סיכום חדו"א 1ת' 2025 PDF

‫)‪ (01040012‬חדו"א ‪1‬ת’ | סיכום‬ ‫שם‪ :‬יואב פז פרידמן | ת“ז‪:‬‬ ‫‪February 2, 2025‬‬ ‫‪1‬‬  ‫‪ 1‬מושגי יסוד‬ ‫הגדרה ‪ :1...

‫)‪ (01040012‬חדו"א ‪1‬ת’ | סיכום‬ ‫שם‪ :‬יואב פז פרידמן | ת“ז‪:‬‬ ‫‪February 2, 2025‬‬ ‫‪1‬‬  ‫‪ 1‬מושגי יסוד‬ ‫הגדרה ‪ :1.1‬קבוצה היא אוסף של איברים‪.‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪o‬‬ ‫דוגמה ‪.A = {8, 2, 26} B = 2n − 1 n = 0, 1, 2, · · · :1.2‬‬ ‫הגדרה ‪ :1.3‬שייכות מסומנת ע"י ∈‪.‬‬ ‫∈ ‪.3‬‬ ‫דוגמה ‪/ A, 2 ∈ A :1.4‬‬ ‫הגדרה ‪ :1.5‬לכל הוא כמת המסומן ע"י ∀‪.‬‬ ‫הגדרה ‪ :1.6‬קיים הוא כמת המסומן ע"י ∃‪.‬‬ ‫דוגמה ‪.(∀x ∈ A, x ≤ 30) , (∃x ∈ B, x = 20) :1.7‬‬ ‫הגדרה ‪ :1.8‬הכלה בין קבוצות מסומנת ע"י ⊆ ומוגדרת‪.X ⊆ Y ⇔ ∀z (z ∈ X ⇒ z ∈ Y ) :‬‬ ‫הגדרה ‪ :1.9‬שוויון קבוצות מוגדר ע"י ‪.X = Y ⇔ X ⊆ Y, Y ⊆ X‬‬ ‫הגדרה ‪ :1.10‬הכלה ממש מסומנת ע"י ⊂ ומוגדרת ‪.X ⊂ Y ⇔ X ⊆ Y, X ̸= Y ⇔ X ⊆ Y, Y ⊊ X‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪. m‬‬‫הגדרה ‪ :1.11‬סכום מסומן ע"י ‪n=1 an‬‬ ‫דוגמה ‪:1.12‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪k 2 = 12 + 22 + · · · + 92 + 102‬‬ ‫‪k=1‬‬ ‫‪Qm‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫הגדרה ‪ :1.13‬מכפלה מסומנת ע"י ‪an‬‬ ‫דוגמה ‪:1.14‬‬ ‫‪Y‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪k = 1 · 2 · 3 · · · 10‬‬ ‫‪k=1‬‬ ‫קבוצות חשובות‪:‬‬ ‫ הקבוצה הריקה‪.ϕ :‬‬ ‫ המספרים הטבעיים‪.N = {1, 2, 3, · · · } :‬‬ ‫ המספרים השלמים‪.Z = {· · · , −1, 0, 1, · · · } :‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪o‬‬ ‫= ‪.Q‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪n‬‬ ‫ המספרים הרציונאלים‪m, n ∈ Z, n ̸= 0 :‬‬ ‫ המספרים הממשיים‪.R :‬‬ ‫‪2‬‬  ‫הגדרה ‪ :1.15‬נגדיר כעת קטעים ב‪:R-‬‬ ‫יהיו ‪ a, b ∈ R‬ונניח בה"כ ‪ ,a ≤ b‬נגדיר‪:‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪o‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪o‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪o‬‬ ‫‪(a, b) = x ∈ R a < x < b‬‬ ‫‪[a, b] = x a ≤ x ≤ b‬‬ ‫‪[a, b) = x a ≤ x < b‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪o‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪o‬‬ ‫‪(a, ∞) = x a < x‬‬ ‫‪(−∞, b] = x x ≤ b‬‬ ‫‪n‬‬ ‫קבוצות‬ ‫‪o‬‬ ‫הגדרה ‪ :1.16‬פעולות בין‬ ‫איחוד קבוצות מוגדר ע"י‪.A ∪ B = x x ∈ A or x ∈ B :‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪o‬‬ ‫חיתוך קבוצות מוגדר ע"י‪.A ∩ B = x x ∈ A, x ∈ B :‬‬ ‫אם ‪ A ∩ B = ϕ‬נאמר שהקבוצות זרות‪.‬‬ ‫דוגמה ‪:1.17‬‬ ‫)‪[0, 3) =[0, 2) ∪ (1, 3‬‬ ‫)‪(1, 2) =[0, 2) ∩ (1, 3‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪o‬‬ ‫∈ ‪.A⊂ = x x‬‬ ‫הגדרה ‪ :1.18‬המשלים מוגדר ע"י ‪/ A‬‬ ‫דוגמה ‪.[0, 2)⊂ = (−∞, 0) ∪ [2, ∞) :1.19‬‬ ‫הגדרה ‪ :1.20‬אם טענה ‪ A‬גוררת טענה ‪ B‬אז נסמן‪.A ⇒ B :‬שלילת טענה מסומנת ע"י ‪.¬A‬‬ ‫הערה ‪ :1.21‬שלילה מחליפה בין הכמתים‪.‬‬ ‫הגדרה ‪ :1.22‬השלילה הלוגית של ‪ A ⇒ B‬היא ‪.¬B ⇒ ¬A‬‬ ‫דוגמה ‪ :1.23‬נשלול את‪" :‬אם יורד גשם אז יש עננים" ונקבל‪" :‬אם אין עננים אז אין גשם"‪.‬השלילה הלוגית שקולה לטענה המקורית‪.‬‬ ‫כלומר )‪.(A ⇒ B) ⇔ (¬B ⇒ ¬A‬‬ ‫דוגמה ‪ :1.24‬נשלול את הטענה הבאה‪" :‬יהא ‪.0 ≤ x‬אם לכל ‪ ε > 0‬מתקיים ‪ x ≤ ε‬אז ‪."x = 0‬ונקבל‪" :‬יהא ‪.0 ≤ x‬אם ‪x ̸= 0‬‬ ‫אז קיים ‪ ε > 0‬עבורו ‪.".x > ε‬‬ ‫הוכחה‪ :‬נתון ‪ 0 ≤ x‬וגם ‪ ,x ̸= 0‬לכן ‪.0 < x‬נבחר ‪ ε = x2 > 0‬ונקבל ‪ x > x2 = ε‬כנדרש‪.‬‬ ‫הערה ‪ :1.25‬שיטת הוכחה מקובלת היא הוכחה בשלילה‪.‬אם רוצים להוכיח ‪ A ⇒ B‬אז נניח כי ‪ A‬וגם ‪ ¬B‬מתקיימות ונגיע‬ ‫לסתירה‪.‬‬ ‫√‬ ‫∈‪2‬‬ ‫טענה ‪/ Q :1.26‬‬ ‫הוכחה‪.‬‬ ‫√‬ ‫∈‪. 2‬‬ ‫ נניח בשלילה כי ‪/ Q‬‬ ‫√‬ ‫שבר מצומצם‪.‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪n‬‬ ‫= ‪ ,n ̸= 0 , 2‬בה"כ‬ ‫‪m‬‬ ‫‪n‬‬ ‫ש‪-‬‬ ‫ אז קיימים ‪ ∃n, m ∈ Z‬כך‬ ‫ נעלה בריבוע ונסדר‪.2n2 = m2 :‬‬ ‫‪3‬‬  ‫ אגף שמאל זוגי ולכן בהכרח גם ‪ m2‬זוגי ⇐ ‪ m‬זוגי‪.‬‬ ‫ נרשום ‪ m = 2k ,k ∈ Z‬ונציב ‪.n2 = 2k 2 ⇐ 2n2 = m2 = (2k)2 = 4k 2‬‬ ‫‪m‬‬ ‫שבר מצומצם‪.‬‬ ‫‪n‬‬ ‫ש‪-‬‬ ‫ בדומה לטיעון קודם‪ ,‬נקבל כי ‪ n‬זוגי בסתירה לכך‬ ‫‬ ‫הגדרה ‪ :1.27‬נניח ‪ A, B ⊆ R‬לא ריקות‪.