Curs 2 - Reprezentarea Matematică a Sistemelor - PDF

Universitatea din București Facultatea de Fizică Reprezentarea matematică a Sistemelor Titular curs:...

Universitatea din București Facultatea de Fizică Reprezentarea matematică a Sistemelor Titular curs: Lect. Dr. Ing. Lucian-Nicolae COJOCARIU Reprezentare matematică a Sistemelor 10.10.2024 www. https://fizica.unibuc.ro/Fizica/Main.php  Sisteme, reprezentarea matematică Sisteme continue tip I-E Sisteme discrete tip I-E Sisteme continue tip I-S-E Sisteme discrete tip I-S-E Facultatea de Fizică | Universitatea din București IFIN-HH | Romanian LHCb Group 1/16 www. fizica.unibuc.ro/Fizica/Main.php  Regimul dinamic al unui sistem continuu sau discret se poate descrie folosind un model matematic alcătuit din ecuații algebrice și ecuații diferențiale Regim dinamic compus din regim tranzitoriu și regim staționar. Un sistem caracterizat prin ecuații de tip intrare-ieșire (I-E) inferă un formalism matematic mai simplu, fără a evidenția toate aspectele de natură a structurii și a stării sale interne. Sistemele triviale de tip static nu conțin mărimi de stare, iar transferul I- E se realizează direct întrucât mărimea de ieșire urmărește instantaneu U X Y variațiile mărimii de intrare. Sistemele dinamice au cel puțin o variabilă de stare, iar ieșirea urmărește cu întârziere variațiile mărimii de intrare pe canalul I-S-E. Modul de reprezentare a unui sistem constă în: Σ ✓ Σ – sistemul; ✓ U – vectorul colană m – dimensional al mărimi de intrare; ✓ Y – vectorul colană p – dimensional al mărimi de ieșire; ✓ X – vectorul colană n – dimensional al mărimi de stare; Dimensiunea/Ordinul sistemului este dat de n – numărul variabilelor de stare. 2/16  U X Y Sistemul continuu de ordin n (I-E), descris cu o ecuație diferențială de ordin n, are valoarea ieșirii y la momentul t determinată în baza intrării 𝑢 0, 𝑡 și a primelor condiții inițiale 𝑦 0 , 𝑦 , 0 , …. , 𝑦 𝑛−1 (0). Σ Sistemul continuu de tip I-S-E are valoarea ieșirii y determinată de vectorul n dimensional 𝑋0 , în locul condițiilor inițiale Teoria modernă a sistemelor are ca elemente esențiale conceptele de stare și sistem I-S-E. Sistemele continue cu parametrii distribuiți au minim o mărime fizică asociată unui element dimensional care diferă sensibil de la un punct la altul. Modelarea sistemelor continue cu parametrii distribuiți se efectuează cu ajutorul ecuațiilor diferențiale cu derivate parțiale, întrucât intervine minim o variabilă spațială (x, y, z) pe lângă variabila de timp t. Sistemele cu timp mort, fac parte din categoria sistemelor infinit dimensionale, iar modelul unui astfel de sistem cu timp mort 𝝉 se obține prin înlocuirea funcției de intrare u(t) cu u(t-𝝉). Sistemele cu parametrii concentrați au mărimile fizice asociate oricărui element dimensional au accesași valoare în toate punctele elementului în cauză. Modelarea sistemelor, în cele ce urmează, se va concentra pe sisteme finit dimensionale ce sunt sistemele deterministe cu parametrii concentrați, fără timp mort. 3/16  Modelarea matematic asociat unui sistem constituie un set de relații și ecuații matematice care permit descrierea caracteristicilor, proprietăților și răspunsului sistemului în senul de intrare-ieșire sau instrare-stare-ieșire. Sistemul dinamic (cu memorie) are asociat un model dinamic pentru caracterizarea regim de funcționare dinamic și un