ادیت نهایی ریاضی 1 PDF

 ‫فهرست مطالب‬ ‫شماره صفحه‬ ‫عنوان‬...

 ‫فهرست مطالب‬ ‫شماره صفحه‬ ‫عنوان‬ ‫فصل یکم‪ :‬توابع هایپربولیک‬ ‫‪ -1-1‬شکلهای مهم توابع ‪1................................................................................................................................................‬‬ ‫‪ -2-1‬توابع هذلولوی ‪2..........................................................................................................................................................‬‬ ‫‪ -3-1‬اتحادهای هایپربولیک ‪3.............................................................................................................................................‬‬ ‫‪ -4-1‬مشتق توابع هایپربولیک ‪4.........................................................................................................................................‬‬ ‫فصل دوم‪ :‬حد و پیوستگی‬ ‫‪ -1-2‬مفهوم حد ‪6.................................................................................................................................................................‬‬ ‫‪ -2-2‬دستور هوپیتال ‪8........................................................................................................................................................‬‬ ‫‪ -3-2‬رفع ابهام صور توانی ‪11..............................................................................................................  ، 1 ، 0‬‬ ‫‪ -4-2‬پیوستگی ‪13................................................................................................................................................................‬‬ ‫فصل سوم‪ :‬مشتق‬ ‫‪ -1-3‬تعریف مشتق ‪14.........................................................................................................................................................‬‬ ‫‪ -2-3‬فرمولهای مشتق ‪11.................................................................................................................................................‬‬ ‫‪ -3-3‬مشتق مراتب باالتر ‪11...............................................................................................................................................‬‬ ‫‪ -4-3‬مشتقگیری ضمنی ‪21..............................................................................................................................................‬‬ ‫‪ -1-3‬مشتق پارامتری (زنجیرهای) ‪22..............................................................................................................................‬‬ ‫‪ -6-3‬مشتق تابع معکوس ‪22..............................................................................................................................................‬‬ ‫‪ -7-3‬مشتقپذیری ‪23..........................................................................................................................................................‬‬ ‫فصل چهارم‪ :‬کاربرد مشتق‬ ‫‪ -1-4‬معادلهی خط مماس و خط قائم ‪24.......................................................................................................................‬‬ ‫‪ -2-4‬تعیین مقدار تقریبی به کمک دیفرانسیل ‪21.......................................................................................................‬‬  ‫فهرست مطالب‬ ‫شماره صفحه‬ ‫عنوان‬ ‫‪ -3-4‬اکسترممهای یک تابع ‪26.........................................................................................................................................‬‬ ‫‪ -4-4‬صعودی و نزولی ‪28....................................................................................................................................................‬‬ ‫‪ -1-4‬تقعر و نقطهی عطف ‪21............................................................................................................................................‬‬ ‫‪ -6-4‬قضیهی مقدار میانگین ‪31........................................................................................................................................‬‬ ‫‪ -7-4‬قضیهی رول ‪31...........................................................................................................................................................‬‬ ‫فصل پنجم‪ :‬انتگرال‬ ‫‪ -1-1‬مفهوم انتگرال ‪33........................................................................................................................................................‬‬ ‫‪ -2-1‬ارتباط بین مشتق و انتگرال ‪34...............................................................................................................................‬‬ ‫‪ -3-1‬معرفی انتگرال ‪34.......................................................................................................................................................‬‬ ‫‪ -4-1‬فرمولهای انتگرال ‪34...............................................................................................................................................