Calculus Past Paper PDF
Document Details
Uploaded by ImmaculateStatistics
Tags
Related
- RTQF Level 4 Fundamental Mathematics Analysis Past Paper PDF 2022
- Calculus Unit 1 Chapter 1 Lecture Notes PDF
- Calculus PDF
- Introduction and Precalculus Blanks - MATH1004D Calculus for Engin or Physics (LEC) Fall 2024 PDF
- Mathematics Past Paper Evaluation-1 PDF
- Higher Mathematics First Semester Revision Scope PDF
Summary
This document contains a collection of calculus problems. It includes topics such as limits, functions, and derivatives. The document is intended for secondary-level students.
Full Transcript
الكورس الصف الثاني عرش األول علمي WWW.TMKN.COM الكورس األول اﻟﻔﻬﺮس...
الكورس الصف الثاني عرش األول علمي WWW.TMKN.COM الكورس األول اﻟﻔﻬﺮس اﻟﻮﺣﺪة اﻷوﻟﻰ:اﻟﻨﻬﺎﻳﺎت واﻻﺗﺼﺎل ٢....................................................................................................................................... اﻟﻨﻬﺎﯾﺎت ٢١...................................................................................................... ﻧﻬﺎﯾﺎت ﺗﺸﻤﻞ ∞ ، − ∞. ٢٤...................................................................................................... ﺻﯿﻎ ﻏﯿﺮ ﻣﻌﯿﻨﺔ ٣ ٠......................................................................................... ﻧﻬﺎﯾﺎت ﺑﻌﺾ اﻟﺪوال اﳌﺜﻠﺜﯿﺔ ٣٧................................................................................................................................... اﻻﺗﺼﺎل ﻧﻈﺮﯾﺎت اﻻﺗﺼﺎل ٤١................................................................................................................................... اﻻﺗﺼﺎل .ﻓﺘﺮة ٤٩............................................................................................................................... اﻟﻮﺣﺪة اﻟﺜﺎﻧﻴﺔ:اﻻﺷﺘﻘﺎق ﻣﯿﻞ اﳌﻤﺎس ٥٧........................................................................................................................................ ٥٨.............................................................................................................. اﳌﺸﺘﻘﺔ ٧٣.................................................................................................... ﻗﻮاﻋﺪ اﻻﺷﺘﻘﺎق ٨١...................................................................................................... ﻣﺸﺘﻘﺎت اﻟﺪوال اﳌﺜﻠﺜﯿﺔ ٨٦..................................................................................................................... ﻗﺎﻋﺪة اﻟﺴﻠﺴﻠﺔ ٩٤....................................................................... ﻣﺸﺘﻘﺎت ذات اﻟﺮﺗﺐ اﻟﻌﻠﯿﺎ واﻻﺷﺘﻘﺎق اﻟﻀﻤﻨﻲ اﻟﻮﺣﺪة اﻟﺜﺎﻟﺜﺔ:ﺗﻄﺒﻴﻘﺎت ﻋﻠﻰ اﻻﺷﺘﻘﺎق ١٠٤................................................................... اﻟﻘﯿﻢ اﻟﻘﺼﻮى)اﻟﻌﻈﻤﯽ /اﻟﺼﻐﺮى (ﻟﻠﺪوال ١١٤........................................................................................................... ﺗﺰاﯾﺪ وﺗﻨﺎﻗﺺ اﻟﺪوال رﺑﻂ اﳌﺸﺘﻘﺔ اﻷوﻟﯽ ´𝒇𝒇 واﳌﺸﺘﻘﺔ اﻟﺜﺎﻧﯿﺔ ´´𝒇𝒇١١٩................................................................................... ١٢٦.............................................................................................. رﺳﻢ ﺑﯿﺎن دوال ﮐﺜﯿﺮات اﻟﺤﺪو ١ ٣ ٣............................................................................................... ﺗﻄﺒﯿﻘﺎت .اﻟﻘﯿﻢ اﻟﻘﺼﻮى اﻟﻮﺣﺪة اﻟﺮاﺑﻌﺔ:اﻹﺣﺼﺎء ١٤١................................................................................................................... اﻟﺘﻘﺪﯾﺮ اﺧﺘﺒﺎرات اﻟﻔﺮوض اﻹﺣﺼﺎﺋﯿﺔ ١٤٧............................................................................................................ 