Riešenie Uloh 8. týždeň - Past Paper

1 Rovinný ohyb priamych nosníkov – napätie a deformácia Pružnosť a pevnosť (cvičenie) – 8. týždeň semestra Pripravili: doc. Ing. Miroslav Pástor, PhD. Ing. Sára Janigová Ing. Martin Hagara, PhD.  2 Obs...

1 Rovinný ohyb priamych nosníkov – napätie a deformácia Pružnosť a pevnosť (cvičenie) – 8. týždeň semestra Pripravili: doc. Ing. Miroslav Pástor, PhD. Ing. Sára Janigová Ing. Martin Hagara, PhD.  2 Obsah  3 Obsah 1) Dimenzovanie nosníkov  4 Obsah 1) Dimenzovanie nosníkov 2) Deformácia nosníkov – metóda integrovania približnej diferenciálnej rovnice priehybovej čiary  5 Obsah 1) Dimenzovanie nosníkov 2) Deformácia nosníkov – metóda integrovania približnej diferenciálnej rovnice priehybovej čiary 3) Deformácia nosníkov – využitie energetického princípu (Castiglianova veta) Príklad 8.1 1. Dimenzovanie nosníkov 7 Z pevnostnej podmienky pre krajné vlákna najviac namáhaného prierezu určte najväčšiu prípustnú hodnotu sily F, ak je dovolené napätie materiálu v ťahu σDt = 30 MPa, dovolené napätie v tlaku σDd = 100 MPa a dĺžka ℓ = 4 m. Rozmery priečneho prierezu na obrázku sú v milimetroch. 1. Dimenzovanie nosníkov 8 Z pevnostnej podmienky pre krajné vlákna najviac namáhaného prierezu určte najväčšiu prípustnú hodnotu sily F, ak je dovolené napätie materiálu v ťahu σDt = 30 MPa, dovolené napätie v tlaku σDd = 100 MPa a dĺžka ℓ = 4 m. Rozmery priečneho prierezu na obrázku sú v milimetroch. 1. krok: Analýza statickej určitosti úlohy 1. Dimenzovanie nosníkov 9 Z pevnostnej podmienky pre krajné vlákna najviac namáhaného prierezu určte najväčšiu prípustnú hodnotu sily F, ak je dovolené napätie materiálu v ťahu σDt = 30 MPa, dovolené napätie v tlaku σDd = 100 MPa a dĺžka ℓ = 4 m. Rozmery priečneho prierezu na obrázku sú v milimetroch. 1. krok: Analýza statickej určitosti úlohy ns  r  np  3   2  1  0 1. Dimenzovanie nosníkov 10 Z pevnostnej podmienky pre krajné vlákna najviac namáhaného prierezu určte najväčšiu prípustnú hodnotu sily F, ak je dovolené napätie materiálu v ťahu σDt = 30 MPa, dovolené napätie v tlaku σDd = 100 MPa a dĺžka ℓ = 4 m. Rozmery priečneho prierezu na obrázku sú v milimetroch. 1. krok: Analýza statickej určitosti úlohy ns  r  np  3   2  1  0 Staticky určitá úloha 1. Dimenzovanie nosníkov 11 2. krok: Vzhľadom k tomu, že nosník je podopretý na podperách umiestnených na koncoch nosníka, za účelom „vytvorenia voľného konca“ je potrebné určiť reakcie vo väzbách 1. Dimenzovanie nosníkov 12 2. krok: Vzhľadom k tomu, že nosník je podopretý na podperách umiestnených na koncoch nosníka, za účelom „vytvorenia voľného konca“ je potrebné určiť reakcie vo väzbách 1. Dimenzovanie nosníkov 13 2. krok: Vzhľadom k tomu, že nosník je podopretý na podperách umiestnených na koncoch nosníka, za účelom „vytvorenia voľného konca“ je potrebné určiť reakcie vo väzbách F ix  0 : RAx  0 (1) 1. Dimenzovanie nosníkov 14 2. krok: Vzhľadom k tomu, že nosník je podopretý na podperách umiestnených na koncoch nosníka, za účelom „vytvorenia voľného konca“ je potrebné určiť reakcie vo väzbách F ix  0 : RAx  0 (1) F iz  0 : RAz  RB  F  F  0 (2) 1. Dimenzovanie nosníkov 15 2. krok: Vzhľadom k tomu, že nosník je podopretý na podperách umiestnených na koncoch nosníka, za účelom „vytvorenia voľného konca“ je potrebné určiť reakcie vo väzbách F ix  0 : RAx  0 (1) F iz  0 : RAz  RB  F  F  0 (2) 1 3 M iA  0 : RB   F  4 F  4 0 (3) 1. Dimenzovanie nosníkov 16 2. krok: Vzhľadom k tomu, že nosník je podopretý na podperách umiestnených na koncoch nosníka, za účelom „vytvorenia voľného konca“ je potrebné určiť reakcie vo väzbách F ix  0 : RAx  0 (1) F iz  0 : RAz  RB  F  F  0 (2) 1 3 M iA  0 : RB   F  4 F  4 0 (3) Z rovnice (3) 1. Dimenzovanie nosníkov 17 2. krok: Vzhľadom k tomu, že nosník je podopretý na podperách umiestnených na koncoch nosníka, za účelom „vytvorenia voľného konca“ je potrebné určiť reakcie vo väzbách F ix  0 : RAx  0 (1) F iz  0 : RAz  RB  F  F  0 (2) 1 3 M iA  0 : RB   F  4 F  4 0 (3) Z rovnice (3) 1 3 F F  4 4 F RB   F 1. Dimenzovanie nosníkov 18 2. krok: Vzhľadom k tomu, že nosník je podopretý na podperách umiestnených na koncoch nosníka, za účelom „vytvorenia voľného konca“ je potrebné určiť reakcie vo väzbách F ix  0 : RAx  0 (1) F iz  0 : RAz  RB  F  F  0 (2) 1 3 M iA  0 : RB   F  4 F  4 0 (3) Z rovnice (3) Z rovnice (2) 1 3 F F  4 4 F RB   F 1. Dimenzovanie nosníkov 19 2. krok: Vzhľadom k tomu, že nosník je podopretý na podperách umiestnených na koncoch nosníka, za účelom „vytvorenia voľného konca“ je potrebné určiť reakcie vo väzbách F ix  0 : RAx  0 (1) F iz  0 : RAz  RB  F  F  0 (2) 1 3 M iA  0 : RB   F  4 F  4 0 (3) Z rovnice (3) Z rovnice (2) 1 3 F F  4 4 F RB   F RAz  2F  RB  2F  F  F 1. Dimenzovanie nosníkov 20 3. krok: Ak je úloha staticky určitá a je možné nájsť voľný koniec nosníka, k určeniu charakteristických vnútorných silových veličín použijeme metódu mysleného rezu 1. Dimenzovanie nosníkov 21 3. krok: Ak je úloha staticky určitá a je možné nájsť voľný koniec nosníka, k určeniu charakteristických vnútorných silových veličín použijeme metódu mysleného rezu Pre analýzu celej dĺžky nosníka je potrebné urobiť 3 myslené rezy 1. Dimenzovanie nosníkov 22 3. krok: Ak je úloha staticky určitá a je možné nájsť voľný koniec nosníka, k určeniu charakteristických vnútorných silových veličín použijeme metódu mysleného rezu Pre analýzu celej dĺžky nosníka je potrebné urobiť 3 myslené rezy 1. Dimenzovanie nosníkov 23 3. krok: Ak je úloha staticky určitá a je možné nájsť voľný koniec nosníka, k určeniu charakteristických vnútorných silových veličín použijeme metódu mysleného rezu Pre analýzu celej dĺžky nosníka je potrebné urobiť 3 myslené rezy T  x1   RAz  0 1. Dimenzovanie nosníkov 24 3. krok: Ak je úloha staticky určitá a je možné nájsť voľný koniec nosníka, k určeniu charakteristických vnútorných silových veličín použijeme metódu mysleného rezu Pre analýzu celej dĺžky nosníka je potrebné urobiť 3 myslené rezy T  x1   RAz  0  T  x1   RAz  F 1. Dimenzovanie nosníkov 25 3. krok: Ak je úloha staticky určitá a je možné nájsť voľný koniec nosníka, k určeniu charakteristických vnútorných silových veličín použijeme metódu mysleného rezu Pre analýzu celej dĺžky nosníka je potrebné urobiť 3 myslené rezy T  x1   RAz  0  T  x1   RAz  F M y  x1   RAz  x1  0 1. Dimenzovanie nosníkov 26 3. krok: Ak je úloha staticky určitá a je možné nájsť voľný koniec nosníka, k určeniu charakteristických vnútorných silových veličín použijeme metódu mysleného rezu Pre analýzu