model staționar pentru caracterizarea regimului staționar. regimul staționar este de tip static atunci când sistemul se află în echilibru cu toate mărimile I-S-E contante în timp; regimul staționar este de tip permanent atunci când mărimile sistemului au forma de variație în timp neschimbată. Modelul staționar, în cel ce urmează, vom considera ca fiind asociat regimului staționar de tip static. Ecuațiile algebrice sunt utilizate în modelarea sistemelor dinamice de tip staționar și a sistemelor statice, fără memorie, cu răspuns instantaneu. Ecuațiile diferențiale se întrebuințează la sistemele continue pentru modelele dinamice ale sistemelor dinamice, respectiv ecuații cu diferențe la sistemele discrete. Modelul staționar este inclus în modelul dinamic și se obține printr-o particularizare convenabilă prin anularea derivatelor în raport cu timpul ale mărimilor sistemului pentru sistemele continue. La discrete prin egalarea valorilor fiecărei mărimi a sistemului la toate momentele de timp. modele liniare → desemnate de ecuații liniare | modele neliniare → minim o ecuație neliniară. 4/16  Modelarea unui sistem fizic constă în extragerea modelului matematic pe cale analitică, experimentală sau mixtă. Simularea permite pe baza modelului matematic să se determine caracteristicile și comportamentul sistemului. Precizia și acuratețea modelului matematic determină precizia de simulare, ceasta fiind influențată și de aspecte specifice calcului numeric. Sistemele cu ordin >2/superioare se simulează cu ajutorul calculatorului. Modelarea analitică a unui sistem fizic se fundamentează pe legile generale și particulare ce guvernează fenomenele fizico-chimice proprii sistemului, cum ar fi legile conservării: energiei, sarcinii electrice, impulsului, masei. Ipotezele cu rol simplificator au un rol fundamental în modelarea analitică sistemelor fizice. Complexitatea modelului depinde direct de selecția ipotezelor simplificatoare și gradul de concordanță cu fenomenul real. nr. mare de ipoteze simplificatoare → model simplu, robust, usor interpretabil, dar puțin precis. nr. mic de ipoteze simplificatoare → model complicat, mai apropiat de realitatea fizică, cresc dificultățile de studiu analitic și a erorilor de calcul numeric 5/16  Modelarea experimentală impune efectuarea unor determinări pe sistemul fizic cu scopul stabilirii unui model matematic al sistemului (conceptul de cutie neagră). când se cunoaște forma sistemului se face numai determinarea unor parametrii specifici modelului. Modelarea mixtă este o conjuncție între metodele și procedeele de tip analitic cu cele experimentale. Una dintre variantele de modelare mixtă este dată de o formă de model determinată pe cale analitică cu parametrii necunoscuți, cu grad mare de incertitudine, aflați pe cale experimentală. 6/16  Modelul dinamic de tip I-E pentru un sistem continuu monovariabil de ordin n are forma generală: Funcția f nu depinde de variabila t la sistemele invariante cu parametrii constanți. Unde: Diferența r-n reprezintă ordinul relativ al sistemului ✓ f – funcție continuă de n+r+2 variabile; dat de ordinul max. de derivate a ieșirii și ordinul ✓ n – ordinul sistemului; max. de derivate a intrării. ✓ u – intrare; Gradul de inerție al sistemului este caracterizat ✓ y – ieșirea. ordinul relativ. Modelul dinamic de tip I-E pentru un sistem continuu monovariabil de ordin n cu