Cand.merc. - Finansiering og Regnskab (December 2016) PDF

CAND.MERC.-LINIEN I FINANSIERING OG REGNSKABSVÆSEN PORTEFØLJETEORI Eksamen, december 2016 Besvarelse Generel information: Tjek venligst om dit eksemplar af eksamen er komplet. Denne eksamen består af 9 nummererede sider. Eneste tilladte hjælpemiddel udover PC er en lommeregner af godkendt type. Vær sikker på at det er muligt at følge hvert trin i dine beregninger. Vær HELT sikker på at alle kopierne af eksamensbesvarelsen kan læses. Hvis du mener at der ikke er tilstrækkelig information til at løse et problem, så skriv tydeligt hvilke antagelser du gør for at løse problemet. Begynd venligst hver opgave på en ny side i din besvarelse. Det er valgfrit om du skriver din besvarelse i hånden eller på pc. Held og lykke med eksamen! Side 1 af 15 NYTTIGE FORMLER: Antag at X er en diskret stokastisk variable med udfaldsrum x1 ,... , xS , da gælder S X E[X] = p(s)xs (1) s=1 h i XS Var[X] = E (X − E[X])2 = p(s) (xs − E[X])2 (2) s=1 Antag at X, Y er stokastiske variable og a, b er konstanter, da gælder Var[aX] = a2 Var[X] (3) Cov[aX, bY ] = abCov[X, Y ] (4) Cov[a + X, b + Y ] = Cov[X, Y ] (5) Var[aX + bY ] = a2 Var[X] + b2 Var[Y ] + 2abCov[X, Y ] (6) Var[aX − bY ] = a2 Var[X] + b2 Var[Y ] − 2abCov[X, Y ] (7) Cov[X, Y ] Cov[X, Y ] Corr[X, Y ] = p p = (8) Var[X] Var[Y ] Std[X]Std[Y ] For en kontinuert fordeling gælder at P (X ≤ x) = FX (x) (9) hvor FX (x) angiver den kumulatative fordelingsfunktion for X (Cumulative Distribution Fun- ction). Middelværdi-variansanalyse: 1 −1 1 wGMV = Σ 1 = 0 −1 Σ−1 1 (10) C 1Σ 1 Σ−1 (E[r] − rf 1) wtan = 0 −1 (11) 1 Σ (E[r] − rf 1) E[rp ] = w0 E[r] og σp2 = w0 Σw (12) Porteføljes beta: N X N X βp = wi βi , hvor wi = 1. (13) i=1 i=1 Obligationer: tn RD Yt (1 + y)−t , X P =k+v = hvor v = 100 (14) t=t1 m s tn tn X X Yt (1 + y)−t wt t2 + t V = wt t og K = hvor wt = (15) t=t1 t=t1 P Side 2 af 15 Nedenstående formler for kurs og varighed antager at der er tale om en stående obligation uden brudte terminer, dvs. du står på et terminstidspunkt. Du skal selv lave eventuelle modifikationer for brudte terminer, hvis det er nødvendigt1 1 − (1 + y)−n 1 P =H R + (16) y (1 + y)n 1+y 1 + y − n (y − R) V = − (17) y R ((1 + y)n − 1) + y På den bagerst side af eksamenssættet (side 9) er arket med de relevante kommandoer i Excel på hhv. dansk og engelsk vedhæftet! 1 Bemærk vi har ikke gjort brug af disse formler til forelæsninger og øvelser i år, men der kan være gengangere fra 2015, hvilket er grunden til at de er oplyst. Side 3 af 15 Forord. Eksamenssættet består af i alt 5 opgaver, der hver har en række delopgaver. Vær opmærksom på, at løsning af en delopgave ikke nødvendigvis kræver, at alle foregående del- opgaver er løst. Vær også opmærksom på, at procenttallene er vejledende, herunder også for tidsforbrug ved besvarelse. God fornøjelse! OPGAVE 1 (15%) Delopgaverne i denne opgave skal besvares uafhængigt af hinanden. Der er kun et korrekt svar til hvert spørgsmål. Du skal kun skrive bogstavet ned der svarer til det korrekte svar. Du skal ikke begrunde dine svar, kun hvis du føler at det er strengt nødvendigt. Opgave 1.1 Hvilken af følgende porteføljer kan ikke lægge på den efficiente rand? Portefølje Forventet afkast Standard afvigelse A. W 15% 36% B. X 12% 15% C. Y 5% 7% D. Z 9% 21% Svar: D Opgave 1.2 Hvilken af følgende obligationer vil være mest følsom over for renteændringer? A. 10-årig stående obligation med en kuponrente på 15% B. 10-årig stående obligation med en kuponrente på 5% C. 10-årig stående obligation med en kuponrente på 0% D. 10-årig stående obligation med en kuponrente på 10% E. kan ikke afgøres på basis af den givne information Svar: C Opgave 1.3 Aktie A, B og C har alle det samme forventede afkast og standardafvigelse på afkastet. Følgende tabel angiver korrelationerne mellem de tre aktie afkast Aktie X Aktie Y Aktie Z Aktie X +1.0 Aktie Y +0.9 +1.0 Aktie Z +0.1 -0.4 +1.0 Givet ovenstående information, hvilken af følgende fire porteføljer vil have den laveste risiko? A. Ligevægtet portefølje i aktie X og Y B. Ligevægtet portefølje i aktie X og Z C. Ligevægtet portefølje i aktie Y og Z Side 4 af 15 D. 100% i aktie Z Svar: C Opgave 1.4 Til at evaluere performance af en given portefølje i en open end fond er det tidsvægtede afkast et bedre mål end det dollar-vægtede eftersom... A. når afkastene varierer vil det tidsvægtede afkast være højere B. det dollar-vægtede afkast antager at alle investeringer foretages på dag 1 C. det dollar-vægtede afkast kan kun blive estimeret D. det tidsvægtede afkast ikke påvirkes af antallet af aktiver der holdes i hver periode E. det tidsvægtede afkast medtager den systematiske risiko Svar: D Opgave 1.5 Baseret på en analyse af Nets regnskab mener du at aktien har et forventet afkast på 1.25%. Aktien har et beta på 1.15. Den risikofri rente er 1% og det forventede afkast på markedsporteføljen er E[rM ] = 5%. I forhold til CAPM mener du at aktien er A. undervurderet, dvs. prissat for lavt B. overvurderet, dvs. prissat for højt C. korrekt prissat D. kan ikke bestemmes ud fra den givne information E. ingen af de overstående er korrekte Svar: B, da E[r] = 5.6% ifølge CAPM. OPGAVE 2 (25%) På Nasdaq OMX handles den danske statsobligation 1.5ST.L.23 GB. Ob- ligationen er en 1,5% stående obligation, og jævnfør stamdata, som forefindes på Nasdaq OMX, er der én årlig termin, og obligationens udløbsdato er den 15. november 2023. I Figur 1 ses et screenshot af den kursinformation, der fandtes på obligationen den 29. november 2016. Som det ses, er den givne information beregnet den 28. november 2016. I de følgende opgaver antages det derfor, at den 30. november er vores valørdato. Opgave 2.1 Opstil ydelsesrækken for obligationen 1.5ST.L.23 GB med en nominel beholdning på 100. Bestem nutidsværdien af de fremtidige ydelser under antagelse af en konstant diskonte- ringsrente på r = 0,25%. Side 5 af 15 Figur 1: Kursinformation for statsobligationen 1.5ST.L23 GB hentet på Nasdaq OMX. Svar: Obligationen 1.5ST.L.23 GB er en stående obligation, dvs. der afdrages ikke før end til udløb og vi får derfor følgende ydelsesrække Termin t Afdrag Rente Ydelse N V (r) 15-11-2017 0,9589 0 1,5 1,5 1,4964 15-11-2018 1,9589 0 1,5 1,5 1,4927 15-11-2019 2,9589 0 1,5 1,5 1,4890 15-11-2020 3,9589 0 1,5 1,5 1,4852 15-11-2021 4,9589 0 1,5 1,5 1,4815 15-11-2022 5,9589 0 1,5 1,5 1,4778 15-11-2023 6,9589 100 1,5 101,5 99,7516 108,6743 Det følger ud fra ovenstående tabel at nutidsværdien af de fremtidige ydelser under antagelse af en konstant diskonteringsrente på r = 0.0025 er givet ved tn Yt (1 + r)−t = 108,6743 X NV = t=t1 Side 6 af 15 hvor 15.11.2017 − 30.11.2016 350 t1 = = = 0,9589. 