Finanzmathematik Alle Stapel-20241217185615 PDF

#separator:tab #html:true "Barwert einer ewigen Rente:" "C = konstanter Zahlungsstromr = Zinssatz" "Barwert einer wachsenden ewigen Rente:" "C = anfänglicher Zahlungsstromr = Zinssatzg = Wachstumsrate" "Barwert einer Annuität:" "C = konstanter Zahlungsstromr = ZinssatzT = Anzahl der Perioden" "Zukun...

#separator:tab #html:true "Barwert einer ewigen Rente:" "C = konstanter Zahlungsstromr = Zinssatz" "Barwert einer wachsenden ewigen Rente:" "C = anfänglicher Zahlungsstromr = Zinssatzg = Wachstumsrate" "Barwert einer Annuität:" "C = konstanter Zahlungsstromr = ZinssatzT = Anzahl der Perioden" "Zukunftswert einer Annuität:" "C = konstanter Zahlungsstromr = ZinssatzN = Anzahl der Perioden" "Barwert einer wachsenden Annuität / PV of a growing annuity:" "C = anfänglicher Zahlungsstromr = Zinssatzg = WachstumsrateT = Anzahl der Perioden" "Couponzahlung / coupon payment (CPN):" "" "Rendite bis zur Fälligkeit / Yield to maturity (YTM):Nullkuponanleihe: " "" "Credit Spread für Anleihen:" "Credit Spread =  Rendite der gegebenen Unternehmensanleihe - Rendite einer vergleichbaren Staatsanleihe" "Anleihepreis:Nullkuponanleihe:" "" "Rendite bis zur Fälligkeit / Yield to maturity (YTM):Kuponanleihe: " "P = aktueller Marktpreis der AnleiheCPN = Couponzahlungy = Rendite bis zur FälligkeitN = Anzahl der Perioden bis zur FälligkeitFV = Nennwert der Anleihe" "Anleihepreis:Kuponanleihe: " "YTM_t =  Die Rendite bis zur Fälligkeit einer Nullkuponanleihe, die zum gleichen Zeitpunkt fällig wird wie die t-te Couponzahlung.oder:Beachten Sie, dass die Formel für den Anleihepreis von Kuponanleihen auf der Annahme des Gesetzes des einheitlichen Preises basiert und die Renditekurve von Nullkuponanleihen verwendet, um die einzelnen Cashflows der Kuponanleihe zu diskontieren." "IRRAllgemein gilt:" "IRR =NPV=0" "IRRWhen there are only two cash flows" "FV = zukünftiger Wert der Investition P = heutiger Wert der Investition N = Anzahl der Jahreusing IRR to determine initial cash flow of an investmentnach P auflösenusing IRR to determine final cash flow of an investmentnach FV auflösen" "IRRWhen the cash flows are a growing perpetuity" "P = Preis (initial Investment)→ We receive a perpetuity with C = initial cash flow andg = growth rate." "Unlevered net income / Incremental earnings " "Incremental earnings = Zusätzlicher Umsatz oder Gewinn, der durch eine spezifische Maßnahme oder Investition erzielt wird.EBITRevenues: die zusätzlichen Einnahmen, die durch das Projekt generiert werden.Costs: die zusätzlichen Kosten, die durch das Projekt entstehen.Depreciation: die Abschreibungen für das Projekt.Steuerhebesatz Tc: der Steuersatz, der auf die Incremental Earnings angewendet wird." "Free Cash Flows" "CapEx (capital expenditures)= Die Investitionen in Anlagevermögen für das Projekt.∆NWCt = increase in net working capital between year t and year t − 1 (Die Veränderung des Nettoumlaufvermögens, die durch das Projekt entsteht)." "Payback Rule" "Die Payback Rule besagt, dass man eine Investition nur dann tätigen sollte, wenn sich die Investitionskosten innerhalb eines bestimmten Zeitraums amortisieren. Um die Payback Rule anzuwenden, berechnet man zunächst die Amortisationszeit. Dies ist die Zeit, die es dauert, bis die kumulierten Cashflows die Investitionskosten erreichen.Amortisationszeit = Investitionskosten / Jährlicher CashflowAkzeptiert wird das Projekt, wenn die Amortisationszeit kürzer ist als eine vorgegebene Zeitspanne (in der Regel ein paar Jahre). Andernfalls wird das Projekt abgelehnt." "Schätzung des Werts pro Aktie:Unter Verwendung des Discounted Free Cash Flow Modells:" "V0 =  UnternehmenswertCash0 = Barmittelbestand des Unternehmens.Debt0 = Wert der Schulden des Unternehmens.Shares Outstanding0 = Anzahl der im Umlauf befindlichen Aktien." "Schätzung des Werts pro Aktie:Unter Verwendung von Vergleichsunternehmen (Valuation Based on Comparable