‬נאמר כי ‪ A‬צפופה ב‪ B-‬אם בין כל שני איברים שונים של ‪ B‬יש איבר של ‪.A‬‬ ‫משפט ‪ Q.1.28‬צפופה ב‪.R-‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪o‬‬ ‫∈ ‪ x x‬צפופה ב‪.R-‬‬ ‫משפט ‪.1.29‬קבוצת האי‪-‬רציונלים‪/ Q = R − Q = R/Q :‬‬ ‫הגדרה ‪ :1.30‬תהא ‪ ,ϕ ̸= A ⊆ R‬נאמר כי ‪ A‬חסומה מלעיל אם ‪ M.∃M ∈ R, ∀x ∈ A, x ≤ M‬נקרא חסם מלעיל‪.‬‬ ‫הגדרה ‪ :1.31‬תהא ‪ ,ϕ ̸= A ⊆ R‬נאמר כי ‪ A‬חסומה מלרע אם ‪ M.∃M ∈ R, ∀x ∈ A, x ≥ M‬נקרא חסם מלרע‪.‬‬ ‫הגדרה ‪ :1.32‬קבוצה נקראת חסומה אם היא חסומה מלעיל ומלרע‪.‬‬ ‫חסומה‬ ‫חסומה מלרע‬ ‫חסומה מלעיל‬ ‫קבוצה‬ ‫×‬ ‫✓‬ ‫×‬ ‫‪N‬‬ ‫✓‬ ‫✓‬ ‫✓‬ ‫דוגמה ‪:1.33‬‬ ‫‪n [0, 100) o‬‬ ‫✓‬ ‫✓‬ ‫✓‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n+1‬‬ ‫‪n∈N‬‬ ‫חסומות‪.‬תהא ‪n ϕ ̸= A ⊆ R‬‬ ‫וחסומה מלעיל‪.‬לפי אקסיומת השלמות לקבוצת החסמים מלעיל יש‬ ‫הגדרה ‪ :1.34‬הגדרנו קבוצות ‪o‬‬ ‫חסם מינימלי‪ ,‬כלומר לקבוצה ‪ B = M ∈ R ∀ x ∈ A, x ≤ M‬יש מינימום‪ ,‬נסמן אותו ע"י ‪.min B = sup A‬זהו החסם‬ ‫מלעיל הקטן ביותר‪ ,‬קוראים לו סופרמום‪.‬‬ ‫קבוצות חסומות‪.‬תהא ‪nϕ ̸= A ⊆ R‬וחסומה מלרע‪.‬לפי אקסיומת השלמות לקבוצת החסמים מלרע יש חסם‬ ‫‪o‬‬ ‫הגדרה ‪ :1.35‬הגדרנו‬ ‫מקסימלי‪ ,‬כלומר לקבוצה ‪ B = M ∈ R ∀ x ∈ A, x ≥ M‬יש מקסימום‪ ,‬נסמן אותו ע"י ‪.max B = inf A‬זהו החסם מלרע‬ ‫הגדול ביותר‪ ,‬קוראים לו אינפימום‪.‬‬ ‫הערה ‪ :1.36‬אם יש ל‪ A-‬מקסימום אז ‪.max A = sup A‬אם יש ל‪ A-‬מינימום אז ‪.min A = inf A‬‬ ‫מינימום‬ ‫אינפימום‬ ‫מקסימום‬ ‫סופרמום‬ ‫קבוצה‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫]‪[0, 1‬‬ ‫×‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫]‪(0, 1‬‬ ‫דוגמה ‪:1.37‬‬ ‫×‬ ‫‪1‬‬ ‫×‬ ‫×‬ ‫‪n‬‬ ‫)∞ ‪(1,‬‬ ‫‪o‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫×‬ ‫‪0‬‬ ‫‪− n1 n ∈ N‬‬ ‫(‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x≥0‬‬ ‫= |‪ |x‬זהו הערך המוחלט‪.‬המשמעות הגאומטרית היא המרחק )האי‪-‬שלילי( בין‬ ‫הגדרה ‪ :1.38‬לכל ‪ x ∈ R‬נגדיר‪:‬‬ ‫‪−x x < 0‬‬ ‫‪ x‬ל‪.0-‬באופן כללי‪ ,‬לכל ‪ x, y ∈ R‬הסימון |‪ |x − y‬מתאר את המרחק בין ‪ x‬ל‪.y-‬תכונות בסיסיות‪:‬‬ ‫‪x < −a or x > a ⇔ |x| > a‬‬ ‫‪−a ≤ x ≤ a ⇔ |x| ≤ a‬‬ ‫‪4‬‬ ‫הגדרה ‪ :1.39‬לכל ‪ a ∈ R‬נגדיר סביבה של ‪ a‬כקטע פתוח המכיל את ‪.a‬סביבה נקובה של ‪ a‬היא סביבה של ‪ a‬אשר הוצאנו ממנה‬ ‫את ‪.a‬‬ ‫
‬ ‫דוגמה ‪ :1.40‬סביבות אפשריות של ‪.(0, 99) , 12 , 1 12 , (0, 2) :a = 1‬סביבות נקובות אפשריות הן‪.(0, 2) / {1} = (0, 1)∪(1, 2) :‬‬ ‫הערה ‪ :1.41‬מטעמי נוחות ניקח סביבות )נקובות( ברדיוס ‪ ε > 0‬או ‪ δ > 0‬מהצורה )‪ (a − ε, a + ε‬וסביבה נקובה ע"י‪(a − ε, a)∪ :‬‬ ‫)‪.(a, a + ε‬הערך המוחלט עוזר לתאר סביבה )נקובה( ברדיוס ‪ ,ε > 0‬אכן‪:‬‬ ‫‪x ∈ (a − ε, a + ε) ⇔ a − ε < x < a + ε ⇔ −ε < x − a < ε ⇔ |x − a| < ε‬‬ ‫עבור סביבה נקובה נרשום‪:‬‬ ‫‪x ∈ (a − ε, a) ∪ (a, a + ε) ⇔ 0 < |x − a| < ε‬‬ ‫טענה ‪:1.42‬‬ ‫‪.1‬אי‪-‬שוויון המשולש‪.∀x, y ∈ R, |x ± y| ≤ |x| + |y| , ||x| − |y|| ≤ |x ± y| :‬‬ ‫‪.2‬אי‪-‬שוויון הממוצעים‪ :‬יהיו ‪ x1 , · · · , xn‬חיוביים אז‪ :‬לכל ‪:n ∈ N‬‬ ‫‪n‬‬ ‫√‬ ‫‪x1 + · · · + xn‬‬ ‫‪1 ≤ | x1{z‬‬ ‫≤ ‪· · · xn‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+ · · · + xn‬‬ ‫}‬ ‫‪n‬‬ ‫|‬ ‫‪x1‬‬ ‫‪{z‬‬ ‫‪} mean Geometric | mean Arithmatic‬‬ ‫‪{z‬‬ ‫}‬ ‫‪mean Harmonic‬‬ ‫הגדרה ‪ :1.43‬החלק השלם התחתון ‪ -‬לכל ‪ x ∈ R‬נגדיר ]‪.⌊x⌋ = [x‬החלק השלם העליון ‪ -‬לכל ‪ x ∈ R‬נגדיר ⌉‪.⌈x‬‬ ‫הערה ‪ :1.44‬תכונות בסיסיות‪.0 ≤ x − [x] < 1 and [x] ≤ x < [x] + 1 :‬‬ ‫‪5‬‬  ‫סדרות‬ 2 ‫ ואת הסדרה‬.(n ∈ N) ‫ כאשר‬an -‫ מסמנים את האיבר הכללי ב‬.‫ סדרה היא אוסף אינסופי וסדור של מספרים ממשיים‬:2.1 ‫הגדרה‬.{an } ‫{ או‬an }∞ n=1 ‫עצמה נסמן‬ :2.2 ‫דוגמה‬ :‫ נוסחה מפורשת‬.1 1 (−1)n an = an =n an = c (c ∈ R) an = an =a + (n − 1) d an = a · q n−1 n |{z} | {z } n } | {z | {z } | {z } sequence Constant sequence Arithmetic sequence Geometric sequence Harmonic sequence harmonic Changing :‫ נוסחה מפורשת לפי תחומים‬.2 ( n2 even is n 1 an = 1 1, 4, , 16, · · · n odd is n 3 :‫ כלל מילולי‬.3 an = { of development the in point decimal the of right the from digit n’th Theπ} :‫ סדרה רקורסיבית‬.4 ( n=1 3 ∀n ≥ 1 an+1 = n + 3 an ‫ גבול של סדרה‬:2.3 ‫הגדרה‬ :‫ אם‬an −−−→ L ‫ או‬limn→∞ an = L ‫ ומסמנים‬L ∈ R ‫{ מתכנסת )שואפת( לגבול‬an } ‫נאמר שסדרה‬ n→∞ ∀ε > 0, ∃N ∈ N, ∀n > N, |an − L| < ε.limn→∞ 4n+1 2n+1 = 2 ‫ נוכיח כי‬:2.4 ‫דוגמה‬ :‫ נקבל‬n > N ‫ אז לכל‬,N = ⌈ ε ⌉ ∈ N ‫ נבחר‬,ε > 0 ‫יהא‬ 1 4n + 1 4n + 1 − 4n − 2 1 1 1 1 −2 = = < < |{z} < ≤ ε 2n + 1 2n + 1 2n + 1 2n n N |{z} n>N N =⌈ 1ε ⌉ :2.5 ‫הערות‬ 6 ‫‪ ε > 0.1‬שרירותי ואילו את ‪ N‬צריך לבחור בד"כ כתלות ב‪.