Zložené namáhanie - PDF

Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav mechaniky, energetického a konštrukčného inžinierstva Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva Mechanika poddajných telies - Zložené namáhanie : Priestorový (šikmý) ohyb Excentrick...

Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav mechaniky, energetického a konštrukčného inžinierstva Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva Mechanika poddajných telies - Zložené namáhanie : Priestorový (šikmý) ohyb Excentrický ťah – tlak Súčasné pôsobenie ohybu a krútenia 8. 1  Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav mechaniky, energetického a konštrukčného inžinierstva, Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva Zložené namáhanie V prípadoch, ktoré sme riešili doteraz, bola v myslenom reze telesa nenulová len jedna z možných zložiek vnútorných silových veličín (s výnimkou priečneho ohybu). V praxi sa často vyskytujú prípady, keď v myslenom reze telesa sú nenulové dve a viac zložiek. Takéto namáhanie nazývame zložené alebo kombinované. Na základe hypotézy o nezávislosti silových účinkov možno napätosť a deformáciu v oblasti pružných deformácií určiť superpozíciou jednoduchých namáhaní. 2  Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav mechaniky, energetického a konštrukčného inžinierstva, Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva Zložené namáhanie Priestorový (šikmý) ohyb Priestorovým (šikmým) ohybom nazývame ohyb, pri ktorom rovina pôsobenia výsledného ohybového momentu v myslenom reze nie je totožná ani s jednou z hlavných centrálnych osí prierezu. V myslenom reze pôsobia dve zložky ohybových momentov My a Mz. Napätia pri šikmom ohybe určíme zvlášť od jednej aj druhej zložky (ako pri rovinnom ohybe), pričom výsledné napätie je rovné ich súčtu, teda využívame princíp superpozície. 3  Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav mechaniky, energetického a konštrukčného inžinierstva, Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva Zložené namáhanie Priestorový (šikmý) ohyb Uvažujme votknutý nosník zaťažený šikmou silou F. Zložky sily v smere hlavných centrálnych osí sú Fy  F  cos  , Fz  F  sin . Ohybové momenty v mieste x budú M y x   Fz  x  F  x  sin , M z x   Fy  x  F  x  cos . 4  Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav mechaniky, energetického a konštrukčného inžinierstva, Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva Zložené namáhanie Priestorový (šikmý) ohyb Ak využijeme princíp nezávislosti silových účinkov, možno napätie v ľubovoľnom bode nosníka vyjadriť vzťahom M y x  M z x   x, y , z   z  y. Jy Jz Pre body v rohoch prierezu nosníka označené číslami 1 až 4 možno napätie v priereze x určiť zo vzťahu M y x  M z x  Fz  x Fy  x Fz  x Fy  x  x     ,  1    ,  2    , Wy Wz Wy Wz Wy Wz Fz  x Fy  x Fz  x Fy  x  3    ,  4   . Wy Wz Wy Wz 5  Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav mechaniky, energetického a konštrukčného inžinierstva, Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva Zložené namáhanie Priestorový (šikmý) ohyb Ak znázorníme priebehy normálových napätí pri šikmom ohybe v pravouhlom priemete po obvode prierezu, spojnica bodov obvodu prierezu s nulovými hodnotami napätí určuje neutrálnu os prierezu. 6  Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav mechaniky, energetického a konštrukčného inžinierstva, Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva Zložené namáhanie Priestorový (šikmý) ohyb Pevnostná kontrola pri šikmom ohybe vyplýva z podmienky  max   D. Optimálny postup výpočtu pri priestorovom ohybe predpokladá : 1. určenie rovnice neutrálnej osi, 2. definovanie najviac vzdialeného bodu od neutrálnej osi, 3. určenie napätia v tomto bode, ktoré je súčasne maximálnym napätím v priereze. Pevnostnú kontrolu vykonáme pre tento bod. 7  Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav mechaniky, energetického a konštrukčného inžinierstva, Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva Zložené namáhanie Priestorový (šikmý) ohyb Označme súradnice bodov neutrálnej osi symbolmi yN , zN. Keďže v bodoch yN , zN neutrálnej osi sú napätia nulové, vzťah pre napätia v týchto bodoch má tvar M y x  M z x  zN  yN  0 , Jy Jz z čoho pre body na neutrálnej osi dostaneme M z x  J y zN     yN. M y x  J z Uvedená rovnica je rovnicou priamky, ktorej smernica je M z x  J y tg   . M y x  J z 8  Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav mechaniky, energetického a konštrukčného inžinierstva, Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva Zložené namáhanie Priestorový (šikmý) ohyb Deformáciu pri šikmom ohybe možno určiť vektorovým súčtom rovinných deformácií v hlavných rovinách. Pre uvažovaný prípad platí Fy   3 v , 3 EJ z Fz   3 w , 3 EJ y f  v2 w2. Smer výsledného priehybu je kolmý na neutrálnu os, ale nie je totožný s rovinou vonkajšieho zaťaženia. Táto skutočnosť je dôvodom nazývať takýto ohyb šikmým ohybom. 