Απομαγνητοφώνηση Βίντεο Απόλυτη Τιμή PDF

Αν βλέπετε μια ταινία και κάποιος προσπαθεί να κάνει \"φανταχτερά\" μαθηματικά σε έναν πίνακα, σχεδόν πάντα θα δείτε ένα σύμβολο που είναι κάπως έτσι. Αυτό το σύμβολο του \"ριζικού\". Χρησιμοποιούμε την \"τετραγωνική ρίζα\" και όπως θα δούμε και άλλους τύπους ριζών. Το ερώτημα, όμως, είναι : Τι πραγ...

Αν βλέπετε μια ταινία και κάποιος προσπαθεί να κάνει \"φανταχτερά\" μαθηματικά σε έναν πίνακα, σχεδόν πάντα θα δείτε ένα σύμβολο που είναι κάπως έτσι. Αυτό το σύμβολο του \"ριζικού\". Χρησιμοποιούμε την \"τετραγωνική ρίζα\" και όπως θα δούμε και άλλους τύπους ριζών. Το ερώτημα, όμως, είναι : Τι πραγματικά σημαίνει αυτό το πράγμα; Και τώρα που γνωρίζουμε μερικά πράγματα για τους εκθέτες μπορούμε να δούμε ότι το σύμβολο της \"τετραγωνικής ρίζας\", ή της \"ρίζας\", ή το \"ριζικό\", όπως λέγεται, δεν είναι δύσκολο να το καταλάβει κάποιος. Ας δούμε, λοιπόν ένα παράδειγμα. Γνωρίζουμε ότι το 3 στη δευτέρα, ή αλλιώς το 3 στο τετράγωνο, είναι τι; Είναι ίσο με 3 επί 3, άρα θα είναι 9. Τι θα γινόταν όμως αν ακολουθούσαμε τον αντίθετο δρόμο; Τι θα γινόταν αν ξεκινούσαμε από το 9 και λέγαμε: Ποιος αριθμός πολλαπλασιασμένος με τον εαυτό του μας δίνει 9; Εδώ ξέρουμε ότι η απάντηση είναι το 3, αλλά θα μπορούσαμε να έχουμε ένα σύμβολο που μας το λέει αυτό; Όπως λοιπόν φαντάζεστε, αυτό το σύμβολο θα είναι το ριζικό. Άρα, θα μπορούσαμε να γράψουμε: Η τετραγωνική ρίζα του 9. Και όταν το βλέπουμε έτσι λέμε: Ποιο πράγμα υψωμένο στο τετράγωνο μας κάνει 9; Και θα λέγαμε ότι αυτό είναι ίσο με 3. Και θέλω να κοιτάξετε προσεκτικά αυτές τις δύο εξισώσεις εδώ, διότι αυτή είναι η ουσία του συμβόλου της τετραγωνικής ρίζας. \'Όταν λέμε \"η τετραγωνική ρίζα\", ουσιαστικά λέμε \"ποιο πράγμα πολλαπλασιασμένο με τον εαυτό του μας κάνει 9\". Αυτό, λοιπόν, θα είναι το 3. Και εδώ το 3 στο τετράγωνο μας κάνει 9. Μπορώ να το κάνω ξανά αυτό, μπορώ να το κάνω πολλές φορές. Μπορώ να γράψω : 4 στο τετράγωνο είναι ίσο με 16, ποια είναι ,λοιπόν, η τετραγωνική ρίζα του 16; Θα είναι ίση με 4. Ας το ξανακάνω και ας ξεκινήσω με την τετραγωνική ρίζα. Ποια είναι η τετραγωνική ρίζα του 25; Είναι ο αριθμός που πολλαπλασιασμένος με τον εαυτό του μας κάνει 25, ή αλλιώς ο αριθμός που υψωμένος στο τετράγωνο μας κάνει 25. Ποιος είναι , λοιπόν, αυτός ο αριθμός; Είναι το 5. Γιατί; Επειδή ξέρουμε ότι το 5 στο τετράγωνο είναι ίσο με 25. Τώρα, ξέρω