Firms):" "P0 =  P/E(Vergleichsunternehmen) x EPSP/E(Vergleichsunternehmen) = Kurs-Gewinn-Verhältnis (Price-Earnings Ratio) eines Vergleichsunternehmens.EPS = Gewinn pro Aktie des kommenden Jahres.We can value stocks by using valuation multiples based on comparable firms. Multiples commonly used for this purpose include the P/E ratio and the ratio of enterprise value to EBITDA. Using multiples assumes that comparable firms have the same risk and future growth as the firm being valued." "Schätzung des Werts pro Aktie:mit dem Dividenden-Diskontierungsmodell (Dividend-Discount Model):Allgemeines Dividenden-Diskontierungsmodell:" "Divt = erwartete Dividende in Periode t.rE = Eigenkapitalkosten.PN = erwarteter Aktienkurs in Periode N.Applications:This formula applies to a single N-year investor, who will collect dividends for N years and then sell the stock, or to a series of investors who hold the stock for shorter periods and then resell it.Note that the equation holds for any horizon N. Thus, all investors (with the same beliefs) will attach the same value to the stock, independent of their investment horizons. How long they intend to hold the stock and whether they collect their return in the form of dividends or capital gains is irrelevant." "Schätzung des Werts pro Aktie:Dividenden-Diskontierungsmodell mit konstantem langfristigem Wachstum:" "g = erwartete langfristige Wachstumsrate der Dividende.Special case: the firm eventually pays dividends and is never acquired, so it is possible to hold the shares forever." "Schätzung des Werts pro Aktie:Dividenden-Diskontierungsmodell mit zwei verschiedenen Wachstumsraten:Constant dividend growth model" "The constant dividend growth model assumes that dividends grow at a constant expected rate g. In that case, g is also the expected capital gain rate.oder:Future dividends:Growth rate of the firm’s earnings, dividends, and share price (g)Bedingungen: dividend payout rate and the number of shares outstanding is constantearnings change only as a result of new investment from retained earnings" "Schätzung des Werts pro Aktie:Dividenden-Diskontierungsmodell mit zwei verschiedenen Wachstumsraten:Dividend-Discount Model with Constant Long-Term Growth" "N = Der Zeitraum, in dem die Dividende mit einer anderen Rate als g wächst.If the firm has a long-term growth rate of g after the period N + 1, then we can apply the dividend-discount model and use the constant dividend growth formula to estimate the terminal (continuation) stock value PN." "Durchschnittliche Rendite eines Wertpapiers" "R = (∑Rt) / TRt = Rendite in Periode tT = Anzahl der Perioden Durchschnittliche Rendite: Die Summe aller Renditen dividiert durch die Anzahl der Renditen." "Erwartete Rendite (expected return) eines Wertpapiers" "R = RenditepR = Wahrscheinlichkeit des Eintritts der Rendite RErwartete Rendite (oder Durchschnittsrendite): Die Rendite, die wir im Durchschnitt erwarten, wenn wir die Anlage viele Male wiederholen könnten und jedes Mal die Rendite aus der gleichen Verteilung ziehen würden." "Varianz der Rendite (Variance of Return) eines Wertpapiers" "R ist die RenditepR ist die Wahrscheinlichkeit der Rendite RE[R] ist die erwartete Rendite" "Volatilität eines Wertpapiers / Standardabweichung der Rendite (standard deviation of return)" "Die Standardabweichung ist ein Maß für die Volatilität eines Wertpapiers.Volatilität = Die Standardabweichung einer Rendite." "Durchschnittliche jährliche Rendite eines Wertpapiers (Average annual return of a Security) " "Die durchschnittliche Jahresrendite einer Investition während eines bestimmten historischen Zeitraums ist einfach der Durchschnitt der realisierten Renditen für jedes Jahr (bzw. die Summe der Renditen über einen bestimmten Zeitraum, geteilt durch die Anzahl der Jahre in diesem Zeitraum)" "Portfolio-Gewichte" "Portfolio-Gewicht: Der Anteil des Gesamtwerts des Portfolios, der in jede einzelne Anlage im