9  Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav mechaniky, energetického a konštrukčného inžinierstva, Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva Zložené namáhanie Priestorový (šikmý) ohyb - PRÍKLAD Príklad: Nosník obdĺžnikového prierezu s rozmermi 140x220 mm je zaťažený silami F1 = 8kN, F2 = 50 kN. Určte maximálne hodnoty normálových napätí, ak a = 800 mm a   1400 mm. Riešenie: Nosník je v rovinách xz a xy namáhaný ohybovými momentami, ktoré sú v absolútnej hodnote najväčšie vo votknutí, kde nadobúdajú hodnotu M y max  F1  a      8  103  800  1400   17,6  106 Nmm. M z max  F2    50  10 3  1400  70  10 6 Nmm. 10  Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav mechaniky, energetického a konštrukčného inžinierstva, Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva Zložené namáhanie Priestorový (šikmý) ohyb - PRÍKLAD V rohoch ABCD možno veľkosti normálových napätí určiť podľa vzťahu M y max M z max I    , Wy Wz kde 1 1 Wy   bh 2   140  220 2  1,1293  10 6 mm 3 , 6 6 1 1 Wz   hb 2   220  140 2  718,6  10 3 mm 3. 6 6 Dosadením číselných hodnôt 17,6  10 6  70,0  10 6 I    , 1,1293  10 6 0,7186  10 6  I  15,58  97,41 MPa. 11  Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav mechaniky, energetického a konštrukčného inžinierstva, Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva Zložené namáhanie Priestorový (šikmý) ohyb - PRÍKLAD Pre body A, B, C, D prierezu v mieste votknutia platí  A  112,99 MPa ,  B  81,82 MPa , C  112,99 MPa ,  D  81,82 MPa. V absolútnej hodnote je najväčšie napätie v bodoch A a C prierezu vo votknutí. 12  Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav mechaniky, energetického a konštrukčného inžinierstva, Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva Zložené namáhanie Excentrický ťah (tlak) Predpokladajme, že teleso, ktoré je namáhané na ohyb a ťah (tlak), má veľkú tuhosť v ohybe, takže deformácie od ohybu nemajú vplyv na statické riešenie rovnováhy. V takom prípade možno použiť princíp nezávislosti silového pôsobenia a napätia v ľubovoľnom bode mysleného rezu možno vyjadriť ako súčet napätí od ťahu (tlaku) a ohybu. Pri určovaní maximálneho napätia v priereze zložitého tvaru je potrebné nájsť polohu neutrálnej osi a body najviac vzdialené od neutrálnej osi. Polohu neutrálnej osi určíme z podmienky nulovosti napätí. 13  Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav mechaniky, energetického a konštrukčného inžinierstva, Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva Zložené namáhanie Excentrický ťah (tlak) Vyšetrujme prípad excentrického tlaku na stĺp. Takáto úloha sa v technickej praxi vyskytuje veľmi často. Nech sila F pôsobí v bode P y p , z p  v dôsledku čoho vzniká v ľubovoľnom reze normálová sila N  F a ohybové momenty M y  F  zp , M z  F  y p. 14  Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav mechaniky, energetického a konštrukčného inžinierstva, Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva Zložené namáhanie Excentrický ťah (tlak) Normálové napätia v bode B(y,z), ktorý tiež leží v I. kvadrante, možno vyjadriť vzťahom N My M   z  z y , A Jy Jz pričom súradnice y, z je potrebné do vzťahu dosadiť so zreteľom na znamienka. Vzťah pre napätie možno vyjadriť v tvare F F  zp F  yp    z  y. A Jy Jz 15  Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav mechaniky, energetického a konštrukčného inžinierstva, Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva Zložené namáhanie Excentrický ťah (tlak) F F  zp F  yp Vzťah pre napätie možno vyjadriť v tvare    z  y. A Jy Jz    zp yp  F  Po úprave dostaneme     1 z  y. A  Jy Jz     A A  Výrazy v menovateli predstavujú druhé mocniny Jy Jz osových kvadratických polomerov prierezu i y2  , i z2  , A A F  zp yp  z čoho vyplýva     1  2  z  2  y . A  iy iz  16  Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav mechaniky, energetického a konštrukčného inžinierstva, Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva Zložené namáhanie Excentrický ťah (tlak) Ak označíme súradnice bodov neutrálnej osi symbolmi yN , zN , potom posledná rovnica bude identicky rovná nule v bodoch, pre ktoré platí zp yp 1  zN   yN  0. i y2 i z2 Rovnicu možno pretransformovať na úsekový tvar rovnice priamky zN yN 1 . i y2 i z2   zp yp 17  Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav mechaniky, energetického a konštrukčného inžinierstva, Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva Zložené namáhanie Excentrický ťah (tlak) Ak označíme symbolmi ay , az úseky, ktoré vytína neutrálna os na osiach y a z potom i y2 i z2 az   , ay   , zp yp a rovnica priamky (neutrálnej osi) nadobudne tvar y z   1. a y az Neutrálna os delí prierez na oblasť s napätím ťahovým a na oblasť s napätím tlakovým. 