ότι μερικοί από σας μπορεί να νιώθετε κάπως περίεργα\... Επειδή, αν έπαιρνα το -3 και το ύψωνα στο τετράγωνο, πάλι θα είχα +9. Και το ίδιο αν έπαιρνα το -4, πάλι θα είχα +16 και το ίδιο για το -5, θα μου έδινε +25. Γιατί λοιπόν αυτή εδώ η τετραγωνική ρίζα δεν μπορεί να είναι 3 ή -3; Ανάλογα με το ποιον μιλάτε, αυτή είναι μια εύλογη απορία. Όταν βλέπετε ένα ριζικό όπως εδώ, αυτό συνήθως αναφέρεται ως \"βασική\" ή \"θετική\" τετραγωνική ρίζα. Αν θέλουμε την αρνητική τετραγωνική ρίζα, τότε θα αναφερθούμε στην \"αρνητική\" τετραγωνική ρίζα, η οποία εδώ θα είναι ίση με -3. Και το ενδιαφέρον εδώ είναι ότι αν υψώσουμε στο τετράγωνο και τις δυο πλευρές αυτής της εξίσωσης, τι έχουμε; Τα αρνητικά στο τετράγωνο γίνονται θετικά και έχουμε τετραγωνική ρίζα του 9 στο τετράγωνο που μας κάνει 9 και -3 στο τετράγωνο είναι -3 επί -3 που μας κάνει 9, άρα αυτό είναι σωστό· 9 ίσον 9. Αυτό , λοιπόν, είναι ενδιαφέρον και ας το γράψω λίγο πιο αλγεβρικά. Εάν γράψουμε: η θετική ρίζα του 9 είναι ίση με χ, αφού είναι κοινή μαθηματική συνθήκη να βλέπουμε το ριζικό ως την θετική τετραγωνική ρίζα. Άρα, λοιπόν, υπάρχει μόνο ένα χ το οποίο ικανοποιεί αυτήν την ισότητα και είναι το χ ίσο με 3. Από την άλλη, αν γράψω το χ στο τετράγωνο είναι ίσο με 9, αυτό θα είναι λίγο διαφορετικό. Το χ ίσο με 3 σίγουρα ικανοποιεί την ισότητα, άρα το χ θα μπορούσε να είναι 3. Αλλά το χ θα μπορούσε να είναι και -3, αφού και το -3 ικανοποιεί την ισότητα διότι -3 στο τετράγωνο είναι ίσο με 9. Άρα αυτές οι δύο προτάσεις είναι σχεδόν ισοδύναμες, αλλά όχι πλήρεις, αφού στη δεύτερη υπάρχουν δύο χ που την ικανοποιούν, ενώ στην πρώτη μόνον ένα, επειδή αυτή είναι η θετική τετραγωνική ρίζα. Αν κάποιος ήθελε να γράψει κάτι ισοδύναμο, με δύο χ να την ικανοποιούν, μπορεί να βλέπατε κάτι τέτοιο: συν ή πλην τετραγωνική ρίζα του 9 είναι ίση με χ και τώρα το χ θα μπορούσε να είναι συν ή πλην 3. Ήδη ξέρουμε λίγα πράγματα για τις τετραγωνικές ρίζες. Για παράδειγμα αν πω ότι το 7 στο τετράγωνο είναι ίσο με 49, αυτό ισοδυναμεί με το να πω ότι το 7 είναι η τετραγωνική ρίζα του 49. Η τετραγωνική ρίζα ουσιαστικά αναιρεί το τετράγωνο. Μπορούμε να το γράψουμε και έτσι: Η τετραγωνική ρίζα του 49 (δηλαδή ο αριθμός που αν τον πολλαπλασιάσουμε με τον εαυτό του μας δίνει 49) στο τετράγωνο είναι ίση με 49. Και αυτό ισχύει για κάθε αριθμό, όχι μόνο για το 49. Αν πάρω την τετραγωνική ρίζα του χ και την υψώσω στο τετράγωνο θα είναι ίση με χ. Και αυτό θα ισχύει για κάθε χ, για το οποίο μπορούμε να πάρουμε την τετραγωνική του ρίζα. Τυπικά, αν και όσο προχωράτε στα μαθηματικά, θα δείτε ότι αυτό θα αλλάξει, το χ θα πρέπει να είναι μη αρνητικό. Για την θετική τετραγωνική ρίζα θα υποθέτουμε ότι οτιδήποτε υπάρχει κάτω από το ριζικό θα είναι μη αρνητικό. Επειδή για τους πραγματικούς αριθμούς, είναι αδύνατο να τους υψώσουμε στο τετράγωνο και να πάρουμε έναν αρνητικό αριθμό. Άρα για να ορίζεται αυτή η ποσότητα, για να έχει νόημα, είναι σύνηθες να λέμε ότι πρέπει να βάλουμε ένα μη αρνητικό αριθμό μέσα στη ρίζα. Αλλά σε κάθε περίπτωση, ο σκοπός δεν είναι να μάθουμε για την τετραγωνική ρίζα, αυτή ήταν απλά μια μικρή επανάληψη για να αρχίσουμε να σκεφτόμαστε σχετικά με την κυβική ρίζα. Και όπως μπορείτε να φανταστείτε, από πού έρχεται η συνολική έννοια του \"τετραγώνου\" και της \"τετραγωνικής ρίζας\"; Έρχεται φυσικά από την έννοια του να βρω το εμβαδόν ενός τετραγώνου. Αν έχω ένα τετράγωνο σαν κι αυτό και αυτή η πλευρά έχει μήκος 7, άρα και οι υπόλοιπες, αφού είναι τετράγωνο, και αν ήθελα να βρω το εμβαδόν του, θα ήταν 7 επί 7, ή αλλιώς 7 στο τετράγωνο. Και αν έχω ένα τετράγωνο που έχει εμβαδόν χ, ποιο θα είναι το μήκος των πλευρών του; Θα είναι ίσες με την τετραγωνική ρίζα του χ, όλες τους. Άρα λοιπόν, από εδώ έρχεται η ιδέα της τετραγωνικής ρίζας. Από πού όμως έρχεται η κυβική ρίζα; Η ίδια πάλι ιδέα. Αν έχω λοιπόν έναν κύβο, ο οποίος έχει όλες τις διαστάσεις του ίσες, ως κύβος, π.χ. 2 επί 2 επί 2, ποιος θα είναι ο όγκος του; Θα είναι δύο επί δύο επί δύο, ή αλλιώς δύο στην τρίτη, ή αλλιώς δύο στον κύβο. Γι αυτό χρησιμοποιείται και η λέξη κύβος, επειδή αυτός θα είναι ο όγκος του κύβου με μήκος πλευρών του, το 2. Και αυτό φυσικά κάνει 8. Αν αρχίσουμε αντίστροφα λοιπόν, με έναν κύβο όγκου 8 και θέλουμε να βρούμε το μήκος ων πλευρών, δηλαδή το χ (αφού όλες οι πλευρές του κύβου είναι ίσες όλες θα είναι ίσες με χ), αυτό θα μπορούσαμε να το εκφράσουμε με δύο τρόπους. Θα μπορούσαμε να πούμε ότι χ επί χ επί χ, η αλλιώς χ στην τρίτη κάνει 8, ή θα μπορούσαμε να χρησιμοποιήσουμε το σύμβολο της κυβικής ρίζας, το οποίο είναι ένα ριζικό με ένα μικρό 3 στο σωστό σημείο, γράφοντας ότι το χ είναι ίσο με την τρίτη ρίζα του 8 ή αλλιώς κυβική ρίζα του 8. Θεωρητικά στην τετραγωνική ρίζα θα μπορούσαμε να βάλουμε ένα μικρό 2 στο σημείο που βάλαμε