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Pour démarrer la classe de seconde Tout ce qu’il faut savoir Paul Milan DERNIÈRE IMPRESSION LE 18 novembre 2017 à 8:56  Table des matières 1 Calcul...

Pour démarrer la classe de seconde Tout ce qu’il faut savoir Paul Milan DERNIÈRE IMPRESSION LE 18 novembre 2017 à 8:56  Table des matières 1 Calcul 3 1 Calcul sur les fractions................................ 3 2 Calcul sur les puissances............................... 4 3 Racines carrées.................................... 5 2 Expressions littérales et équations 6 1 Enlever des parenthèses............................... 6 2 Développement d’une expression littérale..................... 6 3 Factoriser une expression littérale.......................... 6 4 Équations........................................ 7 3 Fonctions linéaires et affines 9 1 Fonction linéaire.................................... 9 2 Fonction affine..................................... 11 4 Systèmes linéaires 12 1 Définition....................................... 12 2 Résolution par substitution............................. 12 3 Résolution graphique................................. 13 5 Problème 14 1 Mise en équation................................... 14 2 Exemple........................................ 14 3 Résolution arithmétique (sans équation)...................... 15 6 Configuration de Pythagore 16 1 Pour calculer la longueur d’un côté d’un triangle rectangle........... 16 2 Pour montrer qu’un triangle est rectangle..................... 16 3 Pour montrer qu’un triangle n’est pas rectangle.................. 17 4 Trigonométrie dans le triangle rectangle...................... 17 7 Configuration de Thalès 18 1 Pour calculer la longueur d’un côté......................... 18 2 Pour démontrer que deux droites sont parallèles................. 18 3 Pour démontrer que deux droites ne sont pas parallèles............. 19 2  Chapitre 1 Calcul 1 Calcul sur les fractions 1.1 Fractions égales Théorème 1 : On ne change pas le rapport d’une fraction en multipliant (ou en divisant) numérateur et dénominateur par un même nombre non nul : a a×k a÷k = = b b×k b÷k Exemple : Simplification de fractions : 25 25 ÷ 25 1 35 35 ÷ 7 5 = = et = = 75 75 ÷ 25 3 42 42 ÷ 7 6 1.2 Position du signe −a a a Pour tous entiers a et b 6= 0, on a : = =− b −b b 1.3 Addition, soustraction a b a+b a b a−b Théorème 2 : + = et − = c c c c c c Exemples : Deux fractions au même dénominateur : 5 8 5+8 13 15 6 15 − 6 9 + = = et − = = 7 7 7 7 11 11 11 11 Deux fractions avec des dénominateurs différents. On réduit alors les fractions au même dénominateur : 5 7 5 14 19 5 7 20 21 1 + = + = et − = − =− 6 3 6 6 6 6 8 24 24 24 1.4 Multiplication a c a×c Théorème 3 : × = b d b×d 3  CHAPITRE 1. CALCUL 2 5 2 10 5 7 35 Exemple : 5 × = × = et × = 3 1 3 3 4 3 12 Il est préférable de simplifier avant d’effectuer les produits : 15 33 15 × 33 5 × 3 × 11 × 3 9 × = = = 11 25 11 × 25 11 × 5 × 5 5 1.5 Division Théorème 4 : Pour tous entiers non nul a, b, c et d, a c a d diviser revient à multiplier par l’inverse : ÷ = × b d b c 2 3 15 5 5 1 5 Exemple : 5 ÷ = 5× = ÷3 = × = 3 2 2 4 4 3 12 4 12 4 35 4 × 35 4×5×7 7 7 ÷ = × = = = = 15 35 15 12 15 × 12 3×5×3×4 3×3 9 2 Calcul sur les puissances 2.1 Définitions Définition 1 : Soit un entier n et un nombre non nul quelconque a, 1 an = |a × a × a{z× · · · × }a et a−n = an n facteurs 1 1 Exemple : 43 = 4 × 4 × 4 = 64 et 3−2 = 2 = 3 9 2.2 Opérations sur les puissances Théorème 5 : Si a 6= 0 est un nombre et n et p deux entiers, on a : Multiplication : an × a p = an+ p Exponentiation : ( an ) p = an× p an Division : = an− p ap
