عاشر فصل 1.pdf (رياضيات - الوحدة 1)، الرياضيات

‫المق ّدمة‬ ‫انطال ًقا من إيمان المملكة األردنية الهاشــمية الراســخ بأهمية تنمية قدرات اإلنسان األردني‪ ،‬وتسليحه بالعلم‬ ‫والمعرفة؛ ســعى المركز الوطنــي لتطوير المناهج وبالتعاون مــع وزارة التربية والتعليم‪ ،‬إلــى تحديث المناهج‬ ‫الدراســية وتطويرها‪ ،‬لتكون معينًا للطلبة على االرتقاء...

‫المق ّدمة‬ ‫انطال ًقا من إيمان المملكة األردنية الهاشــمية الراســخ بأهمية تنمية قدرات اإلنسان األردني‪ ،‬وتسليحه بالعلم‬ ‫والمعرفة؛ ســعى المركز الوطنــي لتطوير المناهج وبالتعاون مــع وزارة التربية والتعليم‪ ،‬إلــى تحديث المناهج‬ ‫الدراســية وتطويرها‪ ،‬لتكون معينًا للطلبة على االرتقاء بمستواهم المعرفي‪ ،‬ومجاراة أقرانهم في الدول المتقدّ مة‪.‬‬ ‫تنمي لدى الطلبة مهارات التفكير ّ‬ ‫وحل المشكالت‪ ،‬فقد‬ ‫أهم الموا ّد الدراسية‪ ،‬التي ّ‬ ‫ولما كانت الرياضيات إحدى ّ‬ ‫ّ‬ ‫أولــى المركز هذا المبحث عناي ًة كبيرةً‪ ،‬وحرص على إعداد كتــب الرياضيات وفق أفضل الطرائق المتّبعة عالم ًّيا‬ ‫على يد خبراء أردنيين؛ لضمان انسجامها مع القيم الوطنية الراسخة‪ ،‬وتلبيتها الحتياجات أبنائنا الطلبة ومعلميهم‪.‬‬ ‫ﺴ‬ ‫ﻧ‬ ‫وقد روعي عند إعداد كتب الرياضيات تقديم المحتوى بطريقة سلســة‪ ،‬وضمن سياقات حياتية شائقة‪ ،‬تزيد‬ ‫دروسا مستق ّل ًة تتيح للطلبة ّ‬ ‫التدرب‬ ‫من رغبة الطلبة في التع ّلم‪.‬كما أبرزت الكتب خطة ّ‬ ‫حل المسألة‪ ،‬وأفردت لها‬ ‫ﺨﺔ‬ ‫ً‬ ‫متنوعة‪.‬‬ ‫على أنواع مختلفة من هذه الخطط وتطبيقها في مسائل ّ‬ ‫لقد احتوت الكتب على مشروع لكل وحدة؛ لتعزيز تع ّلم الطلبة للمفاهيم والمهارات الواردة في هذه الوحدة‬ ‫ﻗﻴ‬ ‫أهم طرائق ترسيخ المفاهيم الرياضية‬ ‫التدرب المك ّثف على ّ‬ ‫حل المسائل يعدّ أحد ّ‬ ‫وتوسعتها وإثرائها‪.‬وبما أن ّ‬ ‫ﺪا‬ ‫وزيادة الطالقة اإلجرائية لدى الطلبة؛ فقد ُأعــدّ كتاب التمارين ليقدّ م للطلبة ورقة عمل في كل درس ليح ّلوها‬ ‫واج ًبا منزل ًّيا‪ ،‬أو داخل الغرفة الصفيــة إن توافر الوقت الكافي‪.‬وألنّنا ندرك جيدً ا حرص المع ّلم األردني على‬ ‫ﻹﻋ‬ ‫تقديم أفضل ما لديه لطلبته‪ ،‬فقد جاء كتاب التمارين أدا ًة مساعد ًة تو ّفر عليه جهد إعداد أوراق العمل وطباعتها‪.‬‬ ‫ومعلــوم أن األرقام العربية تُســتعمل في معظم مصادر تعليــم الرياضيات العالمية الســ ّيما على مواقع‬ ‫ﺪا د‬ ‫محتوى تعليم ًّيا‬ ‫ً‬ ‫مهم ًة؛ لما تزخر به من صفحات تقدّ م‬ ‫(اإلنترنت)‪ ،‬التي أصبحت وبشكل متسارع أدا ًة تعليمي ًة ّ‬ ‫وحرصا منّا على ّأل يفــوت أبناءنا الطلبة ُّ‬ ‫أي فرصة‪ ،‬فقد اســتعملنا في هذا الكتاب‬ ‫ً‬ ‫تفاعل ًّيــا ذا فائدة كبيرة‪.‬‬ ‫الهوة بين طلبتنا وبين المحتوى الرقمي العلمي‪ ،‬الذي ينمو بتسارع في عالم يجري‬ ‫لجســر ّ‬ ‫األرقام العربية؛ َ‬ ‫نحو التعليم الرقمي بسرعة كبيرة‪.‬‬ ‫ونحن إذ نقدّ م الطبعة األولى (التجريبية) من هذا الكتاب‪ ،‬نأمل أن تنال إعجاب أبنائنا الطلبة ومعلميهم‪،‬‬ ‫نستمر في تحسين هذا الكتاب في ضوء‬ ‫َّ‬ ‫وتجعل تعليم الرياضيات وتع ّلمها أكثر متع ًة وسهول ًة‪ ،‬ونعدهم بأن‬ ‫ما يصلنا من مالحظات‪.