ε-‬בקורס לא נדרוש לחבור ‪ ,N ∈ N‬למשל בדוגמה אפשר לבחור‬ ‫‪.N = 1ε‬‬ ‫‪.2‬תמיד ניתן להגדיל את ‪ ,N‬כלומר לחסום מלמטה‪.‬‬ ‫‪.3‬אם ‪ an‬לא מתכנסת לכל ‪ L ∈ R‬אז נאמר שהסדרה מתבדרת‪.‬באופן מפורש‪∀L ∈ R, ∃ε > 0, ∀N ∈ N, ∃n > :‬‬ ‫‪.N, |an − L| ≥ ε‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪.limn→∞ 2nn2 +1‬‬ ‫דוגמה ‪ :2.6‬נוכיח כי ‪= 12‬‬ ‫‬‫‪−11‬‬ ‫‪ ,N = max 3, 13‬לכל ‪ n > N‬נקבל‪:‬‬ ‫‪ε‬‬ ‫יהא ‪ ,ε > 0‬נבחר‬ ‫‪n2 + 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2n2 + 2 − 2n2 + 11‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪−‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫}‪|{z‬‬ ‫‪= 2‬‬ ‫N ≥3‬‬ ‫‪n>N‬‬ ‫{‪N =max‬‬ ‫דוגמה ‪ :2.7‬הסדרה ‪ an = (−1)n‬מתבדרת‪.‬‬ ‫הגדרה ‪ :2.8‬סדרה ‪ an‬נקראת חסומה אם ‪.∃M > 0, ∀n ∈ N, |an | ≤ M‬‬ ‫דוגמה ‪:2.9‬‬ ‫ חסומות‪.an = n1 , an = (−1)n :‬‬ ‫ לא חסומות‪.an = n, an = (−1)n n + n :‬‬ ‫‪P‬‬ ‫ חסומה אכן לכל ‪:an = nk=1 k12 :n ≥ 2‬‬ ‫‪X‬‬‫‪n‬‬ ‫‪X‬‬‫‪n‬‬ ‫‪X‬‬‫‪n‬‬ ‫‪X‬‬‫ ‪n‬‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫= ‪0 < an‬‬ ‫‪=1+‬‬ ‫‪ a n0‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ קיבלנו‪:‬‬ ‫‪L1 + 2L‬‬ ‫‪L + 2L1‬‬ ‫‪an0‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪L+2L1‬‬ ‫‪L+L1 +L‬‬ ‫‪2L+L1‬‬ ‫כלומר ‪ an0 > an0‬וזאת סתירה‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ N‬מתקיים ‪ (an = bn‬אז אם ‪an −−−→ L‬‬ ‫∞→‪n‬‬ ‫אז ‪) bn −−−→ L‬ולהיפך(‪.‬‬ ‫∞→‪n‬‬ ‫הוכחה‪.‬‬ ‫ נתון כי קיים ‪ N1 ∈ N‬כך שלכל ‪ n > N1‬מתקיים ‪ ,an = bn‬בנוסף נתון ‪.an −−−→ L‬נוכיח ‪.bn −−−→ L‬‬ ‫∞→‪n‬‬ ‫∞→‪n‬‬ ‫ יהא ‪ ,ε > 0‬מכיוון שמתקיים ‪ an −−−→ L‬אז לכל ‪ ε′ > 0‬ובפרט ‪ ε′ = ε‬קיים ‪ N2 ∈ N‬כך שלכל ‪ n > N2‬מתקיים‬ ‫∞→‪n‬‬ ‫‪.|an − L| < ε‬‬ ‫‪8‬‬  ‫ נבחר } ‪ N = max {N1 , N2‬ואז לכל ‪ n > N‬מתקיים‪:‬‬ ‫}‪|bn − L| |{z‬‬ ‫}‪= |an − L| |{z‬‬ ‫‪< ε ⇒ |bn − L| < ε‬‬ ‫‪N ≥N1‬‬ ‫‪N ≥N2‬‬ ‫‬ ‫טענה ‪) :2.14‬סדר בין גבולות( נניח ‪.bn −−−→ M, an −−−→ L‬‬ ‫∞→‪n‬‬ ‫∞→‪n‬‬ ‫‪.1‬אם ‪ M < L‬אז ‪ bn < an‬כמעט לכל ‪.n‬‬ ‫‪.2‬אם ‪ bn ≤ an‬אז ‪.M ≤ L‬‬ ‫הערות ‪:2.15‬‬ ‫‪.1‬סעיף ‪ 1‬לא נכון אם ‪.M ≤ L‬‬ ‫‪.2‬אם ב‪ bn < an 2-‬עדיין נסיק ‪.M ≤ L‬‬ ‫הוכחה‪.‬‬ ‫‪.1‬‬ ‫‪L−M‬‬ ‫= ‪ ε‬נקבל‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ מהגדרת הגבול לכל ‪ ε > 0‬ובפרט ‪> 0‬‬ ‫ מהגדרת הגבול של ‪ an‬נקבל‪.∃N1 ∈ N, ∀n > N1 , |an − L| < ε :‬‬ ‫ מהגדרת הגבול של ‪ bn‬נקבל‪.∃N2 ∈ N, ∀n > N2 , |bn − L| < ε :‬‬ ‫ מהטענות הנ"ל ובחירת ‪ ε‬נקבל שלכל } ‪:n > max {N1 , N2‬‬ ‫‪L+M‬‬ ‫= ‪bn < M + ε‬‬ ‫‪= L − ε < an‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ כנדרש‪.‬‬ ‫‪.2‬‬ ‫ נניח בשלילה כי ‪ ,L < M‬לפי )‪ (1‬נקבל כי ‪) bn > an‬כמעט לכל ‪ ,(n‬בסתירה לנתון ‪.bn ≤ an‬‬ ‫‬ ‫טענה ‪:2.16‬‬ ‫‪.1‬אם ‪ an −−−→ L‬אז |‪.|an | −−−→ |L‬‬ ‫∞→‪n‬‬ ‫∞→‪n‬‬ ‫‪.|an | −−−→ 0 ⇔ an −−−→ 0.2‬‬ ‫∞→‪n‬‬ ‫∞→‪n‬‬ ‫הערה ‪ :2.17‬הכיוון ההפוך של )‪ (1‬לא נכון‪.‬למשל ‪ L = 1 ,an = (−1)n‬בערך מוחלט‪.‬‬ ‫הוכחה‪.‬‬ ‫‪9‬‬  ‫‪.1‬‬ ‫ נוכיח לפי ההגדרה‪.‬יהא ‪ ,ε > 0‬נתון כי ‪.an −−−→ L‬‬ ‫∞→‪n‬‬ ‫ לכן לכל ‪ ε′ > 0‬ובפרט ‪ ε′ = ε‬יש ‪ N ′ ∈ N‬כך שלכל ‪ n > N‬מתקיים ‪.|an − L| < ε‬‬ ‫‪′‬‬ ‫‪′‬‬ ‫ נבחר ‪ N = N ′‬ואז לכל ‪< ε′ = ε :n > N‬‬ ‫}‪.||an | − |L|| ≤ |an − L| |{z‬‬ ‫‪n>N =N ′‬‬ ‫‪.2‬‬ ‫ ⇐‪:‬‬ ‫– נתון כי ‪ ,an −−−→ 0‬נוכיח כי מתקיים |‪.|an | −−−→ |0‬‬ ‫∞→‪n‬‬ ‫∞→‪n‬‬ ‫– אנו יודעים כי אם ‪ an −−−→ L‬אז |‪.|an | −−−→ |L‬‬ ‫∞→‪n‬‬ ‫∞→‪n‬‬ ‫– אזי מיידית ניתן לראות כי ‪ ,|an | −−−→ |0| = 0‬כנדרש‪.‬‬ ‫∞→‪n‬‬ ‫ ⇒‪:‬‬ ‫– נתון כי ‪ ,|an | −−−→ 0‬נוכיח כי מתקיים ‪.an −−−→ 0‬‬ ‫∞→‪n‬‬ ‫∞→‪n‬‬ ‫– יהא ‪ ,ε > 0‬לפי הנתון לכל ‪ ε′ > 0‬ובפרט ‪ ε′ = ε‬קיים ‪ N ′ ∈ N‬כך שלכל ‪ n > N ′‬מתקיים ‪.||an | − 0| < ε′ = ε‬‬ ‫– ניתן לראות כי מתקיים |‪.||an | − 0| = ||an || = |an | = |an − 0‬‬ ‫– נבחר ‪ N = N ′‬ואז לכל ‪ n > N‬מתקיים ‪ |an − 0| < ε‬כנדרש‪.