Álgebra QF Teórico Primera Parte PDF

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ÁLGEBRA Primera Parte Ec. Santiago Pereira Instituto QF Ec. Santiago Pereira – 099074272 – [email protected] Instituto QF Ec. Santiago Pereira – 099074272 – [email protected] Sistema de ecuaciones lineales Tal vez lo mas importante de este curso gire en torno a los sistemas de ecuaciones. El objetivo es encontrar las incógnitas que resuelvan todas las ecuaciones del sistema simultáneamente. Es como encontrar la llave que abre todos los candados o cerraduras de una casa. 17 2 Instituto QF Ec. Santiago Pereira – 099074272 – [email protected] 3 Instituto QF Ec. Santiago Pereira – 099074272 – [email protected] Instituto QF Ec. Santiago Pereira – 099074272 – [email protected] Álgebra de Matrices Así como en Cálculo operamos y trabajamos con números y funciones, en Algebra vamos a asociar sistemas de ecuaciones con matrices. 2 4 Instituto QF Ec. Santiago Pereira – 099074272 – [email protected] 5 Instituto QF Ec. Santiago Pereira – 099074272 – [email protected] 6 Instituto QF Ec. 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Modificación de un generador Si a U (generador de S) le reemplazamos un vector por un nuevo vector CL de todos los vectores de U, este nuevo vector seguirá siendo generador. Atención: el coeficiente del vector el cual reemplazamos no puede ser 0. 101 35 Instituto QF Ec. Santiago Pereira – 099074272 – [email protected] 36 Instituto QF Ec. Santiago Pereira – 099074272 – [email protected] Instituto QF Ec. Santiago Pereira – 099074272 – [email protected] Base y dimensión Teorema Si S es un subespacio de Rn, de dimensión r V es un subconjunto de S con r vectores Si V es LI o generador de S Entonces V es base de S Un caso particular: Si V es subconjunto de Rn y V tiene n vectores, entonces es equivalente decir: V es base de Rn V es LI V es generador de Rn Ejercicios 4.4.1 a 4.3.5 pagina 107 106 37 Instituto QF Ec. Santiago Pereira – 099074272 – [email protected] Instituto QF Ec. Santiago Pereira – 099074272 – [email protected] Base y dimensión Teorema S subespacio U subconjunto de S U será base si cada vector de S se puede escribir como combinación lineal única (SCD) Teorema U subconjunto de Rn U tiene n vectores det(Mu)≠0 Entonces U será base de Rn Ejercicios 4.4.2 a 4.4.11 pagina 113 107 38 Instituto QF Ec. Santiago Pereira – 099074272 – [email protected] 39 Instituto QF Ec. Santiago Pereira – 099074272 – [email protected] 40 Instituto QF Ec. Santiago Pereira – 099074272 – [email protected] Instituto QF Ec. Santiago Pereira – 099074272 – [email protected] Rango de una matriz Generalicemos este razonamiento. Sea una matriz A de mxn. Las filas generan subespacio de Rn y las columnas generan subespacio de Rm. La matriz A y su versión escalerizada generan el mismo subespacio. El rango por fila determina la dimensión del subespacio generado por las filas de la matriz. dim [ L(FA )] = rg f (A) Teorema: sea una matriz A mxn. Ahora el rango tiene un nuevo significado. Será la dimensión de los subespacios generados por filas o columnas dim [ L(FA )] = dim [ L(C A )] dim [ L(FA )] = dim [ L(C A )] = rg f (A) 113 41 Instituto QF Ec. Santiago Pereira – 099074272 – [email protected] 42 Instituto QF Ec. Santiago Pereira – 099074272 – [email protected] Instituto QF Ec. Santiago Pereira – 099074272 – [email protected] Espacio Euclidiano u, u = (u1 ) + (u2 ) +… + (un ) 2 2 2 Caso particular: producto interno de un vector por si mismo , = + + ⋯ + Supongamos el caso de R2 en que = u, u = a 2 + b 2 Esto nos hace acordar al teorema de Pitágoras Sabemos que el “largo” del vector es…. b u a2 + b2 a Sigue… o 118 43 Instituto QF Ec. Santiago Pereira – 099074272 – [email protected] Instituto QF Ec. Santiago Pereira – 099074272 – [email protected] Espacio Euclidiano “Cuadrado de un binomio” u ± v = u ± 2 u, v + v 2 2 2 Podemos asociar esta ultima ecuación a los lados de un triangulo. Supongamos dos vectores no colineales de R2. En el caso de un triangulo rectángulo u-v observamos que se v u-v v cumple Pitágoras u-v = u + v 2 2 2 Sigue… u u 120 44 Instituto QF Ec. Santiago Pereira – 099074272 – [email protected] Instituto QF Ec. Santiago Pereira – 099074272 – [email protected] Espacio Euclidiano Vectores ortogonales De lo anterior concluimos que si dos vectores son ortogonales (perpendiculares) su producto interno es nulo u ^ v Û u, v = 0 121 45 Instituto QF Ec. Santiago Pereira – 099074272 – [email protected] 46