Matemáticas Actuariales: Fórmulas Clave

Introducción a los Seguros y Anualidades

• La teoría del interés mide el valor del dinero en el tiempo, utilizando factores de descuento y acumulación para calcular el valor presente (VP) y el valor futuro (VF) de los pagos.
• Las tasas de descuento (d) y la fuerza de interés (δ) son conceptos clave en estos cálculos.
• Las anualidades pueden ser anticipadas o vencidas, dependiendo de cuándo se realizan los pagos.
• Se utilizan fórmulas específicas para calcular el valor presente y futuro de anualidades anticipadas y vencidas.
• Al usar una tasa continua se simplifican los cálculos del valor presente a futuro a traves de una formula.
• Los datos relevantes incluyen la tasa de interés (i), periodicidad, monto, temporalidad y certeza de los pagos.
• El valor presente actuarial (VPA) es la suma del valor presente de los posibles escenarios de pago, ponderados por su probabilidad de ocurrencia.

Tipos de Seguros de Vida

• Seguro OV: Paga al morir el asegurado.
• Temporal: Paga si el asegurado muere dentro de un período específico (n años).
• Dotal Puro: Paga si el asegurado sobrevive al final de un período específico (n años).
• Dotal Mixto: Combina características del seguro temporal y el dotal puro, pagando ya sea por fallecimiento dentro del plazo o por supervivencia al final del mismo.

Variables Aleatorias en Modelos de Sobrevivencia

Variables Aleatorias

• Una variable aleatoria asigna números a eventos posibles, aunque estos sean aleatorios.
• En el contexto de seguros de vida, se pueden utilizar variables aleatorias para modelar la supervivencia y la muerte.
• La función de probabilidad o densidad (f(x)) muestra la probabilidad de que la variable aleatoria tome un valor específico.
• Se presenta la función de distribución acumulada o probabilidad acumulada (F(x)), que muestra la probabilidad de que la variable aleatoria tome un valor menor o igual a un valor dado.

Esperanza

• La esperanza es el valor más probable de una variable aleatoria.
• Se calcula como el "promedio ponderado" del valor de la variable aleatoria por su probabilidad.

Variable Aleatoria X y Modelos de Mortalidad

• X es una variable aleatoria continua que representa la edad a la muerte de un recién nacido (r.n.).
• La función de mortalidad (f.d.a) es Fx(x) es la probabilidad de que un r.n. muera antes de la edad x.
• La función de supervivencia Sx(x) es probabilidad de que un r.n. muera después de la edad x
• Se introduce el concepto de la probabilidad de fallecimiento diferida, que calcula la probabilidad de que un r.n. muera entre dos edades específicas
• La esperanza de vida es la edad esperada de muerte de un r.n., calculada mediante integrales que involucran la función de mortalidad.
• Se define la esperanza de vida temporal como la edad esperada a la muerte de un r.n. si se trunca la edad máxima a n años.

Función de Densidad y Fuerza de Mortalidad

• La función de densidad representa la probabilidad de que un r.n. muera exactamente a una edad x.
• La fuerza de mortalidad es una medida de la tasa instantánea de mortalidad a una edad x, dado que ya se ha alcanzado esa edad.
• Se presentan fórmulas para calcular la fuerza de mortalidad a partir de las funciones de supervivencia y mortalidad.

Variable Aleatoria T(x)

• T(x) es una variable aleatoria continua del tiempo futuro de vida de una persona de edad x.
• La función de fallecimiento FT(x)(t) es la probabilidad de que una persona muerda antes del tiempo t.
• La función de la probabilidad de que (x) sobreviva por lo menos a edad x+t.
• Se define la fuerza de mortalidad y la probabilidad de que (x) muera exactamente a edad x+t, dado que ya sobrevivió a esa edad.
• Se introduce la esperanza del tiempo futuro de vida.
• Se describe la probabilidad de fallecimiento diferida y la probabilidad condicional.

Variable Aleatoria K(X)

• K(x) es una variable aleatoria discreta del tiempo futuro de vida de una persona de edad x.
• Se define función de densidad, función de fallecimiento y función de sobrevivencia.
• Se introducen las definiciones de Experanza de vida y su variable Temporal.