‬‬ ‫‪www.jnob-jo.com‬‬ ‫المركز الوطني لتطوير المناهج‬  ‫قائمة المحتويات‬ ‫الْ َو ْح َد ُة ‪ 1‬األسس والمعادالت ‪8‬‬ ‫ٍ‬ ‫ِ‬ ‫كو ٍن م ْن‬ ‫عادالت خطية ‪10‬‬ ‫ثالث ُم‬ ‫الدَّ ْر ُس ‪َ 1‬ح ُّل نظا ٍم ُم َّ‬ ‫ِ‬ ‫التربيعية ‪17‬‬ ‫ِ‬ ‫المعادالت‬ ‫ِ‬ ‫أنظمة‬ ‫ِ‬ ‫البيانية‪َ :‬ح ُّل‬ ‫ِ‬ ‫الحاسبة‬ ‫ُ‬ ‫نشاط‬ ‫ﻧ‬ ‫ٍ‬ ‫ٍ‬ ‫معادلة خ ِّط ٍية‬ ‫ٍ‬ ‫كو ٍن م ْن‬ ‫تربيعية ‪19‬‬ ‫ومعادلة‬ ‫الدَّ ْر ُس ‪َ 2‬ح ُّل نظا ٍم ُم َّ‬ ‫ﺴ‬ ‫كو ٍن م ْن معادلت ْي ِن تربيعيت ْي ِن ‪26‬‬ ‫الدَّ ْر ُس ‪َ 3‬ح ُّل نظا ٍم ُم َّ‬ ‫ﺨﺔ‬ ‫والمقادير األُ ِّس َّي ُة ‪32‬‬ ‫ُ‬ ‫العبارات‬ ‫ُ‬ ‫المعادلة األُ ِّس َّي ِة ‪38‬‬ ‫ِ‬ ‫الدَّ ْر ُس ‪4‬‬ ‫الدَّ ْر ُس ‪َ 5‬ح ُّل‬ ‫ﻗﻴ‬ ‫اختبار ِ‬ ‫نهاية الوحدة ‪44‬‬ ‫ُ‬ ‫ﺪا‬ ‫الْ َو ْح َد ُة ‪ 2‬الدائر ُة ‪46‬‬ ‫ﻹﻋ‬ ‫ومماساتُها ‪48‬‬ ‫وأقطارها‪،‬‬ ‫ِ‬ ‫الدائرة‪،‬‬ ‫أوتار‬ ‫الدَّ ْر ُس ‪1‬‬ ‫ّ‬ ‫ُ‬ ‫ُ‬ ‫والقطاعات الدائري ُة ‪55‬‬ ‫ُ‬ ‫األقواس‬ ‫الدَّ ْر ُس ‪2‬‬ ‫ﺪا د‬ ‫ُ‬ ‫ِ‬ ‫الدائرة ‪61‬‬ ‫الدَّ ْر ُس ‪ 3‬الزوايا في‬ ‫ِ‬ ‫الدائرة ‪68‬‬ ‫الدَّ ْر ُس ‪ 4‬معادل ُة‬ ‫المتماس ُة ‪75‬‬ ‫َّ‬ ‫الدوائر‬ ‫ُ‬ ‫الدَّ ْر ُس ‪5‬‬ ‫اختبار ِ‬ ‫نهاية الوحدة ‪81‬‬ ‫ُ‬ ‫‪www.jnob-jo.com‬‬ ‫‪6‬‬  ‫قائمة المحتويات‬ ‫المثلثات ‪84‬‬ ‫ِ‬ ‫حساب‬ ‫ُ‬ ‫الْ َو ْح َد ُة ‪3‬‬ ‫النسب المثلثي ُة ‪86‬‬ ‫ُ‬ ‫الدَّ ْر ُس ‪1‬‬ ‫ِ‬ ‫الواحدة ‪94‬‬ ‫ِ‬ ‫الدورة‬ ‫النسب المثلثي ُة للزوايا ضم َن‬ ‫الدَّ ْر ُس ‪2‬‬ ‫ُ‬ ‫ﻧ‬ ‫ِ‬ ‫المثلثية ‪102‬‬ ‫ِ‬ ‫االقترانات‬ ‫ُ‬ ‫تمثيل‬ ‫الدَّ ْر ُس ‪3‬‬ ‫ﺴ‬ ‫ِ‬ ‫المثلثية ‪109‬‬ ‫ِ‬ ‫المعادالت‬ ‫الدَّ ْر ُس ‪َ 4‬ح ُّل‬ ‫ﺨﺔ‬ ‫اختبار ِ‬ ‫نهاية الوحدة ‪117‬‬ ‫ُ‬ ‫ﻗﻴ‬ ‫ﺪا‬ ‫المثلثات ‪120‬‬ ‫ِ‬ ‫ة ‪ 4‬تطبيقاتُ‬ ‫ح َد ُ‬ ‫الْ َ‬ ‫و ْ‬ ‫ِ‬ ‫الشمال ‪112‬‬ ‫الدَّ ْر ُس ‪ 1‬االتجا ُه م َن‬ ‫ﻹﻋ‬ ‫ِ‬ ‫الجيوب ‪128‬‬ ‫ُ‬ ‫قانون‬ ‫الدَّ ْر ُس ‪2‬‬ ‫ِ‬ ‫جيوب التما ِم ‪135‬‬ ‫ُ‬ ‫قانون‬ ‫الدَّ ْر ُس ‪3‬‬ ‫ﺪا د‬ ‫ِ‬ ‫المثلث ‪141‬‬ ‫ِ‬ ‫مساحة‬ ‫ِ‬ ‫إليجاد‬ ‫ِ‬ ‫الزاوية‬ ‫ِ‬ ‫جيب‬ ‫ُ‬ ‫استعمال‬ ‫الدَّ ْر ُس ‪4‬‬ ‫ِ‬ ‫األبعاد ‪146‬‬ ‫ِ‬ ‫ثالثية‬ ‫َ‬ ‫مسائل‬ ‫الدَّ ْر ُس ‪َ 5‬ح ُّل‬ ‫اختبار ِ‬ ‫نهاية الوحدة ‪152‬‬ ‫ُ‬ ‫‪www.jnob-jo.com‬‬ ‫‪7‬‬  ‫األسس والمعادالت‬ ‫الوحدة‬ ‫‪1‬‬ ‫‪Equations and expressions‬‬ ‫ﺴ‬ ‫ﻧ‬ ‫ﺨﺔ‬ ‫الوحدة؟‬ ‫ِ‬ ‫هذه‬ ‫ِ‬ ‫ُ‬ ‫أهمية‬ ‫ما‬ ‫ﻗﻴ‬ ‫ِ‬ ‫الجوية ‪ً -‬‬ ‫ِ‬ ‫ِ‬ ‫ِ‬ ‫غير الخ ِّط ِية في ٍ‬ ‫ِ‬ ‫تُســتخدَ ُم أنظم ُة المعادالت ُ‬ ‫ﺪا‬ ‫مثل‪-‬‬ ‫األرصاد‬ ‫الحياة‪.‬فخبرا ُء‬ ‫مجــاالت‬ ‫كثير م ْن‬ ‫ِ‬ ‫الهطل‪ ،‬باستخدا ِم‬ ‫ِ‬ ‫ومعدل‬ ‫الجوي‪،‬‬ ‫ِ‬ ‫والضغط‬ ‫ِ‬ ‫الرياح‪،‬‬ ‫ِ‬ ‫وســرعة‬ ‫ِ‬ ‫الحرارة‪،‬‬ ‫ِ‬ ‫درجة‬ ‫ِ‬ ‫العالقة بي َن‬ ‫رون ِ‬ ‫عن‬ ‫ُيع ِّب َ‬ ‫ِّ‬ ‫العوامل األُخرى؛‬ ‫ِ‬ ‫العوامل يؤ ّدي إلى تغ ُّي ٍر في‬ ‫ِ‬ ‫أحد ِ‬ ‫أن أي تغي ٍر في ِ‬ ‫ٍ‬ ‫معادالت ِ‬ ‫هذه‬ ‫ذلك َّ َّ ُّ‬ ‫غير خ ِّط ٍّي؛ َ‬ ‫نظــا ِم‬ ‫ﻹﻋ‬ ‫غير خ ِّط ٍية‪.‬‬ ‫أن العالق َة بينَها ُ‬ ‫ما يعني َّ‬ ‫ﺪا د‬ ‫الوحدة‪:‬‬ ‫ِ‬ ‫هذه‬ ‫ِ‬ ‫َ‬ ‫سأتعلَّ ُم في‬ ‫سابقا‪:‬‬ ‫ً‬ ‫تعلَّ ْم ُت‬ ‫معادلة خ ِّط ٍ‬ ‫يــة‪ ،‬و ُأخرى‬ ‫ٍ‬ ‫كــو ٍن م ْن‬ ‫ِ‬ ‫ِ‬ ‫ٍ‬ ‫ٍ‬ ‫ح َّل نظا ٍم ُم َّ‬ ‫◂ َ‬ ‫التحليل‪.‬‬ ‫باستعمال‬ ‫تربيعية‬ ‫معادالت‬ ‫✔ َح َّل‬ ‫ٍ‬ ‫تربيعية‪.‬‬ ‫ِ‬ ‫القانون العا ِّم‪.‬‬ ‫ِ‬ ‫باستعمال‬ ‫ٍ‬ ‫تربيعية‬ ‫ٍ‬ ‫معادالت‬ ‫✔ َح َّل‬ ‫كو ٍن م ْن معادلت ْي ِن تربيعيت ْي ِن‪.