365 365 Opgave 2.2 Bestem den vedhængende rente på obligationen med den 30. november 2016 som valørdato. Forklar, hvorfor den fundne beløbsstørrelse synes rimelig - med andre ord forklar, hvad der forstås ved den vedhængende rente. Svar: Den vedhængende rente er givet ved RD v = 100 m s hvor R er den årlige nominelle rente, mer det årlige antal terminer, D er antallet af faktiske kalenderdage fra og med forrige terminstidspunkt til men ikke med valørdatoer og s er det faktiske antal kalenderdage i den nuværende terminsperiode. Det følger dermed at 0,015 30.11.2016 − 15.11.2016 15 v = 100 = 1,5 = 0,0616 kr. 1 365 365 Rentebetalingen kompenserer långiveren, dvs. obligationsejeren, for at stille restgælden til rådighed for låntageren siden forrige terminstidspunkt. Hvis obligationen bliver handlet mellem to ter- minstidspunkter er det imidlertid ikke den samme långiver i hele terminsperioden. Alligevel er det den person, som ejer obligationen på terminstidspunktet, der får hele rentebetalingen ud- betalt. For at kompensere for dette skal køberen af obligationen betale sælgeren den såkaldte vedhængende rente på valørdagen. I dette eksempel er der kun gået 15 dage siden sidste termin, dvs. sælgeren har ikke holdt obligationen i en særlig stor del af terminen, og det synes derfor rimeligt at den vedhængende rente er meget lille. Opgave 2.3 Bestem den teoretiske kurs for obligationen ved en konstant diskonteringsrente på r = 0.25%. Svar: Vi har at tn Yt (1 + r)−t , X P =k+v = t=t1 hvor k angiver den teoretiske kurs ved en diskonteringsrente på r. Det følger dermed at tn Yt (1 + r)−t − v = 108,6743 − 0,0616 = 108,6127 kr. X k= t=t1 Jævnfør Figur 1 er den anvendte renteberegningskurs 110,516. Antag, at denne er lig obligatio- nens markedskurs. Side 7 af 15 Opgave 2.4 Beregn obligationens effektive rente (med seks decimaler). Beregn herefter obliga- tionens Macaulay-varighed (med fire decimaler). Sammenhold dine resultater med de oplyste værdier i Figur 1. Forklar eventuelle afvigelser.2 Svar: For at bestemme obligationens effektive rente opstilles følgende ydelsesrække Termin t Ydelse N V (y) wt V 15-11-2017 0,9589 1,5 1,5002 0,0136 0,0130 15-11-2018 1,9589 1,5 1,5003 0,0136 0,0266 15-11-2019 2,9589 1,5 1,5005 0,0136 0,0402 15-11-2020 3,9589 1,5 1,5006 0,0136 0,0537 15-11-2021 4,9589 1,5 1,5008 0,0136 0,0673 15-11-2022 5,9589 1,5 1,5009 0,0136 0,0809 15-11-2023 6,9589 101,5 101,5744 0,9186 6,3923 110,5776 1,0000 6,6740 N V (y) er bestemt ud fra t7 Yt (1 + y)−t X NV = t=t1 hvor y er lig obligationens effektive rente. Denne bestemmes ved brug af problemløseren i Excel sådan at y sikrer at NV − k − v = 0 hvor k er lig markedskursen på de 110,516 og v er den vedhængende rente fundet i opgave 22. Den effektive rente bestemmes ved brug af problemløseren og det fås at y = -0,000105, dvs. y = −0,01%, præcis som angivet i Figur 1. Varigheden bestemmes ud fra t7 X Yy (1 + y)−t V = twt , hvor wt = t=t1 P og det følger fra overstående ydelsesrække at V = 6,6740, som igen ses at passe perfekt med den oplyste varighed i Figur 1. Opgave 2.5 Hvis der blev handlet en tilsvarende annuitetsobligation med præcis samme nomi- nelle rente, samme udløbstidspunkt og samme betalingsdatoer, hvilken af de to obligationer vil da have den største varighed? Forklar dit svar, og giv en fortolkning af risikomålet varighed. 2 Hvis problemløseren/solveren anvendes i besvarelsen af denne opgave, kan det være en hjælp at fjerne fluebenet i den celle i selve problemløseren/solveren, der siger “Make Unconstrained Variables Non-Negative”. Side 8 af 15 Svar: Den stående obligation vil have den højeste varighed, da den største ydelse ligger længst ude i fremtiden. For annuitetslånet ligger ydelserne jævnt fordelt så den gennemsnitlige restløbetid vil være mindre. Varigheden siger noget om hvor følsom obligationsprisen er overfor ændringer i obligationens egen effektive rente. OPGAVE 3 (35%) Bo, der er direktør for virksomheden DoIt A/S, ønsker at investere en del af virksomhedens overskud på det finansielle marked. Bo har allerede besluttet sig for, at porteføljen, der skal investeres i, skal bestå af de tre aktier: aktie A, B og C. Hvordan porteføljen skal sammensættes, vil han trygt overlade til sin investeringsrådgiver Ib. Ib prøver pænt at forklare Bo, at det kunne være en ide at sprede sine investeringer mere end i kun tre aktiver, men det vil Bo overhovedet ikke høre tale om. Ib benytter altid en to-faktormodel til at beskrive afkastene på de aktiver, han handler i. De to faktorer er indbyrdes uafhængigt fordelte, har begge en middelværdi på nul og en varians på hhv. 0,01 og 0,03. Det vil sige E[F1 ] = E[F2 ] = cov(F1 , F2 ) = 0, var(F1 ) = 0,01 og var(F2 ) = 0,03. Efter en grundig analyse kommer Ib frem til følgende faktor-ligninger for afkastene på de tre aktier3 rA = 0,05 + 1 F1 + 3 F2 + eA rB = 0,06 + 3 F1 − 5 F2 + eB rC = 0,03 + 0 F1 + 1 F2 + eC , hvor E[ei ] = cov(ei , ej ) = cov(ei , Fm ) = 0 for m ∈ {1,2} og i, j ∈ {A, B, C} og var(ei ) = 0,01 for alle i. Opgave 3.1 Bestem det forventede afkast samt variansen på afkastet hørende til de tre aktier A, B og C. Forklar hvordan du bestemmer hhv. det forventede afkast og variansen på afkastet. Svar: Eftersom vi har at E[F1 ] = E[F2 ] = E[ei ] = 0 følger at det forventede afkast på de tre aktier er givet ved E[rA ] = 0,05, E[rB ] = 0,06 og E[rC ] = 0,03. Da vi har at cov(F1 , F2 ) = cov(ei , Fm ) = 0 fås at variansen på afkastet på aktiv i er givet ved 2 2 Var(ri ) = βi1 Var(F1 ) + βi2 Var(F2 ) + Var(ei ) 3 Bemærk vi modellerer afkastet, og ikke mer-afkastet som vi ofte har gjort. Side 9 af 15 og ved indsættelse fås at Var(rA ) = 12 Var(F1 ) + 32 Var(F2 ) + Var(eA ) = 0,2900 Var(rB ) = 32 Var(F1 ) + (−5)2 Var(F2 ) + Var(eB ) = 0,8500 Var(rC ) = 02 Var(F1 ) + 12 Var(F2 ) + Var(eC ) = 0,0400. hvor vi har gjort brug af at var(F1 ) = 0,01, var(F2 ) = 0,03 og var(ei ) = 0,01 for alle i. Opgave 3.2 Bestem kovariansen på afkastet mellem de tre aktier, dvs. bestem cov(rA , rB ), cov(rA , rC ) og cov(rB , rC ). Forklar hvordan du bestemmer kovariansen. Vis herefter at varians- kovariansmatricen, Σ, for de tre aktier er givet ved   0,29 −0,42 0,09   Σ =  −0,42 0,85 −0,15 .     0,09 −0,15 0,04 Svar: Eftersom cov(F1 , F2 ) = cov(ei , Fm ) = 0 følger at Cov(ri , rj ) = βi1 βj1 Var(F1 ) + βi2 βj2 Var(F2 ) og ved indsættelse følger at Cov(rA , rB ) = 1 · 3Var(F1 ) + 3 · (−5)Var(F2 ) = -0,4200 Cov(rA , rC ) = 1 · 0Var(F1 ) + 3 · 1Var(F2 ) = 0,0900 Cov(rB , rC ) = 3 · 0Var(F1 ) + (−5) · 1Var(F2 ) = -0,1500. hvor vi har gjort brug af at var(F1 ) = 0,01 og var(F2 ) = 0,03. Endelig da følger det ved indsættelse af vores fundne resultater at varians-kovariansmatricen er givet ved     2 σA σAB σAC 0,29 −0,42 0,09     Σ =  σBA σB  2 σBC  =  −0,42   0,85 −0,15 .      σCA σCB σC 2 0,09 −0,15 0,04 Eftersom Bo ikke kan lide risiko, ønsker Ib at sammensætte den portefølje, der har den mindst mulige varians af alle. Hvis du ikke har kunne svare på opgave 3.1 og opgave 3.2 kan du i det følgende opgaver benytter varians-kovariansmatricen oplyst i opgave 3.2 og et forventet afkast på de tre aktier på hhv. E[rA ] = 5%, E[rB ] = 6% og E[rC ] = 3%. Opgave 3.3 Bestem minumum-variansporteføljen samt det forventede afkast og standardafvi- gelsen på afkastet for minimum-variansporteføljen. Side 10 af 15 Svar: Minimum-variansporteføljen er givet ved 1 −1 1 wGMV = Σ 1 = 0 −1 Σ−1 C 1Σ 1 og det følger ved indsættelse at   0,0171 1 −1 1   wGMV = Σ 1= Σ−1 1 =  0,1653 .   