1 WWW.TMKNKW.COM اﻟﻨﻬﺎﻳﺎت ا ﻟ ﺸ ﮑ ﻞ ا ﳌ ﻘ ﺎﺑ ﻞ ،ﯾ ﻤ ﺜ ﻞ ﺑ ﯿ ﺎن ا ﻟ ﺪ ا ﻟ ﺔ ،أ و ﺟ ﺪ إ ن أ ﻣﮑ ﻦ : )𝒙𝒙(𝒇𝒇 𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥 )𝟏𝟏 )𝒙𝒙(𝒇𝒇 𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥 )𝟐𝟐 س١ 𝟎𝟎→𝒙𝒙 𝟏𝟏→𝒙𝒙 )𝒙𝒙(𝒇𝒇 𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥 )𝟑𝟑 )𝒙𝒙(𝒇𝒇 𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥 )𝟒𝟒 𝟐𝟐→𝒙𝒙 𝟐𝟐&→𝒙𝒙 ا ﻟ ﺸ ﮑ ﻞ ا ﳌ ﻘ ﺎﺑ ﻞ ،ﯾ ﻤ ﺜ ﻞ ﺑ ﯿ ﺎن ا ﻟ ﺪ ا ﻟ ﺔ ،أ و ﺟ ﺪ إ ن أ ﻣﮑ ﻦ : )𝒙𝒙(𝒇𝒇 𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥 )𝟏𝟏 )𝒙𝒙(𝒇𝒇 𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥 )𝟐𝟐 س٢ 𝟏𝟏&→𝒙𝒙 𝟎𝟎→𝒙𝒙 )𝒙𝒙(𝒇𝒇 𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥 )𝟑𝟑 )𝒙𝒙(𝒇𝒇 𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥 )𝟒𝟒 𝟐𝟐→𝒙𝒙 𝟑𝟑→𝒙𝒙 WWW.TMKNKW.COM 2 اﻟﻨﻬﺎﻳﺎت اﻟﺸﮑﻞ اﳌﻘﺎﺑﻞ ،ﯾﻤ ﺜﻞ ﺑﯿﺎن اﻟﺪاﻟﺔ 𝒈𝒈 ،أوﺟﺪ إن أﻣﮑﻦ: س )𝒕𝒕(𝒈𝒈 !𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥 )𝟏𝟏 )𝒕𝒕(𝒈𝒈 "𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥 )𝟐𝟐 𝟒𝟒&→𝒕𝒕 𝟒𝟒&→𝒕𝒕 ٣ )𝒕𝒕(𝒈𝒈 𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥 )𝟑𝟑 )𝟒𝟒𝟒𝟒) 𝒈𝒈(− 𝟒𝟒&→𝒕𝒕 3 WWW.TMKNKW.COM اﻟﻨﻬﺎﻳﺎت 𝟑𝟑𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥 𝒇𝒇(𝒙𝒙) = 𝟕𝟕 , 𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥 𝒈𝒈(𝒙𝒙) = − ﺑ ﻔ ﺮض أ ن : س 𝟐𝟐→𝒙𝒙 𝟐𝟐→𝒙𝒙 )𝒙𝒙(𝒈𝒈𝟖𝟖 𝒇𝒇(𝒙𝒙). ))𝒙𝒙(𝒈𝒈 𝟏𝟏) 𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥( 𝒇𝒇(𝒙𝒙) + ))𝒙𝒙(𝒈𝒈 𝟐𝟐) 𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥( 𝒇𝒇(𝒙𝒙). (𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥 )𝟑𝟑 أوﺟﺪ ) : 𝟐𝟐→𝒙𝒙 𝟐𝟐→𝒙𝒙 𝟐𝟐→𝒙𝒙 )𝒙𝒙(𝒈𝒈𝒇𝒇(𝒙𝒙)+ ٤ WWW.TMKNKW.COM 4 اﻟﻨﻬﺎﻳﺎت )𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍(𝒙𝒙𝟑𝟑 + 𝟑𝟑𝒙𝒙𝟐𝟐 − 𝟐𝟐𝟐𝟐 − أوﺟ ﺪ س٥ 𝟏𝟏→𝒙𝒙 𝟔𝟔𝒙𝒙𝟐𝟐 +𝟓𝟓𝟓𝟓+ 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 أوﺟ ﺪ س٦ 𝟐𝟐→𝒙𝒙 𝟐𝟐𝒙𝒙+ ))𝟏𝟏 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 ( 𝟑𝟑𝟑𝟑(𝟐𝟐𝟐𝟐 − أوﺟ ﺪ س٧ 𝟓𝟓𝒙𝒙→&𝟎𝟎. 5 WWW.TMKNKW.COM اﻟﻨﻬﺎﻳﺎت 𝟐𝟐 إذا ﮐﺎﻧﺖ اﻟﺪاﻟﺔ 𝒇𝒇 𝒇𝒇(𝒙𝒙) = :𝒙𝒙 − 𝟑𝟑 : 𝒙𝒙 < 𝟐𝟐 :ﻓﺄوﺟﺪ إن أﻣﮑﻦ )𝒙𝒙(𝒇𝒇 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 س٨ 𝟐𝟐→𝒙𝒙 𝟐𝟐 > 𝒙𝒙 𝒙𝒙 − 𝟏𝟏 : 𝒙𝒙 𝒙𝒙𝟑𝟑 + 𝟏𝟏 > 𝒙𝒙 : 𝒙𝒙 𝒇𝒇(𝒙𝒙) = 3ﻓﺄوﺟﺪ إن أﻣﮑﻦ )𝒙𝒙(𝒇𝒇 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 إذا ﮐﺎﻧﺖ اﻟﺪاﻟﺔ 𝒈𝒈 : س٩ 𝟏𝟏→𝒙𝒙 𝟏𝟏 ≤ 𝒙𝒙 : 𝟏𝟏𝒙𝒙𝟐𝟐 + WWW.TMKNKW.COM 6 اﻟﻨﻬﺎﻳﺎت )|𝟐𝟐 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 (𝒙𝒙𝟐𝟐 − |𝒙𝒙 + أوﺟ ﺪ س ١٠ 𝟐𝟐&→𝒙𝒙 𝟑𝟑 𝟑𝟑 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 √𝒙𝒙 − أوﺟ ﺪ س ١١ 𝟐𝟐→𝒙𝒙 𝟓𝟓 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 √𝒙𝒙𝟐𝟐 − أوﺟ ﺪ س ١٢ 𝟓𝟓→𝒙𝒙 7 WWW.TMKNKW.COM اﻟﻨﻬﺎﻳﺎت 𝟓𝟓) 𝟏𝟏 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 ( 𝒙𝒙𝟐𝟐 − 𝟑𝟑𝒙𝒙 − أوﺟ ﺪ س ١٣ 𝟏𝟏&→𝒙𝒙 𝟒𝟒 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍8𝒙𝒙 + √𝒙𝒙 9 أوﺟ ﺪ س ١٤ 𝟒𝟒→𝒙𝒙 𝟑𝟑 𝟓𝟓/ 𝒙𝒙𝟑𝟑 &𝟒𝟒𝟒𝟒+ س ١٥ 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 أوﺟ ﺪ 𝟏𝟏&→𝒙𝒙 𝟐𝟐&𝒙𝒙 WWW.TMKNKW.COM 8 اﻟﻨﻬﺎﻳﺎت 𝟐𝟐&𝟐𝟐𝒙𝒙𝟑𝟑 / س ١٦ 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 أوﺟ ﺪ 𝟑𝟑→𝒙𝒙 𝟐𝟐&𝒙𝒙 9 WWW.TMKNKW.COM إﻟﻐﺎء اﻟﻌﺎﻣﻞ اﻟﺼ ﻔﺮي 𝟐𝟐&𝒙𝒙𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 أوﺟ ﺪ س١ 𝟏𝟏→𝒙𝒙 𝒙𝒙& 𝟐𝟐𝒙𝒙 𝟐𝟐𝒙𝒙𝟐𝟐 +𝟑𝟑𝟑𝟑+ 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 أوﺟ ﺪ س٢ 𝟐𝟐&→𝒙𝒙 𝟒𝟒& 𝟐𝟐𝒙𝒙 WWW.TMKNKW.COM 10 إﻟﻐﺎء اﻟﻌﺎﻣﻞ اﻟﺼ ﻔﺮي 𝟖𝟖&𝟑𝟑)𝒙𝒙(𝟐𝟐+ 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 أوﺟ ﺪ س٣ 𝟎𝟎→𝒙𝒙 𝒙𝒙 𝟗𝟗& 𝟐𝟐)𝟒𝟒(𝒙𝒙+ 