i ) En prenant le courant à l’origine des phases ( i  0 ), on a : i(t )  I Max. sin(t ) 1.6.2.1- Résistance : Figure 1.5 : Symboles d’une résistance. La résistance R est parcourue par un courant instantané d’expression : i(t )  I Max. sin(t ) et v R (t )  R. i(t ) v R (t )  R. I Max. sin(t )  VMax. sin(t ) Pour la résistance, vR (t ) et i (t ) sont en phase.  Diagramme de Fresnel et oscillogramme : Figure 1.6 : Diagramme vectoriel et oscillogramme pour une résistance. 8  Chapitre 1 : Etude des circuits monophasés en régime sinusoïdal 1.6.2.2- Bobine : Figure 1.7 : Symboles d’une bobine. La bobine (Inductance) L est parcourue par un courant instantané d’expression : di(t ) i(t )  I Max. sin(t ) et v L (t )  L. dt     v L (t )  L . I Max. cos(t )  L.I Max. sin t    VMax. sin t    2  2  Pour la bobine, vL (t ) est en avance de sur i (t ). 2  Diagramme de Fresnel et oscillogramme : Figure 1.8 : Diagramme vectoriel et oscillogramme pour une bobine. 1.6.2.3- Condensateur : Figure 1.9 : Symboles d’un condensateur. Le condensateur L est parcouru par un courant instantané d’expression : 1 1 i(t )  I Max. sin(t ) et vC (t ) . i(t ). dt . I Max. sin(t ). dt C C I Max I   vC (t )  . cos(t )  Max. sin t   C C  2  Pour le condensateur, vC (t ) est en retard de sur i (t ). 2 9  Chapitre 1 : Etude des circuits monophasés en régime sinusoïdal  Diagramme de Fresnel et oscillogramme : Figure 1.10 : Diagramme vectoriel et oscillogramme pour un condensateur. 1.7- Généralisation de la loi d’Ohm : L’impédance est une grandeur qui généralise la notion de résistance, de réactance inductive et de réactance capacitive dans le cas des circuits comportant plusieurs éléments de nature différente. Elle caractérise la manière dont le circuit freine le passage du courant en donnant le rapport qui existe entre la tension de la source et le courant résultant. 1.7.1- Impédance et admittance complexes : Soit un réseau électrique en régime sinusoïdal permanent. Considérons un dipôle de ce réseau. En régime sinusoïdal ou harmonique, la tension et le courant sont notés : v(t )  VMax. sin( t   v ) et i(t )  I Max. sin( t   i ) En revanche, on sait que la tension et le courant sont représentés par des grandeurs complexes : V  VMax. e jv et I  I Max. e ji Nous définissons l’impédance complexe Z comme le rapport de l’amplitude complexe de la tension V sur l’amplitude complexe du courant I : V VMax. e jv VMax j (v i ) Z  .e  Z. e j I I Max. e ji I Max Z   Z [],   Avec : Z  VMax Veff  et    v   i I Max I eff Cette quantité ne dépend plus du temps mais seulement de la nature des éléments constituant le dipôle. L’impédance est donc un nombre complexe qui est le quotient de deux amplitudes complexes. Le module Z est le quotient des amplitudes crêtes (ou efficaces) de la tension et du courant en Ohm [Ω], l’argument  est égal à la différence des phases à l’origine (v par rapport à i) en radian [Rad] ou en [degré]. L’inverse de l’impédance s’appelle l’admittance Y : I 1 Y   Y. e j  Y. e  j V Z 1  I Max Y   [ 1 ],   Avec : Y  et      i   v  Z  VMax 10  Chapitre 1 : Etude des circuits monophasés en régime sinusoïdal Où Y désigne le module de l’admittance en Siemens [S] ou [Ω -1] et  est le déphasage de l’intensité par rapport à la tension en radian [Rad] ou en [degré]. L’impédance Z (ou l’admittance Y ) était notée sous forme polaire avec un module et un argument, mais nous pouvons aussi les noter sous forme cartésienne : Z  R  jX et Y  G  jB  L’impédance comporte deux termes, la partie réelle R est appelée la résistance et la partie imaginaire X est appelée la réactance. Elles s’expriment toutes les deux en Ohm [Ω].  L’admittance comporte deux termes, la partie réelle G est appelée la conductance et la partie imaginaire B est appelée la susceptance. Elles s’expriment toutes les deux en Siemens [S] ou [Ω-1]. 