2 74 × 7−2 78 × 7−2 78−2 76 Exemple : = = = = 76−4 = 72 = 49 74 74 74 74 4  CHAPITRE 1. CALCUL 2.3 Écriture scientifique Définition 2 : Tout nombre décimal peut s’écrire de manière unique sous la forme a × 10n , où a est un nombre décimal compris entre 1 et 10 (10 exclus), et où n est un nombre entier relatif. Exemple : 752 000 = 7, 52 × 105 0,005 1 = 5, 1 × 10−3 3 Racines carrées 3.1 Définition Définition 3 : Soit a un nombre positif, il existe un unique nombre positif dont le carré √ est égal à a. Ce nombre est appelé racine carré de a et se note a √ √ √ Exemple : 9=3 25 = 5 100 = 10 3.2 Propriétés Propriété 1 : Pour tout nombre positif a, on a : √
2 √ a =a et a2 = a r √ √ √ √ a a a×b = a× b et =√ b b  √ 2 √ Exemples : 7 =7 et 42 = 4 √ √ √ √ √ √ √ √ √ 900 = 9 × 100 = 9 × 100 = 30 et 50 = 25 × 2 = 25 × 2 = 5 2 r √ r 9 9 3 48 48 √ =√ = et = = 16 = 4 16 16 4 3 3 5  Chapitre 2 Expressions littérales et équations 1 Enlever des parenthèses Propriété 2 : Règle d’omission des parenthèses Si une parenthèse est précédée du signe +, alors on peut supprimer ces parenthèses en conservant les signes intérieurs à cette parenthèse Si une parenthèse est précédée du signe −, alors on peut supprimer ces parenthèses en inversant les signes intérieurs à cette parenthèse Exemples : 2 + ( x + 5) = 2 + x + 5 = x + 7 2 − ( x + 5) = 2 − x − 5 = − x − 3 2 + ( x − 5) = 2 + x − 5 = x − 3 2 − ( x − 5) = 2 − x + 5 = − x + 7 2 Développement d’une expression littérale Propriété 3 : Distributivité : Distributivité simple : Distributivité double k ( a + b) = ka + kb ( a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd k ( a − b) = ka − kb Identités remarquables : ( a + b)2 = a2 + 2ab + b2 ( a − b)2 = a2 − 2ab + b2 ( a + b)( a − b) = a2 − b2 Exemples : 2( x + 5) = 2x + 10 ( x + 2)(2x − 5) = 2x2 − 5x + 4x − 10 (5x + 3)2 = (5x )2 + 2 × 5x × 3 + 32 = 25x2 + 30x + 9 3 Factoriser une expression littérale Propriété 4 : Factoriser signifie mettre en produit Facteur commun : ka + kb = k ( a + b) et ka − kb = k ( a − b) Identités remarquables a2 + 2ab + b2 = ( a + b)2 a2 − 2ab + b2 = ( a − b)2 a2 − b2 = ( a − b)( a + b) 6  CHAPITRE 2. EXPRESSIONS LITTÉRALES ET ÉQUATIONS Exemples : 3x + 12 = 3( x + 4) 4x2 − 3x = x (4x − 3) (2x + 1)( x − 3) − (6x − 5)(2x + 1) = (2x + 1)[( x − 3) − (6x − 5)] = (2x + 1)(−5x + 2) 4x2 − 20x + 25 = (2x )2 − 2(2x )(5) + 52 = (2x − 5)2 ( x + 2)2 − 81 = ( x + 2)2 − 92 = ( x + 2 − 9)( x + 2 + 9) = ( x − 7)( x + 11) 4 Équations 4.1 Définition Définition 4 : Une équation est une égalité dans laquelle intervient un nombre inconnu, représenté par une lettre, appelée inconnue de l’équation. Une solution de cette équation est une valeur de l’inconnue pour laquelle l’égalité est vraie. Résoudre une équation, c’est en trouver toutes les solutions. Exemple : −4 est une solution de l’équation −3x − 5 = 7 car lorsque l’on remplace x par −4 dans l’équation, l’égalité est vérifiée : (−3)(−4) − 5 = 12 − 5 = 7. Par contre 2 n’est pas une solution de l’équation −3x − 5 = 7 car, lorsqu’on remplace x par 2, l’égalité n’est pas vérifiée : (−3)(2) − 5 = −6 − 5 = −11 6= 7 4.2 Règles de résolution Propriété 5 : Règles sur les égalités Règle n˚1 : On ne change pas une équation en ajoutant (ou en retranchant) un même nombre de chaque côté de l’égalité. Règle n˚2 : On ne change pas une équation en multipliant (ou en divisant) par