Portfolio investiert ist." "Kovarianz zwischen Aktien" "Ri ist die Rendite von Aktie iRj ist die Rendite von Aktie jE[Ri] ist die erwartete Rendite von Aktie iE[Rj] ist die erwartete Rendite von Aktie jKovarianz: Das erwartete Produkt der Abweichungen zweier Renditen von ihren Mittelwerten." "Estimate of the Covariance from Historical Data" "" "Korrelation zwischen Aktien" "Ri ist die Rendite von Aktie iRj ist die Rendite von Aktie jCov(Ri, Rj) ist die Kovarianz zwischen Aktie i und Aktie jSD(Ri) ist die Standardabweichung von Aktie iSD(Rj) ist die Standardabweichung von Aktie jKorrelation: Ein statistisches Maß, das angibt, in welchem Ausmaß sich die Renditen zweier Anlagen gemeinsam bewegen." "Erwartete Rendite eines Portfolios" "xi ist das Portfolio-Gewicht von Aktie iE[Ri] ist die erwartete Rendite von Aktie iErwartete Rendite eines Portfolios: Der gewichtete Durchschnitt der erwarteten Renditen der Anlagen im Portfolio, wobei die Gewichte den Portfolio-Gewichten entsprechen." "Volatilität (Standardabweichung) eines PortfoliosVarianz eines Portfolios mit zwei Aktien:Volatilität (Standardabweichung) eines Portfolios" "x1 ist das Portfolio-Gewicht von Aktie 1x2 ist das Portfolio-Gewicht von Aktie 2Var(R1) ist die Varianz von Aktie 1Var(R2) ist die Varianz von Aktie 2Corr(R1, R2) ist die Korrelation zwischen Aktie 1 und Aktie 2Volatilität (Standardabweichung) eines Portfolios: Die Quadratwurzel der Varianz des Portfolios.SD(RP) = √Var(RP)" "Erwartete Rendite eines Wertpapiers i bei einem effizienten Marktportfolio (CAPM Equation for the Expected Return of a security)" "E[Ri] ist die erwartete Rendite von Wertpapier iif we don’t know the expected return of a security or the cost of capital of an investment, we can use the CAPM to find it by using the market portfolio as a benchmark.CAPM assumptions:efficient portfolio = when equal to market portfolio.market portfolio is efficient" "Erwartete Rendite eines Marktportfolios" "E[RMkt] = ∑(xi × E[Ri])xi ist das Portfolio-Gewicht von Wertpapier i im MarktportfolioE[Ri] ist die erwartete Rendite von Wertpapier iErwartete Rendite des Marktportfolios: Der gewichtete Durchschnitt der erwarteten Renditen aller Wertpapiere auf dem Markt." "Beta einer Aktie" "βi ist das Beta von Aktie i gegenüber dem MarktportfolioSD(Ri) ist die Standardabweichung von Aktie iCorr(Ri, RMkt) ist die Korrelation zwischen Aktie i und dem MarktportfolioSD(RMkt) ist die Standardabweichung des MarktportfoliosBeta einer Aktie: Die Sensitivität der Rendite der Aktie gegenüber Schwankungen der Rendite des Marktportfolios." "Beta eines Portfolios" "βP = ∑(xi × βi)βP ist das Beta des Portfoliosxi ist das Portfolio-Gewicht von Wertpapier iβi ist das Beta von Wertpapier iBeta eines Portfolios: Der gewichtete Durchschnitt der Betas der Wertpapiere im Portfolio, wobei die Gewichte den relativen Marktwerten der verschiedenen gehaltenen Wertpapiere entsprechen." "Historical / realized ReturnsDurchschnittliche historische Rendite (average historical return)" "Rt+1 = realized return from your investment in the stock from t to t+1Pt = Price of the stock (paid) on date tDivt+1 = dividend paid on date t+1Pt+1 = Price of the stock (sold) on date t+1  assumption: you hold the stock only until the date of the first dividend." "Historical / realized ReturnsRealized Annual Return" "assumptions: You hold the stock beyond the date of the first dividend.The stock pays dividends at the end of each quarter, with realized returns RQ1, … , RQ4. each quarter." "Überrendite (excess return)" "Überrendite = Rendite des Wertpapiers - risikofreie Rendite" "Schätzung von Beta (Beta Estimation) und Schätzung des historischen Alphas" "β = Steigung der RegressionsgeradenBeta measures a security’s sensitivity to market risk. Specifically, beta is the expected change (in %) in the return of a security given a 1% change in the return of the market portfolio.To estimate beta, we often use historical returns. Beta corresponds to the slope of the best-fitting line in the plot of a security’s excess returns versus the market’s excess returns.If we regress a stock’s excess returns against the market’s excess returns, the intercept is the stock’s alpha. It measures how the stock has performed historically relative to the security market line.Unlike estimating an average return, reliable beta estimates can be obtained with just a few years of data.Betas tend to remain stable over time, whereas alphas do not seem to be persistent.