‬‬ ‫‪ -1-1‬روشهای انتگرالگیری (تغییر متغیر‪ ،‬جزء به جزء‪ ،‬تجزیه کسر) ‪37..............................................................‬‬ ‫‪ -6-1‬انتگرالگیری به روش تغییر متغیر مثلثاتی ‪44....................................................................................................‬‬ ‫‪ -7-1‬انتگرالگیری به روش وایرشتراس ‪46....................................................................................................................‬‬ ‫‪ sin‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪47.......................................................................................‬‬ ‫‪ -8-1‬حل انتگرالهای به فرم ‪x. cosn x dx‬‬ ‫فصل ششم‪ :‬کاربرد انتگرال‬ ‫‪ -1-6‬قضیه دوم حساب دیفرانسیل و انتگرال ‪41...........................................................................................................‬‬ ‫‪ -2-6‬مشتقگیری از انتگرال معین ‪11..............................................................................................................................‬‬ ‫‪ -3-6‬محاسبه مساحت ‪11...................................................................................................................................................‬‬ ‫‪ -4-6‬محاسبه حجم حاصل از دوران ‪12..........................................................................................................................‬‬ ‫‪ -1-6‬محاسبهی طول قوس ‪14..........................................................................................................................................‬‬  ‫فصل ‪ 1‬ـ توابع هایپربولیک‬ ‫‪ ‬تابع‬ ‫کارخانه ای که یه سری ورودی به اسم )‪ (x‬وارد آن میشود و‬ ‫یه سری خروجی به اسم )‪ (y‬از آن خارج میشود‪.‬‬ ‫ایگرگ فانکشنی یا تابعی از ‪y  f (x) :x‬‬ ‫توابع اسمهای مختلف دارند مانند‪ t(x) ، h(x) ، g(x) ، f (x) :‬و ‪...‬‬ ‫ضمن مرور شکل توابع مهم وارد بحث توابع هایپربولیک میشویم‪:‬‬ ‫اسم تابع‬ ‫ضابطه تابع‬ ‫شکل تابع‬ ‫تابع درجه ‪ 1‬یا خطی‬ ‫‪yx‬‬ ‫تابع درجه ‪2‬‬ ‫‪y  x2‬‬ ‫تابع درجه ‪3‬‬ ‫‪y  x3‬‬ ‫تابع قدرمطلق‬ ‫| ‪y | x‬‬ ‫تابع رادیکالی‬ ‫‪y x‬‬  ‫‪2‬‬ ‫تابع سینوس‬ ‫‪y  sin x‬‬ ‫تابع کسینوس‬ ‫‪y  cos x‬‬ ‫تابع نمایی‬ ‫‪y  ex‬‬ ‫تابع لگاریتمی‬ ‫‪y  Lnx‬‬ ‫‪ ‬معرفی عدد نپر‬ ‫عدد ‪( e‬عدد اویلر یا عدد نپر) عدد گنگ معروفی است و یکی از مهمترین اعداد در ریاضیات است‪ ،‬این عدد تا‬ ‫فصل اول ـ توابع هایپربولیک‬ ‫چندین رقم اعشار در زیر نوشته شده است‪:‬‬ ‫‪e  2 / 7182818254590....‬‬ ‫‪ ‬تابع نمایی ‪: ex‬‬ ‫تابعی کهه ‪ x‬در تهوان باشهد تهابع نمهایی نهام دارد و یکهی از‬ ‫مهمترین توابع نمایی ‪ e x‬میباشد‪.‬‬ ‫‪ ‬توابع هذلولوی‬ ‫برای نمایش مجموع و تفاضل توابع نمایی ‪ e x‬و ‪ e x‬توابع جدیدی تعریف میکنیم‪.‬این توابع کهه بهه توابهع‬ ‫هذلولوی (هایپربولیک) معروفند‪ ،‬خواصهی تقریبه ما مشهابه بها توابهع مثلثهاتی دارنهد‪.‬سهینوس هایپلبولیهک و‬ ‫کسینوس هایپربولیک را به صورت زیر تعریف میکنیم‪:‬‬ ‫‪e x  e x‬‬ ‫‪cos hx ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪e x  e x‬‬ ‫‪sin hx ‬‬ ‫‪2‬‬  3 cosh (0)  1 sin h (0)  0 :‫بقیهی توابع هذلولوی مشابه با توابع متناظرشان در حوزهی مثلثات تعریف میشوند‬ sin hx cos hx tan hx  cot h x  cos hx sin hx 1 1 sech x  csch x  cos hx sin hx ‫ توابع هایپربولیک‬:‫فصل اول‬ ‫ برخی اتحادهای هایپربولیک‬ 1( cosh2x  sinh2x  1 2( cosh2x  sinh2x  cosh 2x 3( 1  tanh2x  sech2x 4( csch2x  coth2x  1 5( sinh(a  b)  sinhacoshb  coshasinhb 6( cosh(a  b)  cosha.coshb  sinha.sinhb tanha  tanhb 7( tanh(a  b)  1  tanha.tanhb 1  cot ha.cot hb 8( cot h(a  b)  cot ha  cot hb  4 )‫ فرد است‬sinhx ‫ (یعنی تابع‬sinh( x)   sinhx )‫ زوج است‬coshx ‫ (یعنی تابع‬cosh(  x)  coshx )‫ مشتق توابع هذلولوی (هایپربولیک‬ (sinhx)  coshx (coshx)  sinhx (tanhx)  1  tanh2x  sech2x (coth x)  1  coth2x   csch2x (sechx)  sechx.tanhx (cschx)   cschx.cothx ‫فصل اول ـ توابع هایپربولیک‬ ‫ باشد بنابر قاعده زنجیری مشتق (مشتق تابع‬x ‫ تابعی مشتقپذیر از‬u ‫هرگاه‬ :‫مرکب) میتوان نوشت‬ y  u coshu y  sinhu  y  u sinhu y  coshu  y  u (1  tanh2u)  u sech2u y  tanhu  y  u (1  coth2u)  u csch2u y  cothu  y  u sechu.tanhu y  sechu  y  u cschu.cothu y  cschu .‫ را بدست آورید‬sinh(2 Ln2) ‫حاصل‬ :..........................................................................................................................................................................................  ‫‪5‬‬ ‫مقدار )‪ tanh(Ln 5‬را بدست آورید‪.‬‬ ‫‪:‬‬ ‫‪..........................................................................................................................................................................................‬‬ ‫‪ tanhx‬را بدست آورید‪.‬‬ ‫‪:‬‬ ‫‪..........................................................................................................................................................................................‬‬ ‫فصل اول‪ :‬توابع هایپربولیک‬  ‫فصل ‪ 2‬ـ حد و پیوستگی‬ ‫‪ ‬مفهوم میل کردن ‪x‬‬ ‫اگر ‪ x‬به سمت عددی مثل ‪ a‬نزدیک و نزدیکتر شود‪ ،‬گهوییم ‪x‬‬ ‫به ‪ a‬میل میکند و آنرا به صورت )‪ (x a‬نشان میدهند‪.