Mécanique des Matériaux Chapitre 2
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Questions and Answers

Quels modèles prennent en compte l'écrouissage dans le comportement en traction-compression ?

  • Modèles avec écrouissage (correct)
  • Modèles idéaux sans plasticité
  • Modèles avec déformation élastique uniquement
  • Modèles parfaits

    • Quel est l'outil principal pour la résolution numérique des problèmes élasto-plastiques ?

  • Modèles de déformation pure
  • Graphiques de déformation
  • Méthode des différences finies
  • Projection sur le critère de plasticité (correct)

    • Dans un essai de traction, que représente l'effort de traction F appliqué à l'éprouvette ?

  • La pression atmosphérique exercée sur l'éprouvette
  • La résistance du matériau
  • La force d'extensibilité (correct)
  • La force interne de compression

    • Quelles sont les caractéristiques des contraintes et des déformations vraies par rapport aux contraintes nominales ?

    <p>Elles sont plus représentatives des conditions réelles</p> Signup and view all the answers

    Quel type de solution est principalement utilisé pour des calculs complexes dans le chapitre sur l'élasto-plasticité ?

    <p>Solution éléments finis</p> Signup and view all the answers

    Quelle est la relation entre la déformation nominale et la déformation vraie?

    <p>$ ext{ε_v} = ext{ln}(1 + ext{ε})$</p> Signup and view all the answers

    Quel est le facteur qui transforme la contrainte nominale en contrainte vraie sous volume constant?

    <p>$ ext{l}_0$</p> Signup and view all the answers

    Quel phénomène est observé lors des chargements consécutifs mentionnés?

    <p>Augmentation de la limite d'élasticité en traction</p> Signup and view all the answers

    Que peut-on dire sur l'écoulement plastique lors des chargements selon le contenu fourni?

    <p>Ne modifie pas le module d'élasticité</p> Signup and view all the answers

    Comment la déformation plastique est-elle définie dans le cas de la figure mentionnée?

    <p>Par la différence entre O et O'</p> Signup and view all the answers

    Quel est le défi majeur dans le domaine de la plasticité selon le contenu?

    <p>L'évolution du domaine d'élasticité</p> Signup and view all the answers

    Quelle est la forme de la courbe observée lors des chargements-décharges consécutifs?

    <p>Cyclic</p> Signup and view all the answers

    Quel paramètre est considéré constant durant cette analyse?

    <p>Le volume</p> Signup and view all the answers

    Quelle est la principale caractéristique des modèles multi-linéaires et bi-linéaires en matière d'élasticité?

    <p>Ils présentent une limite d'élasticité identique en traction et en compression.</p> Signup and view all the answers

    Que représente l'énergie de dissipation plastique dans la courbe OABC?

    <p>La perte d'énergie lors de l'écoulement du matériau.</p> Signup and view all the answers

    Quel modèle est utilisé pour les problèmes de calcul des charges limites?

    <p>Le modèle rigide plastique parfait.</p> Signup and view all the answers

    Qu'est-ce que l'écrouissage isotrope représente par rapport au domaine d'élasticité?

    <p>Une dilatation homothétique du domaine d'élasticité.</p> Signup and view all the answers

    Quel effet est respecté par le modèle cinématique concernant l'écrouissage?

    <p>Le durcissement et l'adoucissement de même amplitude.</p> Signup and view all the answers

    Lors de l'écrouissage, quelle caractéristique est true pour la limite d'élasticité en traction?

    <p>Elle augmente avec celle de compression.</p> Signup and view all the answers

    Dans le modèle élasto-plastique parfait, quel aspect du matériau est négligé?

    <p>L'écrouissage du matériau.</p> Signup and view all the answers

    Qu'indique le module tangent ET dans le contexte de l'écrouissage isotrope?

    <p>Le coefficient de dilatation lors de l'écrouissage linéaire.</p> Signup and view all the answers

    Quel est le principe de base de la résolution d'un problème élasto-plastique selon le modèle éléments finis explicite ?

    <p>Effectuer des incréments de charge et tester chaque élément.</p> Signup and view all the answers

    Quel est le rôle de la matrice des relations déformations–déplacements dans un élément fini ?

    <p>Déterminer l'incrément de déformation pour chaque élément.</p> Signup and view all the answers

    Que signifie un résidu nul lors de la résolution d'un problème élasto-plastique ?