α = Achsenabschnitt der RegressionsgeradenAlpha ist ein Maß für die historische Wertentwicklung eines Wertpapiers im Vergleich zur erwarteten Rendite, die durch die Security Market Line vorhergesagt wird. Alpha kann als der Achsenabschnitt in der linearen Regression der Überrenditen eines Wertpapiers gegenüber den Überrenditen des Marktportfolios geschätzt werden." "Verwendung des CAPM zur Schätzung der erwarteten Rendite von unterschiedlich bewerteten Anleihen" "Given is a one-year bond with a yield to maturity of y. Thus, for each $1 invested in the bond today, the bond promises to pay $(1 + y) in one year. Suppose, however, the bond will default with probability p, in which case bond holders will receive only $(1 + y −  L)  , where L represents the expected loss per $1 of debt in the event of default.." "Concept: Market Value Balance Sheet & MM (Modigliani-Miller) Proposition II " "We can analyze the recapitalization using the market value balance sheet, a tool we developed in Chapter 14. It states that the total market value of a firm’s securities must equal the total market value of the firm’s assets. In the presence of corporate taxes, we must include the interest tax shield as one of the firm’s assets.In der Marktwertbilanz werden sowohl die Vermögenswerte als auch die Verbindlichkeiten zu ihren Marktwerten und nicht zu ihren Buchwerten ausgewiesen." "Realized return of levered equity (RE):" "" "Erwartete Rendite des Eigenkapitals mit Leverage (Cost of Capital of Levered Equity):" "So the equation RE holds for the expected returns (r) as well (denoted by r in place of R). " "Unlevered Cost of Capital (Pretax WACC):" "The appropriate cost of capital for the firm’s assets is the cost of capital of this portfolio, which is simply the weighted average of the firm’s equity and debt cost of capital.This cost of capital is called the firm’s unlevered cost of capital, or pretax WACC.The firm’s pretax WACC measures the required return to the firm’s investors. " "Effective after-tax weighted average cost of capital (or WACC):" "Because we are in a setting of perfect capital markets, there are no taxes, so the firm’s WACC and unlevered cost of capital coincide.That is, with perfect capital markets, a firm’s WACC is independent of its capital structure and is equal to its equity cost of capital if it is unlevered, which matches the cost of capital of its assets.The firm´s effective after-tax WACC, or simply the WACC, measures the cost to the firm after including the benefit of the interest tax shield." "Leverage of a firm " "A firm’s leverage = debt-to-value ratio = D / (E + D)  " "Earning Per Share (EPS)" "Because we are in a setting of perfect capital markets (no debt, no interest,no taxes) it follows: Expected earnings per share = EBIT" "EBITDA" "Because the firm’s earnings per share and price-earnings ratio are affected by leverage, we cannot reliably compare these measures across firms with different capital structures.The same is true for accounting-based performance measures such as return on equity (ROE). Therefore, most analysts prefer to use performance measures and valuation multiples that are based on the firm’s earnings before interest has been deducted. For example, the ratio of enterprise value to EBIT (or EBITDA) is more useful when analyzing firms with very different capital structures than is comparing their P/E