Reprezentarea matematică a sistemelor

Reprezentarea matematică a sistemelor

• Reprezentarea matematică a unui sistem este alcătuită din ecuații algebrice și ecuații diferențiale, descriind regimul dinamic al sistemului.
• Regimul dinamic include un regim tranzitoriu și un regim staționar.
• Sistemele de tip intrare-ieșire (I-E) oferă un formalism matematic simplificat, fără detalii despre structura internă și starea sistemului.
• Sistemele dinamice conțin variabile de stare, iar ieșirea urmărește cu întârziere variațiile intrării.
• Dimensiunea/Ordinul unui sistem se definește prin numărul de variabile de stare.
• Ecuațiile diferențiale sunt utilizate pentru sistemele continue, iar ecuațiile cu diferențe pentru sistemele discrete.
• Modelul staționar se obține prin anularea derivatelor în raport cu timpul în sistemele continue și prin egalarea valorilor la toate momentele de timp în sistemele discrete.
• Modelele liniare sunt definite de ecuații liniare, în timp ce modelele neliniare conțin cel puțin o ecuație neliniară.

Modelarea sistemelor

• Modelarea unui sistem fizic implică obținerea modelului matematic prin metode analitice, experimentale sau mixte.
• Simularea, bazată pe modelul matematic, permite determinarea caracteristicilor și comportamentului sistemului.
• Precizia modelului matematic influențează acuratețea simularii.
• Sistemele cu ordin superior sunt simulate cu ajutorul calculatorului.
• Modelarea analitică se bazează pe legile fizico-chimice care guvernează sistemul.
• Ipotezele simplificatoare joacă un rol crucial în modelarea analitică.
• Complexitatea modelului depinde de numărul și specificul ipotezelor simplificatoare.

Modelarea experimentală

• Modelarea experimentală implică determinări efectuate pe sistemul fizic pentru stabilirea unui model matematic (conceptul de cutie neagră).
• Modelarea mixtă combină metode analitice și experimentale.

Modelul dinamic tip I-E

• Modelul dinamic I-E pentru un sistem continuu monovariabil de ordin n are o formă generală:

  aₙy⁽ⁿ⁾ (t) + … + a₁y´(t) + a₀y(t) = bᵣu⁽ʳ⁾ (t) + … + b₁u´(t) + b₀u(t)

• Diferența r-n reprezintă ordinul relativ al sistemului.
• Gradul de inerție al sistemului este caracterizat de ordinul relativ.
• Modelul dinamic tip I-E pentru un sistem continuu monovariabil de ordin n cu parametrii constanți are forma primară:

 aₙy⁽ⁿ⁾ (t) + … + a₁y´(t) + a₀y(t) = bᵣu⁽ʳ⁾ (t) + … + b₁u´(t) + b₀u(t)

• Sistemele cu parametrii variabili au cel puțin un coeficient aᵢ sau bᵢ variabil în timp.

Sisteme liniare

• Sistemele proprii sunt cauzale și realizabile fizic.
• Sistemele improprii nu sunt realizabile fizic, dar pot fi utilizate în sisteme compuse.
• Modelul staționar se obține anulând derivatele intrării și ieșirii din modelul dinamic.
• Sistemul este stabil dacă răspunsul indicial se stabilizează la o valoare mărginită.
• Sistemele de tip integral au caracter persistent, ieșirea stabilizându-se numai când intrarea este nulă.
• Sistemele de tip derivativ au o caracteristică statică liniară și un răspuns indicial care se stabilizează la 0.

Modelul secundar

• Modelul secundar este echivalentul modelului primar.
• Nu conține derivate ale intrării.
• Se bazează pe principiul superpoziției.

Modelul de convoluție

• Modelul de convoluție reprezintă o formă alternativă de prezentare matematică a sistemelor liniare.
• Se bazează pe funcția pondere g(t), care este răspunsul sistemului la impulsul Dirac 𝜹𝟎 (𝒕).
• Se deduce din principiul superpoziției și relația dintre funcția pondere și funcția indicială.

Modelul operațional complex

• Se obține aplicând transformata Laplace modelului de convoluție.
• Se exprimă prin relația Y(s)=G(s)U(s), unde G(s) este funcția de transfer.
• Este cel mai frecvent model folosit în studiul sistemelor liniare continue.

Referințe bibliografice

• L. Bertalanffy, “General System Theory: Foundations, Development, Applications”
• Scott J., R. Moraes, “Systems Theory and Applications: A Multi-disciplinary Approach”
• G.E. Mobus, M.C. Kalton, “Principles of Systems Science (Understanding Complex Systems)”
• B. Blanchard, W. Fabrycky, “Systems Engineering and Analysis”
• I. Dumitrache, “Ingineria Reglării Automate”
• M. Voicu, “Teoria sistemelor”
• C. Turcu, ”Elemente de teoria sistemelor și reglaj automat”.
• V. Cîrtoaje, “Teoria Sistemelor Automate, Analiza în domeniul complex”

Acest quiz explorează reprezentarea matematică a sistemelor, inclusiv ecuațiile algebrice și diferențiale folosite în descrierea regimului dinamic. Vei învăța despre concepte precum sistemele de intrare-ieșire, variabilele de stare și modelele liniar vs. neliniar. Testează-ți cunoștințele cu întrebări relevante!