    <p>La solution est satisfaisante pour l'incrément de charge.</p> Signup and view all the answers

    Quel coût est associé à l'utilisation de la matrice raideur « tangente » lors des itérations ?

    <p>Coût en temps CPU.</p> Signup and view all the answers

    Quel algorithme est utilisé pour déterminer l'état de contrainte dans le processus de calcul ?

    <p>L'algorithme de projection sur le critère de plasticité.</p> Signup and view all the answers

    Lors de la décharge élastique, quel type de matrice raideur offre de meilleurs résultats ?

    <p>Matrice raideur initiale de la structure.</p> Signup and view all the answers

    Quelle méthode est utilisée pour résoudre numériquement un problème élasto-plastique ?

    <p>Méthode de minimisation d'un résidu d'équilibre.</p> Signup and view all the answers

    Quel est un des défis particuliers liés à la résolution d'un problème élasto-plastique numérique ?

    <p>L'impossibilité d'utiliser des techniques analytiques.</p> Signup and view all the answers

    Quelle est l'équation qui exprime l'équilibre des efforts ?

    <p>N1 + N2 = F</p> Signup and view all the answers

    Quand l'effort normal plastique est-il atteint ?

    <p>Lorsque les deux matériaux atteignent leur limite d'élasticité</p> Signup and view all the answers

    Quelle est la relation entre la raideur k2 et les autres variables ?

    <p>k2 = ETS / h</p> Signup and view all the answers

    Quelle est la condition de validité de la solution dans la phase élastique ?

    <p>N1 - σ0S ≤ 0</p> Signup and view all the answers

    Quel type de modèle est utilisé pour résoudre le problème élasto-plastique ?

    <p>Modèle éléments finis</p> Signup and view all the answers

    Quelles barres plastifient lorsque F > F'2 ?

    <p>Toutes les barres</p> Signup and view all the answers

    Quelle est la caractéristique des relations entre N et F lors de la résolution analytique ?

    <p>Elles sont explicites</p> Signup and view all the answers

    Quels éléments du modèle ont été mentionnés ?

    <p>3 éléments et 4 nœuds</p> Signup and view all the answers

    Quelles sont les propriétés des contraintes résiduelles dans un système mécanique déchargé ?

    <p>Elles ne vérifient pas les conditions de compatibilité.</p> Signup and view all the answers

    Dans quel état peut-on affirmer que l'évolution est complètement plastique ?

    <p>Lorsque $F$ est supérieur à $F'2$.</p> Signup and view all the answers

    Quelles sont les implications de l'écrouissage cinématique sur la limite élastique des barres ?

    <p>Elle dépend de l'état de déformation au cas par cas.</p> Signup and view all the answers

    Quel est le résultat de la décharge élastique sur la limite élastique des barres non plastifiées ?

    <p>La limite élastique reste inchangée.</p> Signup and view all the answers

    Comment se décrit la phase 3 du comportement d'un matériau lors du chargement ?

    <p>Elle engage l'écrouissage et des déformations plastiques.</p> Signup and view all the answers

    Quel effectue-t-on lorsque l'on considère un cycle de chargement pour des barres non plastifiées en écrouissage isotrope ?

    <p>Les barres restent entièrement élastiques.</p> Signup and view all the answers

    Que représente le diagramme d'efforts après décharge dans un système mécanique ?

    <p>Il montre l'évolution des efforts au cours de la décharge.</p> Signup and view all the answers

    Quel est le rôle de l'étude dans le plan des contraintes pour le chargement cyclique ?

    <p>Faciliter le calcul des efforts normaux au sein du système.</p> Signup and view all the answers

    Study Notes

    Chapitre 2 - Plasticité des Barres

    •  Ce chapitre introduit les notions d'élasto-plasticité via l'analyse d'éprouvettes soumises à des essais de traction-compression.
    •  La modélisation de ces essais permet de présenter des schématisations utilisées pour analyser l'évolution élasto-plastique des structures.
    •  Les modèles sont appliqués au calcul analytique puis numérique de structures treillis composées de barres.