parametrii constanți are formă primară/standard: 𝒂𝒊 și 𝒃𝒊 sunt coeficienți constanți, iar 𝒂𝒏 ≠ 𝟎 și 𝒃𝒓 ≠ 𝟎. Sistemele cu parametrii variabili au cel puțin un coeficient 𝒂𝒊 sau 𝒃𝒊 variabil în timp. 7/16  Sistem continuu monovariabil de ordin n cu parametrii constanți: Variabilele de intrare-ieșire u și y sunt de tip originar, însemnând că nule pentru t 𝑛 – improprii. Sistemele liniare proprii sunt cauzale, însă nu pot fi transpuse fizic. Cazul r=n+1, sistemul răspunde la un stimul de tip treaptă unitară u=1(t) cu un răspuns indicial ce conține componentă improprie: Unde: ✓ 𝜹𝟎 (𝒕) – funcție impuls Dirac, irealizabilă fizic acoperind o ari egală cu 1 și o valoare infinită pe o durată de timp infinită. 8/16  Funcția treaptă unitară u=1(t) 𝜹𝟎 (𝒕) – funcție impuls Dirac Sistemele strict proprii transferul I-E are loc cu întârziere strictă. Sistemele simplu proprii răspund la o intrare arbitrară ce urmărește instantaneu variațiile intrării. Răspunsul indicial pentru r=n conține component instantanee: r=n=0 întregul răspuns urmărește instantaneu variațiile intrării pentru cazul unui sistem simplu propriu de tip static de ordin 0 , fără memorie. Sistemele proprii sunt realizabile fizic. Sistemele compuse în analiza și sinteza lor pot utiliza și subsisteme improprii ce trebuie neutralizate de alte sisteme învecinate/înseriate. 9/16  Modelul staționar se obține anulând toate derivatele intrării u și ieșirii y din modelul dinamic. 𝐾 = 𝑏0 /𝑎0 – factor de proporționalitate; Sistemul este stabil dacă răspunsul indicial tinde spre o valoare mărginită și se disting două regimuri: ✓ t0. Sistemele de tip integral fac parte din categoria sistemelor cu caracter persistent fiindcă ieșirea y se stabilizează numai când intrarea u=0. Răspunsul indicial al unui sistem integral tinde asimptotic la o dreaptă oblică, fiind d tip ”rampă întârziată”. 10/16  Sistemul de tip derivativ are caracteristica statică y=Ku o dreaptă orizontală panta K, fiind în cazul 𝒂𝟎 ≠ 𝟎 și 𝒃𝟎 = 𝟎. Sistemul de tip derivativ are modelul staționar y=0 întrucât variabila de ieșire u este nulă în regim staționar, iar răspunsul indicial mărginit al sistemului se stabilizează la valoarea 0. Modelul descriptiv sistem derivativ impropriu: Modelul ce caracterizează sistemul derivativ simplu propriu: Principalul inconveninent al mdelului primar este dat de prezența derivatelor mărimilor de intrare u. Prima derivată a intrării de tip treaptă este impulsul Dirac. Așadar, modelul primar cu 𝑟 ≥ 1 nu se poate întrebuința pentru calculul elementar al răspunsului indicial. 11/16  Modelul I-E al unui sistem liniar de ordin n cu m intrări și o singură ieșire y: Sistem linear MIMO (Multiple Input Multiple Output), cu m număr de intrări și p de ieșiri, are un model ce conține m*p ecuații de formă primară, câte una pentru fiecare canal monovariabil ce leagă o ieșire de o intrare sau p ecuații de mai sus câte una pentru fiecare ieșire. Modelul Secundar, un echivalent al modelului primar de tip I-E, nu conține derivate ale variabilei de intrare u. Principiu superpoziției permite demonstrarea echivalenței celor două modele. Ieșirea y, în modelul primar, este efectul sumei celor r+1 cauze de formă 𝒃𝒊 𝒖 𝒊. w este efectul cauzei primare u în prima ecuație a modelului secundar. Unei cauze multiplicative și derivate îi va corespunde un efect multiplicativ și derivat. Cauzei 𝒃𝒊 𝒖 𝒊 îi corespunde efectul 𝒃𝒊 𝒘 𝒊 , 𝑖𝑎𝑟 𝒆𝒇𝒆𝒄𝒕𝒖𝒍 𝒚 𝑎𝑙 𝑠𝑢𝑚𝑒𝑙𝑜𝑟 𝑐𝑒𝑙𝑜𝑟 𝑟 + 1 𝑐𝑎𝑢𝑧𝑒 𝑑𝑒 𝒇𝒐𝒓𝒎𝒂 𝒃𝒊 𝒖 𝒊 este egal cu suma efectelor 𝒃𝒊 𝒘 𝒊 , rezultat exprimat de a doua ecuație a modelului secundar. 