‬‬ ‫‪ ‬مفهوم شهودی حد‬ ‫اگر ‪x‬ها روی محور ‪ x‬به عدد ‪ a‬از راست و چپ نزدیک شوند‪ ،‬روی محهور ‪y ،y‬هها بهه مقهدار )‪ f (a‬نزدیهک‬ ‫میشوند از باال و پایین‪.‬‬ ‫این نزدیک شدن به سمت ‪ a‬را به صورت ))‪ ( lim f (x)  f (a‬نشان میدهند‪(.‬بخوانید حهد تهابع )‪f (x‬‬ ‫‪x a‬‬ ‫وقتی ‪ x‬به سمت ‪ a‬میل میکند برابر )‪ f (a‬است)‪.‬‬ ‫در محاسبهی حد‪ ،‬کافیه نقطهی ‪ a‬را در تابع جایگذاری کنیم ببینیم چه مقدار به ما میدهد‪.‬‬ ‫‪ ‬حد راست‬ ‫هنگامی که ‪x‬ها از سمت راست به عدد ‪ a‬نزدیک شوند مقادیر )‪ f (x‬به سمت )‪ f (a‬نزدیک میشوند و آن را‬ ‫با نماد )‪ lim f (x)  f (a‬نشان میدهند‪.‬‬ ‫‪x a ‬‬  ‫‪7‬‬ ‫‪ ‬حد چپ‬ ‫هنگامی که ‪x‬ها از سمت چپ به عدد ‪ a‬نزدیک شوند مقادیر )‪ f (x‬به سمت )‪ f (a‬نزدیک میشهوند و آن را‬ ‫با نماد )‪ lim f (x)  f (a‬نشان میدهند‪.‬‬ ‫‪x a ‬‬ ‫‪ ‬حد داشتن‬ ‫اگر حد راست و حد چپ تابع با هم برابر شدند گوییم حد تابع در ‪ x  a‬موجود و برابر )‪ f (a‬است ولی اگهر‬ ‫حد راست با حد چپ تابع برابر نشدند‪ ،‬حد تابع در ‪ x  a‬ناموجود است‪.‬‬ ‫رفع ابهام در حد‪:‬‬ ‫‪ 0‬‬ ‫‪1 ، 0 ،  ، 0 ،    ، 0  ،‬‬ ‫صور مبهم ‪،‬‬ ‫‪ 0‬‬ ‫جدول صور مبهم‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1 New‬‬ ‫‪0‬‬ ‫فصل دوم‪ :‬حد و پیوستگی‬ ‫‪0 New‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ New‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫در دوران دبیرستان با ‪ 4‬نوع مبهم اول آشنا شدید‪ ،‬ابتدا یادآوری از این صور میآوریم و بعد به رفع ابهام صور‬ ‫توانی میپردازیم‪.‬‬ ‫در صور مبهم فوق‪ ،‬صفرها از نوع حدی هستند و نه از نوع مطلق‬  ‫‪8‬‬ ‫دستور هوپیتال )‪(HOP‬‬ ‫اگر ‪ f‬و ‪ g‬دریک همسایگی ‪ x  a‬مشتقپذیر باشند و در همسایگی محذوف ‪ g (a) 0 ، a‬باشد و حدهای‬ ‫)‪f  (x‬‬ ‫‪ lim‬موجود باشد‪ ،‬حد حاصل برابر‬ ‫‪ f‬و ‪ g‬در ‪ a‬هر دو صفر یا هر دو بینهایت شوند‪ ،‬آنگانه چنانچه‬ ‫)‪x a g (x‬‬ ‫)‪f (x‬‬ ‫‪ lim‬میباشد‪.‬‬ ‫)‪x a g (x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫میتوان استفاده کرد‪.‬‬ ‫از این دستور فقط و فقط در حدهای یا‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪ 0‬‬ ‫یا‬ ‫در حدهای با نوع ابهام ‪ 0  ‬میتوان با کمی تغییر‪ ،‬آنها را به‬ ‫‪ 0‬‬ ‫تبدیل کرده و بعد از دستور هوپیتال استفاده کنیم‪.‬‬ ‫مطلوبست محاسبهی حدود زیر‪:‬‬ ‫‪:‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪tan 1 (2x)  tan 1 (3x) ‬‬ ‫فصل دوم‪ :‬حد و پیوستگی‬ ‫‪( lim‬الف‬ ‫‪4‬‬ ‫‪x1‬‬ ‫‪x1‬‬ ‫‪..........................................................................................................................................................................................‬‬ ‫)‪Ln(2x3  x  2‬‬ ‫‪( lim‬ب‬ ‫‪x1‬‬ ‫‪ex 1  x  2‬‬ ‫‪..........................................................................................................................................................................................‬‬  9 ‫همارزی‬ :‫لیست همارزیهای مهم‬ u3 1( sinu u  u 0 6 u2 2( cosu 1  u 0 2 u3 3( tanu u  u 0 3 u3 4( sinhu u  u 0 6 u2 5( coshu 1  u 0 2 u3 6( tanhu u  u 0 3 1 7( Ln(1  u) u  u2 ‫ حد و پیوستگی‬:‫فصل دوم‬ u 0 2 8( (1  u)n 1  nu u 0 b axn  bxn 1 ... n n a (x  9( ) ‫ فرد‬n na n axn  bxx 1 ... na |x b | 11( ‫ زوج‬n na.......................................................................................................................................................................................... :‫حدود زیر را بدست آورید‬ : (1  cos x)sin 4x ‫ (الف‬lim x0 x3 cosx..........................................................................................................................................................................................  ‫‪01‬‬ ‫)‪Ln(coshx‬‬ ‫‪( lim‬ب‬ ‫)‪x0 Ln(cos x‬‬ ‫‪..........................................................................................................................................................................................‬‬ ‫‪ ‬رفع ابهام صور توانی ‪ , 1 , 0‬‬ ‫اگر داشته باشیم ‪ lim u V‬و یکی از ابهامهای مذکور رخ دهد‪ ،‬به صورت زیر عمل میکنیم‪:‬‬ ‫‪x a‬‬ ‫‪A  u V ‬‬ ‫‪ Ln A  Lnu V Ln A  VLnu‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ lim Ln A  lim V Lnu‬‬ ‫‪x a‬‬ ‫‪x a‬‬ ‫فصل دوم‪ :‬حد و پیوستگی‬ ‫سپس به حل ‪ lim VLnu‬میپردازیم‪.‬فرض کنیم ‪ lim V Lnu  L‬پس‪:‬‬ ‫‪x a‬‬ ‫‪x a‬‬ ‫‪lim LnA  L ‬‬ ‫‪ Ln ( lim A)  L ‬‬ ‫‪ lim A  eL‬‬ ‫‪x a‬‬ ‫‪x a‬‬ ‫‪x a‬‬ ‫برای رفع ابهام ‪ 1‬از رابطهی همارزی زیر میتوان استفاده کرد‪:‬‬ ‫)‪lim V (u 1‬‬ ‫‪lim u V  1 ‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪x a‬‬ ‫‪x a‬‬ ‫* دلیل ابهام ‪: 1‬‬ ‫عدد یک حدی است‪.‬‬ ‫‪(0 / 999...9)  0‬‬ ‫‪(1 / 000...1)  ‬‬ ‫* دلیل ابهام ‪: 0‬‬ ‫صفر‪ ،‬حدی است‪.