1.7.2- Impédances et admittances complexes des dipôles élémentaires (R, L, C) : Contrairement au régime statique, les condensateurs et les bobines se comportent comme des impédances ou des admittances, dont les valeurs varient en fonction de la fréquence. Pour les trois dipôles fondamentaux, nous avons les impédances et les admittances suivantes : 1.7.2.1- Résistance : La loi d’Ohm en régime sinusoïdal s’écrit toujours de la même façon et ce, quel que soit l’instant t considéré. v R (t )  R. i(t ) En passant aux amplitudes complexes, nous obtenons donc : VR VR  R. I  Z R  R I Dans le cas d’une résistance, l’impédance complexe est : Z R  R  R, R  0 L’impédance complexe d’une résistance est purement réelle : la réactance nulle. L’admittance d’une résistance est alors : 1 1 1  YR     , 0 ZR R R  L’impédance et l’admittance se réduisent à des réels purs qui représentent une résistance et une conductance. 1.7.2.2- Bobine : La relation qui lie la tension au courant qui passe dans la bobine est : di(t ) v L (t )  L. dt Ce qui donne en notation complexe : d I (t ) VL VL  L.  jL. I  Z L   jL  jX L dt I 11  Chapitre 1 : Etude des circuits monophasés en régime sinusoïdal L’impédance complexe d’une bobine devient :  j   Z L  jL  jX L  L. e 2   L ,  L    2 L’impédance complexe d’une bobine est purement imaginaire et positive, son module est égal à la réactance inductive. Z L  X L  L L’admittance d’une bobine est :  1 1 j 1 j2  1  YL    .e  ,  ZL jL L L  L 2 1.7.2.3- Condensateur : Nous pouvons appliquer comme pour la bobine le raisonnement sur les expressions en complexes, mais nous allons utiliser le régime harmonique : 1 dv (t ) vC (t ) . i(t ). dt  i(t )  C. C C dt Dans le cas d’un condensateur, l’impédance complexe est :  j VC 1 1 I  jC.VC  e 2. C.VC  Z C   j   jX C I jC C L’impédance d’un condensateur devient :  1 1 1 j2  1  ZC  j   jX C .e  , C    jC C C  C 2 L’impédance complexe d’un condensateur est purement imaginaire et négative, son module est égal à la réactance capacitive. 1 ZC  X C  C L’admittance d’un condensateur est :  1 j   YC   jC  C. e 2  C ,  ZC  2 1.8- Associations des impédances : Deux dipôles sont en série s’ils sont parcourus par le même courant électrique (Même intensité). Ils sont en parallèle s’ils ont une même différence de potentiel à leurs bornes. Ces définitions simples s’étendent à N dipôles ou éléments. 1.8.1- Association des impédances en série : 1.8.1.1- Définition : Si deux impédances sont en série, le même courant les traverses, les tensions s’additionnent. 12  Chapitre 1 : Etude des circuits monophasés en régime sinusoïdal Figure 1.11 : Association en série de deux impédances. V1  Z1. I et V2  Z 2. I V  V1  V2  (Z1  Z 2 ). I  Z eq. I  Z eq  Z1  Z 2 Ce résultat se généralise pour l’association de N impédances placées en série : N Z eq   Z k  Z1  Z 2    Z N k 1 Généralisation : L’impédance équivalente à N impédances branchées en série est égale à la somme des N impédances. 1.8.1.2- Pont diviseur de tension : On parle de diviseur de tension lorsque deux impédances ou plus sont branchées en série afin d’obtenir une tension réduite aux bornes de l’une d’entre elle. Le diviseur de tension est un montage électronique simple qui permet de diviser une tension d’entrée V en de tensions Vk lorsqu’il y a des impédances Z k en série. Ce théorème est utilisé pour calculer des tensions aux bornes des impédances placées en série. Le schéma d’un pont diviseur de tension est donné à la Figure 1.7.  Z1   Z2  V1  V.   et V2  V.    Z1  Z 2   Z1  Z 2      Ce résultat se généralise pour l’association de N impédances placées en série :  Zk  Vk  V.    Z1  Z 2  Z 3    Z N    1.8.2- Association des impédances en parallèle : 1.8.2.1- Définition : Si deux impédances sont en parallèle, la tension est la même pour les deux, les courants s’additionnent. Figure 1.12 : Association en parallèle de deux impédances. V  Z1. I 1 et V  Z 2. I 2 13  Chapitre 1 : Etude des circuits monophasés en régime sinusoïdal  1 1  1 1 1 1 Z1  Z 2 I  I1  I 2   .V .V     Z eq   Z1 Z 2  Z eq Z eq Z1 Z 2 Z1  Z 2   Ce résultat se généralise pour l’association de N impédances placées en parallèle : N N 1 1 1 1 1      Yeq   Yk  Y1  Y2    YN Z eq k 1 Z k Z1 Z 2 ZN k 1 Généralisation : L’impédance équivalente à N impédances en parallèle est une impédance Z eq qui a une admittance Yeq égale à la somme des admittances. 