celej dĺžky nosníka je potrebné urobiť 3 myslené rezy T  x1   RAz  0  T  x1   RAz  F M y  x1   RAz  x1  0  M y  x1   RAz  x1  F  x1 1. Dimenzovanie nosníkov 27 3. krok: Ak je úloha staticky určitá a je možné nájsť voľný koniec nosníka, k určeniu charakteristických vnútorných silových veličín použijeme metódu mysleného rezu Pre analýzu celej dĺžky nosníka je potrebné urobiť 3 myslené rezy T  x1   RAz  0  T  x1   RAz  F Lineárna funkcia M y  x1   RAz  x1  0  M y  x1   RAz  x1  F  x1 1. Dimenzovanie nosníkov 28 3. krok: Ak je úloha staticky určitá a je možné nájsť voľný koniec nosníka, k určeniu charakteristických vnútorných silových veličín použijeme metódu mysleného rezu Pre analýzu celej dĺžky nosníka je potrebné urobiť 3 myslené rezy T  x1   RAz  0  T  x1   RAz  F Lineárna funkcia M y  x1   RAz  x1  0  M y  x1   RAz  x1  F  x1 1. Dimenzovanie nosníkov 29 3. krok: Ak je úloha staticky určitá a je možné nájsť voľný koniec nosníka, k určeniu charakteristických vnútorných silových veličín použijeme metódu mysleného rezu Pre analýzu celej dĺžky nosníka je potrebné urobiť 3 myslené rezy T  x1   RAz  0  T  x1   RAz  F Lineárna funkcia M y  x1   RAz  x1  0  M y  x1   RAz  x1  F  x1 T  x2   RAz  F  0 1. Dimenzovanie nosníkov 30 3. krok: Ak je úloha staticky určitá a je možné nájsť voľný koniec nosníka, k určeniu charakteristických vnútorných silových veličín použijeme metódu mysleného rezu Pre analýzu celej dĺžky nosníka je potrebné urobiť 3 myslené rezy T  x1   RAz  0  T  x1   RAz  F Lineárna funkcia M y  x1   RAz  x1  0  M y  x1   RAz  x1  F  x1 T  x2   RAz  F  0  T  x2   RAz  F  F  F  0 1. Dimenzovanie nosníkov 31 3. krok: Ak je úloha staticky určitá a je možné nájsť voľný koniec nosníka, k určeniu charakteristických vnútorných silových veličín použijeme metódu mysleného rezu Pre analýzu celej dĺžky nosníka je potrebné urobiť 3 myslené rezy T  x1   RAz  0  T  x1   RAz  F Lineárna funkcia M y  x1   RAz  x1  0  M y  x1   RAz  x1  F  x1 T  x2   RAz  F  0  T  x2   RAz  F  F  F  0       M y  x2   F  x2  RAz    x2   0  M y  x2   F  x2  RAz    x2   F  x2  F    x2   F  4  4  4  4 1. Dimenzovanie nosníkov 32 3. krok: Ak je úloha staticky určitá a je možné nájsť voľný koniec nosníka, k určeniu charakteristických vnútorných silových veličín použijeme metódu mysleného rezu Pre analýzu celej dĺžky nosníka je potrebné urobiť 3 myslené rezy T  x1   RAz  0  T  x1   RAz  F Lineárna funkcia M y  x1   RAz  x1  0  M y  x1   RAz  x1  F  x1 T  x2   RAz  F  0  T  x2   RAz  F  F  F  0       M y  x2   F  x2  RAz    x2   0  M y  x2   F  x2  RAz    x2   F  x2  F    x2   F  4  4  4  4 1. Dimenzovanie nosníkov 33 3. krok: Ak je úloha staticky určitá a je možné nájsť voľný koniec nosníka, k určeniu charakteristických vnútorných silových veličín použijeme metódu mysleného rezu Pre analýzu celej dĺžky nosníka je potrebné urobiť 3 myslené rezy T  x1   RAz  0  T  x1   RAz  F Lineárna funkcia M y  x1   RAz  x1  0  M y  x1   RAz  x1  F  x1 T  x2   RAz  F  0  T  x2   RAz  F  F  F  0       M y  x2   F  x2  RAz    x2   0  M y  x2   F  x2  RAz    x2   F  x2  F    x2   F  4  4  4  4 T  x3   RB  0 1. Dimenzovanie nosníkov 34 3. krok: Ak je úloha staticky určitá a je možné nájsť voľný koniec nosníka, k určeniu charakteristických