Calcul des Taux de Variation en Maths

Le taux de variation moyen (TVM) d'une fonction représente la pente de la droite sécante entre deux points sur la courbe de la fonction. Il mesure le changement moyen de la fonction sur l'intervalle entre ces deux points.

La formule du TVM est : TVM[𝑥, 𝑥 + ∆𝑥] = (𝑓(𝑥 + ∆𝑥) - 𝑓(𝑥)) / ∆𝑥

Le TVM correspond à la variation moyenne de la fonction 𝑓(𝑥) entre les points 𝑥 et 𝑥 + ∆𝑥.

Si ∆𝑥 est réduit de manière significative, le TVM se rapproche de la pente de la tangente au point 𝑥. Cela signifie que le TVM donne une meilleure approximation du taux de variation instantané au point 𝑥.

La pente de la droite sécante entre deux points est une mesure du taux de variation moyen de la fonction entre ces deux points. La pente peut être positive, négative ou nulle, indiquant respectivement une augmentation, une diminution ou une constante de la fonction.

Pour calculer le TVM, il faut déterminer les coordonnées de deux points sur la courbe de la fonction et ensuite utiliser la formule : pente = (𝑦₂ - 𝑦₁) / (𝑥₂ - 𝑥₁)

Le TVM est utilisé pour déterminer le changement moyen d'une fonction sur un intervalle donné. Il peut être utilisé pour analyser des données, telles que la vitesse moyenne d'un véhicule ou le taux de croissance d'une population.

Le TVM est un concept important en mathématiques et en sciences, car il permet de comprendre comment les fonctions changent dans le temps ou en fonction d'autres variables.

La dérivée d’ordre supérieur représente le taux de variation de la dérivée précédente. Par exemple, la dérivée seconde représente le taux de variation de la dérivée première.

La notation de Leibniz permet de représenter les dérivées en utilisant des symboles différentiels. Par exemple, la dérivée première de 𝑓(𝑥) est notée 𝑑𝑓/𝑑𝑥.

La notation de Newton permet de représenter les dérivées en utilisant des apostrophes. Par exemple, la dérivée première de 𝑓(𝑥) est notée 𝑓′(𝑥).

L'équation de la droite tangente à un point de la courbe d'une fonction est donnée par 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏, où 𝑚 est la pente de la tangente (égale à la valeur de la dérivée à la tangente).

L'équation de la droite normale à un point de la courbe d'une fonction est donnée par 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏, où 𝑚 est la pente de la normale (égale à la valeur de la dérivée à la normale multipliée par -1).

La règle de la chaîne est une formule de dérivation qui permet de trouver la dérivée d'une fonction composée. Elle s'applique lorsqu'une fonction est imbriquée dans une autre fonction.

La dérivée d'une fonction composée 𝑓(𝑥) = 𝑔(ℎ(𝑥)) est donnée par la formule: 𝑓'(𝑥) = 𝑔'(ℎ(𝑥)) * ℎ'(𝑥).

La dérivée d'une fonction de la forme 𝑓(𝑥) = 𝑢(𝑥)ⁿ est donnée par la formule: 𝑓'(𝑥) = 𝑛𝑢(𝑥)ⁿ⁻¹ * 𝑢'(𝑥).

La dérivée d'une fonction de la forme 𝑓(𝑥) = sin(𝑢(𝑥)) est donnée par la formule: 𝑓'(𝑥) = cos(𝑢(𝑥)) * 𝑢'(𝑥).

La dérivée d'une fonction de la forme 𝑓(𝑥) = ln(𝑢(𝑥)) est donnée par la formule: 𝑓'(𝑥) = 1/𝑢(𝑥) * 𝑢'(𝑥).

La dérivée d'une fonction de la forme 𝑓(𝑥) = 𝑒^(𝑢(𝑥)) est donnée par la formule: 𝑓'(𝑥) = 𝑒^(𝑢(𝑥)) * 𝑢'(𝑥)

La dérivée d'une fonction de la forme 𝑓(𝑥) = tan(𝑢(𝑥)) est donnée par la formule: 𝑓'(𝑥) = sec²(𝑢(𝑥)) * 𝑢'(𝑥).

La dérivée d'une fonction de la forme 𝑓(𝑥) = log(𝑢(𝑥)) est donnée par la formule: 𝑓'(𝑥) = 1/(𝑢(𝑥) * ln(𝑎)) * 𝑢'(𝑥), où 𝑎 est la base du logarithme.

La dérivation implicite est une technique utilisée pour trouver la dérivée d'une fonction implicite, c'est-à-dire une fonction où la variable dépendante n'est pas exprimée explicitement en fonction de la variable indépendante.

Lorsqu'on effectue une dérivation implicite, on dérive chaque terme de l'équation par rapport à la variable indépendante, en utilisant la règle de dérivation des fonctions composées.

Dans une équation implicite, on peut résoudre pour la dérivée en isolant la variable d𝑦/d𝑥 après avoir dérivé chaque terme de l'équation par rapport à la variable indépendante et en utilisant la règle de la chaîne.

La dérivation logarithmique est une technique utilisée pour trouver la dérivée de fonctions complexes avec des exposants variables ou lorsque la variable est à la fois dans la base et l'exposant d'une fonction exponentielle.

On commence par prendre le logarithme naturel de chaque côté de l'équation pour simplifier l'expression et faciliter la dérivation.

On utilise les propriétés des logarithmes pour simplifier l'expression et faciliter la dérivation.

Après la dérivation implicite, on multiplie l'équation par l'expression originale pour isoler la dérivée.

La dérivation logarithmique consiste à appliquer le logarithme naturel aux deux côtés de l'équation de la fonction et à ensuite dériver implicitement.

Un problème de taux liés est un scénario où l'on cherche à connaître le taux de variation d'une variable par rapport au temps en fonction des taux de variation d'autres variables.

Pour résoudre un problème de taux liés, il faut identifier toutes les variables impliquées, leurs taux de variation et la relation mathématique entre elles.

La dérivée d'une fonction représente son taux de variation instantané.

Un problème de taux liés peut impliquer des variables telles que le volume, la surface, la distance, la vitesse, etc.

La dérivée de l'équation qui relie les variables permet de trouver le lien entre leurs taux de variation.

L'analyse des taux de variation permet de comprendre comment les différentes variables changent dans le temps et comment elles interagissent.

La hauteur du cône augmente à une vitesse constante de 2 m/min.

Le volume du cône change en fonction de sa hauteur.

Le volume du cône change en fonction de la hauteur, qui change avec le temps.

La hauteur du cône est de 3 m.

Le volume du cône change en fonction de la hauteur.

Le taux de variation du volume est positif.

La hauteur du cône est égale au diamètre.

Le volume d'un cône est donné par 1/3 π * rayon² * hauteur.