C 103,6785   0,8187 Det forventede afkast og standardafvigelsen på afkastet er givet ved E[rGMV ] = w0GMV E[r] = 0,0353 = 3.53% 1 2 σGMV = = w0GMV ΣwGMV = 0,0096 C p σGMV 2 = σGMV = 0.0982 = 9,82%. Opgave 3.4 Bestem igen minimum-variansporteføljen, men under antagelse af at kort-salg ikke er tilladt. Sammenlign det forventede afkast og standardafvigelsen på afkastet med minimum- variansporteføljen med kort-salg fundet i opgave 3.3. Svar: Eftersom minimum-variansporteføljen uden kort-salgsrestriktioner ikke involverer nogle korte positioner vil minimum-variansporteføljen under antagelse af ingen kort-salg være lig po- rteføljen fundet i opgave 3.3. Man får altså samme portefølje og dermed også samme forventede afkast og standardafvigelse som i opgave 3.3. Bo foreslår Ib, at de jo ikke behøver at investere det hele i de tre aktier. De kunne også investere en del i et riskofrit aktiv og resten i en portefølje bestående af de tre aktier. Opgave 3.5 Benyt de tre aktier til at danne en portefølje som har et beta der er lig med nul med hensyn til både faktor 1 og faktor 2. Vis endvidere at afkastet på denne portefølje er givet ved rf = 2.75%. Svar: Vi skal bestemme den portefølje der giver et risikofrit afkast - vi skal altså bestemme en portefølje hvis β-værdier er lig med nul. Denne kan findes ved at løse følgende ligningssystem: βA1 wA + βB1 wB + βC1 wC = 0 βA2 wA + βB2 wB + βC2 wC = 0 wA + wB + wC = 1, hvor wi angiver vægten i aktiv i. Den sidste ligning sikrer at porteføljevægtene summer til 1. Side 11 af 15 Det følger at          1 3 0 wA 0 wA -0,2500           3 −5 1 = 0  ⇔  =  0,0833 .            wB  wB          1 1 1 wC 1 wC 1,1667 Afkastet på porteføljen, og dermed den risikofri rente, kan nu bestemmes til rf = w0 E[r] = 0,0275. Antag, at der eksisterer et risikofrit aktiv, og der ikke er arbitrage i markedet. Afkastet på det risikofrie aktiv er lig med afkastet på porteføljen fundet i opgave 3.5, dvs. rf = 2,75%. Bo går med til også at investere i det risikofri aktiv. Opgave 3.6 Bestem tangentporteføljen samt det forventede afkast og standardafvigelsen på afkastet for tangentporteføljen. Kommentér dine resultater. Svar: Tangentporteføljen er givet ved Σ−1 (E[r] − rf 1) wtan = 10 Σ−1 (E[r] − rf 1) Vi starter med at bestemme nævneren i Excel Nævner = 10 Σ−1 (E[r] − rf 1) = 0,8055 og vi finder i Excel at   0,5619 1   wtan = Σ−1 (E[r] − rf 1) =  0,3421    0,8055   0,0960 Det forventede afkast, varians og standardafvigelse på afkastet bestemmes til E[rtan ] = w0tan E[r] = 0,0515 = 5,15% 2 σtan = w0tan Σwtan = 0,0298 p σtan = σtan 2 = 0,1726 = 17,26%. Igen ses at til selv om man evt. ikke måtte gå kort ville vi få samme løsning. Den største position bliver taget i aktiv A som kan vises at være det aktiv med den højeste Sharpe Ratio, herefter kommer aktiv B og endelig aktiv C som er de aktiv der har den laveste Sharpe Ratio. Til trods for at aktiv B ikke har en lige så høj Sharpe Ratio som aktiv A er det stadig et godt aktiv især fordi den har en negativ korrelation med de to andre aktiver og er derfor et godt aktiv til at udnytte diversifikationseffekten og reducere risikoen i porteføljen. Side 12 af 15 8% 7% 6% Forventet afkast 5% 4% 3% 2% 1% 0% 0% 5% 10% 15% 20% 25% Standard afvigelsen Figur 2: Besvarelse af opgave 3.7 - den efficiente rand når investeringsmulighederne er givet ved de tre aktier og det risikofri aktiv. Ib ønsker at illustrere i et diagram for Bo, hvordan afkast og risiko hænger sammen, og i den forbindelse spørger han også Bo, hvor stor en standardafvigelse på afkastet Bo maksimalt kan acceptere. Bos smertegrænse er en standardafvigelse på afkastet på 10% Opgave 3.7 Skitsér i et middelværdi-standardafvigelsesdiagram den efficiente rand når inve- steringsmulighederne er givet ved de tre aktier og det risikofri aktiv. Hvor stort et forventet afkast kan opnås ved at danne en portefølje bestående af de tre aktier og det risikofrie aktiv, hvis standardafvigelsen på afkastet er lig med 10%? Svar: Den efficiente rand er givet ved kapitalmarkedslinjen (CML) som er afbildet i Figur 2 og er givet ved E[rtan ] − rf E[ri ] = rf + SRtan σi = rf + σi σtan Det følger at hvis Bo maksimalt kan acceptere en standardafvigelse på 10%, da er det maksimale forventede afkast Bo kan opnå givet ved E[rtan ] − rf 0,0515 − 0,0275 E[ri ] = rf + 0,10 = 0,0275 + 0,10 = 0,0414 = 4,14%. σtan 0,1726 Side 13 af 15 OPGAVE 4 (15%) Du forvalter en aktie-fond med et forventet afkast på 8% og en standard afvigelse på afkastet på 20%. De et-årige statsobligationer, som anses for at være risikofri over en investeringsperiode på et år, har et risikofrit afkast på 1%. En af de investorer der har investeret i din fond er Klaus. Klaus har investeret for 200.000 kr. i din fond og for 50.000 kr. i de risikofri statsobligationer. Opgave 4.1 Bestem det forventede afkast og standard afvigelsen på afkastet på Klaus’s samlede portefølje. Svar: Starter med at bestemme porteføljevægten i hhv. fonden og det risikofri aktiv 200.000 wp = = 0,80, ogwrf = 1 − wp = 0,20. 200.000 + 50.000 Det følger nu at det forventede afkast på Klaus’ samlede portefølje er givet ved E[rC ] = wp E[rp ] + (1 − wp ) rf = 0,80 · 0,08 + 0,20 · 0,01 = 0,0660 = 6,60% og da alt risikoen i porteføljen stammer fra positionen i fonden følger at standardafvigelsen på Klaus’ samlede portefølje er givet ved σC = wp σp = 0,80 · 0,20 = 0,1600 = 16% Opgave 4.2 Hvis Klaus ønsker et forventet afkast på hans totale portefølje på 5%, hvor stor en andel af sin totale portefølje skal han da investere i din fond? Hvad bliver standard-afvigelsen på afkastet på hans nye portefølje? Svar: Vi har at E[rp ] = 0,08, rf = 0,01 og vi ved at E[rC ] − rf E[rC ] = wp E[rp ] + (1 − wp ) rf ⇒ wp = E[rp ] − rf og ved indsættelse fås at andelen der skal investeres i fonden er givet ved E[rC ] − rf 0,05 − 0,01 wp = = = 0,5714. E[rp ] − rf 0,08 − 0,01 Standardafvigelsen på afkastet på denne portefølje er givet ved σC = wp σp = 0,5714 · 0,20 = 0,1143 = 11,43% Opgave 4.3 Antag at afkastet på din portefølje er normalfordelt, dvs. rp ∼ N (µ, σ), hvor µ = 0.08 og σ = 0.20. Hvad er sandsynligheden for at Klaus om et år vil få et afkast der er negativt, hvis han følger investeringsstrategien fundet i opgave 4.2? Svar: Sandsynligheden for at Klaus vil få et afkast der er negativt er givet ved P (r ≤ 0) = Fr (0) = N ORM.DIST (0; 0,05; 0,1143) = 0,3309 = 33,09% hvor Fr angiver den kumulative sandsynlighedsfordeling for r. Side 14 af 15 OPGAVE 5 (10%) Afhængig af tilstanden i økonomien, s, giver aktien AlmostThere et afkast som angivet i følgende tabel s P(r = rs ) rs 1 0,10 -0,09 2 0,35 0,02 3 0,50 0,12 4 0,05 0,20 hvor s angiver de fire mulige tilstande, P(r = rs ) angiver sandsynligheden for at ende i den givne tilstand og rs angiver afkastet i den givne tilstand. Vi kan eksempelvis se fra tabellen at P(r = 2%) = 35%. Det antages at vi er i en 1-faktor økonomi, hvor fælles-faktoren er markedsporteføljen, dvs. mer-afkastet på aktiv i er givet ved Ri = αi + βi RM + ei hvor RM = rM −rf er lig mer-afkastet på markedsporteføljen. Endvidere oplyses at AlmostThere- aktiens beta er 0,6, den risikofri rente er 2% og det forventede afkast på markedsporteføljen er E[rm ] = 10%. Endelig oplyses at aktiens idiosynkratiske risiko er givet ved σe = 2%. Opgave 5.1 Er aktien prisfastsat korrekt ifølge CAPM modellen? Begrund dit svar. Svar: Vi starter med at bestemme det forventede afkast på aktien 4 X E[r] = P(r = rs )rs = 0,0680 s=1 Hvis CAPM er opfyldt skal vi have at αi = 0 i ovenstående ligning, dvs. E[Ri ] = βi E[RM ] ⇔ E[ri ] = rf + βi (E[rM ] − rf ) Vi finder at E[r] = rf + β (E[rM ] − rf ) = 0,02 + 0,6 (0,10 − 0,02) = 0,0680 Det vil sige CAPM er opfyldt og aktien er korrekt prisfastsat ifølge CAPM. Opgave 5.2 Bestem standardafvigelsen på markedsporteføljen. Svar: Eftersom vi er i en en-faktor model ved vi at σi2 = Var (αi + βi RM + ei ) = βi2 σM 2 + σe2i Vi kan bestemme den samlede varians på aktien ud fra fordelingsantagelserne h i X4 Var(r) = σ 2 = E (r − E[r])2 = P(r = rs ) (rs − E[r])2 = 0,005526 s=1 Side 15 af 15 Vi ved at β = 0,6 og σe = 0,02 så vi finder at 2 σ 2 − σe2 0,005526 − 0,022 σM = = = 0,01424 β2 0,62 og vi får at q σM = 2 = 0,1193 = 11,93% σM CAND.MERC.