    2.1 Essai de traction

    • Une éprouvette de traction (cylindre homogène droit) est soumise à un effort de traction F.
    • Pour de petites déformations, l'état de contrainte est uniforme et uni-axial.
    • Les contraintes et déformations nominales sont données.
    • La relation entre déformation nominale et déformation vraie est donnée par ε₁ = ln(1+ε).
    • La contrainte vraie est donnée par σv = F/S.
    • Sous l'hypothèse d'un volume constant, la relation entre contrainte nominale et contrainte vraie est donnée.

    2.2 Modélisation du comportement en traction-compression

    • Modèles multi-linéaires et bi-linéaires: Ces modèles considèrent la même limite d'élasticité initiale en traction et en compression.

    • Modèles parfaits:

      • Négligent l'écrouissage du matériau.
      • Le modèle élasto-plastique parfait simplifie la résolution des problèmes posés.
      • L'interprétation énergétique de la courbe OABD : énergie totale ; OABC : énergie de dissipation plastique ; BCD : énergie de déformation élastique.
      • Le modèle rigide plastique parfait est appliqué aux problèmes de calcul de charges limites. Pour ces deux modèles, au-delà d'une limite du chargement, il y a écoulement libre du matériau.

    • Modèles avec écrouissage:

      • L'écrouissage isotrope suppose une dilatation homothétique du domaine d'élasticité.

      • Le module tangent Et définit la dilatation dans le cas d'écrouissage linéaire.

      • La limite d'élasticité en compression augmente comme celle en traction.

      • L'énergie de déformation élastique est plus importante en traction et compression.

      • L'écrouissage cinématique suppose une translation sans déformation du domaine d'élasticité initial.

      • Le modèle respecte l'effet Bauschinger(durcissement dans un sens et adoucissement dans le sens contraire).

      • L'amplitude du domaine d'élasticité reste constante.

      • L'énergie élastique absorbée et restituée diffère entre les sens.

    2.2.3 Critère de plasticité

    • Définition du seuil de plasticité (σ) et son évolution en fonction des paramètres d'écrouissage (σs(h)).
    • La fonction f(σ,h) détermine si l'état actuel est à l'intérieur ou sur la frontière du domaine d'élasticité.
    • Pour essai de traction-compression, le domaine d'élasticité est défini par σ-σs(h) ≤ 0.

    2.2.4 Lois d'écoulement plastique

    • Décrit comment les déformations se produisent pour un incrément de charge do à partir d'un état actuel (σ, h).
    • Si f(σ + do, ε) ≤ 0, l'incrément est purement élastique.
    • La condition peut aussi signifier que l'état actuel est à l'intérieur du domaine d'élasticité et que la charge ou décharge est élastique.
    • L'autre possibilité est que l'état actuel soit sur la frontière du domaine d'élasticité et qu'il y ait une décharge élastique.

    2.3 Résolution explicite d'un problème d'élasto-plasticité

    • Application des concepts aux structures composées de barres travaillant uniquement en traction-compression.
    • Illustration des méthodes de résolution explicites pour un treillis simple en utilisant :
      • La méthode analytique.
      • Et la méthode des éléments finis. Les barres ont un même matériau et une section S identique.

    2.3.1 Solution Analytique

    • Le matériau est parfaitement plastique avec un module d'élasticité E et une limite de traction σ₀.
    • Équations d'équilibre pour un système hyperstatique (résolution par la méthode des forces (RDM))

    2.3.2 Solution éléments finis

    •  Le modèle comporte 3 éléments finis (1), (2), (3) pour 4 nœuds (soit 8 variables de déplacement).
    •  Equations sur les déplacements inconnus.
    •  Matrice raideur [Kred].
    •  Résolution des équations.

    2.4 Résolution numérique d'un problème élasto-plastique

    • Description des méthodes itératives pour minimiser le résidu d'équilibre.
    • L'algorithme utilise la matrice incrémentale [K] et projette sur le critère de plasticité pour déterminer l'état de contrainte.

    2.5 Exercices

    • Série d'exercices No2 est proposée, impliquant des structures treillis et des cas d'applications des concepts étudiés.

    Application

    • Utilisation du modèle pour des sections composées de deux matériaux différents avec des propriétés spécifiques (différentes limites élastiques, modules élastiques différents).
    • Description des cas applicatifs :
      • Limites élastiques identiques avec modules élastiques différents.
      • Limites élastiques différentes avec modules élastiques différents.

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