Leyes Analíticas de Mortalidad

Ley de De Moivre

• Distingue una distribución uniforme de muertes.
• Expresa una distribución en la cual las muertes se distribuyen de manera uniforme a lo largo de la vida.
• Presenta funciones y formulas referentes a esta ley

Fuerza Constante de Mortalidad (FCM)

• Modela en un entorno de fuerza de mortalidad constante.
• Se asume una fuerza constante de mortalidad, lo que simplifica los cálculos.

Otras Leyes Analíticas de Mortalidad

Ley de Gompertz

• Modela la supervivencia humana.
• Utiliza una función exponencial para describir cómo la tasa de mortalidad aumenta con la edad.

Ley de Makeham

• Modela la supervivencia humana y añade un riesgo adicional.
• Extiende la ley de Gompertz incluyendo un término constante para modelar riesgos independientes de la edad.

Distribución de Weibull

• Modela la supervivencia de objetos inanimados.
• Utiliza una forma diferente para modelar la tasa de mortalidad.

Distribución Beta

• Ajusta la uniforme
• Aproximación a lo uniforme con un índice.

Tablas de Mortalidad

Elementos

• Son herramientas fundamentales en el cálculo actuarial, proporcionando datos sobre tasas de mortalidad.
• Incluye edad (x), número de vivos a edad x (lx), número de muertes entre x y x+1 (dx), probabilidad de muerte entre x y x+1 (qx), probabilidad de que (x) sobreviva a (x+1) (px) y esperanza de vida (ex).
• Características de los grupos en las tablas de mortalidad:
• Grupo Inicial
• Grupo cerrado
• Sujetos a tasas específicas de mortalidad.

Modelos de Seguros

Repaso de Seguros

• OV: Paga a la muerte.
• Temporal: Paga a la muerte antes de n.
• DP: Paga si sobrevive a n.
• DM: Temporal + DP.

Valor Presente Actuarial

• Es la suma del valor presente de todos los escenarios de pago multiplicados por su probabilidad.
• Se ejemplifica el calculo del VPA, y los seguros son pagaderos al final del año de la muerte (Discretos)

Seguros Diferidos

• OV diferido n años: La cobertura empieza a cubrir en n años.
• Temporal a m años diferido n años: Comienza a cubrir a los n años, y cubre por m años después de ese momento.
• Se detallan los procesos de la fórmula y como funcionan los intervalos.

Modelos de Seguros Continuos

• Se enfoca en seguros pagaderos al momento de la muerte.
• Presenta notación clave:
• Z: va. continua del VP de una indemnización.
• bt: beneficio en T.
• V: factor de descuento (v=e-δt)
• T(x): la va. continua del tiempo futuro de vida de (x).

Ordinario de vida

• Modelos con y sin beneficio variable.
• Se discuten modelos con y sin beneficios variables, junto con sus respectivas fórmulas integrales.

Anualidades Contingentes

Anualidades Discretas

• Pensiones
• Contingente de Sobrevivencia
• Crédito hipotecario (Que se pueda pagar y que sobreviva)
• Modelo temporalmente a 5 años en anticipación.
• Se destaca la nota clave de seguros (Ax)
• Se discute el valor presente del V.P. de una anualidad contingente anticipada
• Se discute el significado de "m"
• Se detalla la anualidad temporal a "n" años

Anualidades Ciertas

• Se enfoca ahora a la continuidad en Anualidades
• Paga una anualidad de forma contínua a razón anual
• Modela cómo la función tiende a infinito

Anualidad Vitalicia Continua

• Se detallan las fórmulas con sus simbolos, lo que permite usar los conceptos básicos, pero con una tasa contínua.
• Tasa normal
• Y Tasa contínua

Anualidades Con tasa Diferida y Tasa Temporal

• Estas abarcan nuevos escenarios en el tema de inversiones con sus respectivas nuevas herramientas.

Este cuestionario explora fórmulas esenciales en matemáticas actuariales, incluyendo factores de descuento, tasas de interés nominales y anualidades. También abarca seguros temporales, seguros dotal puros y la función de distribución acumulada.