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 أوﺟ ﺪ س٤ 𝟕𝟕&→𝒙𝒙 𝟕𝟕𝟕𝟕𝒙𝒙𝟐𝟐 + 11 WWW.TMKNKW.COM إﻟﻐﺎء اﻟﻌﺎﻣﻞ اﻟﺼ ﻔﺮي |𝟏𝟏|𝒙𝒙/ 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 أوﺟﺪ س٥ 𝟏𝟏𝒙𝒙→𝟏𝟏 𝒙𝒙𝟐𝟐 / 𝟕𝟕|𝒙𝒙+𝟐𝟐|/ 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 أوﺟﺪ س٦ 𝟓𝟓→𝒙𝒙 𝟐𝟐𝟐𝟐𝒙𝒙𝟐𝟐 / WWW.TMKNKW.COM 12 إﻟﻐﺎء اﻟﻌﺎﻣﻞ اﻟﺼ ﻔﺮي |𝟐𝟐|𝒙𝒙+ 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 أوﺟ ﺪ س٧ 𝟐𝟐𝒙𝒙→&𝟐𝟐 𝒙𝒙𝟐𝟐 +𝟑𝟑𝟑𝟑+ 𝟏𝟏𝟏𝟏&𝟐𝟐)𝒙𝒙(𝟒𝟒+ 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 أوﺟ ﺪ س٨ 𝟎𝟎→𝒙𝒙 𝒙𝒙 13 WWW.TMKNKW.COM إﻟﻐﺎء اﻟﻌﺎﻣﻞ اﻟﺼ ﻔﺮي 𝟏𝟏& 𝟑𝟑&𝟐𝟐𝟐𝟐√ 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 أوﺟ ﺪ س٩ 𝟐𝟐→𝒙𝒙 𝟐𝟐&𝒙𝒙 WWW.TMKNKW.COM 14 إﻟﻐﺎء اﻟﻌﺎﻣﻞ اﻟﺼ ﻔﺮي 𝟑𝟑& 𝟓𝟓/𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 أوﺟ ﺪ س ١٠ 𝟐𝟐→𝒙𝒙 𝟐𝟐𝟐𝟐& 𝟐𝟐𝒙𝒙 15 WWW.TMKNKW.COM إﻟﻐﺎء اﻟﻌﺎﻣﻞ اﻟﺼ ﻔﺮي 𝟗𝟗&𝒙𝒙 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 أوﺟ ﺪ س ١١ 𝒙𝒙√&𝟑𝟑 𝟗𝟗→𝒙𝒙 𝟏𝟏&𝒙𝒙 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 𝟑𝟑 أوﺟ ﺪ س ١٢ 𝟏𝟏&𝒙𝒙√ 𝟏𝟏→𝒙𝒙 WWW.TMKNKW.COM 16 إﻟﻐﺎء اﻟﻌﺎﻣﻞ اﻟﺼ ﻔﺮي 𝟒𝟒& 𝟐𝟐𝒙𝒙 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 𝟑𝟑 أوﺟ ﺪ س ١٣ 𝟐𝟐𝒙𝒙→&𝟐𝟐 √𝒙𝒙+ 𝟑𝟑 𝟏𝟏/𝒙𝒙𝟑𝟑+ س ١٤ 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 𝟑𝟑 أوﺟ ﺪ 𝟏𝟏&→𝒙𝒙 𝟏𝟏√𝒙𝒙+ 17 WWW.TMKNKW.COM إﻟﻐﺎء اﻟﻌﺎﻣﻞ اﻟﺼ ﻔﺮي 𝟑𝟑𝒙𝒙𝟑𝟑 &𝟐𝟐𝒙𝒙𝟐𝟐 &𝟒𝟒𝟒𝟒+ 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 أوﺟ ﺪ س ١٥ 𝟑𝟑→𝒙𝒙 𝟑𝟑&𝒙𝒙 𝟐𝟐𝟐𝟐&𝒙𝒙𝟓𝟓 +𝒙𝒙𝟑𝟑+𝒙𝒙+ 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 أوﺟ ﺪ س ١٦ 𝟐𝟐→𝒙𝒙 𝟐𝟐&𝒙𝒙 WWW.TMKNKW.COM 18 إﻟﻐﺎء اﻟﻌﺎﻣﻞ اﻟﺼ ﻔﺮي 𝟏𝟏 𝟐𝟐 (𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 −٢٠٢٥-٢٠٢٤ معلق ) أوﺟ ﺪ س ١٧ 𝟏𝟏→𝒙𝒙 𝟏𝟏&𝒙𝒙 𝟏𝟏& 𝟐𝟐𝒙𝒙 19 WWW.TMKNKW.COM اﻟﻨﻬﺎﻳﺎت WWW.TMKNKW.COM 20 ﻧﻬﺎﻳﺎت ﺗﺸﻤﻞ ﻋﻠﻰ ∞± ﻧﻈﺮﻳﺔ):(10 إذا ﮐﺎن 𝒏𝒏 ﻋﺪد ﺻﺤﯿﺢ زوﺟﻲ ﻣﻮﺟﺐ ﻓﺈن: إذا ﮐﺎن 𝒏𝒏 ﻋﺪد ﺻﺤﯿﺢ ﻓﺮدي ﻣﻮﺟﺐ ﻓﺈن: 𝟏𝟏 𝟏𝟏 𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥 )𝟏𝟏 ∞= !𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥 )𝟏𝟏 ∞= − 𝒏𝒏)𝒄𝒄 𝒙𝒙→𝒄𝒄 (𝒙𝒙 − 𝒄𝒄→𝒙𝒙 𝒏𝒏)𝒄𝒄 (𝒙𝒙 − 𝟏𝟏 "𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥 )𝟐𝟐 ∞= + 𝒄𝒄→𝒙𝒙 𝒏𝒏)𝒄𝒄 (𝒙𝒙 − معلق ٢٠٢٥-٢٠٢٤ 𝟏𝟏 | 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 أوﺟ ﺪ س١ |𝟐𝟐)𝒙𝒙 𝟐𝟐→𝒙𝒙 21 WWW.TMKNKW.COM ﻧﻬﺎﻳﺎت ﺗﺸﻤﻞ ﻋﻠﻰ ∞± 𝟑𝟑 |𝟏𝟏𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 |𝒙𝒙+ أوﺟ ﺪ س٢ 𝟏𝟏&→𝒙𝒙 معلق ٢٠٢٥-٢٠٢٤ معلق ٢٠٢٥-٢٠٢٤ WWW.TMKNKW.COM 22 ﺻﻴﻎ ﻏﻴﺮ ﻣﻌﻴﻨﺔ معلق ٢٠٢٥-٢٠٢٤ )𝟏𝟏 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍(𝟐𝟐𝒙𝒙𝟐𝟐 − 𝟑𝟑𝟑𝟑 + أوﺟد س٣ 𝒙𝒙→7 )𝟒𝟒 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍(−𝟑𝟑𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝟐𝟐𝟐𝟐 − أوﺟ ﺪ س٤ 𝒙𝒙→7 )𝟒𝟒 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 (−𝟑𝟑𝒙𝒙𝟒𝟒 + 𝟐𝟐𝟐𝟐 − أوﺟ ﺪ س٥ 𝒙𝒙→&7 )𝟓𝟓 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 (𝒙𝒙𝟑𝟑 + 𝟐𝟐𝒙𝒙𝟒𝟒 + أوﺟ ﺪ س٦ 𝒙𝒙→&7 23 WWW.TMKNKW.COM ﺻﻴﻎ ﻏﻴﺮ ﻣﻌﻴﻨﺔ ﻧﻈﺮﻳﺔ):(11 إذا ﮐﺎﻧﺖ ﮐﻞ ﻣﻦ 𝒈𝒈 𝒇𝒇,داﻟﺔ ﺣﺪودﯾﺔ: )𝒙𝒙(𝒇𝒇 ﺍﻟﻤﻌﺎﻣﻞ ﺍﻟﺮﺋﻴﺴﻲ ﻟﻠﺪﺍﻟﺔ 𝒇𝒇 )𝟏𝟏 𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥 = ﺩ ﺭ ﺟ ﺔ ﺍﻟﺒ ﺴ ﻂ = ﺩ ﺭ ﺟ ﺔ ﺍﻟ ﻤ ﻘ ﺎﻡ 𝒙𝒙→±+ )𝒙𝒙(𝒈𝒈 ﺍﻟﻤﻌﺎﻣﻞ ﺍﻟﺮﺋﻴﺴﻲ ﻟﻠﺪﺍﻟﺔ 𝒈𝒈 )𝒙𝒙(𝒇𝒇 )𝟐𝟐 𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥 𝟎𝟎 = ﺩ ﺭ ﺟ ﺔ ﺍﻟﺒ ﺴ ﻂ ﺃﺻ ﻐ ﺮ ﻣ ﻦ ﺩ ﺭ ﺟ ﺔ ﺍﻟ ﻤ ﻘ ﺎﻡ 𝒙𝒙→±+ )𝒙𝒙(𝒈𝒈 𝟏𝟏 )𝒂𝒂 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 أ و ﺟ ﺪ إ ن أ ﻣ ﮑﻦ : س١ 𝟐𝟐&𝒙𝒙 𝒙𝒙→7 𝟐𝟐𝒙𝒙+ )𝒃𝒃 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 𝟗𝟗𝒙𝒙→&7 𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝟏𝟏𝒙𝒙𝟑𝟑 &𝟑𝟑𝟑𝟑+ )𝒄𝒄 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 