‬‬ ‫تتضم ُن معادلت ْي ِن خ ِّطيت ْي ِن‬ ‫ٍ‬ ‫ِ‬ ‫◂ َح َّل نظا ٍم ُم َّ‬ ‫َّ‬ ‫معادالت‬ ‫أنظمة‬ ‫ح َّل‬‫✔ َ‬ ‫وخصائصها‪.‬‬ ‫َ‬ ‫األسس النسبي َة‪،‬‬ ‫َ‬ ‫◂‬ ‫بمتغ ِّير ْي ِن‪.‬‬‫ُ‬ ‫معادالت ُأ ِّس َّي ٍة‪.‬‬ ‫ٍ‬ ‫ِ‬ ‫أنظمة‬ ‫◂ َح َّل‬ ‫ِ‬ ‫الصحيحة‪.‬‬ ‫ِ‬ ‫األسس‬ ‫✔ قواعدَ‬ ‫‪www.jnob-jo.com‬‬ ‫‪8‬‬  ‫الدرس‬ ‫ٍ‬ ‫عادالت خطية‬‫م‬ ‫ِ‬ ‫ثالث ُ‬ ‫ونٍ م ْ‬ ‫ن‬ ‫مك َّ‬ ‫نظام ُ‬ ‫ٍ‬ ‫ح ُّل‬ ‫َ‬ ‫‪Solving a System of Three Linear Equations‬‬ ‫‪1‬‬ ‫بثالثة متغي ٍ‬ ‫ِ‬ ‫معادالت خ ِّط ٍية‬ ‫ٍ‬ ‫ِ‬ ‫كو ٍن م ْن‬ ‫رات‪.‬‬ ‫ُ ِّ‬ ‫ثالث‬ ‫َح َّل نظا ٍم ُم َّ‬ ‫الدرس‬ ‫ِ‬ ‫فكرة‬ ‫ُ‬ ‫َّب‪.‬‬ ‫ثالثي ُمرت ٌ‬ ‫ٌّ‬ ‫المصطلحات‬ ‫ُ‬ ‫ُ‬ ‫واليابان والصي ُن‬ ‫الواليات المتحد ُة األمريكي ُة‬ ‫ُ‬ ‫الســنوات كان ِ‬ ‫َت‬ ‫ِ‬ ‫مسألة اليوم في إحدى‬ ‫اليومي م ًعا ما نســب ُت ُه ‪39.8%‬‬ ‫للنفط عالميا؛ إ ْذ ي ِ‬ ‫عاد ُل اســتهالكُها‬ ‫ِ‬ ‫ِ‬ ‫الدول اســتهالكًا‬ ‫أكثر‬ ‫ُّ‬ ‫ُ‬ ‫ًّ‬ ‫هي َ‬ ‫َ‬ ‫ﻧ‬ ‫ِ‬ ‫االســتهالك العالمي‪.‬إذا اســتهلك ِ‬ ‫ِ‬ ‫أربعة‬ ‫الواليات المتحد ُة األمريكيــ ُة ‪َ 0.7%‬‬ ‫أكثر م ْن‬ ‫ُ‬ ‫َت‬ ‫ِّ‬ ‫م َن‬ ‫ﺴ‬ ‫ِ‬ ‫ِ‬ ‫ِ‬ ‫ِ‬ ‫الصين‪ ،‬و‪ 5%‬أكثر من ِ‬ ‫ِ‬ ‫ِ‬ ‫استهالك ٍّ‬ ‫كل م َن‬ ‫اليابان‪ ،‬فما نسب ُة‬ ‫استهالك‬ ‫أمثال‬ ‫ثالثة‬ ‫َ ْ‬ ‫ِ َ‬ ‫اســتهالك‬ ‫أمثال‬ ‫ﺨﺔ‬ ‫ِ‬ ‫والصين؟‬ ‫ِ‬ ‫واليابان‬ ‫ِ‬ ‫األمريكية‬ ‫ِ‬ ‫المتحدة‬ ‫ِ‬ ‫الواليات‬ ‫ِ‬ ‫كو ٍن م ْن‬ ‫ثالث‬ ‫يتكو ُن م ْن معادلت ْي ِن خ ِّطيت ْي ِن‪ ،‬وسأتع َّل ُم اليو َم َح َّل نظا ٍم ُم َّ‬ ‫تع َّل ْم ُت ساب ًقا َح َّل نظا ٍم َّ‬ ‫معادالت خ ِّط ٍية‪ِ ،‬‬ ‫مثل‪:‬‬ ‫ٍ‬ ‫ﻗﻴ‬ ‫أتعلم‬ ‫‪y+x+z=2‬‬ ‫المعادلة ‪1‬‬ ‫ﺪا‬ ‫أالحظ أن جميع معادالت‬ ‫‪x+y–z=2‬‬ ‫المعادلة ‪2‬‬ ‫النظام خطية‪ ،‬وأن كل منها‬ ‫المعادلة ‪3‬‬ ‫ﻹﻋ‬ ‫‪2x + 2y + z = 4‬‬ ‫يحتــوي ‪ 3‬متغيــرات على‬ ‫األكثر‪.‬‬ ‫َّب )‪ (ordered triple‬على الشــكل (‪ )x, y, z‬يحقق كل م َن‬ ‫ثالثي ُمرت ٌ‬ ‫ٌّ‬ ‫إن َح َّل هذا النظا ِم َ‬ ‫هو‬ ‫َّ‬ ‫ِ‬ ‫السابق‪:‬‬ ‫هو َح ٌّل للنظا ِم‬ ‫الثالث ِ‬ ‫فيه‪ً.‬‬ ‫ِ‬ ‫ِ‬ ‫َّب (‪َ )0, 2, 0‬‬ ‫المرت ُ‬ ‫الثالثي ُ‬ ‫فمثل‪،‬‬ ‫المعادالت‬ ‫ﺪا د‬ ‫ُّ‬ ‫✓ ‪0+2+0=2‬‬ ‫✓ ‪0+2–0=2‬‬ ‫✓ ‪2(0) + 2 (2) + 0 = 4‬‬ ‫يتكو ُن م ْن معادلت ْي ِن‬ ‫ٍ‬ ‫ٍ‬ ‫ٍ‬ ‫ٍ‬ ‫ِ‬ ‫مكن ح ُّل نظا ٍم م ٍ‬ ‫ِ‬ ‫لح ِّل نظا ٍم َّ‬ ‫كون م ْن ثالث معادالت خ ِّطية بطريقة مشابهة َ‬ ‫ُ َّ‬ ‫ُي ُ َ‬ ‫التعويض اللت ْي ِن تع َّل ْمت ُُهما ساب ًقا‪.‬‬ ‫ِ‬ ‫ِ‬ ‫الحذف أو‬ ‫ِ‬ ‫باستعمال طريقت َِي‬ ‫َ‬ ‫وذلك‬ ‫خ ِّطيت ْي ِن‪،‬‬ ‫‪www.jnob-jo.com‬‬ ‫‪10‬‬  ‫الوحدة ‪1‬‬ ‫مثال ‪1‬‬ ‫ِ ِ‬ ‫ِ‬ ‫الح ِّل‪:‬‬ ‫ثم َأتَح َّق ُق ْ‬ ‫من ص َّحة َ‬ ‫اآلتي‪َّ ،‬‬ ‫َ‬ ‫المعادالت‬ ‫َأ ُح ُّل نظا َم‬ ‫‪4x + y + 3z = 8‬‬ ‫(‪)1‬‬ ‫‪–2x + 5y + z = 4‬‬ ‫(‪)2‬‬ ‫‪3x + 2y + 4z = 9‬‬ ‫(‪)3‬‬ ‫ِ‬ ‫الثالثة‪ ،‬وليك ْن ‪ ،x‬باســتعمال زوجين من معادالت النظام‪.‬‬ ‫أحد المتغي ِ‬ ‫رات‬ ‫حذف ِ‬ ‫ُ‬ ‫الخطو ُة ‪:1‬‬ ‫ُ ِّ‬ ‫لنبدأ بالمعادلتين (‪ )1‬و (‪.)2‬‬ ‫‪4x + y + 3z = 8‬‬ ‫)‪(1‬‬ ‫ِ‬ ‫ِ‬ ‫ِ‬ ‫ِ‬ ‫ﻧ‬ ‫‪)+( – 4x + 10y + 2z = 8‬‬ ‫)‪(2‬‬ ‫العدد ‪2‬‬ ‫الثانية في‬ ‫المعادلة‬ ‫بضرب‬ ‫ﺴ‬ ‫)‪11y +5z =16 (4‬‬ ‫بجمع المعادلت ْي ِن‪ُ ،‬‬ ‫تنتج المعادل ُة (‪)4‬‬ ‫ﺨﺔ‬ ‫حصلنا علــى المعادلة (‪ )4‬وهي معادلــة خطية تحتوي متغيرين‪.