vnútorných silových veličín použijeme metódu mysleného rezu Pre analýzu celej dĺžky nosníka je potrebné urobiť 3 myslené rezy T  x1   RAz  0  T  x1   RAz  F Lineárna funkcia M y  x1   RAz  x1  0  M y  x1   RAz  x1  F  x1 T  x2   RAz  F  0  T  x2   RAz  F  F  F  0       M y  x2   F  x2  RAz    x2   0  M y  x2   F  x2  RAz    x2   F  x2  F    x2   F  4  4  4  4 T  x3   RB  0  T  x3   RB  F 1. Dimenzovanie nosníkov 35 3. krok: Ak je úloha staticky určitá a je možné nájsť voľný koniec nosníka, k určeniu charakteristických vnútorných silových veličín použijeme metódu mysleného rezu Pre analýzu celej dĺžky nosníka je potrebné urobiť 3 myslené rezy T  x1   RAz  0  T  x1   RAz  F Lineárna funkcia M y  x1   RAz  x1  0  M y  x1   RAz  x1  F  x1 T  x2   RAz  F  0  T  x2   RAz  F  F  F  0       M y  x2   F  x2  RAz    x2   0  M y  x2   F  x2  RAz    x2   F  x2  F    x2   F  4  4  4  4 T  x3   RB  0  T  x3   RB  F M y  x3   RB  x3  0 1. Dimenzovanie nosníkov 36 3. krok: Ak je úloha staticky určitá a je možné nájsť voľný koniec nosníka, k určeniu charakteristických vnútorných silových veličín použijeme metódu mysleného rezu Pre analýzu celej dĺžky nosníka je potrebné urobiť 3 myslené rezy T  x1   RAz  0  T  x1   RAz  F Lineárna funkcia M y  x1   RAz  x1  0  M y  x1   RAz  x1  F  x1 T  x2   RAz  F  0  T  x2   RAz  F  F  F  0       M y  x2   F  x2  RAz    x2   0  M y  x2   F  x2  RAz    x2   F  x2  F    x2   F  4  4  4  4 T  x3   RB  0  T  x3   RB  F M y  x3   RB  x3  0  M y  x3   RB  x3  F  x3 1. Dimenzovanie nosníkov 37 3. krok: Ak je úloha staticky určitá a je možné nájsť voľný koniec nosníka, k určeniu charakteristických vnútorných silových veličín použijeme metódu mysleného rezu Pre analýzu celej dĺžky nosníka je potrebné urobiť 3 myslené rezy T  x1   RAz  0  T  x1   RAz  F Lineárna funkcia M y  x1   RAz  x1  0  M y  x1   RAz  x1  F  x1 T  x2   RAz  F  0  T  x2   RAz  F  F  F  0       M y  x2   F  x2  RAz    x2   0  M y  x2   F  x2  RAz    x2   F  x2  F    x2   F  4  4  4  4 T  x3   RB  0  T  x3   RB  F M y  x3   RB  x3  0  M y  x3   RB  x3  F  x3 1. Dimenzovanie nosníkov 38 4. krok: Vykreslenie priebehov T(xi) a My(xi) 1. Dimenzovanie nosníkov 39 4. krok: Vykreslenie priebehov T(xi) a My(xi) Funkcie posúvajúcich síl boli v predošlom kroku riešenia vyjadrené nasledovne 1. Dimenzovanie nosníkov 40 4. krok: Vykreslenie priebehov T(xi) a My(xi) Funkcie posúvajúcich síl boli v predošlom kroku riešenia vyjadrené nasledovne T  x1   RAz  F T  x2   RAz  F  F  F  0 T  x3   RB  F 1. Dimenzovanie nosníkov 41 4. krok: Vykreslenie priebehov T(xi) a My(xi) Funkcie posúvajúcich síl boli v predošlom kroku riešenia vyjadrené nasledovne T  x1   RAz  F T  x2   RAz  F  F  F  0 T  x3   RB  F 1. Dimenzovanie nosníkov 42 4. krok: Vykreslenie priebehov T(xi) a My(xi) Funkcie posúvajúcich síl boli v predošlom kroku riešenia vyjadrené nasledovne T  x1   RAz  F T  x2   RAz  F  F  F  0 T  x3   RB  F Funkcie ohybových momentov boli v predošlom kroku riešenia vyjadrené nasledovne 1. Dimenzovanie nosníkov 43 4. krok: Vykreslenie priebehov T(xi) a My(xi) Funkcie posúvajúcich síl boli v predošlom kroku riešenia vyjadrené nasledovne T  x1   RAz  F T  x2   RAz  F  F  F  0 T  x3   RB  F Funkcie ohybových momentov boli v predošlom