𝒙𝒙→7 𝟓𝟓𝒙𝒙𝟑𝟑 + 𝟏𝟏 −𝟑𝟑𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝟓𝟓𝟓𝟓 + )𝒅𝒅 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 𝟏𝟏 𝒙𝒙→+7 𝟔𝟔𝒙𝒙𝟐𝟐 − 𝒙𝒙 + 𝟏𝟏 𝟐𝟐𝟐𝟐 + )𝒆𝒆 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 𝒙𝒙→&7 𝟑𝟑 𝟒𝟒𝒙𝒙𝟑𝟑 − 𝟐𝟐𝟐𝟐 + 𝟑𝟑𝒙𝒙𝟑𝟑 𝟒𝟒 − )𝒇𝒇 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 𝟓𝟓 𝒙𝒙→7 𝟐𝟐𝒙𝒙𝟑𝟑 + 𝟏𝟏 𝟐𝟐𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝒙𝒙 − )𝒈𝒈 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 𝒙𝒙→&7 𝟏𝟏 𝟑𝟑𝒙𝒙𝟒𝟒 − 𝟏𝟏 𝒙𝒙𝟒𝟒 − )𝒉𝒉 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 𝟒𝟒𝒙𝒙𝟐𝟐 𝒙𝒙→&7 𝟕𝟕 − WWW.TMKNKW.COM 24 ﺻﻴﻎ ﻏﻴﺮ ﻣﻌﻴﻨﺔ 𝟑𝟑𝒂𝒂𝒙𝒙𝟐𝟐 +𝒃𝒃𝒃𝒃+ 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 أوﺟﺪ ﻗﯿﻤﺔ ﮐﻞ ﻣﻦ اﻟﺜﺎﺑﺘﯿﻦ 𝒃𝒃 𝒂𝒂 ,إذا ﮐﺎﻧﺖ 𝟑𝟑 = س٢ 𝒙𝒙→7 𝟓𝟓𝟐𝟐𝟐𝟐+ 𝟐𝟐&𝒙𝒙 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 أوﺟﺪ ﻗﯿﻤﺔ ﮐﻞ ﻣﻦ اﻟﺜﺎﺑﺘﯿﻦ 𝒃𝒃 𝒂𝒂 ,إذا ﮐﺎﻧﺖ 𝟏𝟏= − س٣ 𝟑𝟑&𝒃𝒃𝒃𝒃𝒙𝒙→7 𝒂𝒂𝒙𝒙𝟐𝟐 + 25 WWW.TMKNKW.COM ﺻﻴﻎ ﻏﻴﺮ ﻣﻌﻴﻨﺔ 𝟐𝟐&𝒙𝒙 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 أوﺟ ﺪ س٤ 𝟒𝟒&𝟐𝟐𝟐𝟐𝒙𝒙→7 /𝒙𝒙𝟐𝟐 + WWW.TMKNKW.COM 26 ﺻﻴﻎ ﻏﻴﺮ ﻣﻌﻴﻨﺔ 𝟓𝟓&𝟑𝟑𝟑𝟑 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 أوﺟ ﺪ س٥ 𝟗𝟗&𝟐𝟐𝒙𝒙𝒙𝒙→&7 / 27 WWW.TMKNKW.COM ﺻﻴﻎ ﻏﻴﺮ ﻣﻌﻴﻨﺔ 𝒙𝒙& 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐/ 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 أوﺟ ﺪ س٦ 𝒙𝒙→7 𝟏𝟏𝒙𝒙+ WWW.TMKNKW.COM 28 ﺻﻴﻎ ﻏﻴﺮ ﻣﻌﻴﻨﺔ 29 WWW.TMKNKW.COM ﻧﻬﺎﻳﺎت ﺑﻌﺾ اﻟﺪوال اﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ ﻗﻮﺍﻋﺪ ﻣﻬﻤﺔ ﻗﻮﺍﻋﺪ ﻣﻬﻤﺔ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 )𝟏𝟏 𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥 𝟏𝟏 = 𝟎𝟎 = )𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔(𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥 )𝟏𝟏 𝟎𝟎→𝒙𝒙 𝒙𝒙 𝟎𝟎→𝒙𝒙 𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕 )𝟐𝟐 𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥 𝟏𝟏 = 𝟎𝟎 = )𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕(𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥 )𝟐𝟐 𝟎𝟎→𝒙𝒙 𝒙𝒙 𝟎𝟎→𝒙𝒙 𝒙𝒙𝒂𝒂𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 𝒂𝒂 )𝟑𝟑 𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥 = 𝟏𝟏 = )𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄(𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥 )𝟑𝟑 𝟎𝟎→𝒙𝒙 𝒙𝒙𝒃𝒃 𝒃𝒃 𝟎𝟎→𝒙𝒙 𝒙𝒙𝒂𝒂𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕 𝒂𝒂 )𝟒𝟒 𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥 = 𝟏𝟏 = )𝒙𝒙𝒂𝒂𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄(𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥 )𝟒𝟒 𝟎𝟎→𝒙𝒙 𝒙𝒙𝒃𝒃 𝒃𝒃 𝟎𝟎→𝒙𝒙 𝒙𝒙𝒃𝒃 𝒃𝒃 )𝟓𝟓 𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥 = 𝟎𝟎→𝒙𝒙 𝒙𝒙𝒂𝒂𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 𝒂𝒂 𝟐𝟐𝒙𝒙 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 أوﺟ ﺪ س١ 𝒙𝒙 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄 & 𝟏𝟏 𝟎𝟎→𝒙𝒙 WWW.TMKNKW.COM 30 ﻧﻬﺎﻳﺎت ﺑﻌﺾ اﻟﺪوال اﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ 𝒙𝒙 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 𝒙𝒙 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 أوﺟ ﺪ س٢ 𝟏𝟏 & 𝒙𝒙 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄 𝟎𝟎→𝒙𝒙 𝒙𝒙 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 أوﺟ ﺪ س٣ 𝒙𝒙& 𝟐𝟐𝒙𝒙𝟐𝟐 𝟎𝟎→𝒙𝒙 31 WWW.TMKNKW.COM ﻧﻬﺎﻳﺎت ﺑﻌﺾ اﻟﺪوال اﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ 𝒙𝒙 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 𝟓𝟓 𝒙𝒙+ 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 أوﺟ ﺪ س٤ 𝟎𝟎→𝒙𝒙 𝒙𝒙 𝟐𝟐𝒙𝒙 & 𝒙𝒙 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 𝒙𝒙 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 أوﺟ ﺪ س٥ 𝟎𝟎→𝒙𝒙 𝟐𝟐𝒙𝒙𝟑𝟑 WWW.TMKNKW.COM 32 ﻧﻬﺎﻳﺎت ﺑﻌﺾ اﻟﺪوال اﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ 𝒙𝒙 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 𝟑𝟑 & 𝒙𝒙 𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕 𝟓𝟓 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 أوﺟ ﺪ س٦ 𝟎𝟎→𝒙𝒙 𝟒𝟒𝟒𝟒 𝟒𝟒𝟒𝟒 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄 𝟑𝟑𝟑𝟑 𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕 𝟐𝟐𝟐𝟐 + 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 أوﺟ ﺪ س٧ 𝟎𝟎→𝒙𝒙 𝟓𝟓𝟓𝟓 33 WWW.TMKNKW.COM ﻧﻬﺎﻳﺎت ﺑﻌﺾ اﻟﺪوال اﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ 𝒙𝒙 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄 𝟐𝟐𝒙𝒙 𝟑𝟑 𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕 𝒙𝒙 + 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 أوﺟ ﺪ س٨ 𝟎𝟎→𝒙𝒙 𝟓𝟓𝟓𝟓 𝒙𝒙 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄 𝟐𝟐𝟐𝟐 & 𝒙𝒙 𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕 𝒙𝒙 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 أوﺟ ﺪ س٩ 𝟎𝟎→𝒙𝒙 𝟑𝟑𝟑𝟑 WWW.TMKNKW.COM 34 ﻧﻬﺎﻳﺎت ﺑﻌﺾ اﻟﺪوال اﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ 𝟑𝟑&𝒙𝒙 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 أوﺟ ﺪ س ١٠ 𝒙𝒙 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄 𝟎𝟎→𝒙𝒙 𝒙𝒙 𝟐𝟐𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 أوﺟ ﺪ س ١١ 𝟎𝟎→𝒙𝒙 𝟐𝟐𝟐𝟐 𝟐𝟐𝟐𝟐 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 أوﺟ ﺪ س ١٢ 𝒙𝒙 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄 𝒙𝒙𝟑𝟑 𝟎𝟎→𝒙𝒙 35 WWW.TMKNKW.COM ﻧﻬﺎﻳﺎت ﺑﻌﺾ اﻟﺪوال اﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ 𝒙𝒙 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 أوﺟ ﺪ س ١٣ 𝒙𝒙 𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕 𝟐𝟐 𝟎𝟎→𝒙𝒙 WWW.TMKNKW.COM 36 اﻻّﺗﺼﺎل 𝟎𝟎 ≤ 𝒙𝒙 𝒙𝒙𝟑𝟑 + 𝒙𝒙 : < = )𝒙𝒙(𝒇𝒇 اﺑﺤﺚ اﺗﺼﺎل اﻟﺪاﻟﺔ 𝒇𝒇 ﻋﻨﺪ 𝟎𝟎 = 𝒙𝒙 ﻟﺘﮑﻦ 𝒇𝒇 : س١ 𝟐𝟐𝒙𝒙 𝟎𝟎 > 𝒙𝒙 : 𝟏𝟏𝒙𝒙+ 𝟗𝟗& 𝟐𝟐𝒙𝒙 𝒇𝒇(𝒙𝒙) = Eاﺑﺤﺚ اﺗﺼﺎل اﻟﺪاﻟﺔ 𝒇𝒇 ﻋﻨﺪ 𝟑𝟑 = 𝒙𝒙 ﻟﺘﮑﻦ 𝒇𝒇 : 𝒙𝒙 > 𝟑𝟑 : س٢ 𝟑𝟑&𝒙𝒙 𝟕𝟕 𝟑𝟑 ≤ 𝒙𝒙 : 37 WWW.TMKNKW.COM اﻻّﺗﺼﺎل 𝟏𝟏 𝟐𝟐𝟐𝟐 + 𝟐𝟐 < 𝒙𝒙 : 𝟏𝟏 ? = )𝒙𝒙(𝒇𝒇 اﺑﺤﺚ اﺗﺼ ﺎل اﻟﺪاﻟﺔ 𝒇𝒇 ﻋﻨﺪ 𝟐𝟐 = 𝒙𝒙 ﻟﺘﮑﻦ 𝒇𝒇 : 𝒙𝒙 = 𝟐𝟐 : س٣ 𝟏𝟏 𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝟐𝟐 > 𝒙𝒙 : |𝟏𝟏|𝒙𝒙+ 𝟏𝟏− 𝟐𝟐𝒙𝒙 : 𝒙𝒙 ≠ − اﺑﺤﺚ اﺗﺼﺎل اﻟﺪاﻟﺔ 𝒇𝒇 ﻋﻨﺪ 𝟏𝟏 𝒙𝒙 = −ﺣﯿﺚ: 𝒇𝒇(𝒙𝒙) = 3 𝟏𝟏𝒙𝒙+ س٤ 𝟐𝟐 𝟏𝟏: 𝒙𝒙 = − WWW.TMKNKW.COM 38 اﻻّﺗﺼﺎل 𝟒𝟒𝒙𝒙𝟐𝟐 /𝟑𝟑𝟑𝟑/ 𝒇𝒇(𝒙𝒙) = 3 𝟏𝟏: 𝒙𝒙 ≠ − اﺑﺤﺚ اﺗﺼﺎل اﻟﺪاﻟﺔ 𝒇𝒇 ﻋﻨﺪ 𝟏𝟏 𝒙𝒙 = −ﺣﯿﺚ: س٥ 𝟏𝟏𝒙𝒙+ 𝟏𝟏− 𝟏𝟏: 𝒙𝒙 = − 𝟑𝟑𝟑𝟑) 𝟐𝟐𝒙𝒙 = )𝒙𝒙(𝒇𝒇 |𝒙𝒙| C 𝟎𝟎 ≠ 𝒙𝒙 : اﺑﺤ ﺚ اﺗﺼ ﺎل اﻟﺪاﻟﺔ 𝒇𝒇 ﻋﻨﺪ 𝟎𝟎 = 𝒙𝒙 ﺣﯿﺚ: س٦ 𝟑𝟑− 𝟎𝟎 = 𝒙𝒙 : 39 WWW.TMKNKW.COM اﻻّﺗﺼﺎل WWW.TMKNKW.COM 40 ﻧﻈﺮ ﻳﺎت اﻻﺗﺼﺎل ﻗﻮﺍﻋﺪ ﻣﻬﻤﺔ: (1اﻟﺪاﻟﺔ 𝒌𝒌 = )𝒙𝒙(𝒇𝒇 ﺣﯿﺚ 𝑘𝑘 ﺛﺎﺑﺖ ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻨﺪ ﮐﻞ 𝑐𝑐 ∈ ℝ (٢داﻟﺔ ﮐﺜﯿﺮة اﻟﺤﺪود ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻨﺪ ﮐﻞ 𝑐𝑐 ∈ ℝ (٣اﻟﺪاﻟﺔ |𝒙𝒙| = )𝒙𝒙(𝒇𝒇 ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻨﺪ ﮐﻞ 𝑐𝑐 ∈ ℝ (٤اﻟﺪاﻟﺔ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 = )𝒙𝒙(𝒇𝒇 ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻨﺪ ﮐﻞ 𝑐𝑐 ∈ ℝ (٥اﻟﺪاﻟﺔ 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄 = )𝒙𝒙(𝒇𝒇 ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻨﺪ ﮐﻞ 𝑐𝑐 ∈ ℝ (٦اﻟﺪاﻟﺔ 𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕 = )𝒙𝒙(𝒇𝒇 ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻨﺪ ﮐﻞ ﻋﺪد ﺣﻘﯿﻘﻲ 𝑐𝑐 ﯾﻨﺘﻤﻲ ﳌﺠﺎﻟﻬﺎ أي 𝐷𝐷 ∈ 𝑐𝑐 𝒇𝒇 ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻨﺪ ﮐﻞ ﻋﺪد ﺣﻘﯿﻘﻲ 𝑐𝑐 ﯾﻨﺘﻤﻲ ﳌﺠﺎﻟﻬﺎ أي 𝐷𝐷 ∈ 𝑐𝑐 (٧اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﺤﺪودﯾﺔ اﻟﻨﺴﺒﯿﺔ 𝒈𝒈 ﻧﻈﺮﻳﺔ):(14 إذا ﮐﺎﻧﺖ 𝒈𝒈 𝒇𝒇,داﻟﺘﯿﻦ ﻣﺘﺼﻠﺘﯿﻦ ﻋﻨﺪ 𝑐𝑐 = 𝑥𝑥 ،ﻓﺈن اﻟﺪوال اﻟﺘﺎﻟﯿﺔ هﻲ دوال ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻨﺪ 𝑐𝑐 = 𝑥𝑥 𝑔𝑔 1) 𝑓𝑓 + اﻟﺟ ﻣ ﻊ 𝑔𝑔 2) 𝑓𝑓 − اﻟط ر ح 𝑓𝑓 3) 𝑘𝑘. 