‬لنجــد معادلة خطية أخرى‬ ‫تحتوي متغيرين باستعمال زوج آخر من معادالت النظام هو (‪ )1‬و (‪)3‬‬ ‫‪12x + 3y + 9z = 24‬‬ ‫)‪(1‬‬ ‫ِ‬ ‫العدد ‪3‬‬ ‫ِ‬ ‫المعادلة األولى في‬ ‫ِ‬ ‫بضرب‬ ‫إرشاد‬ ‫ﻗﻴ‬ ‫‪)–( 12x + 8y + 16z = 36‬‬ ‫)‪(3‬‬ ‫ِ‬ ‫العدد ‪4‬‬ ‫ِ‬ ‫الثالثة في‬ ‫ِ‬ ‫المعادلة‬ ‫ِ‬ ‫بضرب‬ ‫العــدد ‪ 12‬هــو المضاعف‬ ‫)‪–5y − 7y = –12 (5‬‬ ‫بطرح المعادلت ْي ِن‪ُ ،‬‬ ‫تنتج المعادل ُة (‪)5‬‬ ‫ِ‬ ‫المشترك األصغر لمعاملي‬ ‫ﺪا‬ ‫المتغير ‪ x‬في المعادلتين‪.‬‬ ‫أح ُّل النظا ِم الذي يحوي المعادلت ْي ِن الخ ِّطيت ْي ِن (‪ )4‬و (‪.)5‬‬ ‫الخطو ُة ‪َ :2‬‬ ‫‪– 55y + 25z = 80‬‬ ‫)‪(4‬‬ ‫ِ‬ ‫العدد ‪5‬‬ ‫ِ‬ ‫الرابعة في‬ ‫ِ‬ ‫المعادلة‬ ‫ِ‬ ‫بضرب‬ ‫ﻹﻋ‬ ‫)‪)+( 55y – 77z = –132 (5‬‬ ‫ِ‬ ‫العدد ‪11‬‬ ‫ِ‬ ‫الخامسة في‬ ‫ِ‬ ‫المعادلة‬ ‫ِ‬ ‫بضرب‬ ‫‪–52z = –52‬‬ ‫بجمع المعادلتين‬ ‫ﺪا د‬ ‫‪z=1‬‬ ‫‪11y + 5(1) = 16‬‬ ‫ِ‬ ‫الرابعة‬ ‫ِ‬ ‫المعادلة‬ ‫بتعويض ِ‬ ‫قيمة ‪ z = 1‬في‬ ‫ِ‬ ‫ِ‬ ‫أتعلم‬ ‫‪y=1‬‬ ‫بالتبسيط‬ ‫ِ‬ ‫بتعويض ِ‬ ‫يمكن تعويــض قيمة ‪ z‬في‬ ‫‪4x + 1 + 3(1) = 8‬‬ ‫المعادلة األولى‬ ‫قيمة ‪ y = 1, z = 1‬في‬ ‫ِ‬ ‫ِ‬ ‫أيضا‬ ‫المعادلة الخامسة فهي ً‬ ‫‪x=1‬‬ ‫بالتبسيط‬ ‫تحتــوي المتغيريــن ‪ y‬و ‪z‬‬ ‫َّب‪.(x, y, z) = (1, 1, 1) :‬‬ ‫المرت ُ‬ ‫الثالثي ُ‬ ‫ُّ‬ ‫الح ُّل َ‬ ‫هو‬ ‫إذن‪َ ،‬‬ ‫ْ‬ ‫فقط‪.‬‬ ‫ِ‬ ‫ِ‬ ‫ِ ِ‬ ‫ِ‬ ‫الثالث‪:‬‬ ‫المعادالت‬ ‫ُعو ُض الثالثي المرتب في‬ ‫للتح ُّق ِق م ْن ص َّحة َ‬ ‫الح ِّل‪ ،‬ن َّ‬ ‫‪4(1) + 1 + 3(1) ≟ 8‬‬ ‫المعادلة األولى‬ ‫‪www.jnob-jo.com‬‬ ‫‪11‬‬  ‫✓ ‪8=8‬‬ ‫‪?4‬‬ ‫= ‪– 2(1) + 5(1) + 1‬‬ ‫المعادلة الثانية‬ ‫✓ ‪4=4‬‬ ‫‪?9‬‬ ‫= )‪3(1) + 2(1) + 4(1‬‬ ‫المعادلة الثالثة‬ ‫✓ ‪9=9‬‬ ‫أتحقق من فهمي‬ ‫ِ ِ‬ ‫ِ‬ ‫الح ِّل‪:‬‬ ‫ثم َأتَح َّق ُق ْ‬ ‫من ص َّحة َ‬ ‫اآلتي‪َّ ،‬‬ ‫َ‬ ‫المعادالت‬ ‫َأ ُح ُّل نظا َم‬ ‫‪x–y+z=3‬‬ ‫ﻧ‬ ‫‪–3x + y + 2z = –2‬‬ ‫ﺴ‬ ‫‪2x + 2y – 5z = –5‬‬ ‫ِ‬ ‫ٍ‬ ‫ِ‬ ‫ِ‬ ‫ﺨﺔ‬ ‫أكثر‬ ‫واحد ْ‬ ‫فقط لنظا ِم المعادالت‪ ،‬ولك ْن قدْ يوجدُ نظام له ُ‬ ‫السابق وجو ُد َح ٍّل‬ ‫المثال‬ ‫تَب َّي َن لنا في‬ ‫ِ‬ ‫المثال اآلتي‪.‬‬ ‫أي َح ٍّل كما في‬ ‫م ْن َح ٍّل‪ ،‬وقدْ يوجدُ نظام ليس ل ُه ُّ‬ ‫مثال ‪2‬‬ ‫ﻗﻴ‬ ‫ِ‬ ‫معادالت فيما يلي‪:‬‬ ‫َأ ُح ُّل كل نظام‬ ‫ﺪا‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ y + 7.5z = 2.5‬‬ ‫‪5x – 10‬‬ ‫)‪(1‬‬ ‫‪2x – 4y + 3z = 1‬‬ ‫)‪(2‬‬ ‫‪10x – 20y + 15z = 5‬‬ ‫)‪(3‬‬ ‫ﻹﻋ‬ ‫لنحذف أحد المتغيرات الثالثة‪ ،‬وليكن ‪ ، x‬باستعمال زوج من معادالت النظام هو (‪ )1‬و (‪)2‬‬ ‫‪10x – 20y + 15z = 5‬‬ ‫)‪(1‬‬ ‫ِ‬ ‫العدد ‪2‬‬ ‫ِ‬ ‫المعادلة األولى في‬ ‫ِ‬ ‫بضرب‬ ‫ِ‬ ‫ِ‬ ‫ِ‬ ‫ﺪا د‬ ‫‪)–( 10x – 20y + 15z = 5‬‬ ‫)‪(2‬‬ ‫العدد ‪5‬‬ ‫الثانية في‬ ‫المعادلة‬ ‫ِ‬ ‫بضرب‬ ‫‪0=0‬‬ ‫بطرح المعادلت ْي ِن‬ ‫ِ‬ ‫دائما‪0 = 0 :‬‬ ‫الناتج هو عبارة صحيحة ً‬ ‫دائما عبارة صحيحة عند محاولة حذف متغير باســتعمال أي زوج من‬ ‫أالحظ فيما يلي أنه ينتج ً‬ ‫معادالت النظام‪.