1.8.2.2- Pont diviseur de courant : Le diviseur de courant est un montage électronique simple qui permet de diviser un courant d’entée I en de courants I k lorsqu’il y a des impédances Z k en parallèle. Le principe du diviseur de courant ressemble un peu à celui du diviseur de tension. Le schéma d’un pont diviseur de courant est donné à la Figure 1.8.  Y1   1 Z1   Z2  I1  I.   I.   I.    Y1  Y2   1 Z1  1 Z 2   Z1  Z 2         Y2   1 Z2   Z1  I 2  I.   I.   I.   Y1  Y2   1 Z1  1 Z 2   Z1  Z 2        A relation du diviseur de tension est très importante. On peut énoncer le résultat ainsi : « Lorsque deux impédances sont montées en dérivation, l’intensité du courant qui passe dans une impédance est égale au produit de l’autre impédance par l’intensité du courant principal divisé par la somme des deux impédances ». Ce résultat se généralise pour l’association de N impédances placées en parallèle :  Yk   1 Zk  I k  I.   I.   Y1  Y2  Y3    YN   1 Z1  1 Z 2  1 Z 3    1 Z N      1.8.3- Exemples : Nous allons maintenant étudier l’association de dipôles de nature différente en utilisant les impédances complexes. 1.8.3.1- Cas d’une bobine réelle : On assimile une bobine réelle à un conducteur ohmique de résistance R en série avec une bobine idéale d’inductance L. Figure 1.13 : Association en série de R et L. 14  Chapitre 1 : Etude des circuits monophasés en régime sinusoïdal Nous pouvons écrire : V  VR  VL  V  (Z R  Z L ). I  ( R  jL ). I  Z eq. I On retrouve le module et l’argument de Z eq :    2  L    R  jL    R  L  , arctan   2 Z eq    Module   R  Phase ( )   Diagramme de Fresnel : Figure 1.14 : Diagramme vectoriel pour un dipôle RL série. 1.8.3.2- Cas d’un condensateur réel : On assimile un condensateur réel à un conducteur ohmique de résistance R en série avec un condensateur parfait de capacité C. Figure 1.15 : Association en série de R et C. Nous pouvons écrire :  1  V  VR  VC  V  ( Z R  Z C ). I   R  . I  Z eq. I  jC  On retrouve le module et l’argument de Z eq :   1      2 1  1   C  Z eq  R j   R  2  , arctan C  C   R       Phase ( )   Module  15  Chapitre 1 : Etude des circuits monophasés en régime sinusoïdal  Diagramme de Fresnel : Figure 1.16 : Diagramme vectoriel pour un dipôle RC série. 1.8.3.3- Cas d’un circuit RLC série : Figure 1.17 : Association en série de R, L et C. Prenons l’association en série des trois éléments de bases qui sont une résistance R, une inductance L et un condensateur C. Le même courant i (t ) circule dans les trois éléments, la tension v(t ) devient : di(t ) 1 v(t )  v R (t )  v L (t )  vC (t )  R. i(t )  L. . i(t ). dt dt C Nous pouvons associer à i (t ) et v(t ) leurs notations complexes, ce qui donne : V  VR  VL  VC 1   1  V  R. I  jL. I . I   R  j  L   . I  Z eq. I jC   C   On retrouve l’impédance du dipôle RLC série :  1  Z eq  R  j  L    C  Le module et la phase de Z eq sont :   1    L    2  1   C  Z eq   R   L  2  , arctan    C   R    Phase ( )   Module  16  Chapitre 1 : Etude des circuits monophasés en régime sinusoïdal  La représentation de Fresnel du circuit RLC série : Z eq est résistive, ou inductive ou capacitive. Trois cas sont possibles : 1 1 1 1 1 1 L   0  L  L   0  L  L   0  L  C C C C C C Circuit résistif Circuit inductif Cicuit capacitf  0  0 0 v(t ) et v R (t ) sont en phase v(t ) est en avance de phase par v(t ) est en retard de phase par (de même pour v(t ) et i (t ) ). rapport à v R (t ) (c’est-à-dire à i(t ) ). rapport à v R (t ) (c’est-à-dire à i(t ) ). 