𝑅𝑅 ∈ 𝑘𝑘 اﻟﺿ ر ب ﻓ ﻲ ﺛ ﺎ ﺑ ت ∶ 𝑔𝑔 4) 𝑓𝑓. اﻟﺿ ر ب 𝑓𝑓 )5 𝑔𝑔(𝑐𝑐 ) ≠ 0 اﻟﻘﺳ ﻣ ﺔ 𝑔𝑔 𝝅𝝅 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄 𝒇𝒇(𝒙𝒙) = 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 − = 𝒙𝒙 ﺣﯿﺚ: اﺑﺤﺚ اﺗﺼﺎل اﻟﺪاﻟﺔ 𝒇𝒇 ﻋﻨﺪ س١ 𝟐𝟐 41 WWW.TMKNKW.COM ﻧﻈﺮ ﻳﺎت اﻻﺗﺼﺎل |𝒙𝒙| 𝒇𝒇(𝒙𝒙) = 𝒙𝒙𝟐𝟐 − 𝟒𝟒𝟒𝟒 + 𝟑𝟑 + اﺑﺤﺚ اﺗﺼﺎل اﻟﺪاﻟﺔ 𝒇𝒇 ﻋﻨﺪ 𝟑𝟑 = 𝒙𝒙 ﺣﯿﺚ: س٢ 𝒙𝒙 𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕 𝝅𝝅 = )𝒙𝒙(𝒇𝒇 = 𝒙𝒙 ﺣﯿﺚ: اﺑﺤﺚ اﺗﺼﺎل اﻟﺪاﻟﺔ 𝒇𝒇 ﻋﻨﺪ س٣ 𝟏𝟏𝒙𝒙+ 𝟒𝟒 WWW.TMKNKW.COM 42 ﻧﻈﺮ ﻳﺎت اﻻﺗﺼﺎل 𝟏𝟏𝒙𝒙𝟐𝟐 / 𝟐𝟐𝟐𝟐 = )𝒙𝒙(𝒇𝒇 − اﺑﺤﺚ اﺗﺼﺎل اﻟﺪاﻟﺔ 𝒇𝒇 ﻋﻨﺪ 𝟏𝟏 = 𝒙𝒙 ﺣﯿﺚ : س٥ 𝟏𝟏𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝟐𝟐𝒙𝒙/ 43 WWW.TMKNKW.COM ﻧﻈﺮ ﻳﺎت اﻻﺗﺼﺎل ﻧﻈﺮﻳﺔ):(15 𝒏𝒏 𝒂𝒂( اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﺠﺬرﯾﺔ 𝒙𝒙√ = 𝒚𝒚 ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻨﺪ ﮐﻞ 𝑛𝑛 , 𝑥𝑥 = 𝑐𝑐 ∶ 𝑐𝑐 ∈ 𝑅𝑅 0ﻋﺪد ﺻﺤﯿﺢ زوﺟﻲ ﻣﻮﺟﺐ، وﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻨﺪ ﮐﻞ 𝑛𝑛 , 𝑥𝑥 = 𝑐𝑐 ∶ 𝑐𝑐 ∈ 𝑅𝑅 0ﻋﺪد ﺻﺤﯿﺢ ﻓﺮدي أﮐﺒﺮ ﻣﻦ .١ 𝒃𝒃( إذا ﮐﺎﻧﺖ 𝒇𝒇 داﻟﺔ ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻨﺪ ﮐﻞ 𝑐𝑐 = 𝑥𝑥 وﮐﺎﻧﺖ 𝑓𝑓(𝑐𝑐) > 0 ﻓﺈن اﻟﺪاﻟﺔ 𝑔𝑔(𝑥𝑥 ) = [𝑓𝑓(𝑥𝑥) :ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻨﺪ 𝑐𝑐 = 𝑥𝑥 𝟑𝟑 𝒇𝒇(𝒙𝒙) = √𝒙𝒙𝟐𝟐 − 𝟒𝟒𝟒𝟒 + اﺑﺤﺚ اﺗﺼﺎل اﻟﺪاﻟﺔ 𝒇𝒇 ﻋﻨﺪ 𝟐𝟐 𝒙𝒙 = −ﺣﯿﺚ : س٦ 𝟑𝟑 𝒙𝒙√ = )𝒙𝒙(𝒇𝒇 اﺑﺤﺚ اﺗﺼﺎل اﻟﺪاﻟﺔ 𝒇𝒇 ﻋﻨﺪ 𝟐𝟐 𝒙𝒙 = −ﺣﯿﺚ س٧ 𝟒𝟒𝒙𝒙𝟐𝟐 + WWW.TMKNKW.COM 44 ﻧﻈﺮ ﻳﺎت اﻻﺗﺼﺎل ﺗﻌﺮﻳﻒ :إذا ﮐﺎﻧﺖ ﮐﻞ ﻣﻦ 𝒇𝒇 𝒈𝒈,داﻟ ﺘﯿﻦ ﺣﻘﯿﻘﯿ ﺘﯿﻦ وﮐﺎن ﻣﺪى اﻟﺪاﻟﺔ 𝒇𝒇 ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺟﺰﺋﯿﺔ ﻣﻦ ))𝒙𝒙(𝒇𝒇(𝒈𝒈 = )𝒙𝒙()𝒇𝒇 ∘ 𝒈𝒈( = )𝒙𝒙(𝒉𝒉 ﻣﺠﺎل اﻟﺪاﻟﺔ 𝒈𝒈 ﻓﺈﻧﻪ ﯾ ﺘﻌﯿﻦ داﻟﺔ ﻣﺮﮐﺒﺔ 𝒉𝒉: اﻟﺪاﻟﺘﯿﻦ 𝒈𝒈 𝒇𝒇,ﻣﻌﺮﻓﺘﺎن ℝ Cﮐﻤﺎ ﯾﻠﻲ𝒇𝒇(𝒙𝒙) = 𝟐𝟐𝟐𝟐 + 𝟑𝟑 , 𝒈𝒈(𝒙𝒙) = 𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝟑𝟑 : س٨ )𝒙𝒙()𝒈𝒈𝒈𝒈𝒈𝒈( )𝟏𝟏(𝒈𝒈𝒈𝒈𝒈𝒈)(− )𝒙𝒙()𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇( )𝟏𝟏(𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇)(− ﻓ ﺄ وﺟﺪ : 𝟑𝟑 = )𝒙𝒙(𝒈𝒈 𝒇𝒇(𝒙𝒙) = √𝟏𝟏 + 𝒙𝒙𝟐𝟐 ,ﻓﺄوﺟﺪ(𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇)(𝒙𝒙) ، (𝒈𝒈𝒈𝒈𝒈𝒈)G√𝟑𝟑H : ﻟ ﺘ ﮑﻦ: س٩ 𝟒𝟒𝒙𝒙𝟐𝟐 + 45 WWW.TMKNKW.COM ﻧﻈﺮ ﻳﺎت اﻻﺗﺼﺎل ﻟﺘﮑﻦ 𝒇𝒇(𝒙𝒙) = 𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝟓𝟓 ، 𝒈𝒈(𝒙𝒙) = √𝒙𝒙 + 𝟕𝟕 :اﺑﺤﺚ اﺗﺼﺎل اﻟﺪاﻟﺔ 𝒈𝒈𝒈𝒈𝒈𝒈 ﻋﻨﺪ 𝟐𝟐𝒙𝒙 = − س ١٠ ﻟﺘﮑﻦ 𝒇𝒇(𝒙𝒙) = 𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝟓𝟓 , 𝒈𝒈(𝒙𝒙) = √𝒙𝒙 :اﺑﺤﺚ اﺗﺼﺎل اﻟﺪاﻟﺔ 𝒈𝒈𝒈𝒈𝒈𝒈 ﻋﻨﺪ 𝟐𝟐𝒙𝒙 = − س ١١ WWW.TMKNKW.COM 46 ﻧﻈﺮ ﻳﺎت اﻻﺗﺼﺎل |𝒙𝒙| = )𝒙𝒙(𝒇𝒇 اﺑﺤﺚ اﺗﺼﺎل اﻟﺪاﻟﺔ 𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇 ﻋﻨﺪ 𝟏𝟏 = 𝒙𝒙 ﻟﺘﮑﻦ, 𝒈𝒈(𝒙𝒙) = 𝟐𝟐𝟐𝟐 + 𝟑𝟑 : س ١٢ 𝟐𝟐𝒙𝒙+ 𝒇𝒇(𝒙𝒙) = J𝒙𝒙𝟐𝟐 − 𝟑𝟑𝟑𝟑 + 𝟐𝟐J اﺑﺤﺚ اﺗﺼﺎل اﻟﺪاﻟﺔ 𝒇𝒇 ﻋﻨﺪ 𝟎𝟎 = 𝒙𝒙 ﺣﯿﺚ س ١٣ 47 WWW.TMKNKW.COM ﻧﻈﺮ ﻳﺎت اﻻﺗﺼﺎل WWW.TMKNKW.COM 48 اﻻﺗﺼﺎل ﻋﻠﻰ ﻓﺘﺮة ﺗﻌﺮﻳﻒ: ﻟﺘﮑﻦ اﻟﺪاﻟﺔ 𝒇𝒇 ﻣﻌﺮﻓﺔ Dاﻟﻔﺘﺮة )𝒃𝒃 (𝒂𝒂,ﻓﺈﻧﻨﺎ ﻧﻘﻮل أن اﻟﺪاﻟﺔ 𝒇𝒇 ﻣﺘﺼﻠﺔ Dاﻟﻔﺘﺮة اﳌﻔﺘﻮﺣﺔ)𝒃𝒃 (𝒂𝒂,إذا ﮐﺎﻧﺖ ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻨﺪ ﮐﻞ 𝒙𝒙 ﺗﻨﺘﻤﻲ إﻟﯽ اﻟﻔﺘﺮة )𝒃𝒃 (𝒂𝒂, ﺗﻌﺮﻳﻒ: ﻟﺘﮑﻦ اﻟﺪاﻟﺔ 𝒇𝒇 ﻣﻌﺮﻓﺔ Dاﻟﻔﺘﺮة ]𝒃𝒃 [𝒂𝒂,ﻓﺈﻧﻨﺎ ﻧﻘﻮل ﻋﻦ اﻟﺪاﻟﺔ 𝒇𝒇 ﻣﺘﺼﻠﺔ Dاﻟﻔﺘﺮة اﳌﻐﻠﻘﺔ ]𝒃𝒃 [𝒂𝒂,إذا ﺗﺤﻘﻘﺖ اﻟﺸﺮوط اﻟﺜﻼث اﻟﺘﺎﻟﯿﺔ: (1اﻟﺪاﻟﺔ 𝒇𝒇 ﻣﺘﺼﻠﺔ bاﻟﻔﺘﺮة اﳌﻔﺘﻮﺣﺔ)𝒃𝒃 (𝒂𝒂, (2اﻟﺪاﻟﺔ 𝒇𝒇 ﻣﺘﺼﻠﺔ 𝒂𝒂 = 𝒙𝒙 ﻣﻦ ﺟﻬﺔ اﻟﯿﻤﯿﻦ أي أن𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 𝒇𝒇(𝒙𝒙) = 𝒇𝒇(𝒂𝒂) : "𝒂𝒂→𝒙𝒙 (3اﻟﺪاﻟﺔ 𝒇𝒇 ﻣﺘﺼﻠﺔ 𝒃𝒃 = 𝒙𝒙 ﻣﻦ ﺟﻬﺔ اﻟﯿﺴﺎر أي أن𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 𝒇𝒇(𝒙𝒙) = 𝒇𝒇(𝒃𝒃) : !