‬‬ ‫)‪10x – 20y + 15z = 5 (1‬‬ ‫ِ‬ ‫العدد ‪2‬‬ ‫ِ‬ ‫المعادلة األولى في‬ ‫ِ‬ ‫بضرب‬ ‫)‪)–( 10x – 20y + 15z = 5 (3‬‬ ‫‪0=0‬‬ ‫بطرح المعادلتين‬ ‫دائما‪0 = 0 :‬‬ ‫أيضا عبارة صحيحة ً‬ ‫الناتج هو ً‬ ‫‪www.jnob-jo.com‬‬ ‫‪12‬‬  ‫الوحدة ‪1‬‬ ‫)‪10x – 20y + 15z = 5 (2‬‬ ‫ِ‬ ‫العدد ‪5‬‬ ‫ِ‬ ‫الثانية في‬ ‫ِ‬ ‫المعادلة‬ ‫ِ‬ ‫بضرب‬ ‫)‪(–)  10x – 20y + 15z = 5 (3‬‬ ‫‪0=0‬‬ ‫بطرح المعادلتين‬ ‫ِ‬ ‫دائما‪ْ.‬‬ ‫المعادالت عد ٌد‬ ‫إذن‪ ،‬لنظــا ِم‬ ‫فــي كال الحاالت الثالث الســابقة نتجت عبار ٌة صحيح ٌة ً‬ ‫ِ‬ ‫الحلول‪.‬‬ ‫النهائي م َن‬ ‫ٌّ‬ ‫‪2‬‬ ‫     ‪x – 2y + 3z = 2‬‬ ‫)‪(1‬‬ ‫)‪–2x + 4y – 6z = 5    (2‬‬ ‫ﻧ‬ ‫)‪4x – 8y + 12z = 1    (3‬‬ ‫ﺴ‬ ‫لنحذف أحد المتغيرات الثالثة‪ ،‬وليكن ‪ x‬باستعمال زوج المعادالت (‪ )1‬و (‪)2‬‬ ‫)‪2x – 4y + 6z = 4 (1‬‬ ‫ِ‬ ‫العدد ‪2‬‬ ‫ِ‬ ‫المعادلة األولى في‬ ‫ِ‬ ‫بضرب‬ ‫)‪)+( –2x + 4y – 6z = 5 (2‬‬ ‫‪0=9‬‬ ‫ﺨﺔ‬ ‫ٍ‬ ‫صحيحة‪0 = 9 :‬‬ ‫غير‬ ‫بطرح المعادلتين‬ ‫الناتج هو عبارة ُ‬ ‫ﻗﻴ‬ ‫ٍ‬ ‫صحيحة‪ ،‬فإ َّن ُه ال يوجدُ َح ٌّل للنظا ِم‪.‬أالحظ فيما يلي أ َّن ُه‬ ‫نتج م ْن َح ِّل المعادلت ْي ِن عبار ٌة ُ‬ ‫غير‬ ‫بما أ َّن ُه َ‬ ‫ﺪا‬ ‫ٍ‬ ‫ِ‬ ‫ِ‬ ‫ٍ‬ ‫معادالت في النظا ِم‪.‬‬ ‫أي ٍ‬ ‫زوج‬ ‫غير صحيحة عندَ محاولة حذف ُمتغ ِّي ٍر باستعمال ِّ‬ ‫دائما عبار ٌة ُ‬‫ينتج ً‬ ‫ُ‬ ‫)‪4x – 8y + 12z = 8 (1‬‬ ‫ِ‬ ‫العدد ‪4‬‬ ‫ِ‬ ‫المعادلة األولى في‬ ‫ِ‬ ‫بضرب‬ ‫ﻹﻋ‬ ‫)‪)–( 4x – 8y + 12z = 1 (3‬‬ ‫‪0=7‬‬ ‫بطرح المعادلتين‬ ‫ِ‬ ‫ِ‬ ‫ِ‬ ‫ﺪا د‬ ‫)‪– 4x + 8y – 12z = 10 (2‬‬ ‫العدد ‪2‬‬ ‫الثانية في‬ ‫المعادلة‬ ‫ِ‬ ‫بضرب‬ ‫‪)–( 4x – 8y + 12z = 1‬‬ ‫)‪(3‬‬ ‫‪0 = 11‬‬ ‫بطرح المعادلتين‬ ‫ٍ‬ ‫صحيحة في كلتا الحالت ْي ِن‪.‬‬ ‫العبارة الناتجة غير‬ ‫أتحقق من فهمي‬ ‫ٍ‬ ‫َأ ُح ُّل َّ‬ ‫كل نظا ِم معادالت ّ‬ ‫مما يأتي‪:‬‬ ‫‪1  2x + 4y – 6z = 8‬‬ ‫‪2  5x – y + 2z = 1‬‬ ‫‪x + 2y – 3z = 4‬‬ ‫‪15x – 3y + 6z = 9‬‬ ‫‪3x + 6y – 9z = 12‬‬ ‫‪20x – 4y + 8z = 2‬‬ ‫‪www.jnob-jo.com‬‬ ‫‪13‬‬  ‫من الحياة‬ ‫مثال ‪3‬‬ ‫عبد ِ‬‫الملك ِ‬ ‫ِ‬ ‫ِ‬ ‫ٍ‬ ‫كل من عائلة ٍ‬ ‫الله الثاني في إربدَ ‪،‬‬ ‫حدائق‬ ‫ومحمد إلى‬ ‫وعلي‪،‬‬ ‫ٍّ‬ ‫معاذ‪،‬‬ ‫رحالت‪ :‬ذه َب ْت ٌّ ْ‬ ‫ٌ‬ ‫واشتر ْت‬ ‫قرشا‪،‬‬ ‫ٍ‬ ‫عصير وقطع َة حلوى بمبل ِغ ‪ً 155‬‬ ‫شطائر وعلبت َْي‬ ‫َ‬ ‫ثالث‬ ‫وقد اشتر ْت عائل ُة ٍ‬ ‫معاذ‬ ‫ِ‬ ‫َ‬ ‫َ‬ ‫َ‬ ‫واشتر ْت‬ ‫َ‬ ‫َ‬ ‫وثالث قط ٍع م َن الحلوى بمبل ِغ ‪ً 180‬‬ ‫قرشا‪،‬‬ ‫ٍ‬ ‫عصير‬ ‫علب‬‫وثالث ِ‬ ‫َ‬ ‫علي شطيرت ْي ِن‬ ‫عائل ُة ٍّ‬ ‫قرشــا‪.‬ما ثم ُن ٍّ‬ ‫كل م َن‬ ‫ٍ‬ ‫عصيــر وقطعت َْي حلوى بمبل ِغ ‪ً 145‬‬ ‫شــطائر وعلب َة‬ ‫َ‬ ‫ثالث‬ ‫ٍ‬ ‫محمد‬ ‫عائل ُة‬ ‫َ‬ ‫ِ‬ ‫الواحدة؟‬ ‫ِ‬ ‫وقطعة الحلوى‬ ‫ِ‬ ‫الواحدة‪،‬‬ ‫ِ‬ ‫العصير‬ ‫ِ‬ ‫وعلبة‬ ‫ِ‬ ‫الواحدة‪،‬‬ ‫ِ‬ ‫الشطيرة‬ ‫عبد ِ‬ ‫الله الثاني‬ ‫الملك ِ‬ ‫ِ‬ ‫حدائق‬ ‫ُ‬ ‫ِ‬ ‫ِ‬ ‫ِ‬ ‫ف ثالث َة متغي ٍ‬ ‫وقطعة الحلوى ‪.z‬‬ ‫ِ‬ ‫العصير ‪،y‬‬ ‫وعلبة‬ ‫الشطيرة ‪،x‬‬ ‫أفترض َّ‬ ‫أن ثم َن‬ ‫ُ‬ ‫رات‪.‬‬ ‫ُ ِّ‬ ‫أفهم‪ُ :‬أ ِّ‬ ‫عر ُ‬ ‫ُ‬ ‫عامة في محافظةِ‬ ‫حديقة ٍ‬‫ٍ‬ ‫أكبر‬ ‫ُ‬ ‫ٍ‬ ‫وهي ُمقا َم ٌة على أرضٍ‬ ‫إربدَ ‪َ ،‬‬ ‫ﻧ‬ ‫معادالت‪.‬‬ ‫أكتب نظا َم‬ ‫ُ‬ ‫ُأخ ِّط ُط‪:‬‬ ‫ﺴ‬ ‫دفع ْت عائل ُة ٍ‬ ‫وتضم‬ ‫ُّ‬ ‫دونما‪،‬‬ ‫ً‬ ‫مساحتُها ‪177‬‬ ‫‪3x + 2y + z = 155‬‬ ‫المعادل ُة (‪)1‬‬ ‫معاذ ‪ً 155‬‬ ‫قرشا‪.