un même nombre non nul chaque côté de l’égalité. Exemple : Résolvons l’équation : −3x − 5 = 7 a) On utilise la règle n˚1, en ajoutant 5 aux deux côté de l’égalité : −3x − 5 + 5 = 7 + 5 c’est à dire −3x = 12 b) On utilise la règle n˚2 en divisant par 3 chaque côté de l’égalité : 3x 12 = c’est à dire x = −4 3 3 c) On conclut par : l’équation −3x − 5 = 7 n’admet pour unique solution −4 4.3 Équation produit Définition 5 : Un équation produit est une équation qui s’écrit sous la forme : ( ax + b)(cx + d) = 0 7  CHAPITRE 2. EXPRESSIONS LITTÉRALES ET ÉQUATIONS Propriété 6 : Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, au moins l’un des facteurs est nul. Ainsi "AB = 0" équivaut à dire "A = 0" ou "B = 0". Exemple : Révolvons l’équation (3x − 7)(2x + 5) = 0 a) Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, l’un des facteurs est nul. b) On doit donc avoir : 7 3x − 7 = 0 c’est à dire 3x = 7 donc x = ou 3 5 2x + 5 = 0 c’est à dire 2x = −5 donc x = − 2 7 5 c) L’équation (3x − 7)(2x + 5) = 0 admet deux solution et − 3 2 8  Chapitre 3 Fonctions linéaires et affines 1 Fonction linéaire 1.1 Définition Définition 6 : Soit a un nombre quelconque. Si, à chaque nombre x, on peut associer son produit par a (c’est a dire y = a × x, alors on définit la fonction linéaire de coefficient a, que l’on notera f : x 7→ ax Une fonction linéaire de coefficient a représente une situation de proportionnalité (dans laquelle le coefficient de proportionnalité est égal à a). Pour calculer l’image d’un nombre, on le multiplie par a. 1.2 Représentation graphique Propriété 7 : Dans un repère, la représentation graphique d’une fonction linéaire de coefficient a est une droite passant par l’origine du repère Ci-contre on a représenté la fonction linéaire f de coefficient 0,6, que l’on peut noter : 4 f : x 7→ 0, 6x. A 3 b Pour tracer la droite, passant par l’origine du repère, qui représente cette fonction linéaire, 2 il faut déterminer un second point. 1 Pour déterminer cet autre point, il suffit de déterminer une image. L’image de 5 par −2 −1 O 1 2 3 4 5 exemple : f (5) = 0, 6 × 5 = 3. La droite −1 passe donc par le point A(5 ;3). −2 On trace alors la droite. 1.3 Déterminer le coefficient d’une fonction linéaire Propriété 8 : Pour déterminer le coefficient a d’une fonction linéaire, il suffit une image. y0 Si l’image de x0 est y0 , on a alors : a = x0 Exemple : Déterminer la fonction linéaire dont l’image de 4 est 3. Le coefficient de la 3 fonction linéaire est alors : a = = 0, 75 4 9  CHAPITRE 3. FONCTIONS LINÉAIRES ET AFFINES La fonction linéaire f est donc : f : x 7→ 0, 75x b 5 Propriété 9 : Pour déterminer le coef- 3 4 ficient a d’une fonction linéaire graphique- 3 b ment, il suffit de faire le rapport entre la va- 2 2 riation des ordonnées et la variation des abs- 3 cisses entre deux points de la droite. 1 2 b −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 −1 3 3 Sur la représentation ci-contre, on a : a = −2 2 b −3 2 −4 1.4 Fonction linéaire et pourcentage Propriété 10 : Pourcentage t Prendre t % d’un nombre, c’est multiplier ce nombre par 100 , c’est à dire lui appliquer t la fonction linéaire x 7→ 100 x t
Augmenter un nombre de t %, c’est multiplier ce nombre par 1 + 100 , c’est à dire t
lui appliquer la fonction linéaire x 7→ 1 + 100 x t
Diminuer un nombre de t %, c’est multiplier ce nombre par 1 − 100 , c’est à dire lui t