‬‬ ‫‬ ‫משפט ‪.2.18‬אריתמטיקה )חשבון גבולות( נניח ‪ bn −−−→ M, an −−−→ L‬אז‪:‬‬ ‫∞→‪n‬‬ ‫∞→‪n‬‬ ‫‪∀α ∈ R, αan −−−→ αL‬‬ ‫‪(an ± bn ) −−−→ L ± M‬‬ ‫‪(an · bn ) −−−→ L · M‬‬ ‫∞→‪n‬‬ ‫∞→‪n‬‬ ‫∞→‪n‬‬ ‫‪an‬‬ ‫‪L‬‬ ‫→‪−−−‬‬ ‫‪M ̸= 0‬‬ ‫‪L > 0, abnn −−−→ LM‬‬ ‫‪bn n→∞ M‬‬ ‫∞→‪n‬‬ ‫הערות ‪:2.19‬‬ ‫‪.1‬לכל ‪ k ∈ N‬נקבל‪.akn −−−→ Lk :‬‬ ‫∞→‪n‬‬ ‫‪.2‬אם ‪ L ̸= 0‬אז לכל ‪ k ∈ Z‬נקבל ‪.akn −−−→ Lk‬‬ ‫∞→‪n‬‬ ‫‪.3‬לא ניתן להשתמש באריתמטיקה במקרה של ” ‪.” 00‬‬ ‫הוכחה‪.‬‬ ‫‪.1‬‬ ‫ הטענה ברורה עבור ‪ ,α = 0‬לכן נניח ‪.α ̸= 0‬‬ ‫‪10‬‬ ‫= ‪ ε′‬יש ‪ N ′ ∈ N‬כך שלכל ‪ n > N ′‬מתקיים‬ ‫‪ε‬‬ ‫|‪|α‬‬ ‫ יהא ‪ ,ε > 0‬נתון כי ‪ ,an −−−→ L‬לכן לכל ‪ ε′ > 0‬ובפרט ‪> 0‬‬ ‫∞→‪n‬‬ ‫‪.|an − L| < ε′‬‬ ‫ נבחר ‪ N = N ′‬ואז לכל ‪ n > N‬נקבל‪:‬‬ ‫}‪< |α| · ε′ |{z‬‬ ‫}‪|αan − αL| = |α| |an − L| |{z‬‬ ‫‪= ε‬‬ ‫‪n>N =N ′‬‬ ‫|‪ε′ = |α‬‬ ‫‪ε‬‬ ‫‪.2‬‬ ‫= ‪ ε1‬נקבל‪:‬‬ ‫‪ε‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ יהא ‪ ,ε > 0‬מהנתון והגדרת הגבול ‪ ,an −−−→ L‬לכל ‪ ε1 > 0‬ובפרט‬ ‫∞→‪n‬‬ ‫|‪.|an − L‬‬ ‫קיים ‪ N1 ∈ N‬כך שלכל ‪ n > N1‬מתקיים ‪< ε1 = 2‬‬ ‫‪ε‬‬ ‫ ‬ ‫באופן דומה עבור ‪ bn −−−→ M‬נבחר ‪ ε2 = 2ε‬ונקבל‪:‬‬ ‫ ‬ ‫∞→‪n‬‬ ‫= ‪.|bn − M | < ε2‬‬ ‫‪ε‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ קיים ‪ N2 ∈ N‬כך שלכל ‪ n > N2‬מתקיים‬ ‫ לכן אם } ‪ N = max {N1 , N2‬נקבל שלכל ‪ n > N‬נקבל‪:‬‬ ‫‪ε ε‬‬ ‫| ‪|an + bn − (L + M )| = |an − L + bn − M‬‬ ‫≤‬ ‫| ‪|an − L| + |bn − M‬‬ ‫N ≥N1 ≥N2‬‬ ‫ כנדרש‪.‬‬ ‫‬ ‫טענה ‪ :2.20‬אם ‪ an −−−→ 0‬ו‪ {bn }-‬חסומה אז ‪.an bn −−−→ 0‬‬ ‫∞→‪n‬‬ ‫∞→‪n‬‬ ‫הערה ‪ :2.21‬לסדרה אשר שואפת לאפס קוראים אפסה‪.‬‬ ‫הוכחה‪.‬טיוטא‪:‬‬ ‫‪|an bn − 0| = |an bn | = |an | |bn | ≤ |an | M = |an − 0| M < ε′ · M = ε‬‬ ‫ יהא ‪ ,ε > 0‬נתון כי } ‪ {bn‬חסומה ולכן ‪.∃M > 0, ∀n ∈ N, |bn | ≤ M‬‬ ‫= ‪ ε′‬נקבל‪.∃N ′ ∈ N, ∀n > N ′ , |an − 0| < ε′ :‬‬ ‫‪ε‬‬ ‫‪M‬‬ ‫ נתון ‪ ,an −−−→ 0‬לכן לכל ‪ ε′ > 0‬ובפרט‬ ‫∞→‪n‬‬ ‫ נבחר ‪ N = N ′‬ואז לכל ‪ n > N‬נקבל‪:‬‬ ‫‪ε‬‬ ‫= ‪|an bn − 0| = |an | |bn | ≤ |an − 0| M < ε′ M‬‬ ‫‪M =ε‬‬ ‫‪M‬‬ ‫ כנדרש‪.‬‬ ‫‬ ‫‪11‬‬ ‫משפט ‪).2.22‬משפט הסנדוויץ( נניח שלכל ‪ n‬מתקיים ‪.an ≤ bn ≤ cn‬אם ‪ limn→∞ an = limn→∞ cn = L‬אז ‪.limn→∞ bn = L‬‬ ‫הערה ‪ :2.23‬המשפט נכון גם כאשר ‪ an ≤ bn ≤ cn‬כמעט לכל ‪.n‬‬ ‫הוכחה‪.‬‬ ‫ יהא ‪ ,ε > 0‬מהנתון והגדרת הגבול‪ ,‬עבור ‪ ε1 = ε2 = ε‬נקבל‪:‬‬ ‫‪∃N1 ∈ N, ∀n > N1 , |an − L| < ε1 = ε ⇒ L − ε < an‬‬ ‫‪∃N2 ∈ N, ∀n > N2 , |cn − L| < ε2 = ε ⇒ cn < L + ε‬‬ ‫ כעת נבחר } ‪ N = max {N1 , N2‬ואז לכל ‪ n > N‬נקבל‪:‬‬ ‫‪an ≤ bn ≤ cn ⇒ L − ε < an ≤ bn ≤ cn < L + ε ⇒ L − ε < bn < L + ε ⇒ |bn − L| < ε‬‬ ‫‬ ‫דוגמה ‪:2.24‬‬ ‫)‪sin(n2 −3n‬‬ ‫∞→‪:limn‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪.1‬נוכיח כי ‪= 0‬‬ ‫)‪sin (n2 − 3n‬‬ ‫|)‪|sin (n2 − 3n‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫}‪|{z‬‬ ‫≤‬ ‫=‬ ‫≤‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫}‪|{z‬‬ ‫∞→‪−n‬‬ ‫| ‪−−→0‬‬ ‫‪{z‬‬ ‫}‬ ‫∞→‪−n‬‬ ‫‪−−→0‬‬ ‫‪−‬‬‫‪−‬‬‫‪−‬‬ ‫∞→‪n‬‬ ‫‪→0‬‬ ‫)‪sin(n2 −3n‬‬ ‫ובפרט )טענה( ללא הערך המוחלט‪.‬‬ ‫‪n‬‬ ‫לכן ‪−−−→ 0‬‬ ‫∞→‪n‬‬ ‫‪.2‬נוכיח את הטענה של חסומה כפול אפסה‪ :‬נניח ‪ an −−−→ 0‬ו‪ bn -‬חסומה‪ ,‬למשל ע"י ‪.M > 0‬אז לכל ‪:n‬‬ ‫∞→‪n‬‬ ‫‪0 ≤ |an bn | ≤ |an | M‬‬ ‫}‪|{z‬‬ ‫} ‪| {z } | {z‬‬ ‫∞→‪−n‬‬ ‫‪−−→0 −−−→0 −−−→0‬‬ ‫∞→‪n‬‬ ‫∞→‪n‬‬ ‫ובפרט‪ ,‬לפי משפט ללא הערך המוחלט‪ ,‬כלומר ‪.an bn −−−→ 0‬‬ ‫∞→‪n‬‬ ‫√‬ ‫√‬ ‫√‬ ‫= ‪ hn‬ונקבל‪:‬‬ ‫‪n‬‬ ‫∞→‪.limn‬ראשית נבחין כי לכל ‪ n > 1‬מתקיים ‪. n − 1 > 0‬נסמן ‪n − 1 > 0‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪.3‬נוכיח כי ‪n = 1‬‬ ‫‪X‬‬‫  ‪n‬‬ ‫ ‬ ‫‪n k n−k‬‬ ‫‪2 n‬‬ ‫)‪n (n − 1‬‬ ‫= ) ‪∀n > 1, n = (1 + hn‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪hn · 1‬‬ ‫‪> hn‬‬ ‫‪= h2n‬‬ ‫‪k=0‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫כלומר לכל ‪ n ≥ 2‬נקבל‪:‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪n (n − 1) 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫>‪n‬‬ ‫< ‪⇒ hn‬‬ ‫}‪hn |{z‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪n−1‬‬ ‫‪hn >0‬‬ ‫‪12‬‬  ‫סה"כ לכל ‪ n ≥ 2‬קיבלנו‪:‬‬ ‫‪r‬‬ ‫√‬ ‫‪2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫}‪|{z‬‬ ‫ 0, ∃N ∈ N, ∀n‬‬ ‫∞→‪n‬‬ ‫‪.N, an > M‬‬ ‫באופן דומה מגדירים ∞‪.