‬‬ ‫َ‬ ‫مس َّط ٍ‬ ‫حات خضرا َء‪ ،‬و ُأخرى‬ ‫ُ‬ ‫‪2x + 3y + 3z = 180‬‬ ‫المعادل ُة (‪)2‬‬ ‫قرشا‪.‬‬ ‫ٍ‬ ‫دف َع ْت عائل ُة معاذ ‪ً 180‬‬ ‫مائي ًة‪ ،‬ومالعــب للرياضاتِ‬ ‫ﺨﺔ‬ ‫َ‬ ‫المعادل ُة (‪)3‬‬ ‫معاذ ‪ً 145‬‬ ‫قرشا‪.‬‬ ‫دفع ْت عائل ُة ٍ‬ ‫ِ‬ ‫المختلفة‪ ،‬و ُأخرى لألطفال‪ِ.‬‬ ‫‪3x + y + 2z = 145‬‬ ‫َ‬ ‫ِ‬ ‫َأ ُح ُّل‪َ :‬أ ُح ُّل نظا َم‬ ‫الناتج‪:‬‬ ‫َ‬ ‫المعادالت‬ ‫َأتذكَّ ُر‬ ‫نحــذف أحد المتغيرات الثالثة‪ ،‬وليكن ‪ x‬؛ فنحصل على نظــام مكون من معادلتين بمتغيرين‬ ‫ﻗﻴ‬ ‫تســمى طريقــة حــل هذا‬ ‫على النحو اآلتي‪:‬‬ ‫المثــال بخطــة الخطوات‬ ‫ﺪا‬ ‫)‪6x + 4y + 2z = 310   (1‬‬ ‫ِ‬ ‫العدد ‪2‬‬ ‫ِ‬ ‫المعادلة األولى في‬ ‫ِ‬ ‫بضرب‬ ‫األربعــة وهــي‪ :‬أفهــم‪،‬‬ ‫‪)–( 6x + 9y + 9z = 540‬‬ ‫)‪(2‬‬ ‫ِ‬ ‫العدد ‪3‬‬ ‫ِ‬ ‫الثانية في‬ ‫ِ‬ ‫المعادلة‬ ‫ِ‬ ‫بضرب‬ ‫أخطط‪ ،‬أحل‪ ،‬أتحقق‪.‬‬ ‫تنتج المعادل ُة (‪)4‬‬ ‫بالطرح‪ُ ،‬‬ ‫ﻹﻋ‬ ‫)‪–5y – 7z = –230 (4‬‬ ‫‪3x + 2y + z = 155‬‬ ‫)‪(1‬‬ ‫‪)–( 3x + y + 2z = 145‬‬ ‫)‪(3‬‬ ‫ﺪا د‬ ‫‪y – z = 10‬‬ ‫)‪(5‬‬ ‫تنتج المعادل ُة (‪)5‬‬ ‫بالطرح ُ‬ ‫وبهذا نحصل علــى نظام مكون من معادلتين خطيتين بمتغيريــن هما (‪ )4‬و (‪ )5‬نحذف أحد‬ ‫المتغيرين وليكن ‪.y‬‬ ‫)‪–5y – 7z = –230 (4‬‬ ‫بضرب المعادلة الخامسة في العدد ‪5‬‬ ‫‪)+( 5y – 5z = 50‬‬ ‫)‪(5‬‬ ‫‪–12 – z = – 180‬‬ ‫بالجمع‬ ‫‪z = 15‬‬ ‫بحل المعادلة‬ ‫‪www.jnob-jo.com‬‬ ‫‪14‬‬  ‫الوحدة ‪1‬‬ ‫‪y – 15 = 10‬‬ ‫ِ‬ ‫بتعويض ‪ z = 15‬في‬ ‫ِ‬ ‫الخامسة (لماذا؟)‬ ‫ِ‬ ‫المعادلة‬ ‫‪y = 25‬‬ ‫ِ‬ ‫بالتبسيط‬ ‫‪3x + 2(25) + 15 = 155‬‬ ‫ِ‬ ‫بتعويض ‪y = 25, z = 15‬‬ ‫ِ‬ ‫المعادلة األولى (لماذا؟)‬ ‫في‬ ‫‪3x = 90‬‬ ‫ِ‬ ‫بالتبسيط‬ ‫‪x = 30‬‬ ‫بقسمة الطرفين على ‪3‬‬ ‫الح ُّل َ‬ ‫هو‪(x, y, z) = (30, 25, 15) :‬‬ ‫ْ‬ ‫إذن‪َ ،‬‬ ‫ِ‬ ‫ِ‬ ‫ِ‬ ‫ﻧ‬ ‫وقطعة الحلوى ‪ً 15‬‬ ‫قرشا‪.‬‬ ‫قرشا‪،‬‬ ‫ِ‬ ‫والعصير ‪ً 25‬‬ ‫الواحدة ‪ً 30‬‬ ‫قرشا‪،‬‬ ‫الشطيرة‬ ‫سعر‬ ‫َ‬ ‫ﺴ‬ ‫ِ‬ ‫َأتذكَّ ُر‬ ‫المعادالت‪.‬‬ ‫َّب (‪ )30, 25, 15‬في نظا ِم‬ ‫المرت َ‬ ‫الثالثي ُ‬ ‫َّ‬ ‫إن ُأ ِّ‬ ‫عو ُض‬ ‫أي َّ‬‫أتحقق‪ْ :‬‬ ‫صح ِة‬ ‫عنــدَ التح ُّق ِ‬ ‫ــق مــ ْن َّ‬ ‫ألعــاب تحوي ثالث َة أنوا ٍع م َن‬ ‫ات‪،‬‬ ‫ثالث مر ٍ‬ ‫ٍ‬ ‫مر ًة واحــدةً‪ ،‬والثالث َة َ ّ‬ ‫ِ‬ ‫مدينة‬ ‫ﺨﺔ‬ ‫مع صديق َت ْيها ســار َة ورندَ إلى‬ ‫مرت ْي ِن‪ ،‬والثاني َة َّ‬ ‫أتحقق من فهمي‬ ‫ٍ‬ ‫ألعاب‪ :‬ذه َب ْت رغدُ َ‬ ‫ِ‬ ‫مدين ُة‬ ‫األلعــاب‪ ،‬وقدْ لع َب ْت رغدُ اللعب َة األولــى َّ‬ ‫الثالثي‬ ‫َّ‬ ‫ِ‬ ‫المعادالت‬ ‫ــل‪ُ ،‬أ ِّ‬ ‫عــو ُض‬ ‫َّــب فــي‬ ‫ِ‬ ‫الح ِّ‬ ‫َ‬ ‫المرت َ‬ ‫ِ‬ ‫جميعها‪ ،‬ال بعضها‪.‬‬ ‫ُ‬ ‫ﻗﻴ‬ ‫ِ‬ ‫مرت ْي ِن‪ ،‬والثالث َة َّ‬ ‫مر ًة‬ ‫مر ًة واحدةً‪ ،‬والثاني َة َّ‬ ‫قرشــا‪.‬أ ّما ســار ُة فلع َبت اللعب َة األولى َّ‬ ‫ودف َع ْت ‪ً 875‬‬ ‫ٍ‬ ‫قرشــا‪ ،‬في ِ‬ ‫قرشا‪.‬‬ ‫فقط‪ ،‬ودف َع ْت ‪ً 375‬‬ ‫مر ًة واحد ًة ْ‬ ‫حين لع َب ْت رندُ ك َُّل لعبة َّ‬ ‫واحدةً‪ ،‬ودف َع ْت ‪ً 450‬‬ ‫ﺪا‬ ‫كل ٍ‬ ‫لعبة؟