appliquer la fonction linéaire x 7→ 1 − 100 x Exemples : 45 Prendre 45 % d’un nombre x, c’est multiplier ce nombre x par 100 = 0, 45. On peut associer à cette opération, la fonction linéaire : x 7→ 0, 45x 45 % de 250 revient à faire 0, 45 × 250 = 112, 5 3 Augmenter de 3 % un nombre x, c’est multiplier ce nombre x par 1 + 100 = 1, 03. On peut associer à cette opération, la fonction linéaire : x 7→ 1, 03x Un prix de 400 e augmente de 3 % revient à faire 1, 03 × 400 = 412 e. 12 Diminuer de 12 % un nombre x, c’est multiplier ce nombre x par 1 − 100 = 0, 88. On peut associer à cette opération, la fonction linéaire : x 7→ 0, 88x Un groupe de 1200 personnes diminue de 12 % revient à faire 0, 88 × 1200 = 1056 personnes 10  CHAPITRE 3. FONCTIONS LINÉAIRES ET AFFINES 2 Fonction affine 2.1 Définition Définition 7 : Soient a et b deux nombre quelconques. Si, à chaque nombre x, on peut associer le nombre ax + b, alors on détermine une fonction affine, que l’on notera : f : x 7→ ax + b. Remarque : Si b = 0 la fonction f est alors une fonction linéaire. 2.2 Représentation graphique Propriété 11 : Dans un repère, la représentation graphique d’une fonction affine est une droite passant par le point (0; b) (ordonnée à l’origine) Ci-contre est représentée la fonction affine 6 f : x 7→ 0, 5x + 3 B 5 b La droite passe donc par le point A(0 ;3) 4 A 3 b Pour tracer la droite, il faut déterminer un autre point. 2 Pour déterminer cet autre point, il suffit de 1 déterminer une image. L’image de 4 par exemple : f (4) = 0, 5 × 4 + 3 = 5. La droite −2 −1 O 1 2 3 4 5 6 passe donc par le point B(4 ;5) −1 On trace alors la droite. 11  Chapitre 4 Systèmes linéaires 1 Définition Définition 8 : Un système linéaire de deux équations à deux inconnues x et y est un système qui peut s’écrire ( sous la forme : ax + by = c ′ ′ ′ a, a′ , b, b′ , c, c′ nombres réels a x+b y = c Résoudre un tel système consiste à déterminer, s’il y en a, tous les couples ( x; y) qui sont solutions des deux équations ( 2x − 4y = 4 Exemple : le couple (4 ;1) est solution du système : x + 3y = 7 en effet, on a : 2 × 4 − 4 × 1 = 4 et 4+3×1 = 7 2 Résolution par substitution ( 2x − 4y = 4 (1) Reprenons le système de notre exemple : x + 3y = 7 (2) Étape 1 : on exprime, grâce à l’une des équations, une inconnue en fonction de l’autre. Ici, il est facile d’exprimer x en fonction de y grâce à la deuxième équation. de (2) x = 7 − 3y (3) Étape 2 On substitue x par 7 − 3y dans la première équation puis on résout cette équation d’inconnue y de (1) 2(7 − 3y) − 4y = 4 14 − 6y − 4y = 4 −10y = −10 y=1 Étape 3 : On remplace y dans l’équation (3) : x = 7 − 3y = 7 − 3 × 1 = 4 Étape 4 : On conclut : le système admet un unique couple solution (4 ;1) 2.1 Méthode par addition Reprenons le même exemple. 12  CHAPITRE 4. SYSTÈMES LINÉAIRES Étape 1 : On cherche à multiplier les équations par des coefficients de façon à éliminer une inconnue. Pour éliminer x, on multiplie la première équation par 1 et la seconde par (−2). Pour éliminer y, on multiplie la première équation par 3 et la seconde par 4. On a alors : ( ( 2x − 4y = 4 (×1) 2x − 4y = 4 (×3) x + 3y = 7 (× − 2) x + 3y = 7 (×4) Étape 2 : On obtient alors : ( ( 2x − 4y = 4 6x − 12y = 12 −2x − 6y = −14 4x + 12y = 28 Étape 3 : On additionne termes à termes les deux lignes de ces systèmes et on déter- mine x et y ( ( −10y = −10 10x = 40 −y = 1 x=4 Étape 4 : On conclut : le système admet un unique couple solution (4 ;1) 3 Résolution graphique On commence par isoler y dans les deux équations, c’est à dire que l’on les "x" à droite. On obtient alors :  ( (  1 2x − 4y = 4 −4y = 4 − 2x y = x − 1 d1 ⇔ ⇔ 2 x + 3y = 7 3y = 7 − x y = − 1 x + 7 d  2 3 3 Dans un repère, on trace les deux droites d1 et d2 correspondantes à ces deux équa- tions. 