1.8.3.4- Cas d’un circuit RLC parallèle : Les circuits RLC parallèle, sont souvent appelés circuits bouchons, car ils présentent une grande impédance pour f0 et ils « Empêchent » les signaux à cette fréquence d’accéder à une partie de circuit. En électronique, les circuits bouchons sont utilisés pour « Trier » différentes fréquences dans les chaînes audio (Egaliser) ou dans les téléviseurs couleur (Séparation des fréquences son, chrominance et luminance). En électricité, les circuits bouchons sont utilisés dans les télécommandes centralisées pour éviter une dispersion des fréquences pilotes sur le réseau. Etudions la mise en parallèle d’une résistance R, d’une bobine L et d’un condensateur C. Figure 1.18 : Association en parallèle de R, L et C. La même tension v(t ) est commune au trois éléments, le courant i (t ) devient : v(t ) 1 dv(t ) i(t )  i R (t )  i L (t )  iC (t )  . v(t ). dt  C. R L dt 17  Chapitre 1 : Etude des circuits monophasés en régime sinusoïdal Ce qui donne en utilisant la notation complexe : 1   1  1 1  I  . V   .V   ( jC.V )     jC .V  Yeq.V  R   jL   R jL    1  I  G  j C  .V  Yeq.V   L  Le module et la phase de Yeq sont :  1   C  L  2  1  Yeq   G 2   C   , arctan      L   G    Module Phase ( )  Yeq étant l’admittance complexe du dipôle RLC parallèle. Il s’agit de loi d’Ohm généralisée en régime sinusoïdal.  La représentation de Fresnel du circuit RLC parallèle : Yeq est résistive, ou inductive ou capacitive. Trois cas sont possibles : 1 1 1 1 1 1 C   0  C  C   0  C  C   0  C  L L L L L L Circuit résistif Circuit inductif Cicuit capacitf  0 0  0 v(t ) et v R (t ) sont en phase v(t ) est en retard de phase par v(t ) est en avance de phase par (de même pour v(t ) et i (t ) ). rapport à v R (t ) (c’est-à-dire à i(t ) ). rapport à v R (t ) (c’est-à-dire à i(t ) ). Remarque : Ces quatre exemples montrent d’une part que les impédances complexes d’éléments en série s’ajoutent, et que d’autre part les admittances complexes en parallèle s’ajoutent également. Il ne faut toutefois jamais oublier que la solution physique est la partie réelle de la solution complexe. 1.9- Conclusion : Ce chapitre fait rappelle sur les notions des nombres complexes et des impédances complexes. Les opérations mathématiques, d’analyse et de traitement sur les nombres complexes sont très utile afin de traiter les circuits électriques d’une façon purement algébrique. 18  Chapitre 1 : Etude des circuits monophasés en régime sinusoïdal L’étude et l’analyse des nombres complexes sont importantes dans le domaine du génie électrique. Elles sont particulièrement importantes pour les étudiants qui souhaitent poursuivre leurs études en électrotechnique essentiellement, ou dans des disciplines nécessitant une solide formation en mathématique. Résumé :  Signal sinusoïdal : Le signal sinusoïdal s(t )  S Max. sin( t   ) s’écrit sous la forme complexe : S Max. e j ( t  ). Le signal réel s(t ) est lié à ce nombre complexe et à l’amplitude complexe S par :       S  Re S Max. e j ( t  )  Re S Max. e j. e j t  Re S. e j t  S Max. e j S  S Max. e j qui est indépendante du temps, présente l’amplitude complexe du signal s(t ) et permet de reconnaître celui-ci sans ambiguïté. Grandeur alternative sinusoïdale : Définition : s(t )  S Max. cos( t   )  S eff 2. sin( t   ) En notation complexe : s(t )  S Max. e j (t  )  S eff 2. e j (t  ) Dérivée : dS j (  t  ) Sd   j. Seff 2. e  j. S dt j (  t  ) Intégrale : S eff 2. e 1 j S i   S. dt  .S  .S j j  Déphasage : v(t ) origine des phases v(t )  Veff 2. sin( t ) i (t ) en retard par rapport à v(t ) i(t )  I eff 2. sin( t   ) En notation complexe : V  Veff 2. e j t I  I eff 2. e j ( t  )  En régime alternatif sinusoïdal : Soit un dipôle D parcouru par un courant i (t ) et soumis à une différence de potentiel v(t ). v(t )  VMax. sin(t   v ) et i(t )  I Max. sin(t   i ) 19  Chapitre 1 : Etude des circuits monophasés en régime sinusoïdal  En notation complexe : On lui associe à chaque signal une grandeur complexe. () ( ) () ( ) V  VMax. e jv est l’amplitude complexe de v(t ). I  I Max. e ji est l’amplitude complexe de i (t ). L’impédance du dipôle D est définie par : V VMax j (v i ) VMax j Z .e . e  Z. e j  R  jX I I Max I Max VMax Veff Avec : Z   et    v   i. I Max I eff On définit aussi l’admittance du dipôle D par : 1 I Max j (i v ) I Max  j 1 Y .e . e . e  j  Y. e j  G  jB Z VMax VMax Z I Max I eff Avec : Y   et      i   v. VMax Veff  Diviseur de tension et diviseur de courant : Les deux montages suivants sont très utilisés : Loi Schéma Groupement d’impédances Relation  Z1  N Diviseur Z eq   Z k V1  V.   de tension k 1  Z1  Z 2     Z eq  Z 1  Z 2    Z N  Z2  V2  V.    Z1  Z 2    1 N 1  Y1   Z2  Diviseur  I 1  I.   