‬ ‫ِ‬ ‫تذكرة ِّ‬ ‫ما ثم ُن‬ ‫ﻹﻋ‬ ‫أتدرب وأحل المسائل‬ ‫ِ ِ‬ ‫ِ‬ ‫ِ‬ ‫ِ‬ ‫الح ِّل‪:‬‬ ‫ثم َأتَح َّق ُق ْ‬ ‫من ص َّحة َ‬ ‫من أنظمة المعادالت اآلتية‪َّ ،‬‬ ‫َأ ُح ُّل ًّ‬ ‫كل ْ‬ ‫ﺪا د‬ ‫‪x + 2y – z = – 3‬‬ ‫  ‪1‬‬ ‫‪2  2x + y – z = – 3‬‬ ‫‪x – 2y – z = 8‬‬ ‫  ‪3‬‬ ‫‪– x + y + 2z = – 2‬‬ ‫‪x – y + 2z = – 2‬‬ ‫‪2x – 3y + z = 23‬‬ ‫‪–3y – 5z = 1‬‬ ‫‪–3x – 3z = 9‬‬ ‫‪4x – 5y + 5z = 53‬‬ ‫‪x–y–z=1‬‬ ‫  ‪4‬‬ ‫‪5  2x + y – z = –2‬‬ ‫‪6  2x – 2y + 3z = 6‬‬ ‫‪–x + 2y – 3z = – 4‬‬ ‫‪x + 2y – z = –9‬‬ ‫‪4x – 3y + 2z = 0‬‬ ‫‪3x – 2y – 7z = 0‬‬ ‫‪x – 4y + z = 1‬‬ ‫‪–2x + 3y – 7z = 1‬‬ ‫‪www.jnob-jo.com‬‬ ‫‪15‬‬  ‫‪y = x – 1‬‬ ‫‪x – 3 y + z = –4‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪7‬‬ ‫  ‪8‬‬ ‫‪9  2 – 3z = 12‬‬ ‫‪x + y + 2z = 23‬‬ ‫‪2x + 3y = z –15‬‬ ‫‪y– z = 5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪x + y + z = 21‬‬ ‫‪4x – 3y – z = 19‬‬ ‫‪– x =1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫(الشيبس)‪،‬‬ ‫رقائق البطاطا‬ ‫ِ‬ ‫ٍ‬ ‫أكياس م ْن‬ ‫ِ‬ ‫الشوكوالتة‪ ،‬وخمســ َة‬ ‫وثالث ٍ‬ ‫علب م َن‬ ‫َ‬ ‫ِ‬ ‫البســكويت‪،‬‬ ‫ اشــتر ْت لينا علبت ْي ِن م َن‬ ‫ُ‬ ‫َ‬ ‫‪10‬‬ ‫ِ‬ ‫الشوكوالتة‪،‬‬ ‫ِ‬ ‫وعلبتين م َن‬ ‫ٍ‬ ‫بسكويت‪،‬‬ ‫األصناف ِ‬ ‫نفسها علب َة‬ ‫ِ‬ ‫اشــتر ْت م َن‬ ‫قرشا‪.‬وفي اليو ِم التالي‬‫ودف َع ْت ثمنًا لها ‪ً 380‬‬ ‫َ‬ ‫ِ‬ ‫البسكويت‪،‬‬ ‫ثالث ٍ‬ ‫علب م َن‬ ‫َ‬ ‫اشــتر ْت‬ ‫ِ‬ ‫الثالث‬ ‫قرشــا‪.‬وفي اليو ِم‬ ‫رقائق البطاطا‪ ،‬ودف َع ْت ثمنَها ‪ً 265‬‬ ‫ِ‬ ‫ٍ‬ ‫أكياس م ْن‬ ‫وثالث َة‬ ‫َ‬ ‫ِ‬ ‫البسكويت‪،‬‬ ‫كل م َن‬ ‫سعر ٍّ‬ ‫رقائق البطاطا‪ ،‬ودف َع ْت ثمنَها ‪ً 320‬‬ ‫أكياس م ْن ِ‬ ‫ٍ‬ ‫ِ‬ ‫الشوكوالتة‪ ،‬وأربع َة‬ ‫وعلب ًة واحد ًة م َن‬ ‫كم ُ‬ ‫قرشا‪ْ.‬‬ ‫ﻧ‬ ‫ِ‬ ‫ﺴ‬ ‫ِ‬ ‫ورقائق البطاطا؟‬ ‫والشوكوالتة‪،‬‬ ‫ِ‬ ‫الدرس‪.‬‬ ‫َأح ُّل المسأل َة الوارد َة في ِ‬ ‫بداية‬ ‫ُ‬ ‫ﺨﺔ‬ ‫‪11‬‬ ‫مهارات التفكير العليا‬ ‫ِ‬ ‫بالنقاط‪:‬‬ ‫يمر منحناها‬ ‫ِ‬ ‫ِ‬ ‫تحدٍّ ‪َ :‬أ ِجدُ قيم َة ٍّ‬ ‫كل م ْن‪ a , c , b :‬في المعادلة التربيعية‪ y = ax + bx + c :‬التي ُّ‬ ‫‪2‬‬ ‫‪12‬‬ ‫ﻗﻴ‬ ‫)‪(–2, 3), (5, 2), (2, –1‬‬ ‫ﺪا‬ ‫ذلك؟ ُأ ِّبر ُر إجابتي‪.‬‬ ‫تح َّل ُه‪َ.‬‬ ‫كيف عر َف ْت َ‬ ‫دون ْ‬ ‫ِ‬ ‫وجود ح ٍّل للنظا ِم اآلتي من ِ‬ ‫تبرير‪:‬‬ ‫أن ُ‬ ‫ْ‬ ‫َ‬ ‫ريم عد َم‬ ‫استنتج ْت ُ‬ ‫َ‬ ‫ٌ‬ ‫‪13‬‬ ‫‪x+y+z=1‬‬ ‫ﻹﻋ‬ ‫‪x+y+z=5‬‬ ‫‪x + y + z = –2‬‬ ‫ِ‬ ‫المعادالت اآلتي‪:‬‬ ‫َّب (‪َ )–1, 2, –3‬ح ًّل لنظا ِم‬ ‫ُ‬ ‫عكسي‪َ :‬أ ِجدُ قيم َة ٍّ‬ ‫َح ٌّل‬ ‫المرت َ‬ ‫الثالثي ُ‬ ‫َّ‬ ‫تجعل‬ ‫كل م ْن‪ a, c, b :‬التي‬ ‫ٌّ‬ ‫ﺪا د‬ ‫‪14‬‬ ‫‪x + 2y – 3z = a‬‬ ‫‪–x – y + z = b‬‬ ‫‪2x + 3y – 2z = c‬‬ ‫ِ‬ ‫األول َح ٌّل واحدٌ ‪،‬‬ ‫كل منْها ثالث ُة متغي ٍ‬‫معادالت خ ِّط ٍية‪ ،‬في ٍّ‬ ‫ٍ‬ ‫ِ‬ ‫ُ‬ ‫يكون للنظا ِم‬ ‫ُ‬ ‫بحيث‬ ‫رات‪،‬‬ ‫ُ ِّ‬ ‫أنظمة‬ ‫مسأل ٌة مفتوح ٌة‪ُ :‬‬ ‫أكتب ثالث َة‬ ‫‪15‬‬ ‫أي َح ٍّل‪.‬‬ ‫ِ‬ ‫ُ‬ ‫ِ‬ ‫يكون للنظا ِم الثالث ُّ‬ ‫الحلول‪ ،‬وال‬ ‫النهائي م َن‬ ‫ٌّ‬ ‫وللنظا ِم الثاني عد ٌد‬ ‫‪www.jnob-jo.com‬‬ ‫‪16‬‬  ‫ُ‬ ‫نشاط‬ ‫المعادالت التربيعي ِ‬ ‫ة‬ ‫ِ‬ ‫ح ُّل أنظم ِ‬ ‫ة‬ ‫َ‬ ‫ِ‬ ‫الحاسبة‬ ‫‪Solving Systems of Equations‬‬ ‫ِ‬ ‫البيانية‬ ‫وح ِّلها بيان ًّيا‪.