18  Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav mechaniky, energetického a konštrukčného inžinierstva, Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva Zložené namáhanie Excentrický ťah (tlak) – JADRO PRIEREZU Z rovnice neutrálnej osi v úsekovom tvare je zrejmé, že čím sú súradnice yP , zP pôsobiska sily menšie, tým je neutrálna os viac vzdialená od ťažiska priečneho prierezu. V hraničnom prípade pre y p  z p  0 , keď sila pôsobí v ťažisku, je neutrálna os v nekonečne. Praktický význam má úloha určenia oblasti pôsobenia vonkajšieho zaťaženia tak, aby sa neutrálna os dotýkala priečneho prierezu – v takom prípade neutrálna os prierez nepretína, má napätie v celom priereze rovnaké znamienko. Geometrické miesta bodov – pôsobísk síl, pre ktoré má napätie v celom priereze rovnaké znamienko, nazývame jadrom prierezu. 19  Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav mechaniky, energetického a konštrukčného inžinierstva, Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva Zložené namáhanie Excentrický ťah (tlak) – JADRO PRIEREZU Geometrické miesta bodov – pôsobísk síl, pre ktoré má napätie v celom priereze rovnaké znamienko, nazývame jadrom prierezu. Pôsobenie vonkajšieho zaťaženia tak, aby sa neutrálna os dotýkala priečneho prierezu – v takom prípade neutrálna os prierez nepretína a napätie má v celom priereze rovnaké znamienko. 20  Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav mechaniky, energetického a konštrukčného inžinierstva, Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva Zložené namáhanie Súčasné pôsobenie ohybu a krútenia Súčasné pôsobenie ohybu a krútenia je v praxi častým prípadom namáhania. Takto sú namáhané napr. kľukové hriadele, hriadele rušňov, automobilov, transmisné hriadele, vretená obrábacích Mx strojov a pod. Ak na kľukový hriadeľ s kruhovým prierezom pôsobí vertikálna sila F, horizontálna sila H a moment Mx , vznikajú v ložisku B reakcie By a Bz. 21  Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav mechaniky, energetického a konštrukčného inžinierstva, Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva Zložené namáhanie Súčasné pôsobenie ohybu a krútenia Všetky centrálne osi plochy prierezu hriadeľa sú hlavnými centrálnymi osami. V takom prípade ohybové momenty v dvoch kolmých rovinách zx a yx možno vektorovo sčítať a nájsť výsledný ohybový moment Mvýsl  M y2  M z2 , ktorý leží tiež v hlavnej osi prierezu. Na základe výsledného ohybového momentu Mvýsl a krútiaceho momentu Mk možno vo vyšetrovanom priereze určiť maximálne napätia, ktorých hodnoty sú Mvýsl x  M k x   max x   ,  max x  . Wo Wp Šmykové napätie od ohybu pre kruhové profily neberieme do úvahy. 22  Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav mechaniky, energetického a konštrukčného inžinierstva, Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva Zložené namáhanie Súčasné pôsobenie ohybu a krútenia V prípade, že vnútorné silové veličiny (ohybový a krútiaci moment) majú maximá v tom istom priereze, možno so zreteľom na rozloženie normálového aj šmykového napätia definovať v najviac namáhanom priereze bod hriadeľa, v ktorom pôsobia zložky napätosti  max  max Hlavné napätia určíme zo vzťahu  max  2   1,3    max    max 2 , 2  2  2  0. 