I.  Z eq k 1 Z k  Y1  Y2   Z1  Z 2  de courant     1 1 1 1  Y2   Z1      I 2  I.    I.  Z eq Z 1 Z 2 ZN  Y1  Y2   Z1  Z 2      N Yeq   Yk k 1  Yeq  Y1  Y2    YN 20  Chapitre 1 : Etude des circuits monophasés en régime sinusoïdal  Lois en régime sinusoïdal : Toutes les lois vues en régime continu sont applicables aux régimes sinusoïdaux à condition de les appliquer aux valeurs instantanées ou aux valeurs complexes. Dipôle Résistance R Inductance L Capacité C Schéma Equation di(t ) 1 C  v R (t )  R. i(t ) v L (t )  L. vC (t ) . i(t ). dt dt fondamentale Equation complexe VR  R. I VL  jL. I 1 VC .I jC Impédance Z (Ω) ZR  R Z L  jL  jX L 1 ZC   j   jX C C 1 1 j Admittance Y (S) YR  YL   YC  jC R jL L Déphasage   R  0 L  C   2 2  ( Rad )    V   I Représentation de Fresnel Le courant est en phase Le courant est en retard Le courant est en avance avec la tension. de  2 sur la tension. de  2 sur la tension. Relations de phase 21  Fiche de TD N°1 Fiche de TD N°1 : Etude des circuits électriques en régime continu Exercice 1 : Résistances équivalentes. Trouver les expressions des résistances équivalentes : Exercice 2 : Résistances équivalentes. Calculer la résistance équivalente entre les points A et B des circuits suivants : Figure (I) Figure (II) Exercice 3 : Ponts diviseurs de tension. Exprimer U1 et U2 en fonction de e et des résistances. 22  Fiche de TD N°1 Exercice 4 : Ponts diviseurs de courant. Exprimer d’abord I1 et I2 en fonction de I et des résistances, puis en fonction de e et des résistances. Exercice 5 : Pont de Wheatstone. 1- Déterminer la tension U en fonction de E, R1, R2, R3 et R4. 2- En déduire une condition sur R1, R2, R3 et R4 pour que U=0. 23  Fiche de TD N°1 Exercice 6 : Etude de quelques circuits. On considère les montages suivants : A- Déterminer I et I1. B- Déterminer I et U. C- Déterminer les expressions de I, U, I1 et I2. 24  Solution de TD N°1 Solution de TD N°1 : Etude des circuits électriques en régime continu Solution 1 : Résistances équivalentes.  Expressions des résistances équivalentes : A- RA  R1  R2 R1  R2 B- RB  R1 // R2  R1  R2 R  R R2 R C- RC  R // R    R  R 2R 2 R1 R1 R3 R2 R R1 R3 D- RD  R1 // R1 // R3   2 1 3  R1 R1  R1 R3  R1 R3 R1  2 R1 R3 R1  2 R3 R2  ( R3  R4 ) E- RE  R1  R4  ( R2 //( R3  R4 ))  R1  R4  R2  R3  R4 2 R2 R42 2 R2 R42 2 R2 R4 F- RF  R1  (2 R2 // R4 // R4 )  R1   R1   R1  2 R2 R4  2 R2 R4  R4 2 4 R2 R4  R42 4 R2  R4 R 2R  R  2  2 R2 2 G- RG  2 R //      R  2  2R   R  5R 5   2 H- RH  10  Solution 2 : Résistances équivalentes.  Calcul de la résistance équivalente entre les points A et B :  Figure (I) : 25  Solution de TD N°1  Figure (II) : R AB  5  3  5  13  26  Solution de TD N°1 Solution 3 : Ponts diviseurs de tension. Expressions de U1 et U2 en fonction de e et des résistances :  R1  U  e. R1  R2 1 A-  R2 U 2  e.  R1  R2  R1 U 1  e. R  R B-  1 2 R2 U 2  e.  R1  R2  R1  U  e. R1  R2  r 1 C-  R2 U 2  e.  R1  R2  r D- Appelons U la tension aux bornes de la résistance R eq et appliquons le théorème de diviseur de tension sur les résistances R1 et R2 (Schéma b).  R1 U 1  U. R  R  1 2 R2 U 2  U.  R1  R2 On remarque que la résistance r est en série avec la résistance équivalente R eq donnée par : Req  R //( R1  R2 ) On applique pour la deuxième fois le diviseur de tension, on obtient : Req U  e. r  Req En remplaçant U dans les expressions de U1 et U2, on obtient :  Req R1 R //( R1  R2 ) R1 U 1  e..  e..  r  Req R1  R2 r  R //( R1  R2 ) R1  R2  U 2  e. eq. R2  e. R //( R1  R2 ). R2 R  r  Req R1  R2 r  R //( R1  R2 ) R1  R2 27  Solution de TD N°1 Solution 4 : Ponts diviseurs de courant. Expressions de I1 et I2 en fonction de I et des résistances, puis en fonction de e et des résistances :  1 1  G1 R1 R1 R2 I1  I.  I.  I.  I.  G1  G2 1 1 R1  R2 R1  R2   R1 R2 R1  R2 A-  1 1   G2 R2 R2 R1 I 2  I. G  G  I. 1 1  I. R1  R2  I. R1  R2  1 2   R1 R2 R1  R2  Calcul de I : D’après la loi des mailles : e e e R  R2 I    e. 1 Req R1 // R2 R1  R2 R1  R2 R1  R2  Calcul de I1 et I2 : En remplaçant I dans les expressions de I1 et I2, on obtient :  R1  R2 R2 e  I 1  e. R  R. R  R  R  1 2 1 2 1 R1  R2 R1 e  I 2  e..   