∀M < 0, ∃N ∈ N, ∀n > N, an < M :limn→∞ an = −‬‬ ‫הערה ‪ :2.26‬אומרים שסדרה מתכנסת אם יש לה גבול סופי‪.‬נאמר שסדרה מתכנסת במובן הרחב אם יש לה גבול סופי או ∞ או‬ ‫∞‪.−‬‬ ‫דוגמה ‪:2.27‬‬ ‫‪.1‬הסדרה ‪ an = n‬מתכנסת במובן הרחב לאינסוף‪.‬‬ ‫‪.2‬הסדרה ‪ an = (−1)n n + n‬לא חסומה מלעיל ולא מתכנסת במובן הרחב‪.‬‬ ‫הגדרה ‪ :2.28‬נניח כי ‪ an −−−→ 0‬וגם ‪.∀n, an ≥ 0‬נאמר כי ‪ an‬שאופת לאפס פלוס ‪.0+‬באופן דומה נגדיר שאיפה ל‪.0− -‬‬ ‫∞→‪n‬‬ ‫∞→‪).limn‬להוכיח לבד(‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪an‬‬ ‫טענה ‪ :2.29‬אם } ‪ {an‬שונה מאפס ושואפת ל‪ 0+ -‬אז ∞ =‬ ‫באופן דומה אם ‪ an −−−→ 0−‬אז ∞‪.limn→∞ a1n = −‬‬ ‫∞→‪n‬‬ ‫הערות ‪:2.30‬‬ ‫‪.1‬נאמר שסדרה מתכנסת אם היא מתכנסת ל‪.L ∈ R-‬נאמר שסדרה מתכנסת במובן הרחב אם היא מתכנסת ל‪ L ∈ R-‬או ∞‬ ‫או ∞‪.−‬‬ ‫‪.2‬נאמר כי ‪ an −−−→ 0+‬אם ‪ an −−−→ 0‬וגם ‪.an > 0‬באופן דומה שאיפה ל‪.0− -‬‬ ‫∞→‪n‬‬ ‫∞→‪n‬‬ ‫‪.3‬מכלילים את ככלי האריתמטיקה באופן הבא‪ :‬נניח ∞ →‪ an −−−→ ∞, bn −−−→ L, cn −−−‬אז‪:‬‬ ‫∞→‪n‬‬ ‫∞→‪n‬‬ ‫∞→‪n‬‬ ‫∞ →‪an ± bn −−−‬‬ ‫∞ →‪L > 0 ⇒ an · bn −−−‬‬ ‫∞‪L < 0 ⇒ an · bn −−−→ −‬‬ ‫∞→‪n‬‬ ‫∞→‪n‬‬ ‫∞→‪n‬‬ ‫∞ →‪an + cn −−−‬‬ ‫∞ →‪an · cn −−−‬‬ ‫∞→‪n‬‬ ‫∞→‪n‬‬ ‫באופן דומה מקרים נוספים )לקרוא בדף(‪.‬‬ ‫‪.4‬אי‪-‬וודאות אריתמטית היא מהצורה‪:‬‬ ‫‪0‬‬ ‫∞‬ ‫” ‪”∞ − ∞”, ”0 · ∞”, ” ”, ” ”, ”1∞ ”, ”∞0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫∞‬ ‫‪13‬‬  ‫‪n3 −1‬‬ ‫∞→‪.limn‬לפי ההגדרה‪ :‬יהא ‪ ,M > 0‬נבחר ⌉ ‪ N = ⌈6M‬ואז לכל ‪ n > N‬נקבל‪:‬‬ ‫‪n+2‬‬ ‫דוגמה ‪ :2.31‬נוכיח כי ∞ =‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪n3 − 1‬‬ ‫‪n3 − n‬‬ ‫)‪n (n2 − 1‬‬ ‫‪n2 − 1‬‬ ‫‪1 2‬‬ ‫
‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪n2‬‬ ‫‪N2‬‬ ‫‪N‬‬ ‫≥‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫≥ ‪n −1‬‬ ‫‪n − n2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫>‬ ‫≥‬ ‫‪≥M‬‬ ‫‪n+2‬‬ ‫‪n + 2n‬‬ ‫‪3n‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫}‪|{z‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪n>N ≥1‬‬ ‫אריתמטית‪:‬‬ ‫! ‪
3‬‬ ‫‪n3 − 1‬‬ ‫‪1 − n1‬‬ ‫‪= n2‬‬ ‫∞ →‪−−−‬‬ ‫‪n+2‬‬ ‫·‪1+2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫∞→‪n‬‬ ‫כשמחשבים גבול של מנה צריך לציין שהמכנה שונה מאפס‪.‬מכלילים תכונות נוספות כגון יחידות הגבול‪.‬והכללה של כלל‬ ‫הסנדוויץ )נוכיח(‪.‬‬ ‫טענה ‪) :2.32‬כלל הפיצה( נניח ‪ an ≥ bn‬לכל ‪ n‬או כמעט לכל ‪.n‬אם ∞ →‪ bn −−−‬אז ∞ →‪.an −−−‬‬ ‫∞→‪n‬‬ ‫∞→‪n‬‬ ‫‬ ‫הוכחה‪.‬‬ ‫ יהא ‪ ,M > 0‬נתון כי ∞ →‪ ,bn −−−‬לכן לכל ‪ M ′ > 0‬ובפרט ‪ M ′ = M‬יש ‪ N ′ ∈ N‬כך שלכל ‪ n > N ′‬מתקיים ‪.bn > M ′‬‬ ‫∞→‪n‬‬ ‫ נבחר ‪ N = N ′‬ואז לכל ‪ n > N‬נקבל‪ an ≥ bn > M ′ = M :‬כנדרש‪.‬‬ ‫מכלל הסנדוויץ נסיק את הטענה הבאה‪:‬‬ ‫טענה ‪) :2.33‬כלל מנה וכלל שורש(‬ ‫‪. an+1‬‬ ‫‪an‬‬ ‫‪.1‬נניח } ‪ {an‬חיובית המקיימת ‪−−−→ q‬‬ ‫∞→‪n‬‬ ‫ ‪.an −−−→ 0 ⇐ q < 1‬‬ ‫∞→‪n‬‬ ‫ ‪.an −−−→ ∞ ⇐ q > 1‬‬ ‫∞→‪n‬‬ ‫ ‪ ⇐ q = 1‬אי‪-‬וודאות‪.‬‬ ‫√‬ ‫‪.2‬נניח ‪ an ≥ 0‬ו‪. n an −−−→ q-‬‬ ‫∞→‪n‬‬ ‫ ‪.an −−−→ 0 ⇐ q < 1‬‬ ‫∞→‪n‬‬ ‫ ‪.an −−−→ ∞ ⇐ q > 1‬‬ ‫∞→‪n‬‬ ‫ ‪ ⇐ q = 1‬אי‪-‬וודאות‪.‬‬ ‫הערות ‪:2.34‬‬ ‫‪.1‬אם ‪ q = 1‬לא ניתן לקבוע‪ ,‬למשל עבור ‪ an = n‬נקבל ‪ q = 1‬ו‪.an −−−→ ∞-‬עבור ‪ bn = 1‬נקבל ‪.q = 1‬‬ ‫∞→‪n‬‬ ‫‪p‬‬ ‫או | ‪. n |an‬‬ ‫‪an+1‬‬ ‫‪an‬‬ ‫‪.2‬הטענה נכונה גם עבור ‪ an‬לא בהכרח אי שלילית‪ ,‬במקרה זה מחשבים את‬ ‫‪14‬‬  ‫‪nk‬‬ ‫∞→‪.limn‬‬ ‫‪an‬‬ ‫דוגמה ‪ :2.35‬יהא ‪ k ∈ N‬ו‪ 1 < a ∈ R-‬נוכיח ‪= 0‬‬ ‫הסדרה בבירור חיובית‪ ,‬נחשב‪:‬‬ ‫‪r‬‬ ‫√‬ ‫‪√ k‬‬ ‫√‬ ‫‪n‬‬ ‫‪nk‬‬ ‫‪nk‬‬ ‫)‪( n n‬‬ ‫‪1k‬‬ ‫‪1‬‬ ‫√‬ ‫‪−‬‬‫‪−‬‬‫‪−‬‬‫→‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫= ‪an‬‬ ‫‪n‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪= =q‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪n→∞ a‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪ q < 1‬לכן לפי מבחן השורש ‪.an −−−→ 0‬‬ ‫∞→‪n‬‬ ‫הוכחה‪.‬‬ ‫ נוכיח את המקרה בו ‪ q < 1‬בכלל השורש‪.‬‬ ‫√‬ ‫√‬ ‫‪.