Critère de Mohr Coulomb PDF

# Critère de mohr coulomb ## F.A.G.C Faculté d'Architecture et de Génie Civil ## Bouriche khadidja - Mechaacha Yousra ## Sommaire 1. Introduction 2. La loi de comportement linéaire 3. Déformation 4. Plasticité en HPP 5. élastoplastique 6. Écrouissage 7. Le critère de plasticité de Mohr-Coulomb 8...

# Critère de mohr coulomb ## F.A.G.C Faculté d'Architecture et de Génie Civil ## Bouriche khadidja - Mechaacha Yousra ## Sommaire 1. Introduction 2. La loi de comportement linéaire 3. Déformation 4. Plasticité en HPP 5. élastoplastique 6. Écrouissage 7. Le critère de plasticité de Mohr-Coulomb 8. La règle d'écoulement 9. Conclusion ## Introduction - En Génie Civil, un ingénieur spécialisé en Mécanique des solides est constamment confronté à des problèmes de structures. - Leur rôle est de concevoir des bâtiments, des ponts et d'autres structures en assurant qu'ils sont solides et résistants. - Un ingénieur en mécanique des solides doivent aussi prendre en compte la contrainte, qui représente les forces appliquées sur les structures. - Et la déformation, qui correspond aux changements de forme ou de taille de ces structures en réponse à ces forces. - L'élasticité et la plasticité sont deux propriétés des matériaux qui sont étroitement liées à la contrainte et à la déformation. Lorsqu'une force est appliquée sur un matériau, il subit une contrainte, ce qui entraîne une déformation. L'élasticité permet au matériau de retrouver sa forme d'origine une fois que la force est relâchée, tandis que la plasticité décrit la capacité du matériau à subir une déformation permanente. ## La loi de comportement linéaire : $\sigma= \lambda(Tr\epsilon) \textbf{I} + 2\mu\epsilon$ - La contrainte de Cauchy $\sigma$ - La déformation $\epsilon$ - Les modules de Lamé $\lambda$ et $\mu$ ## Déformation : $\epsilon = \frac{1+v}{E}\sigma - \frac{v}{E}(Tr(\sigma)) \textbf{I}$ - Les coefficients $\lambda$ et $E$ et $v$ ont comme relations ## Plasticité en HPP : - Lorsque la contrainte dans un matériau est augmentée au-delà d'une certaine valeur, dite limite élastique la déformation se poursuit selon un processus physique différent correspondant au domaine "plastique". ## Figure 1 Idealised material behaviour - (a) Ideal elastic-plastic - (b) Ideal rigid-plastic - la limite élastique est la valeur de la contrainte à partir de laquelle le matériau commence à se déformer plastiquement. - Le passage d'un régime élastique à un régime plastique dans l'éprouvette se fait généralement avec une petite inhomogénéité qui provoque un "arrondi" entre la partie élastique et plastique de la courbe $\sigma(\epsilon)$. - De manière plus générale, les critères de plasticité permettent de déterminer si, dans un état de contrainte tridimensionnel donné (définit par le tenseur des contraintes $\sigma$, le matériau va rester dans le domaine ## elastoplastique: - purement élastique, alors qu'une fois celui-ci atteint la déformation n'est plus réversible. ## Écrouissage : - déformation plastique (c'est-à- dire une déformation permanente), il peut présenter un - que le matériau est soumis à des contraintes qui tendent à élargir la frontière entre la zone éla ## Le critère de plasticité de Mohr-Coulomb: - Le critère de Mohr-Coulomb a été largement employé dans la modélisation du comportement du sol vu sa simplicité et vue la considération des paramètres physiques du sol à savoir la cohésion c et l'angle de frottement. - Par ailleurs le critère possède certaines insuffisances et qui peuvent être énumérées - La contrainte moyenne n'a aucune influence sur le critère de rupture. - Le critère de Mohr-Coulomb est utilisé pour les sols pulvérulents (sables) et pour les sols cohérents à long terme (argiles et limons. - La condition de stabilité selon le critère de Mohr-Coulomb est donnée par l'inéquation suivante: $\tau\sigma · tan(\varphi) - C ≤ 0$ - où: - (τ) est la contrainte de cisaillement. - (σ) est la contrainte normale. - (p) est l'angle de frottement interne (compris entre 0 et π/2). - (C) est la cohésion - La surface de charge f (rij) s'exprime de la façon suivante : $f (σίj) = (σ1 – σ3) – (σ1 + σ3) sin φ – 2 c cos φ$ - Où σ1 et σ3 représentent les contraintes principales extrêmes (σ1 ≥ σ2 ≥ 03). Le paramètre : - c est la cohésion du matériau - φ l'angle de frottement interne. ## Figure 3-6 - Représentations du critère de Mohr-Coulomb: - (a) - dans le plan déviatorique, - (b) - dans l'espace des contraintes principales (Lee, 1994) ## La règle d'écoulement la loi de comportement (règle de normalité, plasticité associée/non associée): - la loi de comportement élasto-plastique parfait s'écrit en vitesse sous la forme : $\frac{d}{dt} = \frac{d^e}{dt} + \frac{d^p}{dt}$ - où $\frac{d}{dt}$ lésigne le taux de déformation totale - $\frac{d^e}{dt}$ et $\frac{d^p}{dt}$ représentent respectivement les parties élastique et plastique de ce taux de déformation. ## Données générales : - σπσ2σ - E - v - K= $\frac{E}{3(1-2v)}$ - G=$\frac{E}{2(1+v)}$ - Φ - ψ - C - Contraintes principales (dans cet ordre) - Module d'Young - Coefficient de Poisson - Module de compressibilité élastique - Module de cisaillement élastique - Angle de frottement interne du matériau - Angle de dilatance du matériau - Cohésion du matériau ## Convention sur les notations tensorielles : - Les vecteurs des déformations et des contraintes dans la base princi--- $\begin{pmatrix} \epsilon_{1} \\ \epsilon_{2} \\ \epsilon_{3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \sigma_{1} \\ \sigma_{2} \\ \sigma_{3} \end{pmatrix}$ - Les déformations et les contraintes sont des tenseurs symétriques d'ordre 2. - On exploite généralement cette symétrie (6 composantes indépendantes) en les représentant par des vecteurs de dimension 6 en projetant ces tenseurs dans des bases appropriées. - Les déformations et les contraintes données en entrée et produites en sortie de la résolution de la loi de comportement ## La loi étant non associée, le potentiel d'écoulement plastique associé à la surface de charge s'écrit de la même façon $G_{13} (\sigma_{1}, \sigma_{3})= \sigma_{₁}- \sigma_{3}+ (\sigma_{₁}+ \sigma_{3})sin \psi - 2c cos \psi$ - où ψ est une donnée matériau et caractérise l'angle de dilatation du matériau. - Lorsqu ψ = φ la loi d'écoulement plastique devient associée - Une représentation graphique de la surface de charge de Mohr- Coulomb dans l'espace des contraintes et dans le plan donnée sur la Figure 1 - On observe que les six plans s'intersectent deux à deux suivant une arrête anguleuse, et se rejoignant au sommet du cône caractérisé par l'équation $p= c cot(\phi)$ ## Processus de résolution de la loi de Mohr - Coulomb: Mise en évidence de l'écriture dans les différentes bases de projection. - Input: σ΄, Δε - Output: σε, εε, Δε - Calcul de la matrice tangente consistante: - C_PLAN, DPLAN, AXIS, 3D ? - Output: T ## CONCLUSION - ntiel pour analyser la stabilité des sols et des roches, en tenant compte des propriét