‬‬ ‫‪ ) 1‬عدد (‬ ‫عدد‬ ‫)‪(0‬‬ ‫‪0‬‬  00 :  ‫دلیل ابهام‬ ‫صفر مطلق‬ ( ) 1 ‫صفر حدی‬ ( )  :‫حاصل حدود زیر را بدست آورید‬ : ‫ (الف‬lim (sin x)x  x0 ‫ حد و پیوستگی‬:‫فصل دوم‬.......................................................................................................................................................................................... Ln 1    Ln1  0  Ln 0  0  Ln0  0  Ln   0  Ln   0 .......................................................................................................................................................................................... ‫ (ب‬lim (x  1)cot x  x0  02 x2 x  1 x1 ‫ (پ‬lim ( )  x x  2.......................................................................................................................................................................................... x 1 ‫ (ت‬lim (Ln(1  x))e x0 ‫ حد و پیوستگی‬:‫فصل دوم‬.......................................................................................................................................................................................... :‫ثابت کنید‬ : 1 lim (1  )x  e x x  ‫‪03‬‬ ‫پیوستگی‪:‬‬ ‫تعریف‪ :‬گوییم تابع ‪ f‬در ‪ x  a‬پیوسته است هرگاه‪:‬‬ ‫حد تابع و مقدارتابع در نقطهی ‪ x  a‬برابر باشند‪:‬‬ ‫))‪( lim f (x)  f (a‬‬ ‫‪x a‬‬ ‫مقدار ‪ A‬و ‪ B‬را طوری بیابید که )‪ g(x‬پیوسته باشد‪.‬‬ ‫‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪(1  arctan x)  A‬‬ ‫‪x0‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪g(x)   B‬‬ ‫‪x0‬‬ ‫)‪ 2 tan x(1  cos x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x0‬‬ ‫‪ x2  x  1  1‬‬ ‫فصل دوم‪ :‬حد و پیوستگی‬  ‫فصل ‪ 3‬ـ مشتق‬ ‫‪ ‬تعریف مشتق‬ ‫یکی دیگر از مفاهیم بنیادی و مهم ریاضیات مشتق میباشد که در مسائل کاربردی بسیار مورد استفاده قهرار‬ ‫می گیرد‪.‬در این فصل تعریف مشتق و قضیههای مربوط به آن را ارائه میکنیم و در فصل بعد به کاربردههای‬ ‫مشتق خواهیم پرداخت‪.‬‬ ‫)‪f (x)  f (a‬‬ ‫‪ lim‬موجود باشد‪ ،‬مهیگهوییم تهابع ‪ f‬در‬ ‫تعریف ‪ :1‬فرض کنید ‪ f‬یک تابع و ‪ ، a  Df‬اگر‬ ‫‪xa‬‬ ‫‪x a‬‬ ‫نقطهی ‪ a‬مشتقپذیر است و مقدار این حد را با نماد )‪ f  (a‬نمایش میدهیم و آن را مشتق تابع ‪ f‬در نقطهی‬ ‫‪ a‬مینامیم‪.‬‬ ‫‪ ‬تعبیر هندسی مشتق‬ ‫‪ L‬خط مماس بر نمودار ‪ f‬در نقطهی ‪ A‬است‪.‬‬ ‫)‪  f  (a‬شیب خط مماس ‪L‬‬  ‫‪05‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ f (x) ‬را در ‪ x  1‬حساب کنید‪.‬‬ ‫‪x‬‬ ‫به کمک تعریف‪ ،‬مشتق تابع‬ ‫‪:‬‬ ‫‪..........................................................................................................................................................................................‬‬ ‫مشتق توابع زیر را به کمک تعریف در نقاط خواسته شده حساب کنید‪:‬‬ ‫تمرین‪:‬‬ ‫‪( f (x)  x2 , x  2‬الف‬ ‫‪( f (x)  x , x  1‬ب‬ ‫فصل سوم ـ مشتق‬ ‫‪..........................................................................................................................................................................................‬‬ ‫‪ ‬جدول فرمولهای مشتق‬ ‫تابع اصلی‬ ‫تابع مشتق‬ ‫‪1( f (x)  C‬‬ ‫‪f  (x) 0‬‬ ‫‪2( f (x)  u n‬‬ ‫‪f  (x)  n.u.u n 1‬‬ ‫‪nu‬‬ ‫‪3( f (x) ‬‬ ‫‪m n‬‬ ‫‪u‬‬ ‫‪f  (x) ‬‬ ‫‪m m u mn‬‬ ‫‪4( f (x)  sin u‬‬ ‫‪f  (x)  u cosu‬‬ ‫‪5( f (x)  cosu‬‬ ‫‪f  (x)  u sin u‬‬  01 6( f (x)  tan u f  (x)  u (1  tan2 u) 7( f (x)  cot u f  (x)  u (1  cot 2 u) 8( f (x)  secu f  (x)  u secu tan u 9( f (x)  cscu f  (x)  u cscu cot u u 11( f (x)  sin 1 u f  (x)  1  u2  u 11( f (x)  cos u 1 f  (x)  1  u2 u 12( f (x)  tan 1 u f  (x)  1  u2  u 13( f (x)  cot 1 u f  (x)  1  u2 ‫فصل سوم ـ مشتق‬ 14( f (x)  sin hx f  (x)  cosh x 15( f (x)  coshx f  (x)  sin hx 16( f (x)  tan hx f  (x)  1  tan h2 x  sech2x 17( f (x)  cot hx f  (x)  1  cot h2x   csch2x u 18( f (x)  loga u f  (x)  u  Ln a u 19( f (x)  Ln u f  (x)  u 21( f (x)  a u f  (x)  u  a u  Ln a 21( f (x)  eu f  (x)  u eu  07 u 22( f (x)  u V f  (x)  u V (V Ln V  V) u 23( f  g f   g 24( f  g f g  gf f f g  gf 25( g (g)2 26( f (g(x)) g (x) f  (g(x)).‫مشتق توابع زیر را بدست آورید‬ : 1( g(x)  2x3  2x x  1.......................................................................................................................................................................................... 2( g(x)  xex  x ‫فصل سوم ـ مشتق‬.......................................................................................................................................................................................... 3( h(x)  cosh(cosx).......................................................................................................................................................................................... 4( t(x)  esin( x ).......................................................................................................................................................................................... 