-LINIEN I FINANSIERING OG REGNSKABSVÆSEN PORTEFØLJETEORI Vejledende besvarelse Reeksamen, februar 2017 Generel information: Tjek venligst om dit eksemplar af eksamen er komplet. Denne eksamen består af 9 nummererede sider. Eneste tilladte hjælpemiddel udover PC er en lommeregner af godkendt type. Vær sikker på at det er muligt at følge hvert trin i dine beregninger. Vær HELT sikker på at alle kopierne af eksamensbesvarelsen kan læses. Hvis du mener at der ikke er tilstrækkelig information til at løse et problem, så skriv tydeligt hvilke antagelser du gør for at løse problemet. Begynd venligst hver opgave på en ny side i din besvarelse. Det er valgfrit om du skriver din besvarelse i hånden eller på pc. Held og lykke med eksamen! Side 1 af 17 NYTTIGE FORMLER: Antag at X, Y er stokastiske variable og a, b er konstanter, da gælder Var[aX] = a2 Var[X] (1) Cov[aX, bY ] = abCov[X, Y ] (2) Cov[a + X, b + Y ] = Cov[X, Y ] (3) Var[aX + bY ] = a2 Var[X] + b2 Var[Y ] + 2abCov[X, Y ] (4) Var[aX − bY ] = a2 Var[X] + b2 Var[Y ] − 2abCov[X, Y ] (5) Cov[X, Y ] Cov[X, Y ] Corr[X, Y ] = p p = (6) Var[X] Var[Y ] Std[X]Std[Y ] Antag X1 ,... , Xn er stokastiske variable og a1 ,... , an er konstanter, da gælder n n X n n ! X X X X Var ai Xi = ai aj Cov[Xi , Xj ] = a2i Var(Xi ) + 2 ai aj Cov[Xi , Xj ] (7) i=1 i=1 j=1 i=1 1≤i KU. Idet konveksiteten kan ses som et mål for den tidsmæssige spredning af betalingerne, og forplig- telsen i vores tilfælde kun består af en enkelt betaling vil konvektsiteten på obligationsportføljen automatisk blive større end konveksiteten på forpligtelsen. Vi behøver derfor ikke at bekymre os om Kpf > KU. Lad nu W1 : beløb der skal investeres i obligation 1, 3% annuitet lån W2 : beløb der skal investeres i obligation 2, 6% stående lån Side 11 af 17 og V1 og V2 betegne de to varigheder på obligationerne. Da skal vi have at U = W1 + W2 W1 W2 VU = V1 + V2 , U U hvor vi bruger (5.18), der gælder med lighedstegn da vi har flad rentestruktur, til at bestemme varigheden på porteføljen. Ovenstående er to ligninger med to ubekendte der let kan løses og det følger fra (5.27) at V2 − VU VU − V1 W1 = U W2 = U. V2 − V1 V2 − V1 Ved indsættelse følger nu at porteføljen der immunisterer forpligtelsen er givet ved V2 − VU W1 = · U = 757.022,63 V2 − V1 VU − V1 W2 = · U = 223.273,42. V2 − V1 Det vil sige vi skal investere for 757.022,63 kr. i obligation 1 og for 223.273,42 kr. i obligation 2. Dette svarer til at vi skal købe W1 757.022,63 = = 7.351,52 stk. af obl. 1 P1 102,9750 og W2 223.273,42 = = 1.868,24 stk. af obl. 2 P2 119,5098 hvilket svarer til en nominel beholdning på Nom. beholdning af obl. 1: 7.351,52 × 100 = 735.151,99 kr. Nom. beholdning af obl. 2: 1.868,24 × 100 = 186.824,32 kr. under antagelse af at de to obligationers nominelle værdi er 100. Den procentvise vægt vi skal holde i hhv. obligation 1 og 2 er givet ved 757.022,63 223.273,42 z1 = = 0,7722 og z2 = = 0,2278. 980.296,05 980.296,05 Da vi har en flad rentestruktur fås endvidere at porteføljens konveksitet er givet ved Kpf = z1 K1 + z2 K2 = 7,1870 som ses at være højere end forpligtelsens konveksitet på KU = 6. Side 12 af 17 Opgave 3.4 Antag at umiddelpart efter du har investeret i porteføljen fundet i opgave 3.3 da falder diskonteringsrenten til 0.5%. Vil der være en forskel på differensen mellem nutidsværdien af forpligtelsen og nutidsværdien af porteføljen før og efter rentefaldet? Forklar kort i ord hvor- for/hvorfor ikke. Svar: Hvis diskonteringsrenten falder til 0,5% vil både nutidsværdien af porteføljen og forpligtel- sen stige. Inden rentefaldet vil differensen mellem porteføljens og forpligtelsens nutidsværdi være nul (da porteføljen immuniserer forpligtelsen). Efter rentefaldet vil nutidsværdien af porteføljen og forpligtelsen som sagt stige, men værdien af porteføljen vil stige mest, da den har den højeste konveksitet. Det vil sige der vil være en positiv difference i porteføljens favør. OPGAVE 4 (25%) Betragt et finansielt marked hvor CAPM er opfyldt. Den risikofri rente er rf = 1% og markedsporteføljen har et forventet afkast på E[rM ] = 6% og en standardafvigelse på afkastet på σM = 20%. Opgave 4.1 Aktie A har et forventet afkast på 10% og en standardafvigelse på afkastet på 40%. Bestem aktie A’s beta-værdi samt korrelationen mellem afkastet på aktie A og afkastet på markedsporteføljen. Svar: Da CAPM er opfyldt ved vi at E[rA ] − rf E[rA ] = rf + βA (E[rM ] − rf ) ⇒ βA = E[rM ] − rf så vi finder at 0.10 − 0.01 βA = = 1.80 0.06 − 0.01 Korrelationen mellem afkastet på aktie A og afkastet på markedsporteføljen bestemmes ved brug af definitionen på beta σiM 2 βi = 2 ⇒ σiM = βi σM σM så det følger at 2 σiM βi σM βi σM 1.8 · 0.20 ρiM = = = = = 0.90. σi σM σi σM σi 0.40 Opgave 4.2 Standardafvigelsen på afkastet på aktie B er på 15% og korrelationen mellem afkastet på aktien og afkastet på markedsporteføljen er på 0,65. Bestem det forventede afkast på aktie B. Side 13 af 17 Svar: Vi starter med at bestemme aktie B’s beta værdi, hvor vi igen bruger forholdet at βi σM ρiM σi ρiM = ⇒ βi = σi σM så 0.65 · 0.15 βB = = 0.4875 0.20 og vi finder dermed at E[rB ] = rf + βB (E[rM ] − rf ) = 0.01 + 0.49 (0.06 − 0.01) = 0.0344. Antag nu at markedet kun består af de to aktier, aktie A og aktie B, samt det risikofri aktiv. Opgave 4.3 Bestem porteføljevægtene i markedsporteføljen sådan at CAPM er opfyldt. Bestem endvidere korrelationen mellem afkastet på aktie A og afkastet på aktie B. Svar: Markedsporteføljen har et beta på 1 og består af alle usikre aktiver. Når vi har at markedet kun består af de to aktier A og B følger at 1 − βB 1 − 0.4875 wA βA + (1 − wA ) βB = 1 ⇒ wA = = = 0.3905 βA − βB 1.8000 − 0.4875 og dermed skal vi holde wB = 1 − wA = 0.6095 i aktie B. Når vi kender de to vægte kan vi også bestemme korrelationen mellem de to aktier da vi har at 2 2 2 2 2 σM = wA σ A + wB σB + 2wA wB σA σB ρAB hvor vi kender alt pånær ρAB. Vi finder altså at 2 − w2 σ 2 − w2 σ 2 σM A A B B ρAB = = 0.2537. 2wA wB σA σB Betragt nu Inge som ønsker at investere i markedsporteføljen samt det risikofri aktiv. Inges præferencer beskrives ud fra en middelværdi-varians nyttefunktion og hun ønsker at maksimere forholdet 1 E[r] − AVar[r] 2 hvor E[r] og Var[r] angiver hhv. det forventede afkast og variansen på afkastet på Inges samlede portefølje og A angiver Inges risiko aversion. Side 14 af 17 Opgave 4.4 Antag at der ikke er nogle porteføljerestriktioner og vis at Inges optimale vægt i markedsporteføljen er givet ved 1 E[rM ] − rf wp∗ = 2. A σM Bestem Inges optimale portefølje, hvis hun har en risikoaversion på hhv. 1, 5 og 10. Bestem det forventede afkast og standardafvigelsen på afkastet på Inges samlede portefølje i alle tre tilfælde. Svar: Vi har at det forventede afkast på Inges samlede portefølje er givet ved E[rC ] = wp E[rM ] + (1 − wp ) rf og variansen på afkastet er givet ved 2 σC = wp2 σM 2. Vi har at Inge ønsker at maksimere 1 1 U (wp ) = E[rC ] − AVar[rC ] = wp E[rM ] + (1 − wp ) rf − Awp2 σM 2 2 2 hvilket gøres ved at differensiere mht. wp og sætte lig med nul 1 E[rM ] − rf U 0 (wp ) = E[rM ] − rf − Awp σM 2 =0 ⇒ wp∗ = 2 A σM som ønsket vist. Inges optimale portefølje, det forventede afkast og standardafvigelse på afkastet er angivet i nedenstående tabel A wp (1 − wp ) E[rC ] σC 1 1.2500 -0.2500 0.0725 0.2500 5 0.2500 0.7500 0.0225 0.0500 10 0.1250 0.8750 0.0163 0.0250 Opgave 4.5 Antag nu at kort-salg ikke er tilladt og bestem Inges optimale portefølje, hvis hun har en risikoaversion på hhv. 2, 5 og 10. Bestem det forventede afkast og standardafvigelsen på afkastet på Inges samlede portefølje i de tre tilfælde. Svar: Hvis Inge ikke må gå kort kan man enten bestemme den optimale strategi ved brug af problemløseren i excel hvor vi maksimere Inges nytte. Alternativt kan vi betragte løsningen i tilfældet hvor hun gerne må gå kort. Det ses at for en risikoaversion på hh. 5 og 10 da går Inge ikke kort og Inges optimale portefølje vil derfor være identisk i de to scenarier. For A = 1 tager Side 15 af 17 Inge en kort position i det risikofri for at geare markedsporteføljen. Det må hun ikke hvis hun ikke må gå kort - det bedste hun derfor kan gøre er at investere 100% i markedsporteføljen. OPGAVE 5 (20%) I tabel 2 ses Excel-outputtet fra følgende lineær regression RJPM = αJPM + βJPM RM + eJPM , hvor RJPM angiver mer-afkastet på JPMorgan Chase og Co. aktien (benævnes JPM) og RM angiver mer-afkastet på markedsindekset, som antages at være givet ved SPY-indekset.2 Mer- afkastene er beregnet som afkastet minus 1 måneders renten på den amerikanske statsobligation. Den lineære regression er baseret på 60 månedlige observationer fra december 2011 til november 2016. I tabel 3 ses summary statistics for det anvendte data, hvor de to kolonner refererer hhv. til mer-afkastet på JPM-aktien og mer-afkastet på markedsindekset, SPY. Opgave 5.1 Angiv og fortolk JPM’s alpha. Er JPM’s alpha signifikant forskellig fra nul? Svar: Estimatet for JPMs alpha er α̂JPM = 0,00306, og angiver den del af det forventede afkast på JPM aktien som ikke kan tilskrives bevægelser i markedsporteføljen. Det ses at der er en sandsynlighed på 66,63% for at få den givne alpha-værdi under antagelse af at den sande værdi er nul. Derudover har vi en t-værdi på 0,43341 og altså et pænt stykke under 2. Det vil sige vores alpha-estimat er ikke signifikant forskellig fra nul, hvilket også bekræftes af konfidensintervallet som er givet ved (-0,01107; 0,01719) og indeholder 0. Opgave 5.2 Hvad er den samlede varians på JPM’s mer-afkast? Hvor stor er den systematiske risiko? Hvor stor er den usystematiske (virksomhedsspecifikke) risiko? Svar: Den samlede varians på et aktivs mer-afkast er ifølge Indeksmodellen givet ved σi2 = Var (αi + βi RM + ei ) = β 2σ2 + σe2i | i{zM} |{z} systematisk risiko usystematisk risiko 2 Vores estimater for hhv. σJPM 2 kan aflæses i Summary Statistics til hhv. σ 2 og σM JPM = 0,00466 2 = 0,00090. Det følger dermed at den samlede varians er givet ved σ 2 og σM JPM = 0,00466, mens den systematiske varians er givet ved 2 2 β̂JPM σM = 1,513182 · 0,00090 = 0,002061 og den usystematiske varians kan endelig bestemmes til σe2JPM = σJPM 2 2 − β̂JPM 2 σM = 0,00466 − 0,002061 = 0,002599. 2 SPY er en ETF (Exchange Traded Fund) som følger kursudviklingen i S&P500 indekset. Side 16 af 17 Opgave 5.3 Hvad ville det forventede månedlige mer-afkast på JPM-aktien være under antagelse af CAPM? Sammenlign dit resultat med det observerede gennemsnitlige månedlige mer-afkast over sample perioden. Svar: Under antagelse af CAPM skal der gælde at E[RJPM ] = βJPM E[RM ] = 1.51318 · 0.01082 = 0,01637 men det ses jf. Summary statistics at E[RJPM ] = 0.01942, altså er CAPM ikke opfyldt. Forskellen mellem CAPM-afkastet og det observerede er lig med 0,00305 som er lig aktiens alpha-værdi. Bemærk at aktiens alpha-værdi er jf. regressionsoutputtet 0,00306 - forskellen på de 0,00001 skyldes afrundingsfejl. Opgave 5.4 Dan en portefølje bestående af SPY-indekset og JPM-aktien som ikke har nogen systematisk risiko. Vil denne portefølje være risikofri? Hvorfor/hvorfor ikke? Svar: Vi skal danne en portefølje som har et beta på nul, dvs. vi skal bestemme den portefølje som opfylder at wJPM βJPM + wM = 0 wJPM + wM = 1 hvor første ligning sikrer os at vi får et beta på nul (bemærk vi gør brug af at vi ved at βM = 1), mens den anden ligning sikrer at vores porteføljevægte summer til 1. Det følger fra ligning et at wM = −wJPM βJPM , hvilket vi indsætter i ligning to og får at wJPM − wJPM βJPM = 1 ⇒ wJPM (1 − βJPM ) = 1 1 ⇒ wJPM = 1 − βJPM og dermed at βJPM wM = −wJPM βJPM = − 1 − βJPM Ved indsættelse fås at wJPM = -1,9486 og wM = 2,9486. Porteføljen er ikke risikofri, da det kun er den systematiske risiko der er elimineret, der er stadig usystematisk risiko fra investeringen i JPM. Side 17 af 17 Regression Statistics Multiple R 0,66571 R2 0,44317 Adj. R2 0,43357 Std. Error 0,05139 # Observ. 60 ANOVA df SS MS F Significance F Regression 1 0,12190 0,12190 46,16068 0,00000 Residual 58 0,15317 0,00264 Total 59 0,27507 Coefficients Std. Error t Stat P-value Lower 95% Upper 95% Intercept 0,00306 0,00706 0,43341 0,66632 -0,01107 0,01719 Mkt-rf 1,51318 0,22272 6,79417 0,00000 1,06736 1,95900 Tabel 2: Output fra en lineær regression i Excel af mer-afkastet på JPM på mer-afkastet på markedet. JPM SPY Mean 0,01942 0,01082 Median 0,03076 0,01179 Standard Deviation 0,06828 0,03004 Sample Variance 0,00466 0,00090 Kurtosis 2,24475 0,12503 Skewness -0,74368 -0,23763 Count 60 60 Tabel 3: Summary Statistics for mer-afkastet på hhv. JPM-aktien og SPY-indekset. CAND.MERC.-LINIEN I FINANSIERING OG REGNSKABSVÆSEN PORTEFØLJETEORI Eksamen, december 2017 Vejledende besvarelse Generel information: Eksamenssættet består af 5 nummererede sider. Vær sikker på at det er muligt at følge hvert trin i dine beregninger. Din eksamensbesvarelse skal afleveres som en PDF-fil og det er ikke muligt for censor/eksaminator at se hvad der foregår i cellerne i et regneark. Hvis du mener at der ikke er tilstrækkelig information til at løse et problem, så skriv tydeligt hvilke antagelser du gør for at løse problemet. Begynd venligst hver opgave på en ny side i din besvarelse. Held og lykke med eksamen! Side 1 af 17 OPGAVE 1 (25%) Antag at de aktuelle nulkuponrenter over de næste fem år er givet ved År til udløb, n 1 2 3 4 5 Nulkuponrente, yn 0,5% 0,8% 1,1% 1,3% 1,5% Opgave 1.1 Opstil ydelsesrækken for en 2-årig serieobligation med en hovedstol på DKK100, en kuponrente på 1%, én årlig termin og præcis to år til udløb. Bestem den aktuelle kurs på obligationen, bestem obligationens effektive rente og dens Macaulay-varighed. Svar: Ydelsesrækken for den 2-årig serieobligation ses i tabel 1. Den aktuelle kurs bestemmes ud fra tn Yt (1 + yt )−t = 100,448, X B= t=t1 hvor ydelserne, Yt , fremgår af ydelsesrækken og nulkuponrenten, yt , fremgår af ovenstående tabel. Mellemregningerne kan ses i tabel 1 i kolonnen med titlen “Nutidsværdi”. Den effektive rente bestemmes ved brug af solveren, hvor vi finder den rente y der sikrer at tn Yt (1 + y)−t = 0 X B− ⇒ y = 0,0070. t=t1 Varigheden bestemmes ud fra tn X Yt (1 + y)−t D= wt t, hvor wt = t=t1 B hvor det bemærkes at vægtene er beregnet ud fra obligationens effektive rente. Vægtene samt obligationens varighed fremgår af tabel 1 og det følger at D = 1,496. Termin Rente Afdrag Ydelse Nutidsværdi Eff. rente w Varighed 1 1,0 50,00 51,00 50,746 50,646 0,504 0,504 2 0,5 50,00 50,50 49,702 49,802 0,496 0,992 100,448 100,448 1,000 1,496 Tabel 1: Besvarelse af delopgave 1.1 Opgave 1.2 Opstil ydelsesrækken for en 5-årig stående obligation med en hovedstol på DKK100, en kuponrente på 2%, én årlig termin og præcis fem år til