1 On trace alors la droite d1 : x − 1. 2 On détermine deux points avec deux va- C leurs de x : 3 b D d1 x = −2 ⇒ y = −2 et x = 0 ⇒ y = 1. 2 b On obtient les points A(−2 ;−2) et B(0 ;1) I 1 b d2 1 7 On trace alors la droite d2 : − x +. 3 3 −3 −2 −1 O B 1 2 3 4 5 6 7 On détermine deux points avec deux va- −1 b leurs de x : A b −2 x = −2 ⇒ y = 3 et x = 1 ⇒ y = 2. On obtient les points C(−2 ;3) et D(1 ;2) Le couple solution est alors les coordonnées du point d’intersection I entre d1 et d2. On retrouve alors le couple (4 ;1). 13  Chapitre 5 Problème 1 Mise en équation On peut diviser la mise en équation en quatre parties. Compréhension de l’énoncé. Visualiser, si besoin, le problème à l’aide de dessins, croquis, etc... La visualisation rend la traduction mathématique plus facile. Choix de l’inconnue ou des inconnues. Une fois l’énoncé compris, déterminer l’in- connue ou les inconnues en quelques mots. Mise en équation. Traduire l’énoncé avec l’inconnue ou les inconnues. Attention à pas projeter une idée préconçue qui n’existe pas dans le texte. Il faut s’en tenir uni- quement à l’énoncé rien que l’énoncé. Résolution. Ne pas hésiter à simplifier l’équation ou les équations avant de résoudre. On conclut par une phrase en français. 2 Exemple Hervé et Éric sortent d’une boulangerie Hervé : « J’ai payé 9,50 e pour 4 croissants et 6 baguettes » Éric : « J’ai payé 5 e pour 3 croissants et 2 baguettes ». Quel est le prix du croissant et de la baguette ? ✏✏✏✏✏✏✏✏✏✏✏✏✏✏✏✏✏✏✏✏✏✏✏✏✏ La traduction du problème est immédiate. Attention cependant à ne pas oublier de définir les inconnues. Soit x : prix en euro d’un croissant Soit y : prix en euro d’une baguette Le problème se résume au système suivant : ( 4x + 6y = 9, 5 (×1) 3x + 2y = 5 (× − 3) Éliminons x par la méthode d’addition : 4x + 6y = 9, 5 On remplace x = 1, 1 dans la 2e équation −9x − 6y = −15 3 × 1, 1 + 2y = 5 − 5x + 0y = −5, 5 2y = 5 − 3, 3 −5, 5 2y = 1, 7 x= = 1, 1 −5 y = 0, 85 Le prix du croissant est de 1,10 e et le prix de la baguette est de 0,85 e. 14  CHAPITRE 5. PROBLÈME 3 Résolution arithmétique (sans équation) Deux nombres entiers naturels ont pour somme S = 51 et pour différence D = 21. Quels sont ces deux nombres ? ✏✏✏✏✏✏✏✏✏✏✏✏✏✏✏✏✏✏✏✏✏✏✏✏✏ Soit n1 et n2 les deux nombres cherchés On part d’une solution médiane, c’est à dire que l’on détermine le milieu m des deux nombres en utilisant leur somme. On trouve alors : 51 m= = 25, 5 2 On s’intéresse à leur différence en sachant que leur milieu est de 25, 5, il faut donc retirer et ajouter la moitié de leur différence pour obtenir les deux nombres : 21 = 10, 5 2 les deux nombres cherchés sont donc : n1 = 25, 5 − 10, 5 = 15 et n2 = 25, 5 + 10, 5 = 36 On peut résumé le problème par le graphique suivant : D D 2 = 10, 5 2 = 10, 5 S 2 = 25, 5 b b b 15 25,5 36 15  Chapitre 6 Configuration de Pythagore 1 Pour calculer la longueur d’un côté d’un triangle rectangle Théorème 6 : Théorème de Pythagore Dans un triangle ABC rectangle en A, le carré de l’hypoténuse [BC] est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. On a alors : BC2 = AB2 + AC2 Exemples : B ABC est un triangle rectangle en A, avec AB = 5 et AC = 7 D’après le théorème de Pythagore : 5 2 2 2 BC = AB + AC = 52 + 72 = 25 + 49 = 74 √ BC = 74 ≃ 8, 6 A C 7 B ABC est un triangle rectangle en A, avec BC = 13 et