R1  R2 R1  R2 R2  1  G1 R1 R2 R3 I1  I.  I.  I.  G1  G2  G3 1 1 1 R1 R2  R1 R3  R2 R3    R1 R2 R3  1   G2 R2 R1 R3 B-  I 2  I.  I.  I. G1  G2  G3 1 1 1 R1 R2  R1 R3  R2 R3     R1 R2 R3  1   G3 R3 R1 R2 I 3  I. G  G  G  I. 1 1 1  I. R1 R2  R1 R3  R2 R3  1 2 3    R1 R2 R3  Calcul de I : D’après la loi des mailles : e e e R R  R1 R3  R2 R3 I    e. 1 2 Req R1 // R2 // R2 R1 R2 R3 R1 R2 R3 R1 R2  R1 R3  R2 R3 28  Solution de TD N°1  Calcul de I1, I2 et I3 : En remplaçant I dans les expressions de I1, I2 et I3, on obtient :  R1 R2  R1 R3  R2 R3 R2 R3 e  I 1  e. R1 R2 R3.  R1 R2  R1 R3  R2 R3 R1   I  e. R1 R2  R1 R3  R2 R3. R1 R3  e  2 R1 R2 R3 R1 R2  R1 R3  R2 R3 R2   R1 R2  R1 R3  R2 R3 R1 R2 e  I 3  e..  R1 R2  R1 R3  R2 R3 R3  R1 R2 R3  G1 R2  I 1  I. G  G  I. R  R C-  1 2 1 2 G2 R1 I 2  I.  I.  G1  G2 R1  R2  Calcul de I : D’après la loi des mailles : e e e R1  R2 I    e. Req r  ( R1 // R2 ) R  R2 r R1  r R2  R1 R2 r 1 R1  R2  Calcul de I1 et I2 : En remplaçant I dans les expressions de I1 et I2, on obtient :  R1  R2 R2 R2  I 1  e. r R  r R  R R. R  R  e. r R  r R  R R  1 2 R1  R2 1 2 1 R2 2 1 2 R1 1 2  I 2  e..  e.  r R1  r R2  R1 R2 R1  R2 r R1  r R2  R1 R2  G1 R2 R3 I1  I. G  G  G  I. R R  R R  R R  1 2 3 1 2 1 3 2 3 I  I. G2  I. R1 R3 D-  2 G1  G2  G3 R1 R2  R1 R3  R2 R3   G3 R1 R2 I 3  I. G  G  G  I. R R  R R  R R  1 2 3 1 2 1 3 2 3  Calcul de I : D’après la loi des mailles : e e e R1 R2  R1 R3  R2 R3 I    e. Req r  ( R1 // R2 // R2 ) R1 R2 R3 r R1 R2  r R1 R3  r R2 R3  R1 R2 R3 r R1 R2  R1 R3  R2 R3  Calcul de I1, I2 et I3 : En remplaçant I dans les expressions de I1, I2 et I3, on obtient :  R1 R2  R1 R3  R2 R3 R2 R3 R2 R3  I 1  e. r R R  r R R  r R R  R R R. R R  R R  R R  e. r R R  r R R  r R R  R R R  1 2 1 3 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3 1 2 1 3 2 3 1 2 3  I  e. R R  R R  R R R R R R  2 1 2 1 3 2 3. 1 3  e. 1 3 r R1 R2  r R1 R3  r R2 R3  R1 R2 R3 R1 R2  R1 R3  R2 R3 r R1 R2  r R1 R3  r R2 R3  R1 R2 R3   R1 R2  R1 R3  R2 R3 R1 R2 R1 R2  I 3  e. r R R  r R R  r R R  R R R. R R  R R  R R  e. r R R  r R R  r R R  R R R  1 2 1 3 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3 1 2 1 3 2 3 1 2 3 29  Solution de TD N°1 Solution 5 : Pont de Wheatstone. 1- Déterminer la tension U en fonction de E, R1, R2, R3 et R4 : 2- Déduire une condition sur R1, R2, R3 et R4 pour que U=0 : Solution 6 : Etude de quelques circuits. A- Calcul de I et I1 : Le calcul de I1 par le diviseur de courant :  E E R1  R2  I  R  ( R // R )  R  R2  E. R1 R2  R1 R3  R2 R3  3 1 2 R3  1  R1  R2  R2 R2 I1  I.  E.  R1  R2 R1 R2  R1 R3  R2 R3 B- Calcul de I et U : Le calcul de U par le diviseur de tension :  E E R1  R2  R3  I  R //( R  R )  R  ( R  R )  E. R  ( R  R )  2 1 3 2 1 3 2 1 3  R 1  R 2  R3  R3 U  E.  R1  R3 C- Expressions de I, U, I1 et I2 : Par un double pont diviseur de tension :  Montage I : Calcul de Req : [[( ) ] ] ( ) [( ) ] [[( ) ] ] 30  Solution de TD N°1  Montage II : Calcul de I : D’après la loi des mailles : [[( ) ] ]  Montage III : Calcul de U : Par le diviseur de tension 1 : ( ) ( )  Montage IV : Calcul de U’ : Par le diviseur de tension 2 : [( ) ] ( ) [[( ) ] ]  En remplaçant (2) dans (1), on obtient : [( ) ] [[( ) ] ] ( )  Montage I : Calcul de I1 et I2 : D’après la loi des mailles : Donc :  E E  I  (12 R // 4 R)  2 R  // 20 R   R  5R  U  E. (12 R // 4 R)  2 R  // 20 R. 12 R // 4 R  12 E   (12 R // 4 R)  2 R // 20 R  R (12 R // 4 R)  2 R 25 I  U 3E 0,12 E    1 4 R 25 R R  U E 0,04 E I 2     12 R 25R R 31  Fiche de TD N°2 Fiche de TD N°2 : Etude des circuits monophasés en régime sinusoïdal Exercice 1 : I)- Soit une tension sinusoïdale de valeur efficace Ueff=15 V et de période T=1 ms. 1- Calculer sa valeur maximale, sa fréquence et sa pulsation. 2- Exprimer la tension instantanée en fonction du temps. Cette tension vaut 10 V à l’instant initial. 