5( z(x)  log2 x..........................................................................................................................................................................................  08 6( C(x)  2Arctan x.......................................................................................................................................................................................... 7( y  Ln(secc  cscx).......................................................................................................................................................................................... 8( y  x x ‫فصل سوم ـ مشتق‬.......................................................................................................................................................................................... x 9( y  x x.......................................................................................................................................................................................... ‫ کدام است؟‬f  (0) ‫ مقدار‬g (0)  1 ‫ و‬g(x)  f (sin 2x) ‫چنانچه‬ :  ‫‪09‬‬ ‫اگر ‪ f  (1)  f (1)  2‬و ‪ g ( 2)  3‬باشد‪ ،‬حاصل )‪ (gof ) (1‬کدام است؟‬ ‫‪:‬‬ ‫‪..........................................................................................................................................................................................‬‬ ‫اگر ‪ f (x)  (x  1)3 2  x‬باشد‪ ،‬آنگاه )‪ f  (1‬کدام است؟‬ ‫‪:‬‬ ‫‪..........................................................................................................................................................................................‬‬ ‫)‪f (4  3h)  f (4  h‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ lim‬چه عددی خواهد بود؟‬ ‫‪h0‬‬ ‫‪h‬‬ ‫اگر ‪ f  (4) ‬باشد‪ ،‬حاصل حد‬ ‫‪2‬‬ ‫‪:‬‬ ‫فصل سوم ـ مشتق‬ ‫‪..........................................................................................................................................................................................‬‬ ‫مشتق مراتب باالتر‪:‬‬ ‫اگر ‪ f‬تابعی مشتقپذیر باشد‪ ،‬آنگاه ‪ f ‬نیز‪ ،‬یک تابع است‪.‬اگر ‪ f ‬مشتقپذیر باشهد مشهتق آن را در صهورت‬ ‫وجود با ‪ f ‬نشان داده و آنرا مشتق مرتبهی دوم ‪ f‬مینامند‪.‬به طور مشابه مشهتق تهابع ‪ f ‬را بها ‪ f ‬نشهان‬ ‫‪dnf‬‬ ‫یها‬ ‫داده و آن را مشتق مرتبهی سوم ‪ f‬میگویند‪.‬در حالت کلی مشهتق مرتبههی ‪ n‬اُم ‪ f‬را بها عممهت‬ ‫‪dx n‬‬ ‫)‪ f (n) (x‬نمایش میدهند‪(.‬عبارتهای ‪ ، f  ، f  ، f ‬هماهنگ با زبان فرانسه به ترتیب اِف پریم‪ ،‬اِف زگوند‬ ‫و اِف تی یِرث تلفظ میشود‪ ،‬این تلفظها‪ ،‬معادل کلمات انگلیسی ‪ second ، prime‬و ‪ third‬میباشد‪).‬‬ ‫مشتق مرتبههای مختلف تابع ‪ f (x)  2x4  3x2  15‬به صورت زیر است‪:‬‬ ‫‪:‬‬  ‫‪21‬‬ ‫مشتقگیری ضمنی‪:‬‬ ‫ابتدا به معرفی تابع ضمنی میپردازیم‪.‬برای هر رابطه که برحسب ‪ x‬و ‪ y‬بیان شده‪ ،‬دو حالت وجود دارد‪:‬‬ ‫الف) ‪ ،y‬به طور صریح برحسب ‪ x‬بیان شده است مانند‪:‬‬ ‫‪y  x  sin x , y  x2  2x , y  e2x 1‬‬ ‫این نوع رابطهها تابع میباشند‪ ،‬گاهی به این نوع رابطهها‪ ،‬تابع صریح نیز میگویند‪.‬‬ ‫ب) ‪ y‬به طور صریح برحسب ‪ x‬بیان نشده است‪.‬مانند‪:‬‬ ‫‪x2  y2  5xy‬‬ ‫‪Ln (x2  y)  e x  y‬‬ ‫‪xy 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪sin (cos y) ‬‬ ‫‪ Ln  xy‬‬ ‫‪xy‬‬ ‫‪y‬‬ ‫این نوع رابطهها ممکن است تابع نباشند ولی میتوان آنها رابه صورت اجتماع چند تابع (تابع صریح) در نظر‬ ‫گرفت‪.‬این نوع رابطهها را تابع ضمنی میگویند‪.‬‬ ‫فصل سوم ـ مشتق‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ y ‬نوشهت در حهالی کهه‬ ‫در میان توابع ضهمنی فهو ‪ ،‬رابطههی‪ xy 1‬را مهیتهوان بهه صهورت تهابع‬ ‫‪x‬‬ ‫‪ x2  y2  4‬تابع صریح نمیباشد ولی می توان آن را به صورت اجتماع دو تهابع صهریح ‪ y  4  x2‬و‬ ‫‪ y   4  x2‬در نظر گرفت‪.‬‬ ‫البته محاسبه ‪ y‬به عنوان یک یا چند تابع صریح از ‪ x‬گاهی بسیار دشهوار اسهت‪ ،‬بهه همهین دلیهل محاسهبه‬ ‫مشتق ‪ y‬نسبت به ‪ x‬در هر یک از توابع صریح تشهکیل دهنهده یهک تهابع ضهمنی‪ ،‬کهار دشهواری مهیباشهد‬ ‫خوشبختانه روشهایی وجود دارد که بدون پیدا کردن توابع صریح‪ ،‬میتوان مشتق ‪ y‬را برحسهب ‪ x‬محاسهبه‬ ‫کرد‪.‬با ارائه مثال‪ ،‬روش مشتقگیری از توابع ضمنی را هموار میکنیم‪.‬‬ ‫‪ ‬روش اول مشتقگیری ضمنی‬ ‫در تابع ضمنی ‪ y‬را تابعی مشتقپذیر از ‪ x‬فرض کرده و از طرفین معادله نسبت به ‪ x‬مشتق میگیریم‪ ،‬سپس‬ ‫از معادله جدید ‪ y‬را به دست آورده‪.‬‬  ‫‪20‬‬ ‫در توابع ضمنی زیر‪ ،‬مقدار ‪ y‬به روش اول مشتقگیری ضمنی محاسبه شده است‪:‬‬ ‫‪:‬‬ ‫‪1( x2  y2  4‬‬ ‫‪..........................................................................................................................................................................................‬‬ ‫‪2( x2y 3  4x‬‬ ‫‪..........................................................................................................................................................................................‬‬ ‫‪3( y  sin(2x  y2 )  5‬‬ ‫‪..........................................................................................................................................................................................‬‬ ‫فصل سوم ـ مشتق‬ ‫‪ ‬روش دوم مشتقگیری ضمنی‬ ‫‪dy‬‬ ‫‪ ،‬در عبارت )‪ F(x, y‬یک بهار ‪y‬‬ ‫ابتدا تابع ضمنی را به صورت ‪ F(x, y) 0‬مینویسیم‪.