kroku riešenia vyjadrené nasledovne M y  x1   RAz  x1  F  x1 M y  x2   F  4 M y  x3   RB  x3  F  x3 1. Dimenzovanie nosníkov 44 4. krok: Vykreslenie priebehov T(xi) a My(xi) Funkcie posúvajúcich síl boli v predošlom kroku riešenia vyjadrené nasledovne T  x1   RAz  F T  x2   RAz  F  F  F  0 T  x3   RB  F Funkcie ohybových momentov boli v predošlom kroku riešenia vyjadrené nasledovne   M y  x1   RAz  x1  F  x1 M y  x1  0   0, M y  x1    F   4 4 M y  x2   F  4 M y  x3   RB  x3  F  x3 1. Dimenzovanie nosníkov 45 4. krok: Vykreslenie priebehov T(xi) a My(xi) Funkcie posúvajúcich síl boli v predošlom kroku riešenia vyjadrené nasledovne T  x1   RAz  F T  x2   RAz  F  F  F  0 T  x3   RB  F Funkcie ohybových momentov boli v predošlom kroku riešenia vyjadrené nasledovne   M y  x1   RAz  x1  F  x1 M y  x1  0   0, M y  x1    F   4 4 M y  x2   F  4 M y  x3   RB  x3  F  x3   My  x3  0   0, My  x3    F   4 4 1. Dimenzovanie nosníkov 46 4. krok: Vykreslenie priebehov T(xi) a My(xi) Funkcie posúvajúcich síl boli v predošlom kroku riešenia vyjadrené nasledovne T  x1   RAz  F T  x2   RAz  F  F  F  0 T  x3   RB  F Funkcie ohybových momentov boli v predošlom kroku riešenia vyjadrené nasledovne   M y  x1   RAz  x1  F  x1 M y  x1  0   0, M y  x1    F   4 4 M y  x2   F  4 M y  x3   RB  x3  F  x3   My  x3  0   0, My  x3    F   4 4 1. Dimenzovanie nosníkov 47 4. krok: Vykreslenie priebehov T(xi) a My(xi) Funkcie posúvajúcich síl boli v predošlom kroku riešenia vyjadrené nasledovne Najviac namáhané prierezy nosníka T  x1   RAz  F T  x2   RAz  F  F  F  0 T  x3   RB  F Funkcie ohybových momentov boli v predošlom kroku riešenia vyjadrené nasledovne   M y  x1   RAz  x1  F  x1 M y  x1  0   0, M y  x1    F   4 4 M y  x2   F  4 M y  x3   RB  x3  F  x3   My  x3  0   0, My  x3    F   4 4 1. Dimenzovanie nosníkov 48 5. krok: Pevnostná podmienka (maximálne normálové napätie v najviac namáhanom priereze nesmie prekročiť hodnotu dovoleného normálového napätia) 1. Dimenzovanie nosníkov 49 5. krok: Pevnostná podmienka (maximálne normálové napätie v najviac namáhanom priereze nesmie prekročiť hodnotu dovoleného normálového napätia)  max t   Dt resp.  max d   Dd 1. Dimenzovanie nosníkov 50 5. krok: Pevnostná podmienka (maximálne normálové napätie v najviac namáhanom priereze nesmie prekročiť hodnotu dovoleného normálového napätia)  max t   Dt resp.  max d   Dd Maximálne normálové napätie pri ohybe je možné vyjadriť nasledovným spôsobom 1. Dimenzovanie nosníkov 51 5. krok: Pevnostná podmienka (maximálne normálové napätie v najviac namáhanom priereze nesmie prekročiť hodnotu dovoleného normálového napätia)  max t   Dt resp.  max d   Dd Maximálne normálové napätie pri ohybe je možné vyjadriť nasledovným spôsobom M y max Maximálny ohybový moment  max  Wy Prierezový modul v ohybe 1. Dimenzovanie nosníkov 52 5. krok: Pevnostná podmienka (maximálne normálové napätie v najviac namáhanom priereze nesmie prekročiť hodnotu dovoleného normálového napätia)  max t   Dt resp.  max d   Dd Maximálne normálové napätie pri ohybe je možné vyjadriť nasledovným spôsobom M y max Maximálny ohybový moment  max  Wy Prierezový modul v ohybe pričom pre prierezový modul v ohybe platí 1. Dimenzovanie nosníkov 53 5. krok: Pevnostná podmienka (maximálne normálové