3- Déterminer l’amplitude complexe de cette tension. II)- Déterminer par la méthode complexe, la somme des trois tensions définies par leurs valeurs efficaces et leurs phases initiales : U 1  (55 V , 90)  55 V 90 U 2  (75 V , 45)  75 V 45 U 3  (100 V , 0)  100 V 0 Exercice 2 : Déterminer les impédances complexes des dipôles suivantes : Exercice 3 : Soit donné le circuit électrique suivant :  A l’aide de la règle du diviseur de tension, déterminer les tensions VR , VL ,VC et V1. On donne : R=6 Ω, Z L  j9 (), Z C   j17 () et E  50 V 30. 32  Fiche de TD N°2 Exercice 4 : Etant donné le réseau de la figure suivante : 1- Calculer les courants I A et I B. 2- Déterminer la différence de potentiel entre les points A et B. On donne : IT  25  j 25, R1=R2=5 Ω et XL1=XL2=5 Ω. Exercice 5 : Soit le schéma suivant : 1- Déterminer la tension et le courant d’entrée. 2- Tracer le diagramme vectoriel des tensions. Application numérique : U 3  70 V 45, Z1  10  20, Z 2  10  j8, Z 3  8 . Exercice 6 : Pour ce circuit, calculer : 1- Calculer I1 et I 2 (Amplitude et phase). 2- Déduire I graphiquement. 33  Fiche de TD N°2 3- Retrouver I en calculant l’impédance du circuit. Exercice 7 : Soit le circuit donné par la figure ci-dessous : 1- Calculer les différents courants. 2- Calculer l’impédance équivalente du circuit. On donne : R1=10 Ω, R2=3 Ω, R3=8 Ω, Z L  4 j (), Z C  6 j (), V  50 V 0. Exercice 8 : Soit le circuit électrique donné par le schéma ci-dessous : 1- Déterminer Z eq. 2- Si LC 2  1 que vaut le déphasage entre U et I. Exercice 9 : Soit le circuit de la figure ci-dessous : 1- Calculer l’impédance totale de circuit (Expression complexe, module et phase). 2- Quelle est la nature de la charge. 34  Fiche de TD N°2 3- Déduire l’admittance équivalente de circuit (Module et phase). 4- Calculer le courant total (Module et phase). 5- Trouver les courants qui circulent dans les deux branches en parallèle (Modules et phases) en appliquant la règle du diviseur de courant. 6- Tracer le diagramme vectoriel relatif aux différents courants. Application numérique : E  200 V 0, R1  R2  R3  4 , L1  1,274 mH , L2  0,637 mH , C  39,8 F et f  1 kHz. Exercice 10 : Partie I : Dans le circuit de la figure suivante, le courant total est I T  30 A  30 A 0.  Donner les expressions complexes de I1 et I 2. Partie II : Soit le circuit de la figure suivante : 1- Déterminer l’impédance totale de circuit (Expression complexe, module et argument). 2- Quelle est la nature de la charge. 3- Déduire l’admittance équivalente de circuit (Module et argument). 4- Calculer le courant total (Module et argument). 5- Trouver les intensités des courants qui circulent dans les trois branches en parallèle (Expression complexe, module et argument) en appliquant la règle du diviseur de courant. 6- Tracer le diagramme vectoriel relatif aux différents courants. On donne : E  82 V 0, Z R  R  20 , Z L  j10 , Z C   j9.84 , Z C '   j 25 . 35  Fiche de TD N°2 Exercice 11 : Soit le circuit de la figure suivante. Il est alimenté sous la tension alternative sinusoïdale VS (t )  220. sin(100 t ) (Prise comme références des phases). 1- Déterminer l’impédance totale de circuit (Expression complexe, module et phase). 2- Quelle est la nature de la charge. 3- Déduire l’admittance équivalente de circuit (Module et phase). 4- Calculer le courant total (Module et phase). 5- Trouver les courants qui circulent dans les deux branches en parallèle (Modules et phases) en appliquant la règle du diviseur de courant. 6- Donner la représentation de Fresnel de VS , I , I1 et I 2. Application numérique : R  20 , C1  76 F , C2  342 F , L  49 mH et f  50 Hz. Exercice 12 : Soit donné le circuit électrique ci-dessous : 1- Déterminer l’impédance complexe du circuit. 2- Soient L = 1 H, R = 1 kΩ, C = 10 µF et v(t )  100. sin(t ). 2.1- Calculer l’impédance complexe du circuit (en fonction de ω). 2.2- Calculer les trois courants en nombres complexes. En déduire leurs valeurs pour   300 Rad / s, et tracer alors leur diagramme de Fresnel. 2.3- Toujours pour   300 Rad / s, calculer les tensions complexes aux bornes de L, R et C. Tracer leur diagramme de Fresnel, en prenant la tension v(t ) à l’origine de phase. 36  Fiche de TD N°2 Exercice 13 : Un circuit (R//L//C) est alimenté par v(t )  100 2. cos(t ). Soient R=100 Ω, L=1 mH, C=10 µF et   103 Rad s. La résistance, l’inductance et le condensateur sont traversés respectivement par les courants i1, i2 et i3. 