‬برای محاسبهی‬ ‫‪dx‬‬ ‫را ثابت فرض کرده و مشتق ‪ F‬نسبت به ‪ x‬را محاسبه میکنیم و آن را با ‪ Fx‬نمایش میدهیم‪ ،‬بار دیگهر ‪ x‬را‬ ‫ثابت فرض کرده و مشتق ‪ F‬نسبت به ‪ y‬را محاسبه میکنیم و آن را با ‪ Fy‬نمایش میدههیم‪.‬آنگهاه ‪ y‬را از‬ ‫فرمول مقابل میتوان بهدست آورد‪:‬‬ ‫‪Fx‬‬ ‫‪y  ‬‬ ‫‪Fy‬‬ ‫در زیر برای توابع ضمنی‪ ،‬مقدار ‪ y‬به روش دوم مشتقگیری ضمنی محاسبه کنید‪:‬‬ ‫‪:‬‬ ‫‪1( xy  y x  cos(xy)  0‬‬  ‫‪22‬‬ ‫مشتق پارامتری (زنجیرهای)‪:‬‬ ‫‪dy‬‬ ‫)‪ x  f (t‬‬ ‫باید به صورت زیر عمل کنیم‪:‬‬ ‫آنگاه برای محاسبهی‬ ‫‪‬‬ ‫اگر داشته باشیم‬ ‫‪dx‬‬ ‫)‪ y  g (t‬‬ ‫‪dy‬‬ ‫‪dy dy dt‬‬ ‫‪dy dt‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪or‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪dx dt dx‬‬ ‫‪dx dx‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪1‬‬ ‫را بیابید‪.‬‬ ‫‪dy‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪4‬‬ ‫اگر ‪ y  u ‬و ‪ u  cos3 2x‬باشد‪ ،‬آنگاه‬ ‫‪u‬‬ ‫‪:‬‬ ‫‪..........................................................................................................................................................................................‬‬ ‫را به ازای ‪ t  1‬بدست آورید‪.‬‬ ‫‪dy‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫اگر ‪ x  t  t 2‬و ‪ y  t  t 3‬مقدار‬ ‫‪:‬‬ ‫فصل سوم ـ مشتق‬ ‫‪..........................................................................................................................................................................................‬‬ ‫مشتق تابع معکوس‪:‬‬ ‫فرض کنید ‪ f‬تابعی است یک به یک و مشتق آن در ‪ x  a‬مخالف صفر باشد و ‪ f 1‬تهابع معکهوس ‪ f‬باشهد‪.‬‬ ‫اگر نقطهی ‪ (a,b)  f‬باشد‪ ،‬آنگاه داریم‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪(f 1 (b)) ‬‬ ‫)‪f  (a‬‬ ‫تابع به معادلهی ‪ f (x)  x2  4x  7‬با دامنهی )‪ [2 ,  ‬مفروضست‪ ،‬مطلوب استت حاصتل‬ ‫‪:‬‬ ‫)‪: (f 1 ) (7‬‬  ‫‪23‬‬ ‫‪ ‬مشتقپذیری‬ ‫تابع ‪ f‬در نقطهی ‪ x  a‬مشتقپذیر است‪ ،‬اگر و تنها اگر در این نقطه‪:‬‬ ‫‪ )1‬پیوسته باشد‪.‬‬ ‫‪ )2‬مشتق راست با مشتق چپ برابر باشد‪.‬‬ ‫مشتقپذیری را در تابع داده شده بررسی کنید‪:‬‬ ‫‪:‬‬ ‫‪3  2x‬‬ ‫‪x1‬‬ ‫‪f (x)  ‬‬ ‫‪2  x‬‬ ‫‪x1‬‬ ‫فصل سوم ـ مشتق‬ ‫‪..........................................................................................................................................................................................‬‬ ‫مقادیر ‪ a‬و ‪ b‬را چنان تعیین کنید که در تابع زیر در نقطهی ‪ x  1‬مشتقپذیر باشد‪:‬‬ ‫‪:‬‬ ‫‪ax2  1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x1‬‬ ‫‪f (x)  ‬‬ ‫‪bx  8‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x1‬‬  ‫فصل ‪ 4‬ـ کاربرد مشتق‬ ‫معادلهی خط مماس و خط قائم‪:‬‬ ‫مشتق تابع ‪ f‬در نقطهی ‪ x  a‬همان شهیب خهط ممهاس بهر نمهودار ‪ f‬در ‪ x  a‬اسهت‪ ،‬پهس اگهر نقطهه‬ ‫‪ (a,b)  f‬باشد‪ ،‬داریم‪:‬‬ ‫)‪ : y  b  f  (a) (x  a‬معادلهی خط مماس‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ : y  b ‬معادلهی خط قائم‬ ‫)‪(x  a‬‬ ‫)‪f  (a‬‬ ‫معادلهی خط مماس بر منحنی ‪ sin(xy  y 2 )  x  1  0‬را در نقطهی )‪ (1 , 1‬بیابید‪.‬‬ ‫‪:‬‬ ‫‪..........................................................................................................................................................................................‬‬ ‫‪ f‬در‬ ‫‪1‬‬ ‫تابع با ضابطهی ‪ f (x)  2x2  x  1‬مفروض است‪ ،‬معادلهی خط مماس بر نمودار تابع‬ ‫‪:‬‬ ‫نقطهای به طول ‪ 4‬واقع بر آن را بدست آورید‪.‬‬  ‫‪25‬‬ ‫تعیین مقدار تقریبی تابع به کمک دیفرانسیل‪:‬‬ ‫تقریب خطی تابع )‪ y  f (x‬در ‪ x  x1‬از رابطهی زیر بهدست میآید‪:‬‬ ‫‪f (x1) f (x0)  f  (x0) x‬‬ ‫که در آن‪:‬‬ ‫‪x1  x0  x‬‬ ‫(امیرکبیر ـ ‪)19‬‬ ‫مقدار تقریبی ))‪ sinh(2sin(0 / 1‬با را استفاده از تقریب خطی بیابید‪.‬‬ ‫‪:‬‬ ‫فصل چهارم‪ :‬کاربرد مشتق‬ ‫‪..........................................................................................................................................................................................‬‬ ‫مقدار تقریبی ‪ 5 33‬را با استفاده از تعریف دیفرانسیل تابع بهدست آورید‪.‬‬ ‫‪:‬‬ ‫‪..........................................................................................................................................................................................‬‬  ‫‪21‬‬ ‫مقدار تقریبی ‪ cos 29‬را با استفاده از تعریف دیفرانسیل تابع بهدست آورید‪.‬‬ ‫‪:‬‬ ‫‪..........................................................................................................................................................................................‬‬ ‫اکسترممهای یک تابع‪:‬‬ ‫تعریف‪ :‬اگر ‪ f‬یک تابع و ‪ I  Df‬یک همسایگی از نقطه ‪ c‬باشد که‪:‬‬ ‫الف) به ازای هر ‪ x‬متعلق به ‪ ،I‬داشته باشیم )‪ f (x)  f (c‬در این صورت )‪ f (c‬را یک ماکزیمم نسبی تابع ‪f‬‬ ‫مینامیم‪.‬‬ ‫ب) به ازای هر مقدار ‪ x‬متعلق به ‪ ،I‬داشته باشیم )‪ ، f (x)  f (c‬در این صورت )‪ f (c‬را یک مینیمم نسبی‬ ‫تابع ‪ f‬مینامیم‪.‬‬ ‫فصل چهارم‪ :‬کاربرد مشتق‬ ‫هرگاه بیشترین و کمترین مقدار تابع ‪ f‬در کل دامنه ‪ f‬مدنظر باشد‪ ،‬ماکزیمم‬ ‫و مینیمم مطلق ‪ f‬را محاسبه میکنیم‪.