udløb. Bestem den aktuelle kurs på obligationen, bestem obligationens effektive rente og dens Macaulay-varighed. Side 2 af 17 Termin Rente Afdrag Ydelse Nutidsværdi Eff. rente w Varighed 1 2 0 2 1,990 1,971 0,019 0,019 2 2 0 2 1,968 1,942 0,019 0,038 3 2 0 2 1,935 1,914 0,019 0,056 4 2 0 2 1,899 1,886 0,018 0,074 5 2 100 102 94,683 94,764 0,925 4,624 102,476 102,476 1,000 4,810 Tabel 2: Besvarelse af delopgave 1.2. Svar: Ydelsesrækken samt diverse mellemregniger ses i tabel 2. Ved brug af samme formler som i opgave 1.1 fås at B = 102,476, y = 0,0148 og D = 4,810. Antag at du har udstedt en garanti på at udbetale DKK1.000.000 om fire år fra nu. Opgave 1.3 Bestem nutidsværdien af garantien. Hvilken portefølje af de to ovenstående obliga- tioner kan immunisere garantien? Svar: Nutidsværdien af garantien er givet ved NV(garanti) = 1.000.000 (1 + 0,013)−4 = 949.647,04 kr. Lad W1 (W2 ) angive beløbet der skal investeres i serieobligationen (stående obligation), D1 (D2 ) angiver serieobligationens (den stående obligations) varighed, U er lig nutidsværdien af garantien og DU er lig garantiens varighed. Eftersom garantien kun består af en betaling og udløber præcis om 4 år har vi at DU = 4. Det kan nu vises at porteføljen som immuniserer garantien består af en investering på D2 − DU W1 = U = 232.198,47 kr D2 − D1 i serieobligatione og en investering på DU − D1 W2 = U = 717.448,57 kr D2 − D1 i den stående obligation. Det betyder at vores portefølje består af W1 N1 = = 2.311,63 enheder af serieobligationen og B1 W2 N2 = = 7.001,16 enheder af den stående obligation, B2 hvor B1 og B2 angiver prisen på hhv. serieobligationen og den stående obligation. Lige efter du har investeret i porteføljen ændrer rentekurven sig og antager følgende værdier Side 3 af 17 År til udløb, n 1 2 3 4 5 Nulkuponrente, yn 1,5% 1,2% 1,0% 1,0% 1,0% Opgave 1.4 Hvor meget ændrer kursen sig på obligationen fra hhv. delopgave 1.1 og delopgave 1.2? Kommenter på dine resultater i relation til de to obligationers varigheder. Svar: Med den nye rentekurve bliver kursen på serieobligationen B1 = 99,556. Det vil sige kursen falder med 0,892 kr, svarende til et fald på 0,89%. Kursen på den stående obligation stiger med 2,360 kr, dvs. den stiger til B2 = 104,836 svarende til en stigning på 2,30%. Til trods for at vi ikke har en flad rentestruktur og ændringen i rentekurven ikke sker i form af en parallelforskydning får vi at det er obligationen med den største varighed der ændrer sig mest som forudsagt af Macaulay’s risikomål. Opgave 1.5 Beregn den nye nutidsværdi af garantien. Bestem endvidere værdien af immunise- ringsporteføljen fra delopgave 1.3. Har din immuniseringsstrategi været en succes? Kommenter på dine resultater. Svar: Nutidsværdien af garantien bliver nu NV(garanti) = 1.000.000 (1 + 0,01)−4 = 960.980,34. dvs. værdien stiger med 1,19%. Værdien af immuniseringsporteføljen bliver N1 × 99,556 + N2 × 104,836 = 964.109,23 som ses at være højere end nutidsværdien af garanatien. Immuniseringsstrategien har derfor været en succes. Immuniseringsstrategien bygger på den urealiske antagelse at vi har en flad rentestruktur og at renteændringer kun sker i form af parallelle skift. Ingen af de to antagelser er opfyldt i dette tilfælde og der er derfor ingen garanti for at immuniseringsstrategien vil være en succes. OPGAVE 2 (40%) Du er lige startet som porteføljemanager ved den velkendte og yderst succesrige investeringsforening Life is Good. Din kollega Xander-Claus har lidt for travlt her i julen og har ikke meget tid til at sætte dig ind i tingene. Han fortæller dig dog at Life is Good antager at afkastene på de usikre aktiver i det finansielle marked er givet ved markedsmodellen, dvs. ri − rf = αi + βi (rm − rf ) + ei. Side 4 af 17 Derudover giver Xander-Claus dig et ark med følgende information om de fire aktiver du skal danne en portefølje ud fra: E[ri ] αi βi σei σi Aktiv 1 0,067 0,015 0,8 0,08 Aktiv 2 0,010 0,6 0,20 Aktiv 3 -0,010 2,0 0,10 Aktiv 4 0,060 0,000 1,0 0,00 0,12 På vej ud af døren råber Xander-Claus, at du skal antage, at det risikofri aktiv giver et afkast på rf = 2%. Opgave 2.1 Forklar hvorfor aktiv 4 kan antages at være lig med markedsporteføljen. Bestem efterfølgende de manglende informationer i ovenstående tabel samt de fire aktivers varians- kovariansmatrice. Svar: Vi starter med at bemærke at aktiv 4 er lig med markedsporteføljen da vi har at β4 = 1 og α4 = 0 så det følger dermed direkte fra markedsmodellen at E[r4 ] = E[rm ]. Til at bestemme det forventede afkast på aktiv 2 og 3 benytter vi at E[ri ] = rf + αi + βi (E[rm ] − rf ) og vi finder at E[r2 ] = 0,054 og E[r3 ] = 0,090. Til at bestemme de manglende værdier med hensyn til standardafvigelserne benytter vi at σi2 = βi2 σm 2 + σe2i og at vi jævnfør informationen vedr. aktiv 4 har at σm = 0,12. Vi finder at q q 2 2 2 σ1 = β1 σm + σe1 = 0,1250 og σ3 = β32 σm2 + σ 2 = 0,2600 e3 og q σe2 = σ22 − β22 σm 2 = 0,1870 Varians-kovariansmatricen bestemmes ved at gøre brug af at vi i markedsmodellen har at kova- 2 og det følger at varians-kovariansmatricen riansen mellem aktiv i og j er givet ved σij = βi βj σm er givet ved   0,0156 0,0069 0,0230 0,0115    0,0069 0,0400 0,0173 0,0086    Σ=     0,0230 0,0173 0,0676 0,0288    0,0115 0,0086 0,0288 0,0144 Side 5 af 17 Da du ikke har fået nogle videre informationer fra Xander-Claus starter du med at beregne forskellige porteføljesammensætninger som du tænker kan have interesse for Life is Good. Opgave 2.2 Antag at der ikke er nogen porteføljebegrænsninger og bestem den porteføljesam- mensætning af de fire usikre aktiver som giver den mindst mulige varians på afkastet. Diskuter kort om porteføljesammensætningen giver god mening og bestem porteføljens forventede afkast og standardafvigelse på afkastet. Hvordan ændrer dine svar sig hvis du ikke må gå kort? Svar: Vi har at     0,067 0,0156 0,0069 0,0230 0,0115      0,054   0,0069 0,0400 0,0173 0,0086      µ=    og Σ=     0,090   0,0230 0,0173 0,0676 0,0288      0,060 0,0115 0,0086 0,0288 0,0144 For at gøre nogle af de forestående udregninger nemmere kan vi starte med at bestemme de fire konstanter A = µ0 Σ−1 µ = 0,4057, B = µ0 Σ−1 1 = 7,9672, C = 10 Σ−1 1 = 180,2900 og D = AC − B 2 = 9,6693. Minimum-varianseporteføljen er givet ved   0,1733   −1 0,0637    1 −1 Σ 1  π min = Σ 1 = 0 −1 =    C 1 Σ 1  −0,5547     1,3176 Det forventede afkast, varians og standardafvigelse på afkastet bestemmes til B E[rmin ] = = π 0min µ = 0,0442 = 4,42% C 1 2 σmin = = π 0min Σπ min = 0,0055 C q σmin = 2 σmin = 0,0745 = 7,45%. Det ses at vi tager den største vægt i aktiv 4 som er den af de fire aktiver der har den laveste standardafvigelse. Dernæst følger aktiv 2 som har den næstmindste varians. Aktiv 3 med den højeste standardafvigelse går vi kort for at kunne geare positionen i aktiv 4 og dermed reducere den samlede varians på porteføljen. Hvis vi ikke må gå kort har vi ikke en lukket løsning og eftersom vi tager en kort position i aktiv 3 vil vores minimum-variansportefølje ændre sig hvis vi ikke må tage korte positioner. Ved brug Side 6 af 17 af Solveren i Excel, hvor vi minimerer porteføljens varians finder vi at π min = (0,3892; 0,1431; 0,0000; 0,4677)0 hvor det ses at vi nu ikke længere går kort i aktiv 3 og dermed også tager en væsentlig mindre vægt i aktiv 4. Det er dog stadig aktiv 4 som har den mindste varians der dominerer porteføljen. Det forventede afkast, varians og