ratios." "Schätzung des Aktienkurses mithilfe der Marktwertbilanz" "Aktienkurs = Eigenkapital / Anzahl der Aktien im UmlaufDividing the total value of equity by the number of remaining shares gives the new share price after the transaction. " "Gewinn und VerlustrechnungNettoergebnis:" "Nettoergebnis = Gewinn vor Steuern - SteuernGewinn vor Steuern = EBIT - Zinsaufwand" "MarktwerteAllgemeine Gleichung (Beziehung der Marktwerte von: Eigenkapital, Schulden, Eigenkapitals eines unverschuldeten Unternehmens, Vermögenswerte)→ z.B. Marktwert des Eigenkapitals eines unverschuldeten Unternehmens (U): " "U (unlevered) = market value of equity if the firm is unleveredE (equity) = Marktwert des Eigenkapitals (eines verschuldeten Unternehmens)D (debt) = Marktwert der Schulden.A (assets) = Marktwert der Vermögenswerte des Unternehmens.→ z.B. Marktwert des Eigenkapitals eines unverschuldeten Unternehmens (U): U = E + D" "Interest Tax Shield (Zinssteuervorteil)" "" "Valuing the interest tax shield" "The value of the interest tax shield can be found by comparing VL to the unlevered value, VU." "Gesamtwert eines unverschuldeten Unternehmens (the total value of an unlevered firm):" "VU = Barwert des Free Cashflows unter Verwendung des unverschuldeten Kapitalkostensatzes (Pretax-WACC)→ free cash flow discounted at the firm’s unlevered cost of capital, the pretax WACC." "Gesamtwert eines verschuldeten Unternehmens (the total value of a levered firm):" "When we consider corporate taxes, the total value of a levered firm equals the value of an unlevered firm plus the present value of the interest tax shield.Sonderfall:VL = Barwert des Free Cashflows unter Verwendung des WACCWhen the firm maintains a target leverage ratio or a firm adjusts its debt over time so that its debt-equity ratio is expected to remain constant, we can compute its levered value V^L by discounting its free cash flow using the WACC." "Marktwert der Vermögenswerte vor/nach Aktienrückkauf:Nach Bekanntgabe:Nach erfolgtem Aktienrückkauf: " "In contrast to the Market Value Balance Sheet (chapter 14), in the presence of corporate taxes, we must include the interest tax shield as one of the firm’s assets.Nach Bekanntgabe:Der Marktwert der Vermögenswerte erhöht sich um den Barwert des Zinssteuervorteils nach Bekanntgabe der Rekapitalisierung.Nach erfolgtem Aktienrückkauf: Der Marktwert der Vermögenswerte bleibt nach dem Aktienrückkauf konstant (abzüglich des für den Rückkauf verwendeten Barbetrags)." "Marktwert der Vermögenswerte vor/nach der Emission von Schulden:" "Der Marktwert der Vermögenswerte erhöht sich um den Betrag der neu aufgenommenen Schulden." "Aktienkurs vor/nach Aktienrückkauf:Nach Bekanntgabe:Nach erfolgtem Aktienrückkauf:" "Nach Bekanntgabe:Der Aktienkurs steigt nach Bekanntgabe der Rekapitalisierung, da der Markt den zukünftigen Steuervorteil einpreist.Nach erfolgtem Aktienrückkauf: Der Aktienkurs kann nach dem Rückkauf steigen oder fallen, abhängig vom Rückkaufpreis und der Anzahl der zurückgekauften Aktien." "Aktienkurs vor/nach der Emission von Schulden:" "By increasing the cash flows paid to debt holders through interest payments, a firm reduces the amount paid in taxes.The increase in total cash flows paid to investors is the interest tax shield." "Niedrigster möglicher Aktienkurs, zu dem Aktionäre ihre Aktien andienen:" "Niedrigster Preis = Aktienkurs nach dem Rückkauf = RückkaufpreisDies ist der Preis, zu dem die Aktionäre indifferent sind zwischen dem Verkauf ihrer Aktien im Rahmen des Rückkaufs und dem Halten ihrer Aktien." "Optimaler Schuldenstand bei unterschiedlichen Finanzierungskosten (optimal debt at different distress costs):" "According to the tradeoff theory, the total value of a levered firm equals the value of the firm without leverage plus the present value of the tax savings from debt minus the present value of financial distress costs.Optimal leverage is the level of debt that maximizes VL."