το 3 στην κυβική ρίζα, αλλά είναι περιττό, αφού αν δεν υπάρχει κανένας αριθμός υποθέτουμε ότι μιλάμε για την τετραγωνική ρίζα. Αν μιλάμε όμως για την τρίτη ρίζα, θα πρέπει να βάλουμε ένα 3 εδώ, σ\' αυτήν την μικρή \"εγκοπή\", στο ριζικό σύμβολο. Και αυτό λέει: το χ είναι ένας αριθμός, τον οποίο αν υψώσω στον κύβο, μου δίνει 8. Τώρα που το είπαμε κι αυτό λοιπόν, ας δούμε μερικά παραδείγματα. Ας πούμε ότι θέλουμε να υπολογίσουμε την κυβική ρίζα του 27. Αν τη θέσω ίση με το χ, ισοδυναμεί με το να πω ότι το 27 είναι ίσο με χ στην τρίτη. Τι θα είναι το χ; Λοιπόν, αν χ επί χ επί χ κάνει 27, ο αριθμός που μπορώ να σκεφτώ είναι το 3. Άρα, το χ είναι ίσο με 3. Να σας κάνω μια ερώτηση: Μπορούμε να γράψουμε κάτι σαν την κυβική ρίζα του πλην 64; Ήδη είπαμε ότι για την τετραγωνική ρίζα, δεν μπορούμε να βάλουμε αρνητικό αριθμό στο ριζικό. Μπορούμε να κάνουμε όμως κάτι με την κυβική ρίζα; Αν υψώσω κάτι στην τρίτη, μπορώ να έχω έναν αρνητικό αριθμό; Φυσικά. Αν θέσω αυτό ίσο με χ, είναι το ίδιο με το να πω ότι το πλην 64 ισούται με το χ στην τρίτη δύναμή του. Τι θα μπορούσε να είναι το χ; Λοιπόν, τι θα έχουμε αν πάρουμε το πλην 4 επί το πλην 4 επί το πλην 4; Λοιπόν πλην 4 επί πλην 4 κάνει συν 16, αλλά συν 16 επί πλην 4 μας δίνει πλην 64. Άρα, τι θα μπορούσε να είναι το χ εδώ; Θα μπορούσε να είναι ίσο με πλην 4; Άρα, σύμφωνα με τα μαθηματικά που ξέρουμε μέχρι στιγμής, μπορούμε να πάρουμε την κυβική ρίζα αρνητικού αριθμού. Και δεν χρειάζεται να σταματήσουμε εκεί. Μπορούμε να πάρουμε την τέταρτη ρίζα και τότε θα είχαμε ένα 4 εδώ, ή την πέμπτη, έκτη, έβδομη ρίζα ενός αριθμού. Θα μιλήσουμε γι αυτό αργότερα, αλλά αυτό που θα βλέπετε περισσότερο θα είναι τετραγωνικές ρίζες και πού και πού κυβικές ρίζες. Τώρα θα μου πείτε: εσύ απλά ήξερες ότι 3 στην τρίτη κάνει 27 και πήρες την κυβική ρίζα για να βρεις το χ. Αλλά θα μπορούσα να έχω έναν οποιοδήποτε αριθμό, π.χ. τον 125. Εδώ ο πιο εύκολος τρόπος να το κάνεις είναι με παραγοντοποίηση του αριθμού και έτσι το βρίσκεις, λέγοντας: το 125 είναι 5 φορές το 25, το 25 είναι 5 επί 5, άρα το η κυβική ρίζα του 125 είναι ίση με την κυβική ρίζα του 5 στην τρίτη η οποία βέβαια ισούται με 5. Αν έχουμε έναν πολύ μεγαλύτερο αριθμό όμως, δεν υπάρχει πολύ απλός τρόπος να βρούμε την κυβική, ή τέταρτη, ή πέμπτη, ή ακόμη και την τετραγωνική ρίζα με πιο απλό τρόπο, όπως θα πολλαπλασιάζαμε, ή θα διαιρούσαμε έναν αριθμό.