‬‬ ‫‪n‬‬ ‫= ‪ ε‬יש ‪ N ∈ N‬כך שלכל ‪ n > N‬נקבל ‪an − q < ε‬‬ ‫‪1−q‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ מניחים ‪ , n an −−−→ q < 1‬לכן לכל ‪ ε > 0‬ובפרט‬ ‫∞→‪n‬‬ ‫√‬ ‫≤ ‪∀n > N, 0‬‬ ‫‪n‬‬ ‫= ‪an < ε + q‬‬ ‫‪1+q‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ נסיק‪= α < 1 :‬‬ ‫ נעלה בחזקת ‪ n‬ונקבל שלכל ‪ n > N‬מתקיים‪:‬‬ ‫}‪0 ≤ an < |{z‬‬ ‫}‪|{z‬‬ ‫‪αn‬‬ ‫}‪|{z‬‬ ‫∞→‪−n‬‬ ‫∞→‪−−→0 −−−→0 −n‬‬ ‫‪−−→0‬‬ ‫∞→‪n‬‬ ‫ )‪ α ∈ (0, 1‬פעם הבאה‪.‬‬ ‫‬ ‫כזכור אם ‪ ϕ ̸= A ⊆ R‬וחסומה מלעיל אז יש לה סופרמום )החסם מלעיל הקטן ביותר שיש(‪.‬‬ ‫משפט ‪).2.36‬אפיון של הסופרמום( תהא ‪ ϕ ̸= A ⊆ R‬וחסומה מלעיל‪.‬אז ‪ α = sup A‬אם"ם‪:‬‬ ‫‪.∀x ∈ A, x ≤ α.1‬‬ ‫‪.∀ε > 0, ∃xε ∈ A, α − ε < xε.2‬‬ ‫סדרות מונוטוניות‬ ‫‪2.2‬‬ ‫הגדרה ‪:2.37‬‬ ‫ נאמר שסדרה ‪ an‬היא מונוטונית עולה )רק עולה( אם לכל ‪ n ∈ N‬מתקיים ‪.an ≤ an+1‬‬ ‫ נאמר שהסדרה היא מונוטונית עולה ממש )רק עולה ממש( אם לכל ‪ n ∈ N‬מתקיים ‪.an < an+1‬‬ ‫ נאמר שסדרה ‪ an‬היא מונוטונית יורדת )רק יורדת( אם לכל ‪ n ∈ N‬מתקיים ‪.an ≥ an+1‬‬ ‫ נאמר שהסדרה היא מונוטונית יורדת ממש )רק יורדת ממש( אם לכל ‪ n ∈ N‬מתקיים ‪.an > an+1‬‬ ‫הערה ‪ :2.38‬מגדירים גם מונוטוניות "כמעט לכל ‪."n‬‬ ‫דוגמה ‪:2.39‬‬ ‫‪ an = 2.1‬עולה ויורדת‪.‬‬ ‫‪15‬‬  ‫‪ an = − n1.2‬עולה ממש‪.‬‬ ‫‪n‬‬ ‫)‪ an = (−1‬לא מונוטונית‪.‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪.3‬‬ ‫(‬ ‫‪k n = 2k‬‬ ‫עולה‪.‬‬ ‫‪.4‬‬ ‫‪k n = 2k − 1‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪.5‬הסדרה ‪ an = nk=1 k12‬עולה ממש‪ ,‬אכן‪:‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪n+1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪X‬‬‫‪n‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪X‬‬‫‪n‬‬ ‫‪1‬‬ ‫= ‪∀n, an+1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2‬‬ ‫>‬ ‫‪2‬‬ ‫‪= an‬‬ ‫‪k=1‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪(n‬‬ ‫‪+‬‬ ‫)‪1‬‬ ‫‪k=1‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪k=1‬‬ ‫‪k‬‬ ‫
‬ ‫‪1 n‬‬ ‫‪ an = 1 +‬מונוטונית עולה‪.‬נבחין שלכל ‪:n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪.6‬הסדרה‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪n  n+1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫
‬ ‫
‬ ‫
‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1+ 1+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+ ··· + 1 +‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1+n 1+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪n+1+1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1· 1+‬‬ ‫≤‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫=‬ ‫‪n‬‬ ‫=‬ ‫‪=1+‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n+1‬‬ ‫‪n+1‬‬ ‫‪n+1‬‬ ‫‪n+1‬‬ ‫נעלה בחזקת ‪ n + 1‬ונקבל‪:‬‬ ‫‬ ‫‪n‬‬ ‫‬ ‫‪n+1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪an = 1 · 1 +‬‬ ‫≤‬ ‫‪1+‬‬ ‫‪= an+1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n+1‬‬ ‫כנדרש‪.‬‬ ‫משפט ‪.2.40‬סדרה מונוטונית תמיד מתכנסת במובן הרחב‪ ,‬ובפרט‪:‬‬ ‫‪.1‬אם הסדרה חסומה אז היא מתכנסת )לגבול סופי(‪.‬‬ ‫‪.2‬אם הסדרה לא חסומה מלעיל \ מלרע בהתאמה אז היא מתכנסת במובן הרחב ל‪ −∞/ + ∞-‬בהתאמה‪.‬‬ ‫הערות ‪:2.41‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪o‬‬ ‫‪.1‬בהוכחה רואים שאם הסדרה עולה וחסומה אז הגבול שלה הוא הסופרמום שלה ‪.sup an n ∈ N‬‬ ‫‪.2‬ברוב המקרים לא נדע לחשב את הגבול‪.‬‬ ‫הוכחה‪.‬‬ ‫ בה"כ נוכיח במקרה בו } ‪ {an‬עולה וחסומה‪.‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪o‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪o‬‬ ‫‪.α = sup an‬‬ ‫– מהנתון נסיק שלקבוצה ‪ an n ∈ N‬יש סופרמום‪ ,‬נסמן ‪n ∈ N‬‬ ‫– נוכיח כי ‪.limn→∞ an = α‬יהא ‪.ε > 0‬‬ ‫– לפי אפיון הסופרמום נסיק שיש ‪ an0‬עבורו ‪.α − ε < an0‬‬ ‫– נבחין שלכל ‪ n ≥ n0‬מתקיים ‪.an0 ≤ an0 +1 ≤ an0 +2 ≤ · · · ≤ an‬‬ ‫– בנוסף ‪ ,an ≤ α‬הרי ‪ α‬הוא הסופרמום‪.‬‬ ‫– סה"כ נקבל שלכל ‪ n > n0‬מתקיים ‪.α − ε < an0 ≤ an < α + ε‬‬ ‫‪16‬‬  ‫– כלומר ‪ |an − α| < ε‬ואז לפי ההגדרה סיימנו‪.‬‬ ‫‬ ‫דוגמה ‪:2.42‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪Pn‬‬ ‫= ‪ an‬עולה וחסומה‪ ,‬לכן מתכנסת‪.‬בקורס לא ניתן לחשב את הגבול )שהוא ‪.( π6‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪k=1 k2‬‬ ‫‪.1‬ראינו כי‬ ‫