‬‬ ‫ِ‬ ‫ِ‬ ‫ِ‬ ‫ِ‬ ‫ِ‬ ‫ِ‬ ‫ِ‬ ‫ُ‬ ‫ي ِ‬ ‫لتمثيل أنظمة المعادالت التربيعية‪َ ،‬‬ ‫البيانية جيوجبرا )‪(GEOGEBRA‬‬ ‫الحاسبة‬ ‫برنامج‬ ‫استعمال‬ ‫مكنُني‬ ‫ُ‬ ‫فهي مجاني ٌة‪ ،‬وسهل ُة‬ ‫ِ‬ ‫ِ‬ ‫ِ‬ ‫ِ‬ ‫َ‬ ‫ُ‬ ‫َأ‬ ‫اإلنترنت؛ َ‬ ‫ْ‬ ‫شــبكة‬ ‫البيانية جيوجبرا في‬ ‫الحاســبة‬ ‫للوصول إلى‬ ‫الرابط‪www.geogebra.org :‬‬ ‫ســتعمل‬ ‫ِ‬ ‫االستعمال‪.‬‬ ‫ِ‬ ‫البيانية جيوجبرا‪.‬‬ ‫ِ‬ ‫الحاسبة‬ ‫ِ‬ ‫باستعمال‬ ‫اآلتي بيان ًّيا‬ ‫ِ‬ ‫التربيعية‬ ‫ِ‬ ‫المعادالت‬ ‫َأ ُح ُّل نظا َم‬ ‫نشاط‬ ‫َ‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x + y = 13‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻧ‬ ‫‪x –y=7‬‬ ‫ﺴ‬ ‫اإلنترنت ‪،www.geogebra.org‬‬ ‫ْ‬ ‫ِ‬ ‫شبكة‬ ‫موقع جيوجبرا في‬ ‫الخطو ُة ‪َ :1‬أ ُ‬ ‫دخل‬ ‫َ‬ ‫ُ‬ ‫ضغط على‬ ‫ثم َأ‬ ‫َّ‬ ‫ﺨﺔ‬ ‫ﻗﻴ‬ ‫ﺪا‬ ‫ﻹﻋ‬ ‫‪8‬‬ ‫ﺪا د‬ ‫‪7‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪5‬‬ ‫الخطو ُة ‪ُ :2‬أم ِّث ُل بيان ًّيا المعادل َة التربيعي َة‪x + y = 13 :‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪eq1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ِ‬ ‫اآلتية من اليســار‬ ‫ِ‬ ‫المفاتيح‬ ‫ِ‬ ‫بالضغط على‬ ‫ِ‬ ‫حاســبة جيوجبرا‪،‬‬ ‫أدخل المعادلة في‬ ‫‪1‬‬ ‫إلى اليمين‪:‬‬ ‫‪-7‬‬ ‫‪-6‬‬ ‫‪-5‬‬ ‫‪-4‬‬ ‫‪-3‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪-3‬‬ ‫‪-4‬‬ ‫‪www.jnob-jo.com‬‬ ‫‪-5‬‬ ‫‪17‬‬ ‫‪-6‬‬ ‫‪-7‬‬ ‫‪-8‬‬  ‫‪6‬‬ ‫الخطو ُة ‪ُ :3‬أم ِّث ُل بيان ًّيا المعادل َة التربيعي َة‪x – y = 7 :‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪eq1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ِ‬ ‫اآلتية من اليسار‬ ‫ِ‬ ‫المفاتيح‬ ‫ِ‬ ‫بالضغط على‬ ‫ِ‬ ‫حاسبة جيوجبرا‪،‬‬ ‫أدخل المعادلة في‬ ‫‪-8‬‬ ‫‪-6‬‬ ‫‪-4‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪10‬‬ ‫إلى اليمين‪:‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪-4‬‬ ‫‪eq2‬‬ ‫‪-6‬‬ ‫ِ‬ ‫يتقاطعان في أربع نقاط‪ ،‬ما يعني وجود أربعة حلول‬ ‫أن منحن َي ِي المعادلت ْي ِن‬ ‫ــظ َّ‬ ‫الح ُ‬‫ُأ ِ‬ ‫ِ‬ ‫المعادالت‪.‬‬ ‫لنظا ِم‬ ‫ﻧ‬ ‫‪-8‬‬ ‫ﺴ‬ ‫‪-10‬‬ ‫ﺨﺔ‬ ‫كل ِ‬ ‫نقطة تقاط ٍع‬ ‫ِ‬ ‫نقــاط التقاط ِع بي َن‬ ‫ِ‬ ‫إحداثيــات‬ ‫ِ‬ ‫الحاســوب عنــدَ ِّ‬ ‫ِ‬ ‫ِ‬ ‫الخطــو ُة ‪ُ :4‬أحدِّ ُد‬ ‫المعادالت‬ ‫بفأرة‬ ‫َأ ُ‬ ‫نقر‬ ‫ِ‬ ‫منحنيات‬ ‫ﻗﻴ‬ ‫ليظهر إحداث ّياها‪.‬‬ ‫َ‬ ‫ﺪا‬ ‫إحداث ّيا نقاط التقاطع هي‪(-3, 2), (3, 2), (2, -3), :‬‬ ‫)‪ (-2, -3‬مــا يعني وجو َد أربعــة حلول لنظام لنظا ِم‬ ‫ِ‬ ‫ﻹﻋ‬ ‫المعادالت‪ ،‬هي‪:‬‬ ‫ﺪا د‬ ‫‪x = 3, y = 2‬‬ ‫الحل الثاني‪:‬‬ ‫ ‬ ‫‪x = 3, y = 2‬‬ ‫الحل األول‪:‬‬ ‫‪x = –2, y = –3‬‬ ‫الحل الثاني‪:‬‬ ‫الحل الثالث‪x = 2, y = –3 :‬‬ ‫ ‬ ‫أتدرب‬ ‫ِ‬ ‫ِ‬ ‫ِ‬ ‫ٍ‬ ‫َأ ُح ُّل َّ‬ ‫البيانية جيوجبرا‪:‬‬ ‫الحاسبة‬ ‫باستعمال‬ ‫كل نظا ِم معادالت ّ‬ ‫مما يأتي بيان ًّيا‬ ‫‪1  y – x + 4 = 0‬‬ ‫‪2  y – x + 3y = 26‬‬ ‫‪3  x + y = 16‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2x + 3y = 6‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x + 2y = 34‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x – y = 20‬‬ ‫‪www.jnob-jo.com‬‬ ‫‪18‬‬  ‫الدرس‬ ‫ة تربيعي ٍ‬ ‫ة‬ ‫ة ومعادل ٍ‬ ‫ة خطِّي ٍ‬ ‫ن معادل ٍ‬ ‫ونٍ م ْ‬ ‫مك َّ‬ ‫نظام ُ‬ ‫ٍ‬ ‫ح ُّل‬ ‫َ‬ ‫‪Solving a System of Linear and Quad