AB = 5 13 D’après le théorème de Pythagore : 5 AC2 = BC2 − AB2 = 132 − 52 = 169 − 25 = 144 √ AC = 144 = 12 A C 2 Pour montrer qu’un triangle est rectangle Théorème 7 : Réciproque du théorème de Pythagore Si, dans un triangle ABC , le carré du côté le plus grand [BC] est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, alors le triangle ABC est rectangle en A. Exemple : B ABC est un triangle tel que AB = 6, AC = 8 et BC = 10 On calcule : BC2 = 102 = 100 et 10 AB2 + AC2 = 62 + 82 = 36 + 64 = 100 6 Donc BC2 = AB2 + AC2 , donc d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en A A C 8 16  CHAPITRE 6. CONFIGURATION DE PYTHAGORE 3 Pour montrer qu’un triangle n’est pas rectangle Théorème 8 : Contraposée du théorème de Pythagore Si, dans un triangle ABC, le carré du plus grand côté [BC] n’est pas égal à la somme des carrés des deux autres côtés alors le triangle n’est pas rectangle. On a : BC2 6= AB2 + AC2 Exemple : ABC est un triangle tel que AB = 4, AC = 5 et BC = 6 B On calcule : BC2 = 62 = 36 et AB2 + AC2 = 52 + 42 = 25 + 16 = 41 6 4 Donc BC2 6= AB2 + AC2 , donc d’après la contraposée du théorème de Pythagore, le triangle ABC n’est pas rec- A C tangle. 5 4 Trigonométrie dans le triangle rectangle Définition 9 : Dans un triangle ABC rectangle en A, on définit les rapports suivants (qui ne dépendent que de la mesure des angles) : C b = côté opposé = AC sin B hypoténuse BC hy côté opposé po côté adjacent AB tén b= cos B = us hypoténuse BC e b= côté opposé AC tan B = côté adjacent AB A côté adjacent B Exemple : On donne le triangle ABC rectangle en A ci-dessous. On donne BC = 10 et [ = 25˚. Calculer AC et AB. ABC AC C sin 25˚ = ⇔ AC = BC sin 25˚ ≃ 4, 22 BC 10 AB cos 25˚ = ⇔ AB = BC cos 25˚ ≃ 9, 06 25˚ BC A B 17  Chapitre 7 Configuration de Thalès 1 Pour calculer la longueur d’un côté Théorème 9 : Théorème de Thalès Soient deux droites (AB) et (A’B’) sécante en O et deux droites parallèles (AA’) et (BB’), alors les longueurs des côtés des triangles OA’B’ et OAB sont proportionnelles. On a : OA OA’ AA’ = = OB OB’ BB’ Exemple : OBB’ est un triangle, A est un point de [OB] et les droites (AA’) et (BB’) sont parallèles. B’ On donne OA = 5, AB = 3, OA’ = 6 et BB’ = 4 A’ OA OA’ AA’ D’après le théorème de Thalès : = = 6 4 OB OB’ BB’ OA’ × OB 6 × (5 + 3) OB’ = = = 9, 6 O OA 5 5 A 3 B OA × BB’ 5×4 AA’ = = = 2, 5 OB (5 + 3) 2 Pour démontrer que deux droites sont parallèles Théorème 10 : Réciproque du théorème de Thalès Les points O, A, B d’une part et O, A’, B’ d’autre part sont alignés dans cet ordre. OA OA’ Si = alors les droites (AA’) et (BB’) sont parallèles. OB OB’ Exemple : 18  CHAPITRE 7. CONFIGURATION DE THALÈS B’ Les points A, O, B et A’, O, B’ sont alignés dans cet ordre. De plus : OA = 5, OB = 7, 5, OA’ = 6, OB’ = 9 9 OA 5 2 OA’ 9 3 On calcule : = = et = = A 5 OB 7, 5 3 OB’ 6 2 OA OA’ O 7,5 B = donc, d’après la réciproque du théorème OB OB’ 6 de Thalès, les droites (AA’) et (BB’) sont parallèles A’ 3 Pour démontrer que deux droites ne sont pas parallèles Théorème 11 : Contraposée du théorème de Thalès OA OA’ Soient deux droites (AB) et (A’B’) sécantes en O. Si 6= alors les droites (AA’) et OB OB’ (BB’) ne sont pas parallèles. Exemple : OBB’ est un triangle, A est sur [OB] et A’ sur [OB’]. B’ OA = 5, AB = 3, OA’ = 6 et A’B’ = 3 3 OA 5 5 OA’ 6 2 A’ On calcule : = = et = = OB 5+3 8 OB’ 6+3 3 6 OA OA’ On a : 6= , d’après la contraposée du théorème OB OB’ O 5 A 3 B de Thalès, les droites (AA’) et (BB’) ne sont pas parallèles. 19