‬‬ ‫ماکزیمم و مینیمم نسبی را به اختصار اکسترمم نسبی و ماکزیمم و مینیمم‬ ‫مطلق به اختصار اکسترمم مطلق مینامیم‪.‬‬ ‫بسیار مهم‪:‬‬ ‫نقاط ابتدایی و انتهایی بازه جزء اکسترممهای نسبی تاابع قارار نیایگیرناد یعنای نقااط‬ ‫اکسترمم نسبی حتیاً از داخل بازه انتخاب میشاوند ایام موعاور بارای نقااط اکساترمم‬ ‫مطلق درست نیست یعنی نقاط ابتدایی و انتهاایی مایتوانناد جازء نقااط اکساترمم مطلاق‬ ‫باشند‬  ‫‪27‬‬ ‫در شکل مقابل نوع نقاط مشخص شده را تعیین‬ ‫‪:‬‬ ‫کنید‪.‬‬ ‫‪..........................................................................................................................................................................................‬‬ ‫الاا ن نقاااط اکسااترمم مطلااق در «نقاااط ابتاادا و انتهااای بااازه» یااا در‬ ‫«اکسترممهای نسبی» یا در «نقاطی که تابع در آنها مشتقپذیرنیست» اتفاق میافتد‬ ‫بن در نقاط اکسترمم نسبی تابع‪« ،‬مشتق تابع وجود ندارد» یا «مشتق وجاود دارد و برابار‬ ‫صفر است»‬ ‫فصل چهارم‪ :‬کاربرد مشتق‬ ‫‪ ‬تعیین اکسترمم نسبی‬ ‫برای بدست آوردن اکسترممهای تابع ‪ ،f‬بایهد ریشههههای‪ f (x) 0‬را بدسهت آورده و سهپس ‪ f ‬را تعیهین‬ ‫عممت کنیم‪ ،‬که یکی از دو حالت زیر رخ میدهد‪:‬‬ ‫‪ :x0‬مینیمم نسبی‬ ‫‪ :x0‬ماکزیمم نسبی‬ ‫‪ ‬روش ‪( II‬آزمون مشتق دوم)‬ ‫این روش‪ ،‬راه سادهتری برای تعیین نوع اکسترمم‪ ،‬به ما نشان میدهد‪:‬‬ ‫‪ x0‬مینیمم نسبی ‪f (x0 )  0 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪if‬‬ ‫‪ x0‬ماکزیمم نسبی ‪f  (x0 )  0 f (x0 )  0 ‬‬ ‫این آزمون سکوت میکند ‪f (x )  0 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬  ‫‪28‬‬ ‫نقاط اکسترمم نسبی ‪ y  x4  2x2‬را به دست آورده و نوع آنها را مشخص کنید‪.‬‬ ‫‪:‬‬ ‫‪..........................................................................................................................................................................................‬‬ ‫صعودی و نزولی‪:‬‬ ‫اگر تابع ‪ f‬در فاصلهی )‪ (a ,b‬مشتقپذیر باشد و به ازای هر )‪ x (a ,b‬داشته باشیم‪:‬‬ ‫فصل چهارم‪ :‬کاربرد مشتق‬ ‫الف)‪ ، f  (x) 0‬آنگاه تابع ‪ f‬بر این فاصله صعودی است‪.‬‬ ‫ب) ‪ ، f  (x) 0‬آنگاه تابع ‪ f‬بر این فاصله نزولی است‪.‬‬ ‫تعیین کنید در مثال قبل ) ‪ (x4  2x2‬در کدام بازهها صعودی و نزولی است؟‬ ‫‪:‬‬  ‫‪29‬‬ ‫تقعر و نقطه عطف‪:‬‬ ‫تقعر رو به پایین به این فرم‬ ‫تقعر یعنی گودی‪ ،‬دو نوع تقعر داریم‪ ،‬تقعر رو به باال‬ ‫حاال اگر )‪: f  (x‬‬ ‫‪ ، f  (x) 0 -1‬تقعر رو به باالست‪.‬‬ ‫‪ ، f  (x) 0 -2‬تقعههر رو بههه پههایین اسههت‪.‬یعنههی محههدب‬ ‫جایی که جهت تقعر عوض میشود‪ ،‬نقطههی عطهف نهام‬ ‫دارد‪.‬‬ ‫به ‪ W‬نقطه عطف میگوییم‪.‬برای پیدا کردن نقطهی عطف کافیست مشتق دوم رو برابر صفر بگذاریم‪.‬‬ ‫نقطهی عطف حتمام باید عضو دامنهی تابع باشد‪ ،‬دارای خط مماس واحد باشد و مشتق دوم حهول آن تغییهر‬ ‫عممت دهد‪.‬‬ ‫تابع با ضابطهی ‪ y  2x3  3x2‬در کدام یک از بازههای زیر محدب (تقعر رو به پایین)‬ ‫‪:‬‬ ‫میباشد؟‬ ‫فصل چهارم‪ :‬کاربرد مشتق‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1 3‬‬ ‫‪(0 , ) )4‬‬ ‫‪( , ) )3‬‬ ‫‪(0, 4) )2‬‬ ‫‪(1, 5) )1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2 2‬‬ ‫‪..........................................................................................................................................................................................‬‬ ‫مقتتتادیر ‪ a‬و ‪ b‬را طتتتوری بیابیتتتد کتتته نقطتتتهی )‪ ( 1 , 1‬نقطتتته عطتتتف منحنتتتی‬ ‫‪:‬‬ ‫‪ y  ax3  bx2  4x  3‬باشد‪.‬‬  ‫‪31‬‬ ‫‪ f (x) ‬کدام است؟‬ ‫‪Ln x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫طول نقطهی عطف تابع‬ ‫‪:‬‬ ‫‪..........................................................................................................................................................................................‬‬ ‫‪ 3x  5‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪ f (x)   2‬را در صورت وجود به دست‬ ‫ماکزیمم و مینیمم نسبی تابع‬ ‫‪:‬‬ ‫‪x  5‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫آورید‪.‬‬ ‫فصل چهارم‪ :‬کاربرد مشتق‬ ‫‪..........................................................................................................................................................................................‬‬ ‫قضیه مقدار میانگین‪:‬‬ ‫فرض کنید تابع )‪ f (x‬در بازهی ]‪ [a ,b‬پیوسهته و در‬ ‫بازهی باز )‪ (a ,b‬مشتقپذیر باشد‪ ،‬آنگاه )‪c(a ,b‬‬ ‫)‪f (b)  f (a‬‬ ‫‪f  (c) ‬‬ ‫‪ba‬‬  ‫‪30‬‬ ‫‪ f (x)  cos x ‬در ضابطهی ]‪ [ , ‬به‬ ‫‪x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫نقطهای مناسب در قضیه مقدار میانگین برای تابع‬ ‫‪:‬‬ ‫دست آورید‪.‬‬ ‫‪..........................................................................................................................................................................................‬‬ ‫قضیه رول‪:‬‬ ‫اگر تابع ‪ f‬بر ]‪ [a ,b‬پیوسته و بر )‪ (a ,b‬مشتقپذیر و‬ ‫)‪ f (a)  f (b‬باشد‪ ،‬آن گاه حداقل یک ‪ c‬در بهازهی‬ ‫فصل چهارم‪ :‬کاربرد مشتق‬ ‫)‪ (a ,b‬وجود دارد که ‪. f  (c) 0‬‬ ‫قضیهی رول را بیان و ثابت کنید‪:‬‬ ‫‪:‬‬  ‫‪32‬‬ ‫ثابت کنید معادلهی ‪ tan1 x  2x‬دقیقاً یک ریشه دارد‪.