𝒃𝒃→𝒙𝒙 𝟐𝟐− 𝟏𝟏 = 𝒙𝒙 : 𝟑𝟑 𝒇𝒇(𝒙𝒙) = ? 𝒙𝒙 − 𝟐𝟐 ادرس اﺗﺼﺎل اﻟﺪاﻟﺔ 𝒇𝒇 [𝟏𝟏, 𝟑𝟑] bﺣﯿﺚ: س١ 𝟑𝟑 < 𝒙𝒙 < 𝟏𝟏 : 𝟔𝟔 𝟑𝟑 = 𝒙𝒙 : 49 WWW.TMKNKW.COM اﻻﺗﺼﺎل ﻋﻠﻰ ﻓﺘﺮة 𝟐𝟐 : 𝟏𝟏 = 𝒙𝒙 𝟏𝟏𝒙𝒙𝟐𝟐 0 ` = )𝒙𝒙(𝒇𝒇 ادرس اﺗﺼﺎل اﻟﺪاﻟﺔ 𝒇𝒇 [𝟏𝟏, 𝟓𝟓]bﺣﯿﺚ : 𝟏𝟏 < 𝒙𝒙 < 𝟓𝟓 : س٢ 𝒙𝒙 𝟐𝟐𝟐𝟐 : 𝟓𝟓 = 𝒙𝒙 𝟓𝟓 ا د ر س ا ﺗ ﺼ ﺎل ﮐ ﻞ ﻣ ﻦ ا ﻟ ﺪ و ا ل ا ﻟ ﺘ ﺎﻟ ﯿ ﺔ dا ﻟ ﻔ ﺘ ﺮ ة ا ﳌ ﺒ ﯿ ﻨ ﺔ : س٣ 𝟏𝟏 𝟐𝟐𝟐𝟐 + 𝒙𝒙 𝟐𝟐 = )𝒙𝒙(𝒇𝒇 )𝒂𝒂 ]𝟑𝟑 , [𝟎𝟎 , 𝟐𝟐 = )𝒙𝒙(𝒈𝒈 )𝒃𝒃 ]𝟐𝟐 , [𝟎𝟎 , 𝟐𝟐 𝒙𝒙 + 𝟏𝟏 𝒙𝒙 − WWW.TMKNKW.COM 50 اﻻﺗﺼﺎل ﻋﻠﻰ ﻓﺘﺮة 𝟑𝟑 𝒙𝒙 + 𝟏𝟏: 𝒙𝒙 ≤ − 𝒇𝒇(𝒙𝒙) = E 𝟒𝟒 ادرس اﺗﺼﺎل اﻟﺪاﻟﺔ 𝒇𝒇 Dﻣﺠﺎﻟﻬﺎ ﺣﯿﺚ : س٤ 𝟏𝟏: 𝒙𝒙 > − 𝟑𝟑𝒙𝒙+ 51 WWW.TMKNKW.COM اﻻﺗﺼﺎل ﻋﻠﻰ ﻓﺘﺮة 𝒂𝒂 𝒙𝒙𝟐𝟐 − 𝟎𝟎 < 𝒙𝒙 : 𝟐𝟐 ? = )𝒙𝒙(𝒇𝒇 ﻣﺘﺼﻠﺔ bﻣﺠﺎﻟﻬﺎ ℝأوﺟﺪ ﻗﯿﻤﺔ اﻟﺜﺎﺑ ﺘﯿﻦ 𝒃𝒃 𝒂𝒂 , ﻟﺘﮑﻦ∶ 𝒙𝒙 = 𝟎𝟎 : س٦ 𝒃𝒃 𝒂𝒂𝒂𝒂 + 𝟎𝟎 > 𝒙𝒙 ∶ 𝟓𝟓 𝟏𝟏 = 𝒙𝒙 : 𝒃𝒃 𝒇𝒇(𝒙𝒙) = C𝒂𝒂𝒂𝒂 +ﻣﺘﺼﻠﺔ [𝟏𝟏, 𝟒𝟒] b ﻟﺘﮑﻦ اﻟﺪاﻟﺔ 𝒇𝒇∶ 𝟏𝟏 < 𝒙𝒙 < 𝟒𝟒 : 𝟖𝟖 𝒃𝒃 + 𝟒𝟒 = 𝒙𝒙 ∶ س٧ أوﺟﺪ ﻗﯿﻢ اﻟﺜﺎﺑﺘﯿ ﻦ 𝒃𝒃 𝒂𝒂 , WWW.TMKNKW.COM 52 اﻻﺗﺼﺎل ﻋﻠﻰ ﻓﺘﺮة أوﺟﺪ 𝒇𝒇𝑫𝑫 ﺛﻢ ادرس اﺗﺼﺎل اﻟﺪاﻟﺔ 𝒇𝒇 [−𝟓𝟓, 𝟎𝟎] Cﺣﯿﺚ 𝟐𝟐𝟐𝟐 𝒇𝒇(𝒙𝒙) = √𝒙𝒙𝟐𝟐 − س٨ 𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒇𝒇(𝒙𝒙) = √𝒙𝒙𝟐𝟐 − 𝟕𝟕𝟕𝟕 + ادرس اﺗﺼﺎل اﻟﺪاﻟﺔ 𝒇𝒇 [𝟔𝟔, 𝟏𝟏𝟏𝟏] Dﺣﯿﺚ س٩ 53 WWW.TMKNKW.COM اﻻﺗﺼﺎل ﻋﻠﻰ ﻓﺘﺮة 𝟐𝟐𝒙𝒙 𝒇𝒇(𝒙𝒙) = √𝟗𝟗 − أوﺟﺪ 𝒇𝒇𝑫𝑫 ﺛﻢ ادرس اﺗﺼﺎل اﻟﺪاﻟﺔ 𝒇𝒇 [−𝟑𝟑, 𝟑𝟑] Cﺣﯿﺚ س ١٠ 𝟑𝟑 𝒇𝒇(𝒙𝒙) = √−𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝟒𝟒𝟒𝟒 − ادرس اﺗﺼﺎل اﻟﺪاﻟﺔ 𝒇𝒇 [𝟏𝟏, 𝟑𝟑] Dﺣﯿﺚ س ١١ WWW.TMKNKW.COM 54 اﻻﺗﺼﺎل ﻋﻠﻰ ﻓﺘﺮة ﻣﻼﺣﻈﺔ :ﻧﺎﺗﺞ ﺗﺮﮐﯿﺐ داﻟﺘﯿﻦ ﮐﻞ ﻣﻨﻬﻤﺎ ﻣﺘﺼﻠﺔ ℝ bهﻮ داﻟﺔ ﻣﺘﺼﻠﺔ ℝ b 𝟑𝟑 ﻟﺘﮑﻦ 𝒇𝒇(𝒙𝒙) = √−𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝟐𝟐𝒙𝒙 + 𝟓𝟓 :ادرس اﺗﺼﺎل اﻟﺪاﻟﺔ 𝒇𝒇 ℝ D س ١٢ معلق ٢٠٢٥-٢٠٢٤ 55 WWW.TMKNKW.COM اﻻﺗﺼﺎل ﻋﻠﻰ ﻓﺘﺮة معلق ٢٠٢٥-٢٠٢٤ WWW.TMKNKW.COM 56 ﻣﻴﻞ اﻟﻤﻤﺎس )𝒂𝒂(𝒇𝒇))𝒉𝒉𝒇𝒇(𝒂𝒂0 𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥 = ﻣﯿﻞ اﳌﻤﺎس 𝒉𝒉 ﻣﯿﻞ اﳌﻤﺎس ﳌﻨﺤﻨ ﯽاﻟﺪاﻟﺔ 𝒇𝒇 ﻋﻨﺪ اﻟﻨﻘﻄﺔ ))𝑎𝑎(𝑓𝑓 ، (𝑎𝑎,هﻮ 𝟎𝟎→𝒉𝒉 أوﺟﺪ ﻣﯿﻞ اﳌﻤﺎسّ ﻟﻠﻘﻄﻊ اﳌﮑﺎﻓ ﺊ 𝟐𝟐 𝒚𝒚 = (𝒙𝒙 − 𝟐𝟐)𝟐𝟐 +ﻋﻨﺪ اﻟﻨﻘﻄﺔ )𝟑𝟑 𝑨𝑨(𝟏𝟏, س١ معلق ٢٠٢٥-٢٠٢٤ 57 WWW.TMKNKW.COM اﻟﻤﺸﺘﻘﺔ ﺍﻟﺼﻴﻐﺔ ﺍﻟﺒﺪﻳﻠﺔ ﺗﻌﺮﻳﻒ ﺍﻻﺷﺘﻘﺎﻕ ﻣﺸﺘﻘﺔ اﻟﺪاﻟﺔ 𝒇𝒇 ﻋﻨﺪ 𝑎𝑎 = 𝑥𝑥 ،هﻲ )𝑎𝑎( 𝑓𝑓 ¢ ﻣﺸﺘﻘﺔ اﻟﺪاﻟﺔ 𝒇𝒇 ﻋﻨﺪ 𝑎𝑎 = 𝑥𝑥 ،هﻲ )𝑎𝑎( 𝑓𝑓 ¢ )𝒂𝒂(𝒇𝒇 𝒇𝒇(𝒙𝒙) − )𝒂𝒂(𝒇𝒇 𝒇𝒇(𝒂𝒂 + 𝒉𝒉) − 𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥 = )𝒂𝒂( 𝒇𝒇¢ 𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥 = )𝒂𝒂( 𝒇𝒇¢ 𝒂𝒂→𝒙𝒙 𝒂𝒂 𝒙𝒙 − 𝟎𝟎→𝒉𝒉 𝒉𝒉 ﺑﺎﺳﺘﺨﺪام اﻟﺘﻌﺮﯾﻒ ،أوﺟﺪ ﻣﺸﺘﻘﺔ اﻟﺪاﻟﺔ 𝒇𝒇 𝒇𝒇(𝒙𝒙) = 𝟑𝟑𝒙𝒙𝟐𝟐 :ﻋﻨﺪ 𝟐𝟐.𝒙𝒙 = − س١ WWW.TMKNKW.COM 58 اﻟﻤﺸﺘﻘﺔ ﺑﺎﺳﺘ ﺨﺪام اﻟﺘﻌﺮ ﯾﻒ اﻟﺒﺪﯾ ﻞ ،أوﺟﺪ ﻣﺸﺘﻘﺔ اﻟﺪاﻟﺔ 𝒇𝒇(𝒙𝒙) = √𝒙𝒙 :ﻋﻨﺪ 𝒂𝒂 = 𝒙𝒙 ﺣﯿﺚ 𝟎𝟎 > 𝒂𝒂 س٢ 𝟏𝟏 = )𝒙𝒙(𝒇𝒇 ﻋﻨﺪ 𝒃𝒃 = 𝒙𝒙 ﺣﯿﺚ 𝟎𝟎 ≠ 𝒃𝒃 أوﺟﺪ ﻣﺸﺘﻘﺔ اﻟﺪاﻟﺔ 𝒇𝒇: س٣ 𝒙𝒙 59 WWW.TMKNKW.COM اﻟﻤﺸﺘﻘﺔ 𝟐𝟐 𝒙𝒙 𝒇𝒇(𝒙𝒙) = Pﻟﻬﺎ ﻣﺸﺘﻘّﺔ ﻟﺠﻬﺔ اﻟﯿﻤﯿﻦ 𝟎𝟎 ≤ 𝒙𝒙 : ﺑﯿّﻦ أن اﻟﺪاﻟﺔ: 𝟎𝟎 > 𝒙𝒙 𝟐𝟐𝟐𝟐 : س٤ وﻣﺸﺘﻘّﺔ ﻟﺠﻬّﺔ اﻟﯿﺴﺎر ﻋﻨﺪ 𝟎𝟎 = 𝒙𝒙 ،ﻟﮑﻦ ﻟﯿﺲ ﻟﻬﺎ ﻣﺸﺘﻘّﺔ ﻋﻨﺪ 𝟎𝟎 = 𝒙𝒙 WWW.TMKNKW.COM 60 اﻟﻤﺸﺘﻘﺔ ﻟﺘﮑﻦ 𝒇𝒇 𝒇𝒇(𝒙𝒙) = |𝒙𝒙 − 𝟐𝟐| :اﺑﺤﺚ ﻗﺎﺑﻠﯿﺔ اﺷﺘﻘﺎق اﻟﺪاﻟﺔ 𝒇𝒇 ﻋﻨﺪ 𝟐𝟐 = 𝒙𝒙 س٥ 61 WWW.TMKNKW.COM اﻟﻤﺸﺘﻘﺔ 𝟏𝟏 𝟏𝟏: 𝒙𝒙 ≤ − 𝒙𝒙 𝟏𝟏 𝒇𝒇(𝒙𝒙) = Qﺑﯿّﻦ أن ﻟﻠﺪاﻟﺔ 𝒇𝒇 ﻣﺸﺘﻘّﺔ 𝟑𝟑 ﻟ ﺘﮑﻦ اﻟ ﺪ اﻟ ﺔ: 𝟐𝟐 𝒙𝒙 − 𝟏𝟏: 𝒙𝒙 > − س٦ 𝟐𝟐 𝟐𝟐 ﻟﺠﻬﺔ اﻟﯿﻤﯿﻦ ﻣﺴﺎوﯾﺔ ﻟﻠﻤﺸﺘﻘّﺔ ﻟﺠﻬّﺔ اﻟﯿﺴﺎر ﻋﻨﺪ 𝟏𝟏𝒙𝒙 = − معلق ٢٠٢٥-٢٠٢٤ WWW.TMKNKW.COM 62 اﻟﻤﺸﺘﻘﺔ ﻟﺘﮑﻦ 𝟑𝟑𝒙𝒙 = )𝒙𝒙(𝒇𝒇 أوﺟﺪ )𝒙𝒙( @𝒇𝒇 ﺑﺎﺳﺘﺨﺪام اﻟﺘﻌﺮﯾﻒ اﳌﺸﺘﻘﺔ إن وﺟﺪت. س٧ ﻟﺘﮑﻦ 𝟐𝟐 𝒇𝒇(𝒙𝒙) = 𝒙𝒙𝟐𝟐 +أوﺟﺪ )𝒙𝒙( @𝒇𝒇 ﺑﺎﺳﺘﺨﺪام ﺗﻌﺮﯾﻒ اﳌﺸﺘﻘﺔ. س٨ 63 WWW.TMKNKW.COM اﻟﻤﺸﺘﻘﺔ (١رﮐﻦ :ﺗﮑﻮن اﳌﺸﺘﻘﺘﺎن ﻣﻦ ﺟﻬﺔ اﻟﯿﻤﯿﻦ وﻣﻦ (٢ﻧﺎب :ﯾﮑﻮن ﻣﯿﻞ اﳌﻤﺎس ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﯽ ﻋﻨﺪ ﻧﻘﻄﺔ ﺟﻬﺔ ﻟﯿﺴﺎر ﻋﻨﺪ اﻟﺘﻘﺎء اﻟﺸﻌﺎﻋﯿﻦ ﻏﯿﺮ ﻣﺘﺴﺎوﯾﯿﻦ ﺗﻘﺎﻃﻊ ﻣﺤﺪدة ﯾﻘﺘﺮب ﻣﻦ ∞ dإﺣﺪى اﻟﺠﻬﺎت وﯾﻘﺘﺮب ﻣﻦ ∞ d −اﻟﺠﻬﺔ اﻟﺜﺎﻧﯿﺔ ﻣﺜﺎل𝒇𝒇(𝒙𝒙) = |𝒙𝒙| : 𝟐𝟐 وﯾﻮﺟﺪ ﻣﻤﺎس رأﺳﻲ ﻣﺜﺎل𝒇𝒇(𝒙𝒙) = 𝒙𝒙 : 𝟑𝟑 (٤ﻋﺪم اﺗﺼﺎل :ﺗﮑﻮن ﳌﺸﺘﻘﺔ ﻣﻦ ﺟﻬﺔ واﺣﺪة (٣ﻣﻤﺎس رأﺳﯿﺎ :ﯾﮑﻮن اﳌﻤﺎس ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﯽ ﻋﻨﺪ أو ﮐﻞ ﻣﻦ اﻟﺠﻬﺘﯿﻦ ﻏﯿﺮ ﻣﻮﺟﻮدة. ﻧﻘﻄﺔ ﻣﺤﺪدة رأﺳﯿﺎ. 