1- Calculer l’admittance équivalente de circuit (Expression complexe, module et argument). 2- Déduire l’impédance équivalente de circuit. 3- Quelle est la nature de la charge. 4- Calculer les différents courants (Expressions complexes, modules et arguments) pour   103 Rad s. 5- Tracer le diagramme de Fresnel (v par rapport à i), en prenant la tension v(t ) à l’origine de phase. Exercice 14 : Pour les diagrammes vectoriels suivants, donner : 1- Pour V et J la représentation analytique et complexe. 2- La valeur de la résistance et de la réactance totale correspondant à chaque diagramme si celui-ci représente un circuit R, L, C série. On donne : Veff=380 V, Jeff=19 A et f=50 Hz. 37  Solution de TD N°2 Solution de TD N°2 : Etude des circuits monophasés en régime sinusoïdal Solution 1 : I)- La valeur efficace de la tension Ueff=15 V et la période T=1 ms. 1- Calcul de la valeur maximale de la tension, la fréquence et la pulsation : U Max  U eff 2  15 2 V  21,21 V 1 1 f   3  1000 Hz T 10   2 f  2 1000  2000 Rad s 2- Tension instantanée en fonction du temps : u(t )  U Max sin(t  U ) A l’instant t=0, u=10 V, donc : u(t  0)  U Max sin( (0) U )  10 V 10 10 U Max sin(U )  10 V  sin(U )    0,471 U Max 21,21 U  arcsin( 0,471)  0,491 Rad  28,13 u(t )  15 2 sin(2000  t  0,491 Rad ) (V ) 3- Amplitude complexe instantanée de cette tension : u(t )  u(t )  U Max.e j ( t U )  U eff 2.e j ( t U )  21,21.e j ( 2000 t 0, 491Rad ) II)- La somme des trois tensions :   j        U 1  55 V 90  55.e 2  55. cos   j sin     j 55  2  2    j         2 2 U 2  75 V 45  75.e  4   75.  cos   j sin     75.  j   53,03  j 53,03    4   4    2 2  U 3  100 V 0  100.e j ( 0)  100.(cos(0)  j sin(0))  100 U T  U 1  U 2  U 3  j55  53,03  j53,03  100  153,03  j108,03  U T.e jU  187,32.e j (0,614Rad )  Le module du nombre complexe : U T  (153,03) 2  (108,03) 2  187,32 V  L’argument est obtenu par la relation :  108,03  U  arctan   35,21  0,614 Rad  153,03  T 38  Solution de TD N°2  La valeur instantanée de la somme des tensions : uT (t )  U Max sin( t  UT )  187,32 2 sin( t  0,614 Rad ) (V ) Solution 2 :  Figure (1) :  1   1   1   1  j  L1   j  L2    L1     L2   Z1  Z 2  C1   C2   C1   C2  Z AB  Z1 // Z 2    j Z1  Z 2  1   1  1 1 j  L1   j  L2     C1   C2  ( L1  L2 )   1 C C2   Figure (2) : 1 jL   Z L  ZC  Z SD  Z R  Z L // Z C   ZR  Z L  ZC  R jC 1  R j L LC 2  1 jL   jC   Figure (3) : Z EG  Z EF  Z FG Avec :  1 1  jRC   Z EF  R  jC   jC   R  Z FG   1  jRC  D’où : 1  jRC  R ( jC )  (1  jRC  ) R  (1  jRC  ) Z EG     jC 1  jRC  (C ) 2 1  ( RC ) 2 Finalement, on trouve après les calculs :  1   1 R 2 C  Z EG  R.1   2  j   2   1  ( RC )   C 1  ( RC )   Figure (4) :  1   LC 2  1  R  j  L   jR.  Z1  Z 2  C   C  jR.( LC 2  1) Z HI  Z1 // Z 2     Z1  Z 2  1  RC  j ( LC 2  1) RC  j ( LC 2  1) R  j  L    C  C Finalement, on trouve après les calculs : R.( LC 2  1) 2  jR 2 C.( LC 2  1) Z HI  ( RC ) 2  ( LC 2  1) 2 39  Solution de TD N°2 Solution 3 :  Calcul des tensions : Z R  R  6   6  0 Z L  j 9 ()  9   90 Z C   j17 ()  17   90 ZR VR  E Z R  Z L  ZC 6 6 6  0 VR  (50 V 30)   (50 V 30)   (50 V 30)   30V 83,13 6  j9  j17 6  j8 10   53,13 ZL VL  E Z R  Z L  ZC j9 j9 9  90 VL  (50 V 30)   (50 V 30)   (50 V 30)   45V 173,13 6  j9  j17 6  j8 10   53,13 ZC VC  E Z R  Z L  ZC  j17  j17 17   90 VC  (50 V 30)   (50 V 30)   (50 V 30)   85V  6,87 6  j9  j17 6  j8 10   53,13 Z L  ZC V1  E Z R  Z L  ZC j9  j17  j8 8   90 V1  (50 V 30)   (50 V 30)   (50 V 30)   40V  6,87 6  j9  j17 6  j8 10   53,13 Solution 4 : Soient Z A  5  5  10   10  0 et Z B  j5  j5  j10  10  90. 1- Calcul de I A et I B : En appliquant la règle du diviseur de courant : ZB j10 I A  IT.  (25  j 25)   j 25 ZA  ZB 10  j10 ZA 10 I B  IT.  (25  j 25)   25 A ZA  ZB 10  j10 A noter que I B peut être calculé également comme suit : I B  I T  I A  (25  j 25)  j 25  25 A 40  Solution de TD N°2 2- Calcul de V AB : La relation qui permet de calculer la tension V AB est la suivante : V AB  VCB  V AC  V AC  VBC