‬ ‫‪1 n‬‬ ‫‪ an = 1 +‬עולה‪.‬נוכיח חסימות‪.‬ניקח ‪ k ∈ N‬ונבחין שמאי‪-‬שוויון הממוצעים מתקיים‪:‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪.2‬ראינו כי‬ ‫‬ ‫ ‪n‬‬ ‫‪k ! n+k‬‬ ‫‪1‬‬ ‫
‬ ‫
‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪n 1 + n1 + k 1 − k1‬‬ ‫‪n+1+k−1‬‬ ‫‪1+‬‬ ‫‪· 1−‬‬ ‫≤‬ ‫=‬ ‫‪=1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪n+k‬‬ ‫‪n+k‬‬ ‫לכן לכל ‪ 2 ≤ k ∈ N‬נקבל‪:‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪−k‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1+‬‬ ‫≤‬ ‫‪1−‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪k‬‬ ‫בפרט עבור ‪ k = 2‬נקבל שלכל ‪ n‬מתקיים‪:‬‬ ‫‬ ‫‪n‬‬ ‫‬ ‫‪−2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫= ‪an‬‬ ‫‪1+‬‬ ‫≤‬ ‫‪1−‬‬ ‫‪=4‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪2‬‬ ‫∼ ‪.e‬‬ ‫לפיכך ‪ an‬חסומה‪.‬סה"כ הסדרה עולה וחסומה‪ ,‬לכן מתכנסת‪.‬נסמן את הגבול שלה ע"י ‪= 2.71‬‬ ‫טענה ‪:2.43‬‬ ‫‬ ‫‪an‬‬ ‫‪. 1+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪an‬‬ ‫‪.1‬אם ∞ →‪ |an | −−−‬אז ‪−−−→ e‬‬ ‫∞→‪n‬‬ ‫∞→‪n‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪.2‬אם ‪ bn ̸= 0‬ושואפת לאפס אז ‪.(1 + bn ) bn −−−→ e‬‬ ‫∞→‪n‬‬ ‫הערה ‪ :2.44‬במקרה בו נתונה סדרה רקורסיבית שהיא מונוטונית וחסומה ניתן לחשב את הגבול‪.‬נפעל באופן הבא‪:‬‬ ‫‪.1‬מראים שהסדרה חסומה )בדרך כלל באינדוקציה ואפשר הפוך(‪.‬‬ ‫‪.2‬מראים שהסדרה מונוטונית )בדרך כלל באינדוקציה ואפשר הפוך(‪.‬‬ ‫‪.3‬מסיקים התכנסות מהמשפט‪.‬‬ ‫‪.4‬מחשבים את הגבול בעזרת כלל הרקורסיה ותכונות נוספות‪.‬‬ ‫(‬ ‫‪a1 = 2‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫מתכנסת ונחשב את הגבול‪.‬‬ ‫√‬ ‫דוגמה ‪ :2.45‬נוכיח כי‬ ‫‪an+1 = 2an − 1 n ≥ 1‬‬ ‫ הסדרה יורדת‪ ,‬נוכיח באינדוקציה על ‪:n‬‬ ‫√‬ ‫√‬ ‫= ‪.a2‬‬ ‫= ‪2a1 − 1‬‬ ‫– בסיס‪ :‬עבור ‪ n = 1‬נקבל ‪3 < 2 = a1‬‬ ‫‪17‬‬  ‫– שלב‪ :‬נניח ‪ an ≥ an+1‬ונוכיח ‪:an+1 ≥ an+2‬‬ ‫‪p‬‬ ‫√‬ ‫= ‪an+2‬‬ ‫‪2an+1 − 1 ≤ 2an − 1 = an+1‬‬ ‫ הסדרה חסומה‪ :‬הסדרה בבירור אי‪-‬שלילית‪ ,‬לכן חסומה מלרע ע"י ‪.0‬ראינו שהיא יורדת ולכן סה"כ חסומה‪.‬‬ ‫ מהמשפט נסיק שהסדרה מתכנסת‪ ,‬נסמן ‪.limn→∞ an = L‬‬ ‫– נבחין כי לכל ‪ n‬מתקיים‪:‬‬ ‫√‬ ‫√‬ ‫‪an+1 = 2an − 1 ⇒ L = 2L − 1‬‬ ‫}‪|{z‬‬ ‫} √‪| {z‬‬ ‫∞→‪−n‬‬ ‫∞→‪−−→L −n‬‬ ‫‪−−→ 2L−1‬‬ ‫√‬ ‫= ‪ L‬ולכן גם את ‪.L = 1 ⇔ (L − 1)2 = 0 ⇔ L2 = 2L − 1‬‬ ‫– נסיק שהגבול פותר את המשוואה ‪2L − 1‬‬ ‫– לסיכום הסדרה שואפת ל‪.L = 1-‬‬ ‫‪ 2.3‬תת‪-‬סדרות‬ ‫הגדרה ‪ :2.46‬תת‪-‬סדרה של סדרה נתונה } ‪ {an‬היא סדרה } ‪ {ank‬כאשר · · · < ‪ n1 < n2 < n3‬היא סדרה עולה ממש של מספרים‬ ‫טבעיים‪.‬‬ ‫הערה ‪ :2.47‬נובע בקלות כי ‪ k ≤ nk‬לכל ‪.k ∈ N‬‬ ‫דוגמה ‪:2.48‬‬ ‫‪.1‬לכל סדרה ניתן לקחת את תת‪-‬הסדרה של האינדקסים הזוגיים ותת הסדרה של האינדקסים האי‪-‬זוגיים‪.‬כלומר עבור } ‪{an‬‬ ‫ניקח את תת הסדרות } ‪ ,{ank =2k } , {ank =2k+1‬נהוג לרשום } ‪.{a2n } , {a2n+1‬למשל עבור ‪ an = (−1)n‬נקבל‪a2n = :‬‬ ‫‪.(−1)2n = 1, a2n+1 = (−1)2n+1 = −1‬‬ ‫√‬ ‫√‬ ‫‪.2‬לסדרה ‪ an = n‬יש תת‪-‬סדרה שהיא ‪.bn = n‬אכן‪.an2 = n2 = |n| = n = bn :‬‬ ‫הגדרה ‪ :2.49‬תהא } ‪ {ank‬תת‪-‬סדרה של } ‪ {an‬אם ‪ ank −−−→ L‬אז נאמר כי ‪ L‬הוא גבול חלקי של } ‪.{an‬‬ ‫∞→‪k‬‬ ‫הערה ‪ :2.50‬מגדירים גם גבול חלקי במובן הרחב‪.‬‬ ‫דוגמה ‪:2.51‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a2n = (−1)2n = 1 −−−→ 1‬‬ ‫לכן ‪ ±1‬הם גבולות חלקיים של } ‪.{an‬‬ ‫∞→‪n‬‬ ‫‪.1‬עבור ‪ an = (−1)n‬נבחין כי‬ ‫)‪a2n+1 = (−1‬‬ ‫‪2n+1‬‬ ‫‪= −1 −−−→ −1‬‬ ‫∞→‪n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a2n+1 = (−1)2n+1 (2n + 1) + (2n + 1) = 0 −−−→ 0‬‬ ‫לכן ∞ ‪ 0,‬הם גבולות‬ ‫∞→‪n‬‬ ‫‪.2‬עבור ‪ an = (−1)n n + n‬נבחין כי‬ ‫∞ →‪a2n = (−1)2n 2n + 2n = 4n −−−‬‬ ‫∞→‪n‬‬ ‫חלקיים במובן הרחב‪.‬‬ ‫משפט ‪.2.52‬אם סדרה מתכנסת לגבול ‪ L‬אז כל תת‪-‬סדרה שלה מתכנסת גם כן ל‪.L-‬‬ ‫‪18‬‬  ‫הערות ‪:2.53‬‬ ‫‪.1‬המשפט נכון גם במובן הרחב‪.‬‬ ‫‪.2‬מהשלילה הלוגית נסיק שאם יש שני גבולות חלקיים שונים אז הסדרה מתבדרת‪.‬‬ ‫משפט ‪).2.54‬אי‪-‬שוויון ברנולי( לכל ‪ −1 ≤ x‬ולכל ‪ n ∈ N‬מתקיים ‪.(1 + x)n ≥ 1 + nx‬‬ ‫‬ ‫הוכחה‪.‬באינדוקציה על ‪.n‬‬ ‫טענה ‪ :2.55‬לכל )‪ a ∈ (0, 1‬מתקיים ‪.limn→∞ an = 0‬‬ ‫הוכחה‪.‬לכל ‪:n‬‬ ‫‪ n‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫}‪0 < |{z‬‬ ‫}‪|{z‬‬ ‫‪a‬‬ ‫=‬ ‫‪n‬‬ ‫‪=‬‬ ‫≤ ‪n‬‬ ‫