standardafvigelse på afkastet bestemmes til E[rmin ] = π 0min µ = 0,0619 = 6,19% 2 σmin = π 0min Σπ min = 0,0125 q σmin = σmin 2 = 0,0745 = 11,16%. Som forventet har porteføljen uden kort-salg en højere varians. Opgave 2.3 Antag at der ikke er nogen porteføljebegrænsninger og bestem tangentporteføljen. Diskuter kort om porteføljesammensætningen giver god mening og bestem porteføljens forven- tede afkast og standardafvigelse på afkastet. Hvordan ændrer dine svar sig hvis du ikke må gå kort i de usikre aktiver? Svar: Tangentporteføljen er givet ved Σ−1 (µ − rf 1) Σ−1 (µ − rf 1) π tan = = 0 −1 B − Crf 1 Σ (µ − rf 1) Vi starter med at bestemme nævneren i Excel Nævner = 10 Σ−1 (µ − rf 1) = B − Crf = 4,3614 og vi finder i Excel at   0,5374   0,0659   1 −1   π tan = Σ (µ − rf 1) =    4,3614  −0,2293     0,6260 Tangentporteføljen er den porteføljen af alle mulige porteføljer der maksimerer Sharpe Ratio. Hvis vi beregner Sharpe ratio for de fire aktiver ses at de to aktiver der har de højeste Sharpe ratios også er de aktiver der dominerer porteføljen nemlig aktiv 1 og aktiv 4. Det forventede afkast, varians og standardafvigelse på afkastet bestemmes til E[rtan ] = π 0tan µ = 0,0565 = 5,65% 2 σtan = π 0tan Σπ tan = 0,0084 p σtan = σtan 2 = 0,0915 = 9,15%. Side 7 af 17 Igen ses at vi tager en kort position i aktiv 3 og porteføljen vil dermed ændre sig hvis vi ikke må gå kort. Hvis vi ikke må gå kort bestemmes tangentporteføljen ved at finde den portefølje der maksimerer Sharpe ratio og hvor porteføljevægtene summer til én. Vi finder at π tan = (0,6972; 0,0854; 0,0000; 0,2173)0 og det forventede afkast, varians og standardafvigelse på afkastet bestemmes til E[rtan ] = π 0tan µ = 0,0644 = 6,44% 2 σtan = π 0tan Σπ tan = 0,0132 p σtan = σtan 2 = 0,1149 = 11,49%. Opgave 2.4 Antag at der ikke er nogle porteføljebegrænsninger og skitser den efficiente rand både i tilfældet hvor du kun har mulighed for at handle i de usikre aktiver og i tilfældet hvor du også har mulighed for at handle i det risikofri aktiv. Illustrer efterfølgende i samme figur tilfældet hvor du har adgang til at handle alle aktiver, men ikke må gå kort i de usikre aktiver. Svar: Se figur 1. Den blå kurve illustrerer den efficiente rand når du kun har mulighed for at handle i de usikre aktiver og gerne må gå kort. Den grønne kurve viser den efficiente rand når du gerne må gå kort og også har adgang til at handle i det risikofri aktiv. Endelige viser den lilla kurve den efficiente rand når du har adgang til alle aktiver (dvs. de usikre og det risikofri aktiv), men ikke må gå kort. Den ses at ligge under den grønne kurve som forventet. I delopgave 2.5 til delopgave 2.7 er der ingen kort-salgsbegrænsninger. Opgave 2.5 Forklar i egne ord hvorfor du kan anvende Treynor-Black modellen i det givne setup til at bestemme en optimal investeringsstrategi. Bestem herefter den optimale aktive portefølje, dvs. bestem hvor stor en andel der skal investeres i hver af de aktiver der skal indgå i den aktive portefølje. Diskuter kort om porteføljesammensætningen giver god mening og bestem herefter porteføljen’s alpha, beta, forventede afkast, standardafvigelsen og Sharpe ratio? Svar: Vi har et setup hvor vi har mulighed for at handle i markedsporteføljen samt tre aktiver som alle har et alpha forskellig fra nul. Treynor-Black modellen giver os lige præcis opskriften på den optimale investeringsstrategi i et sådan setup. Jævnfør Theorem 12.2 har vi at den optimale aktive portefølje er givet ved αi Var[ei ] πi = PK αk k=1 Var[ek ] hvor K = 3 i vores tilfælde da vi har tre aktiver med et alpha forskellig fra nul. Vi starter med at αi bestemme de tre værdier for Var[ei ]. Dette gøres i Excel og i nedenstående tabel ses de beregnede værdier. Side 8 af 17 0,10 0,09 aktiv3 0,08 0,07 aktiv1 Tangent u. kort‐salg Forventet afkast 0,06 aktiv4 Tangent m. kort‐salg aktiv2 0,05 Min. m. kort‐salg 0,04 0,03 0,02 0,01 0,00 0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 Standardafvigelsen på afkastet Figur 1: Besvarelse af opgave 1.4. E[ri ] αi βi σei σi αi /Var[ei ] Aktiv 1 0,067 0,015 0,8 0,080 0,1250 2,344 Aktiv 2 0,054 0,010 0,6 0,187 0,2000 0,287 Aktiv 3 0,090 -0,010 2,0 0,100 0,2600 -1,000 1,631 Det følger nu ved indsættelse af de fundne værdier at   1,4370   π A =  0,1761      −0,6131 Den optimale aktive porteføljes alpha og beta bestemmes ved at bruge at porteføljens beta og alpha er lig det porteføljevægtede gennemsnit, dvs. vi finder at αA = π 0A α = 0,0294 og βA = π 0A β = 0,0290 Det forventede afkast på porteføljen kan nu bestemmes ud fra E[rA ] = rf + αA + βA (E[rm ] − rf ) = 0,0506. Variansen og dermed standardafvigelsen på den aktive porteføljes afkast bestemmes ved brug af Side 9 af 17 standardformlen, dvs. 2 σA = π 0A Σπ a = 0,0181 ⇒ σA = 0,1344 = 13,44%. Endelig mangler vi at bestemme Sharpe ratio som er givet ved E[rA ] − rf SRA = = 0,2277. σA Opgave 2.6 Hvad er den optimale kombination af markedsporteføljen og den aktive portefølje? Diskutér dine resultater i forhold til dine resultater i opgave 2.3. Bestem Sharpe ratio på den samlede kombinerede portefølje og sammenlign med Sharpe ratio på markedsporteføljen. Svar: Fra Theorem 12.1 følger at den optimale kombination af markedsporteføljen og den aktive portefølje er givet ved en andel på αA ∗ Var[eA ] wA = E[rm ]−rf = 0,3740 αA Var[rm ] + (1 − βA ) Var[eA] ∗ = 0,6260 i markedsporteføljen. Vi har i udregningen i den aktive portefølje og en andel på 1 − wA benyttet at 2 2 2 Var[eA ] = σA − βA σm = 0,0181 Hvis vi sammenholder vores resultat med tangentporteføljen i delopgave 2.3 ses at vægten vi skal holde i markedsporteføljen lige præcis er lig med vægten i aktiv 4 i tangentporteføljen. Dette giver god mening da den optimale kombination lige præcis går ind og maximerer Sharpe ratio, hvilket også er tilfældet for tangentporteføljen. Det følger endvidere fra Theorem 12.1 at Sharpe ratio på den kombinerede portefølje opfylder at 2 2 2 αA (SRp ) = (SRm ) + Std[eA ] så Sharpe ratio på den kombinerede portefølje er givet ved v  2 u 2 u E[rm ] − rf αA u SRp = t + q  = 0,3989 σm 2 2 2 σA − βA σm som ses at være højere end Sharpe ratio på markedsporteføljen som er lig med E[rm ] − rf SRm = = 0,3333. σm Side 10 af 17 Opgave 2.7 Skitsér i et middelværdi-standardafvigelsesdiagram markedsporteføljen, den aktive portefølje og den kombinerede portefølje. Forklar og illustrer ud fra diagrammet, hvilke por- teføljer en investor med middelværdi-varians præferencer vil investere i når han mulighed for at investere i (i) markedsporteføljen og det risikofri aktiv (ii) markedsporteføljen, den aktive portefølje og det risikofri aktiv. Svar: Se figur 2. Hvis investoren kun har mulighed for at handle i markedsporteføljen og det risikofri aktiv vil han investere i en portefølje der ligger på den grønne linje i figur 2. Jo mere risikoavers han er jo mere vil han holde i det risikofri aktiv og jo mindre i markedsporteføljen. Hvis investoren også har mulighed for at handle i den aktive portefølje vil han investere i en samlet portefølje der ligger på den lilla linje. Han vil investere i en portefølje som består af en investering i det risikofri og en investering i porteføljen som kombinerer markedsporteføljen og den aktive portefølje. Det vil sige den portefølje som på figuren kaldes den optimale kombina- tionsportefølje. Det ses at hældningen på den lilla linje er stejlere end på den grønne, hvilket er i