23  Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav mechaniky, energetického a konštrukčného inžinierstva, Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva Zložené namáhanie Súčasné pôsobenie ohybu a krútenia Keďže napätosť je rovinná, pre posúdenie pevnosti pri súčasnom pôsobení ohybu a krútenia je potrebné použiť niektorú z teórií pevnosti. Ak uvážime, že pre kruhový a medzikruhový prierez platí pre moduly prierezu v krútení a v ohybe vzťah WP  2Wo , možno podmienku pevnosti s prihliadnutím na teórie pevnosti vyjadriť v tvare podľa Guestovej teórie pevnosti 2  M k max  2  Mmax  2 Mmax  M k2max  red G   max 2  4   max 2     4    D ,  o  W  P  W W o podľa HMH teórie pevnosti 2  M k max  2  Mmax  2 Mmax  0,75  M k2max  red HMH   max 2  3   max 2    3    D.  o  W  P  W W o 24  Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav mechaniky, energetického a konštrukčného inžinierstva, Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva Zložené namáhanie Súčasné pôsobenie ohybu a krútenia Zavedením redukovaných momentov G Mred  Mvýsl 2  Mk2 , HMH Mred  Mvýsl 2  0,75 Mk2 , majú pevnostné podmienky tvar G HMH M red Mred   D.,  D. Wo Wo Odvodené vzťahy platia len pre kruhový a medzikruhový prierez. Ak maximálne hodnoty ohybového a krútiaceho momentu neprislúchajú rovnakému prierezu, treba vykonať kontrolu pre prierezy, pre ktoré predpokladáme, že môžu byť z hľadiska pevnosti kritické. 25  Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav mechaniky, energetického a konštrukčného inžinierstva, Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva Zložené namáhanie Súčasné pôsobenie ohybu a krútenia Príklad : Hriadeľ uložený v dvoch ložiskách B a C je zaťažený momentom a tiažou remenice Q=300N. Sily v remeňoch sú T1=1,5kN a T2=1kN. Z podmienky pevnosti treba určiť potrebný priemer hriadeľa, ak : - dovolené napätie materiálu  D  160 MPa - rozmery a=200mm, r=200mm, R=400mm   600 mm Trenie v ložiskách možno zanedbať. 26  Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav mechaniky, energetického a konštrukčného inžinierstva, Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva Zložené namáhanie Súčasné pôsobenie ohybu a krútenia Riešenie : Krútiaci moment v hriadeli medzi prierezmi A a D určíme metódou rezu. Z podmienok rovnováhy pre mysleným rezom oddelené časti vyplýva M k  T1  T2   r  1,5  1  0,2  0,1kNm , Mk  F  R z čoho Mk 0,1 F   0,25 kN. R 0,4 27  Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav mechaniky, energetického a konštrukčného inžinierstva, Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva Zložené namáhanie Súčasné pôsobenie ohybu a krútenia Vo vertikálnej rovine je hriadeľ zaťažený tiažou remenice Q a reakciami RBz a RCz. Hodnoty reakcií určené zo statických podmienok rovnováhy sú RBz  400 N , RCz  100 N. 28  Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav mechaniky, energetického a konštrukčného inžinierstva, Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva Zložené namáhanie Súčasné pôsobenie ohybu a krútenia Funkcie ohybového momentu My vo vertikálnej rovine (zx) sú M y x1   Q  x1 , M y x1  0  0 kNm , M y x1  a   Q  a  0,06 kNm , M y x2   Q  x2  RBz  x2  a  , M y x2  a   Q  a  0,06 kNm , M y x2  a     0 kNm , M y x 3   0. 29  Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav mechaniky, energetického a konštrukčného inžinierstva, Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva Zložené namáhanie Súčasné pôsobenie ohybu a krútenia V horizontálnej rovine je hriadeľ zaťažený silami T1, T2, F a reakciami RBy a RCy. Hodnoty reakcií určené zo statických podmienok rovnováhy sú RBy  3,5 kN , RCy  1,25 kN. 30  Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav mechaniky, energetického a konštrukčného inžinierstva, Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva Zložené namáhanie Súčasné pôsobenie ohybu a krútenia Funkcie ohybového momentu Mz v horizontálnej rovine (yx) sú Mz x1   T1  T2   x1 , Mz x1  0  0 kNm , Mz x1  a   0,5 kNm , M z x2   T1  T2   x2  RBy  x2  a  , Mz x2  a   0,5 kNm , Mz x2  a     0,1kNm , M z x3   F  a  x3  , M z x3  0  0,05 kNm , M z x3  a   0,1kNm. 31  Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav mechaniky, energetického a konštrukčného inžinierstva, Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva Zložené namáhanie Súčasné pôsobenie ohybu a krútenia Výsledný ohybový moment možno pre jednotlivé definičné obory nezávisle premennej vyjadriť vzťahmi M x1   M y2 x1   M z2 x1  , M x 2   M y2 x 2   M z2 x 2  , M x 3   M y2 x 3   M z2 x 3  ,. Z priebehov momentov je zrejmé, že najnepriaznivejšie je namáhaný prierez B. 32  Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav mechaniky, energetického a konštrukčného inžinierstva, Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva Zložené namáhanie Súčasné pôsobenie ohybu a krútenia Z priebehov momentov je zrejmé, že najnepriaznivejšie je namáhaný prierez B. Ak použijeme teóriu pevnosti HMH, má podmienka pevnosti pre prierez B tvar M2x1 a   0,75 Mk2 32  M2x1 a   0,75 Mk2  HMH    D ,  d3 red Wo z čoho 32  M 2x1a   0,75 M k2 d 3 , d  32 mm.   D 33