‬ ‫∞→‪−n‬‬ ‫∞→‪−−→0 −n‬‬ ‫‪−−→0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1 + n a1 − 1‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫|‬ ‫‪{z‬‬ ‫}‬ ‫‪1 + − 1 ‬‬ ‫∞→‪−n‬‬ ‫‪−−→0‬‬ ‫} ‪|a {z‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‬ ‫קיבלנו ‪ limn→∞ an = 0‬כנדרש‪.‬‬ ‫משפט ‪.2.56‬אם } ‪ {an‬שואפת ל‪ L-‬אז כל תת‪-‬סדרה שלה שואפת גם ל‪.L-‬‬ ‫הוכחה‪.‬‬ ‫ תהא } ‪ {ank‬תת‪-‬סדרה‪ ,‬נוכיח לפי ההגדרה כי ‪.limk→∞ ank = L‬‬ ‫ יהא ‪ ,ε > 0‬נתון כי ‪ ,limn→∞ an = L‬לכן לכל ‪ ε′ > 0‬ובפרט ‪ ε′ = ε‬יש ‪ N ′ ∈ N‬כך שלכל ‪ n > N ′‬מתקיים ‪.|an − L| < ε′‬‬ ‫ נבחר ‪ N = N ′‬ואז לכל ‪ k > N = N ′‬נקבל ‪.|ank − L| < ε′ = ε‬כזכור לכל ‪ k‬מתקיים ‪ ,nk ≥ k‬לכן אם ‪k > N = N ′‬‬ ‫אז ‪.nk > N ′‬‬ ‫‬ ‫הערות ‪:2.57‬‬ ‫‪.1‬המשפט נכון גם במובן הרחב‪.‬‬ ‫‪.2‬נסיק שאם לסדרה יש שני גבולות חלקיים שונים )לפחות( אז היא מתבדרת במובן הרחב‪.‬‬ ‫‪.3‬אפיון שימושי של גבולות חלקיים הוא‪ L :‬גבול חלקי של ‪ ⇔ an‬לכל ‪ ε > 0‬הסביבה )‪ (L − ε, L + ε‬מכילה אינסוף מאיברי‬ ‫הסדרה‪.‬‬ ‫משפט ‪).2.58‬בולצאנו‪-‬ויירשטראס( לכל סדרה חסומה יש תת‪-‬סדרה מתכנסת‪.‬‬ ‫הערות ‪:2.59‬‬ ‫‪.1‬ההוכחה מסתמכת על הלמה של קנטור‪:‬‬ ‫ נניח } ‪ {an } , {bn‬סדרות המקיימות ‪ 2‬תנאים‪:‬‬ ‫– לכל ‪.an ≤ an+1 ≤ bn+1 ≤ bn :n‬‬ ‫‪19‬‬  ‫– ‪.bn − an −−−→ 0‬‬ ‫∞→‪n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪an −−−→ c‬‬ ‫‪.‬‬ ‫∞→‪n‬‬ ‫ אז יש ‪ c ∈ R‬יחידה עבורה‪:‬‬ ‫‪bn −−−→ c‬‬ ‫∞→‪n‬‬ ‫‪.2‬גישה נוספת )יש להוכיח בנפרד( היא להוכיח טענת עזר‪" :‬לכל סדרה יש תת‪-‬סדרה מונוטונית" ואז להשתמש במשפט קודם‪.‬‬ ‫משפט ‪.2.60‬תהא ‪ an‬סדרה חסומה ונסמן }} ‪.L = {Every sub-limit of {an‬לפי בולצאנו‪-‬ויירשטראס ‪.L ̸= ϕ‬כמו כן‪ L ,‬חסומה‪.‬‬ ‫נוכיח חסימות מלעיל‪.‬‬ ‫הוכחה‪.‬‬ ‫ יהא ‪ M ∈ R‬חסם מלעיל של } ‪ {an‬וניקח ‪.L ∈ L‬‬ ‫ אז יש תת‪-‬סדרה } ‪ {ank‬השואפת ל‪.L-‬‬ ‫ ברור כי ‪ ank ≤ M‬לכל ‪) k‬הרי ‪ M‬חסם של ‪ an‬ובפרט של ‪.(ank‬‬ ‫ לכן‪ ,‬מסדר בין גבולות נסיק ש‪.L ≤ M -‬‬ ‫ סה"כ ‪ L‬לא ריקה וחסומה‪ ,‬לכן יש לה סופרימום ואינפימום‪.‬‬ ‫‬ ‫הערות ‪:2.61‬‬ ‫‪.1‬נסמן‪:‬‬ ‫ גבול עליון ‪.sup L = limn→∞ sup an = limn→∞ an -‬‬ ‫ גבול תחתון ‪.inf L = limn→∞ inf an = limn→∞ an -‬‬ ‫‪.2‬מכלילים לסדרות לא חסומות‪.‬בפרט‪ ,‬אם ‪ an‬לא חסומה מלעיל אז ∞ = ‪.limn→∞ sup an‬‬ ‫‪.3‬מכלילים לסדרות לא חסומות‪.‬בפרט‪ ,‬אם ‪ an‬לא חסומה מלרע אז ∞‪.limn→∞ inf an = −‬‬ ‫‪.4‬כללי האריתמטיקה לא תקפים‪.‬‬ ‫דוגמה ‪.an = (−1)n , bn = (−1)n+1 :2.62‬‬ ‫ברור כי ‪ limn→∞ sup an = limn→∞ sup bn = 1‬וגם ‪.limn→∞ sup (an + bn ) = 0‬‬ ‫אבל ‪.limn→∞ sup (an + bn ) = 0 < limn→∞ sup an + limn→∞ sup bn = 2‬‬ ‫‪.5‬אם ‪ an‬מתכנסת אז ‪.limn→∞ sup an = limn→∞ inf an = limn→∞ an‬‬ ‫‪.6‬למעשה‪ ,‬עבור סדרות חסומות נקבל‪ {an } ⇔ limn→∞ sup an = limn→∞ inf an :‬מתכנסת ⇔ יש ל‪ {an }-‬גבול חלקי יחיד‪.‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪o‬‬ ‫‪.7‬עבור סדרה חסומה מתקיים ‪.sup an n ∈ N ≥ limn→∞ sup an‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪o‬‬ ‫‪.8‬עבור סדרה חסומה מתקיים ‪.inf an n ∈ N ≤ limn→∞ inf an‬‬ ‫‪20‬‬  ‫‪.9‬מכלילים את מבחן המנה והשורש‪:‬‬ ‫‪p‬‬ ‫ )מבחן שורש( אם ‪ limn→∞ sup n |an | = q‬ו‪ q < 1-‬אז ‪.an −−−→ 0‬‬ ‫∞→‪n‬‬ ‫‪p‬‬ ‫ )מבחן שורש( אם ‪ limn→∞ inf n |an | = q‬ו‪ q > 1-‬אז ∞ →‪.an −−−‬‬ ‫∞→‪n‬‬ ‫‪ limn→∞ sup‬ו‪ q < 1-‬אז ‪.an −−−→ 0‬‬ ‫‪an+1‬‬ ‫‪an‬‬ ‫ )מבחן המנה( אם ‪= q‬‬ ‫∞→‪n‬‬ ‫‪ limn→∞ inf‬ו‪ q > 1-‬אז ∞ →‪.an −−−‬‬ ‫‪an+1‬‬ ‫‪an‬‬ ‫ )מבחן המנה( אם ‪= q‬‬ ‫∞→‪n‬‬ ‫טענה ‪ :2.63‬תהא } ‪ {an‬סדרה חסומה אז לכל ‪ ε > 0‬מתקיים ‪.∃N ∈ N, ∀n > N, an ≤ limn→∞ sup an + ε‬‬ ‫‪21‬‬  ‫‪ 3‬פונקציות‬ ‫מבוא‬ ‫‪3.1‬‬ ‫הגדרה ‪ :3.1‬תהיינה ‪ ,A, B ⊆ R‬פונקציה ‪ f‬מ‪ A-‬ל‪ B-‬היא התאמה חד‪-‬ערכית אשר מתאימה לכל ‪ x ∈ A‬איבר יחיד ‪.y ∈ B‬‬ ‫סימון ‪.f (x) = y ,f : A → B :3.2‬‬ ‫הערה ‪ :3.3‬כברירת מחדל ‪.B = R‬כמו כן ‪ A‬הוא התחום המקסימלי בו כלל ההתאמה תקף‪.‬‬ ‫√‬ ‫‪f (x) = 1 − x2‬‬ ‫‪f (x) = x1‬‬ ‫פונקציה ‪f (x) = x2‬‬ ‫דוגמה ‪:3.4‬‬ ‫]‪[−1, 1‬‬ ‫‪R/ {0} , x ̸= 0‬‬ ‫‪R‬‬ ‫ת"ה‬ ‫הגדרה ‪ :3.5‬תהא ‪ ,f : A → B‬לכל ‪ x ∈ A‬האיבר ‪ f (x) ∈ B‬נקרא התמונה של ‪.x‬‬ ‫לכל ‪ ,y ∈ B‬אם יש ‪ x ∈ A‬כך שמתקיים ‪ f (x) = y‬אז נאמר כי ‪