overensstemmelse med at Sharpe ratio på den kombinerede optimale portefølje er højere end Sharpe ratio på markedsporteføljen. Opgave 2.8 Hvis du ikke må tage korte positioner i de usikre aktiver, hvad bliver da den optimale kombination af markedsporteføljen og den aktive portefølje? Svar: Hvis vi ikke må gå kort vil vi ikke investere i aktiv 3, da det kun vil give mening at handle denne hvis vi må korte den. Den optimale kombination følger direkte fra delopgave 2.3, hvor vi har bestemt tangentporteføljen under antagelse af ingen kort salg. Husk tangentporteføljen er den portefølje der maksikerer Sharpe ratio over alle porteføljer, hvilket præcis er det der gøres når vi ∗. Det følger at andelen der skal holdes i markedsporteføljen er 1 − w ∗ = 0,2173 skal bestemme wA A ∗ = 0,7827 i den aktive portefølje. og dermed skal der holdes en andel på wA Alternativt, kunne vi ligesom i delopgave 2.5 og 2.6 starte med at bestemme den aktive portefølje som nu kun kommer til at bestå af to aktiver, nemlig aktiv 1 og aktiv 2. Den aktive portefølje bestemmes igen ud fra αi Var[ei ] πi = PK αk k=1 Var[ek ] Side 11 af 17 0,08 0,07 0,06 Markedspf. Optimale kombinationspf. 0,05 Aktive pf. Forventet afkast 0,04 0,03 0,02 0,01 0,00 0,00 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10 0,12 0,14 0,16 Standardafvigelsen på afkastet Figur 2: Besvarelse af opgave 1.7. α1 α2 hvor Var[e1 ] og Var[e2 ] er uændret, men K X αk = 2,631 Var[ek ] k=1 da vi ikke investerer i aktiv 3. Det følger ved indsættelse at   0,8908 πA =   0,1092 Den optimale aktive porteføljes alpha og beta bestemmes på samme måde som ovenfor og vi finder at αA = π 0A α = 0,0145 og βA = π 0A β = 0,7782 Det forventede afkast på porteføljen er givet ved E[rA ] = rf + αA + βA (E[rm ] − rf ) = 0,0656. mens variansen og dermed standardafvigelsen på den aktive porteføljes afkast er givet ved 2 σA = π 0A Σπ a = 0,0142 ⇒ σA = 0,1192 = 11,92%. Den optimale kombination af markedsporteføljen og den nye aktive portefølje er givet ved en position på αA ∗ Var[eA ] wA = E[rm ]−rf = 0,7827 αA Var[rm ] + (1 − βA ) Var[eA] Side 12 af 17 ∗ = 0,2173 i markedsporteføljen. Vi har i udregningen i den aktive portefølje og en andel på 1 − wA benyttet at 2 2 2 Var[eA ] = σA − βA σm = 0,0055 Sharpe ratio på den kombinerede portefølje er givet ved (bliver I ikke bedt om at beregne) v  2 u 2 u E[rm ] − rf αA u SRp = t + q  = 0,3862 σm 2 σ −β σ 2 2 A A m som ses at være højere end Sharpe ratio på markedsporteføljen, men lavere end Sharpe ratio på kombinationsporteføljen når vi må gå kort. OPGAVE 3 (15%) Du har ansvaret for en portefølje hvis afkast, r, er normalfordelt med middelværdi µ og standardafvigelse σ. Da afkastet er normalfordelt gælder at vi kan skrive afkastet som r = µ + σZ hvor Z er standard normalfordelt, dvs. Z ∼ N (0,1). Opgave 3.1 Vis at for en given standardafvigelse på σ er det forventede afkast µ der sikrer dig et positivt afkast med en sandsynlighed på mindst X givet ved µ = −σN −1 (1 − X) hvor N (·) er den kumulatative standard normalfordeling og N −1 (·) angiver dermed den inverse standard normalfordeling. Svar: Vi finder at µ P (r > 0) = P (µ + σZ > 0) = 1 − P (µ + σZ ≤ 0) = 1 − P (σZ ≤ −µ) = 1 − P Z ≤ − σ og eftersom Z er standard normalfordelt fås at µ µ P (r > 0) = 1 − P Z ≤ − =1−N − σ σ hvor N (·) er den kumulatative standard normalfordeling. Det følger dermed at µ P (r > 0) = X ⇔ 1 − N − =X σ µ ⇔ N − =1−X σ µ ⇔ − = N −1 (1 − X) σ ⇔ µ = −σN −1 (1 − X) som ønsket vist. Side 13 af 17 Opgave 3.2 Hvis afkastet på din portefølje har en standardafvigelse på 15%, hvor højt skal det forventede afkast da være for at du er 95% sikker på et positivt afkast? Hvor højt skal det forventede afkast være hvis du i stedet har en standardafvigelse på afkastet på 20%? Kommenter på dine resultater. Svar: Ved indsættelse i den ovenfor fundne formel fås at hvis afkastet på min portefølje er på 15% og jeg vil være 95% sikker på et positivt afkast, da skal det forventede afkast være lig med µ = −σN −1 (1 − X) = −0,15N −1 (1 − 0,95) = 0,2467 = 24,67% Hvis vi i stedet har en standardafvigelse på 20% fås µ = −σN −1 (1 − X) = −0,20N −1 (1 − 0,95) = 0,2467 = 32,90% Det giver god mening at jo højere usikkerhed der omkring afkastet jo højere forventet afkast skal man have for at få et positivt afkast. En porteføljes Value at Risk (VaR) er defineret ud fra P(r < VaR) = p hvor r angiver porteføljens afkast og p er lig en sandsynlighed. Opgave 3.3 Forklar hvad der forstås ved en porteføljes Value at Risk hvis du sætter p = 5%. Bestem din porteføljes VaR hvis µ = 5%, σ = 15% og p = 5%. Hvad sker der med porteføljens VaR hvis du i stedet antager at p = 1%? Kommenter på dine resultater. Svar: VaR er et hale-risikomål der fortæller hvor stort et tab vi kan få hvis vi ender i venstre hale af fordelingen på afkastene. Hvis p = 5% da siger man at med en sandsynlig på 5% vil porteføljen give et afkast der er mindre end VaR eller alternativ, der er en sandsynlighed på 1 − p = 95% for at porteføljen giver et afkast der er højere end VaR. For normalfordelte afkast gælder at en porteføljes VaR er givet ved V aR = µ + σN −1 (p). For µ = 5%, σ = 15% og p = 5% fås derfor at V aR = µ + σN −1 (p) = −0,1967. Det vil sige vi er 95% sikre på at vi får et afkast der er højere end -19,67%. Hvis vi i stedet har at p = 1% kommer vi længere ud i halen og får at V aR = µ + σN −1 (p) = −0,2990. Det vil sige vi er 99% sikre på at vi får et afkast der er højere end -29,90%. Side 14 af 17 OPGAVE 4 (20%) Med henblik på at investere et større beløb på aktiemarkedet har du kon- taktet en investeringsrådgiver. Rådgiveren forsikrer dig om, at Capital Asset Pricing Modellen (CAPM) er gældende. Du meddeler rådgiveren at du kun ønsker at investere i to bestemte ak- tier, nemlig aktien AlmostThere og aktien ChristmasTime. Rådgiveren, der er ansat i Nissernes Bank, er ikke den mest hjælpsomme og vil kun give dig følgende oplysninger: (i) En portefølje (portefølje 1) bestående af 21% af formuen anbragt i aktien AlmostThere, 33% af formuen anbragt i aktien ChristmasTime og resten anbragt i det risikofrie aktiv har et forventet afkast på E[r1 ] = 6%, en standardafvigelse på afkastet på σ1 = 8,34% og en beta-værdi på β1 = 0,556. (ii) En portefølje (portefølje 2) bestående af 40% af formuen anbragt i aktien AlmostThere, 50% af formuen anbragt i aktien ChristmasTime og resten anbragt i det risikofrie aktiv har et forventet afkast på E[r2 ] = 9%, en standardafvigelse på afkastet på σ2 = 13,44% og en beta-værdi på β2 = 0,896. (iii) Standardafvigelsen på markedsporteføljens afkast er på σm = 15% (iv) Korrelationen mellem afkastet på aktien AlmostThere og markedsporteføljen er på ρAm = 0,8, mens korrelationen mellem afkastet på de to aktier er på ρAC = 0,6. Opgave 4.1 Bestem den risikofri rente, rf , og det forventede afkast på markedsporteføljen, E[rm ]. Gør dette ved at opstille to ligninger med de to ubekendte rf og E[rm ], hvor du benytter den generelle ligning for Security Market Line (SML), det forventede afkast og beta-værdien på hver af de to porteføljer. Skitsér herefter Security Market Line (SML) i et passende diagram. Svar: Den generelle ligning for SML er givet ved E[ri ] = rf + βi (E[rm ] − rf ) som skal være opfyldt for alle aktiver. Specielt skal ligning

Cand.merc. - Finansiering og Regnskab (December 2016) PDF

Document Details

Tags

Related

Summary

Full Transcript

Upgrade to continue