‬‬ ‫‪:‬‬ ‫فصل چهارم‪ :‬کاربرد مشتق‬  ‫فصل ‪ 5‬ـ انتگرال‬ ‫‪ ‬انتگرال‬ ‫اسم این نماد ) ‪ ( ‬انتگراله‬ ‫این نماد از کلمهی ‪ sum‬به معنای جمع گرفته شده‪.‬دو نوع انتگرال داریم‪:‬‬ ‫معین ‪ ‬حاصلش عدده‬ ‫نامعین ‪ ‬حاصلش تابعست‬ ‫انتگرال یعنی مساحت زیر نمودار‬ ‫‪b‬‬ ‫‪ ‬مساحت زیر نمودار )‪ f (x‬از ‪ a‬تا ‪b‬‬ ‫‪a f (x)d x‬‬ ‫اگر باال و پایین انتگرال هیچ عددی نباشد مانند ) ‪ ( ‬انتگرال از نوع نامعین‬ ‫‪b‬‬ ‫است و ولی اگر باال و پایین انتگرال عدد باشد مانند ) ‪ ، ( ‬انتگرال از نوع‬ ‫‪a‬‬ ‫معین است‪.‬‬  ‫‪34‬‬ ‫‪ ‬ارتباط بین مشتق و انتگرال‬ ‫مشتق ‪ x 2‬برابر ‪ 2x‬است‪ ،‬در نتیجه انتگرال ‪ 2x‬برابر است با ‪. x 2‬‬ ‫مشتق ‪ sin‬برابر ‪ cos x‬است‪ ،‬در نتیجه انتگرال ‪ cos x‬برابر است با ‪. sin x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫برابر است با ‪. Ln x‬‬ ‫مشتق ‪ Lnx‬برابر است‪ ،‬در نتیجه انتگرال‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪ ‬معرفی انتگرال‬ ‫‪ f (x) dx  F(x) ‬‬ ‫‪C‬‬ ‫نماد انتگرال‬ ‫تابع تحت‬ ‫متغیرانتگرالگیری‬ ‫تابع اولیه‬ ‫ثابت انتگرالگیری‬ ‫انتگرال‬ ‫‪ X‬میباشد‬ ‫فصل پنجم‪ :‬انتگرال‬ ‫کاری که مشتقگیری انجام میدهد‪ ،‬انتگرالگیری برمیگرداند‪.‬‬ ‫‪ ‬فرمولهای اساسی انتگرال‬ ‫تابع تحت انتگرال‬ ‫تابع نخستین‬ ‫(‪1‬‬ ‫‪ kdx ‬‬ ‫‪kx  c , k  R‬‬ ‫‪xn  1‬‬ ‫(‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪xn dx ‬‬ ‫‪n1‬‬ ‫‪ C , n  1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫(‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x dx ‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪x x C‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫(‪4‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪Ln| x | C‬‬ ‫‪5(  ex dx ‬‬ ‫‪ex  C‬‬  35 6(  sin xdx   cosx  c 7(  cos xdx  sin  c 2 8(  (1  tg x)dx  tanx  c 9(  (1  cot2 x)dx   cot x  c 11(  sinhxdx  coshx  c 11(  coshxdx  sinhx  c dx 12(   x arcsin  c a2  x2 a dx 1 x 13(  a2  x2  a arctan  c a ax ‫ انتگرال‬:‫فصل پنجم‬  a dx  x 14( c Lna 15(  secxdx  Ln| secx  tanx | c 16(  Ln xdx  xLnx  x  c 17(  cscxdx  Ln| cscx  cot x | c.‫انتگرالهای زیر را به کمک قوانین انتگرالگیری محاسبه کنید‬ : x2  x  x  1 1(  x1 dx ..........................................................................................................................................................................................  31 2(  eLnxdx   Lnexdx.......................................................................................................................................................................................... 3(  (2 x  sin2 x  cos2 x)dx .......................................................................................................................................................................................... 4(  tan2 xdx .......................................................................................................................................................................................... 1 ‫ انتگرال‬:‫فصل پنجم‬ 3 2 5(  (5  x2  x  3 sin x)dx .......................................................................................................................................................................................... sin8 x  cos8 x 6(  1  2sin2 xcos2 x dx ..........................................................................................................................................................................................  ‫‪37‬‬ ‫‪1  sin2 x  cos 2x‬‬ ‫(‪7‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪sin x  cos x‬‬ ‫‪dx ‬‬ ‫‪..........................................................................................................................................................................................‬‬ ‫‪ ‬روشهای انتگرالگیری‬ ‫الف) روش تغییر متغیر‪ :‬در اغلب اوقات با انتگرالهایی مواجه میشویم که برای ما ناآشنا هستند‪.‬‬ ‫روشهایی وجود دارد که میتوان این انتگرالها را به انتگرالهای آشنا تبدیل و حل کرد‪.‬یکی از این روشهایی‬ ‫که بسیار مورد استفاده قرار میگیرد‪ ،‬روش تغییر متغیر نام دارد‪.‬درستی این روش بر اساس قانون مشهتق تهابع‬ ‫مرکب میباشد‪.‬با ذکر چند مثال با این روش آشنا میشویم‪ ،‬سپس روشهای انتگرالگیری گفته میشود‪.‬‬ ‫در ابتدا فرمولهای انتگرالگیری برای توابع مرکب گفته میشود‪.‬‬ ‫‪un  1‬‬ ‫فصل پنجم‪ :‬انتگرال‬ ‫‪1(  u u dx ‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪n1‬‬ ‫‪u‬‬ ‫(‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪u‬‬ ‫‪dx  Ln| u |  c‬‬ ‫(‪3‬‬ ‫‪ u sinudx   cosu  c‬‬ ‫(‪4‬‬ ‫‪ u cosudx  sinu  c‬‬ ‫‪2‬‬ ‫(‪5‬‬ ‫‪ u (1  tan‬‬ ‫‪u)dx  tanu  c‬‬ ‫‪2‬‬ ‫(‪6‬‬ ‫‪ u (1  cot‬‬ ‫‪u)dx   cotu  c‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪u dx  eu  c‬‬ ‫‪u‬‬ ‫(‪7‬‬ ‫‪au‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a u dx ‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪u‬‬ ‫(‪8‬‬ ‫‪Ln a‬‬