12/16  Modelul de Convoluție, reprezintă o a treia formă de prezentare matematică a sistemelor continue liniare, monovariabile și cu parametrii constanți: Unde: ✓ g(𝒕) – funcția pondere este răspunsul sistemului la funcția de intrare impuls Dirac 𝜹𝟎 (𝒕). Modelul de Convoluție se deduce pe baza următoarei consecințe a principiului superpoziției: dacă între două cauze există o anumită corelație, atunci aceeași formă de corelație se păstrează și între efecte. Între cauzele reprezentată de intrarea particulară 𝜹𝟎 𝒕 și intrarea arbitră u(t) se stabilește relația: g(𝒕) – funcția pondere se obține din funcția indicială h(t) reprezentând răspunsul sistemului la intrarea de tip treaptă unitară u=1(t) cu relația: Principiul superpoziției Relația dintre cauze 13/16  Modelul de Convoluție este de mare importanță teoretică, întrucât subliniază posibilitatea existenței unei forme mai simple a modelului dinamic, similară celei a modelului staționar y=Ku prin transformarea produsului de convoluție în produs algebric. Modelul Operațional Complex se obține aplicând transformata Laplace ambilor termeni ai modelului de convoluție. Y(s)=G(s)U(s) Unde: ✓ U 𝒔 , 𝒀 𝒔 ș𝒊 𝑮(𝒔) reprezintă transformatele Laplace ale funcțiilor de tip origine u(t), y(t) și g(t); ✓ 𝑮 𝒔 se numește funcție de transfer. Modelul de Operațional este cel mai frecvent folosit în studiul sistemelor liniare continue. Toate proprietățile și caracteristicile dinamice ale sistemului sunt înglobate de funcția pondere g(t) și funcția de transfer G(s). Așadar, fiind echivalente parametrilor 𝒂𝒊 și 𝒃𝒊 din componența modelului primar și modelului secundar 14/16 1. L. Bertalanffy, “General System Theory: Foundations, 8. V. Cîrtoaje, “Teoria Sistemelor Automate, Analiza în Development, Applications”, Ed. George Braziller Inc, domeniul complex”, Ed. Univ. Petrol și Gaze din ISBN-13 : 978-0807604533, 1969; Ploiești, Addison-Wesley, 2013; 2. Scott J., R. Moraes, “Systems Theory and Applications 6. I. Dumitrache, “Ingineria Reglării Automate”, Ed. A Multi-disciplinary Approach”, Ed. CRC Press, Politehnica Press, 2005. ISBN: 9781032584089, 2023; 7. M. Voicu, “Teoria sistemelor”, Ed. Academiei Române, 3. G. E. Mobus, M. C. Kalton, “Principles of Systems Iași, 2008. Science (Understanding Complex Systems)”, Ed. 8. 6. C. Turcu, ”Elemente de teoria sistemelor şi Springer, ISBN-13: 978-1493919192, 2015; reglaj automat”. Ed. Mediamira, Cluj Napoca, , ISBN 4. B. Blanchard, W. Fabrycky, “Systems Engineering and 978-973-713-225-3. Analysis”, editia a 5-a, Ed Pearson · Publication, ISBN- 9. D. Mihoc, “Teoria si elementele sistemelor de reglare 13: 978-0132217354, 2010; automata”, Ed. Didactica și Pedagogica București, 1984. 5. M. W. Maier, E. Rechtin, “The Art of Systems 10.Prezentare Consiliului Internațional de Ingineria Architecting”, editia a 3 a , CRC Press, ISBN-13:978- Sistemelor (INCOSE), 2018. 1420079135, 2009; 6. P. Checkland, “Systems Thinking, Systems Practice”, Alte surse bibliografice: Ed. Wiley, ISBN-13: 978-0471279112, 1981. 1. Google Books - LINK; 7. W. S. Levine, “The Control Handbook”, Ed. CRC Press, ISBN 9781420073669, 2011. 15/16 Facultatea de Fizică | Universitatea din București www.fizica.unibuc.ro/Fizica/Main.php