𝟎𝟎 < 𝒙𝒙 −١ : 𝟑𝟑 𝒇𝒇(𝒙𝒙) = O ﻣﺜﺎل: ﻣﺜﺎل𝒇𝒇(𝒙𝒙) = √𝒙𝒙 − 𝟏𝟏 : 𝟎𝟎 ≥ 𝒙𝒙 ١ : 𝟐𝟐 𝟒𝟒 𝒇𝒇(𝒙𝒙) = d 𝒙𝒙 −اﺑﺤﺚ ﻗﺎﺑﻠﯿ ﺔ اﻻﺷﺘﻘﺎق ﻟﻠﺪاﻟﺔ 𝒇𝒇 ﻋﻨﺪ 𝟐𝟐 = 𝒙𝒙 𝟐𝟐 ≤ 𝒙𝒙 : ﻟﺘﮑﻦ 𝒇𝒇: س٩ 𝟐𝟐 𝟑𝟑𝟑𝟑 − 𝟐𝟐 > 𝒙𝒙 : WWW.TMKNKW.COM 64 اﻟﻤﺸﺘﻘﺔ 𝟏𝟏 𝟏𝟏 𝟏𝟏 −𝒙𝒙 − : 𝒙𝒙 > − 𝒙𝒙 = − 𝒇𝒇(𝒙𝒙) = fﺑﯿﻦ أن 𝒇𝒇 د اﻟﺔ ﻣﺘﺼﻠﺔ وﻏﯿﺮ ﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻼﺷﺘﻘﺎق ﻋﻨﺪ 𝟑𝟑 س ١٠ 𝟑𝟑 𝟏𝟏 معلق ٢٠٢٥-٢٠٢٤ 𝟏𝟏 𝟓𝟓𝒙𝒙 + : 𝒙𝒙 ≤ − 𝟑𝟑 65 WWW.TMKNKW.COM اﻟﻤﺸﺘﻘﺔ 𝟐𝟐 𝟏𝟏 ≤ 𝒙𝒙 : 𝒇𝒇(𝒙𝒙) = Cادرس اﺗﺼﺎل اﻟﺪاﻟﺔ 𝒇𝒇 ﻋﻨﺪ 𝟏𝟏 = 𝒙𝒙 وﻗﺎﺑﻠﯿ ﺔ اﻻﺷﺘﻘﺎق ﻋﻨﺪهﺎ 𝟏𝟏𝒙𝒙𝟐𝟐 0 س ١١ 𝟏𝟏 𝟐𝟐𝟐𝟐 − 𝟏𝟏 > 𝒙𝒙 : معلق ٢٠٢٥-٢٠٢٤ ﻋ ﻨﺪهﺎ WWW.TMKNKW.COM 66 اﻟﻤﺸﺘﻘﺔ 𝟓𝟓 𝒙𝒙 + 𝟑𝟑 ≤ 𝒙𝒙 : 𝟐𝟐 𝒇𝒇(𝒙𝒙) = Rأوﺟﺪ إن أﻣﮑﻦ )𝟑𝟑( @𝒇𝒇 . ﻟﺘﮑﻦ اﻟﺪاﻟﺔ 𝒇𝒇: س ١٢ 𝟏𝟏 𝒙𝒙 − 𝟑𝟑 > 𝒙𝒙 : 67 WWW.TMKNKW.COM اﻟﻤﺸﺘﻘﺔ 𝟐𝟐 𝒙𝒙 𝒇𝒇(𝒙𝒙) = S 𝟐𝟐𝒙𝒙 +أوﺟﺪ إن أﻣﮑﻦ 𝟏𝟏: 𝒙𝒙 ≤ − ﻟﺘﮑﻦ اﻟﺪاﻟﺔ 𝒇𝒇: س ١٣ 𝟐𝟐 𝒙𝒙 − 𝒙𝒙 − 𝟏𝟏: 𝒙𝒙 > − )𝟏𝟏. 𝒇𝒇@ (− WWW.TMKNKW.COM 68 اﻟﻤﺸﺘﻘﺔ ( )𝟐𝟐 𝟏𝟏 𝒈𝒈(𝒙𝒙) = S 𝒙𝒙 +أوﺟﺪ إن أﻣﮑﻦ )𝟎𝟎( @𝒈𝒈. 𝟎𝟎 ≤ 𝒙𝒙 : ﻟﺘﮑﻦ اﻟﺪاﻟﺔ 𝒇𝒇: س ١٤ 𝟏𝟏 𝟐𝟐𝟐𝟐 + 𝟎𝟎 > 𝒙𝒙 : 69 WWW.TMKNKW.COM اﻟﻤﺸﺘﻘﺔ WWW.TMKNKW.COM 70 اﻟﻤﺸﺘﻘﺔ ﺍﻟﻘﻮﺍﻋﺪ ﺍﻷﺳﺎﺳﻴﺔ ﻓﻲ ﺍﻻﺷﺘﻘﺎﻕ 𝒌𝒌 = 𝒚𝒚 )𝟏𝟏 𝟎𝟎 = → 𝒚𝒚¢ 𝒙𝒙 = 𝒚𝒚 )𝟐𝟐 𝟏𝟏 = → 𝒚𝒚¢ 𝒏𝒏𝒙𝒙 = 𝒚𝒚 )𝟑𝟑 𝟏𝟏)𝒏𝒏𝒙𝒙 → 𝒚𝒚¢ = 𝒏𝒏. )𝒙𝒙(𝒇𝒇 𝟒𝟒) 𝒚𝒚 = 𝒌𝒌. )𝒙𝒙( → 𝒚𝒚¢ = 𝒌𝒌. 𝒇𝒇¢ )𝒙𝒙(𝒈𝒈 𝟓𝟓) 𝒚𝒚 = 𝒇𝒇(𝒙𝒙) + )𝒙𝒙( → 𝒚𝒚¢ = 𝒇𝒇¢ (𝒙𝒙) + 𝒈𝒈¢ )𝒙𝒙(𝒈𝒈 𝟔𝟔) 𝒚𝒚 = 𝒇𝒇(𝒙𝒙) − )𝒙𝒙( → 𝒚𝒚¢ = 𝒇𝒇¢ (𝒙𝒙) − 𝒈𝒈¢ )𝒙𝒙(𝒈𝒈 × )𝒙𝒙(𝒇𝒇 = 𝒚𝒚 )𝟕𝟕 )𝒙𝒙(𝒇𝒇 → 𝒚𝒚¢ = 𝒇𝒇¢ (𝒙𝒙). 𝒈𝒈(𝒙𝒙) + 𝒈𝒈¢ (𝒙𝒙). )𝒙𝒙(𝒇𝒇 )𝒙𝒙(𝒇𝒇𝒇𝒇¢ (𝒙𝒙).𝒈𝒈(𝒙𝒙))𝒈𝒈¢ (𝒙𝒙). )𝒙𝒙(𝒈𝒈 = 𝒚𝒚 )𝟖𝟖 → = 𝒚𝒚¢ 𝟐𝟐 8𝒈𝒈(𝒙𝒙)9 𝒌𝒌 )𝒙𝒙( )𝒌𝒌𝒈𝒈¢ )𝒙𝒙(𝒈𝒈 = 𝒚𝒚 )𝟗𝟗 → = 𝒚𝒚¢ 𝟐𝟐 8𝒈𝒈(𝒙𝒙)9 𝟏𝟏 𝒙𝒙√ = 𝒚𝒚 )𝟏𝟏𝟏𝟏 𝟐𝟐 = → 𝒚𝒚¢ 71 N𝒙𝒙K W. C O M √WWW. TMK ﻗﻮاﻋﺪ اﻻﺷﺘﻘﺎق 𝒅𝒅𝒅𝒅 ﺣﯿﺚ 𝟔𝟔 𝒚𝒚 = 𝟓𝟓𝟓𝟓𝟑𝟑 − 𝟒𝟒𝒙𝒙𝟐𝟐 + أوﺟ ﺪ س١ 𝒅𝒅𝒅𝒅 )𝟔𝟔 𝒇𝒇(𝒙𝒙) = 𝟒𝟒𝟒𝟒𝟐𝟐 (𝒙𝒙 + أوﺟﺪ )𝒙𝒙( @𝒇𝒇 إذا ﮐﺎن س٢ أوﺟﺪ )𝒙𝒙( @𝒇𝒇 إذا ﮐﺎن )𝟐𝟐 𝒇𝒇(𝒙𝒙) = (𝟐𝟐𝒙𝒙 + 𝟏𝟏)(𝟑𝟑𝟑𝟑 − س٣ 𝟐𝟐 )𝟒𝟒 𝒇𝒇(𝒙𝒙) = (𝒙𝒙𝟑𝟑 − أوﺟﺪ )𝒙𝒙( @𝒇𝒇 إذا ﮐﺎن س٤ WWW.TMKNKW.COM 72 ﻗﻮاﻋﺪ اﻻﺷﺘﻘﺎق 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟒𝟒𝟒𝟒𝟐𝟐 + = )𝒙𝒙(𝒇𝒇 أ و ﺟ ﺪ ﻣ ﺸ ﺘ ﻘ ﺔ: س٥ 𝟓𝟓𝟐𝟐𝒙𝒙𝟑𝟑 + 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝟕𝟕𝟑𝟑𝟑𝟑𝟐𝟐+ ﻋﻨﺪ 𝟏𝟏𝒙𝒙 = − = 𝒚𝒚 أوﺟﺪ ﻟ ﺘ ﮑﻦ س٦ 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝟐𝟐𝒙𝒙𝟖𝟖 73 WWW.TMKNKW.COM ﻗﻮاﻋﺪ اﻻﺷﺘﻘﺎق ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻨﺎﻇﻢ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﻤﺎﺱ )𝒂𝒂 (𝒙𝒙 −ﻣﯿﻞ اﻟﻨﺎﻇﻢ = )𝒂𝒂(𝒇𝒇 𝒚𝒚 − )𝒂𝒂 (𝒙𝒙 −ﻣﯿﻞ اﳌﻤﺎس = )𝒂𝒂(𝒇𝒇 𝒚𝒚 − 𝟏𝟏𝒙𝒙𝟑𝟑 + 𝟐𝟐 = )𝒙𝒙(𝒇𝒇 (𝟏𝟏 ,ﳌﻨﺤﻨﯽ اﻟﺪاﻟﺔ: أ و ﺟ ﺪ ﻣ ﻌ ﺎ د ﻟ ﺔ ا ﳌ ﻤ ﺎ س و ﻣ ﻌ ﺎ دﻟ ﺔ ا ﻟﻨ ﺎ ﻇ ﻢ ﻋ ﻨ ﺪ ا ﻟ ﻨ ﻘ ﻄ ﺔ ) س٧ 𝟐𝟐𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝟑𝟑 𝟒𝟒& = )𝒙𝒙(𝒇𝒇 أوﺟﺪ )𝒙𝒙( @𝒇𝒇 إذا ﮐﺎن س٩ 𝟓𝟓𝒙𝒙𝟐𝟐 +𝟐𝟐𝟐𝟐+ WWW.TMKNKW.COM 74 ﻗﻮاﻋﺪ اﻻﺷﺘﻘﺎق 𝟒𝟒&𝟑𝟑𝟑𝟑 = )𝒙𝒙(𝒇𝒇 ﻋﻨﺪ 𝟎𝟎 = 𝒙𝒙 أ و ﺟ ﺪ ﻣ ﻌﺎ د ﻟ ﺔ ا ﳌ ﻤ ﺎ س ﳌ ﻨ ﺤ ﻨ ﯽ ا ﻟ ﺪ ا ﻟ ﺔ: س٨ 𝟐𝟐𝒙𝒙+ 𝟖𝟖 = )𝒙𝒙(𝒇𝒇 ﻋﻨﺪ 𝟐𝟐 = 𝒙𝒙 أ و ﺟ ﺪ ﻣ ﻌﺎ د ﻟ ﺔ ا ﳌ ﻤ ﺎ س ﳌ ﻨ ﺤ ﻨ ﯽ ا ﻟ ﺪ ا ﻟ ﺔ س ١٠ 𝟐𝟐𝒙𝒙 𝟒𝟒 + 75 WWW.TMKNKW.COM ﻗﻮاﻋﺪ اﻻﺷﺘﻘﺎق 𝟐𝟐 𝟐𝟐 𝒇𝒇(𝒙𝒙) = d 𝒙𝒙 +داﻟﺔ ﻣﺘﺼﻠﺔ bﻣﺠﺎﻟﻬﺎ أوﺟﺪ )𝒙𝒙( 𝒙𝒙 : WWW.TMKNKW.COM 76 ﻗﻮاﻋﺪ اﻻﺷﺘﻘﺎق 𝟐𝟐 𝟏𝟏 𝒇𝒇(𝒙𝒙) = d 𝒙𝒙 +داﻟﺔ ﻣﺘﺼﻠﺔ bﻣﺠﺎﻟﻬﺎ أوﺟﺪ )𝒙𝒙( 𝒙𝒙 : 77 WWW.TMKNKW.COM ﻗﻮاﻋﺪ اﻻﺷﺘﻘﺎق 𝟏𝟏 𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝟏𝟏 < 𝒙𝒙 : 𝒇𝒇(𝒙𝒙) = dداﻟﺔ ﻣﺘﺼﻠﺔ bﻣﺠﺎﻟﻬﺎ أوﺟﺪ )𝒙𝒙(