napätie v najviac namáhanom priereze nesmie prekročiť hodnotu dovoleného normálového napätia)  max t   Dt resp.  max d   Dd Maximálne normálové napätie pri ohybe je možné vyjadriť nasledovným spôsobom M y max Maximálny ohybový moment  max  Wy Prierezový modul v ohybe pričom pre prierezový modul v ohybe platí Jy Kvadratický moment prierezu k osi y Wy  zmax Maximálna vzdialenosť krajných vláken prierezu od neutrálnej osi (miesto nulového normálového napätia, zároveň os prechádzajúca ťažiskom) 1. Dimenzovanie nosníkov 54 5. krok: Pevnostná podmienka (maximálne normálové napätie v najviac namáhanom priereze nesmie prekročiť hodnotu dovoleného normálového napätia)  max t   Dt resp.  max d   Dd Maximálne normálové napätie pri ohybe je možné vyjadriť nasledovným spôsobom M y max Maximálny ohybový moment  max  Wy Prierezový modul v ohybe pričom pre prierezový modul v ohybe platí Jy Kvadratický moment prierezu k osi y Wy  zmax Maximálna vzdialenosť krajných vláken prierezu od neutrálnej osi (miesto nulového normálového napätia, zároveň os prechádzajúca ťažiskom) Hoci poznáme maximálny ohybový moment vznikajúci v nosníku, pre určenie prierezového modulu v ohybe musíme určiť kvadratický moment prierezu k osi y a polohu ťažiska. 1. Dimenzovanie nosníkov 55 5. krok: Pevnostná podmienka (maximálne normálové napätie nesmie prekročiť hodnotu dovoleného normálového napätia) Súradnice ťažiska určíme v pomocnom súradnicovom systéme y0z0 (pozri prezentáciu z 5. týždňa) 1. Dimenzovanie nosníkov 56 5. krok: Pevnostná podmienka (maximálne normálové napätie nesmie prekročiť hodnotu dovoleného normálového napätia) Súradnice ťažiska určíme v pomocnom súradnicovom systéme y0z0 (pozri prezentáciu z 5. týždňa) T1  0; 20  T2   85; 140  T3  85 ; 140  1. Dimenzovanie nosníkov 57 5. krok: Pevnostná podmienka (maximálne normálové napätie nesmie prekročiť hodnotu dovoleného normálového napätia) Súradnice ťažiska určíme v pomocnom súradnicovom systéme y0z0 (pozri prezentáciu z 5. týždňa) T1  0; 20  A1  300  40  12000mm2 T2   85; 140  A2  20  200  4000mm2 T3  85 ; 140  A3  20  200  4000mm2 1. Dimenzovanie nosníkov 58 5. krok: Pevnostná podmienka (maximálne normálové napätie nesmie prekročiť hodnotu dovoleného normálového napätia) Súradnice ťažiska určíme v pomocnom súradnicovom systéme y0z0 (pozri prezentáciu z 5. týždňa) T1  0; 20  A1  300  40  12000mm2 T2   85; 140  A2  20  200  4000mm2 T3  85 ; 140  A3  20  200  4000mm2 3 Uz0  y.A i i y1  A1  y 2  A2  y 3  A3 0  12000   85   4000  85  4000 0 yT   i 1     0mm A 3 A1  A2  A3 12000  4000  4000 20000 A i 1 i 1. Dimenzovanie nosníkov 59 5. krok: Pevnostná podmienka (maximálne normálové napätie nesmie prekročiť hodnotu dovoleného normálového napätia) Súradnice ťažiska určíme v pomocnom súradnicovom systéme y0z0 (pozri prezentáciu z 5. týždňa) T1  0; 20  A1  300  40  12000mm2 T2   85; 140  A2  20  200  4000mm2 T3  85 ; 140  A3  20  200  4000mm2 3 Uz0  y.A i i y1  A1  y 2  A2  y 3  A3 0  12000   85   4000  85  4000 0 yT   i 1     0mm A 3 A1  A2  A3 12000  4000  4000 20000 A i 1 i 3 Uy 0  z.A i i z1  A1  z2  A2  z3  A3 20  12000  140  4000  140  4000 1360000 zT   i 1     68mm A 3 A1  A2  A3 12000  4000  4000 20000 A i 1 i 1. Dimenzovanie nosníkov 60 5. krok: Pevnostná podmienka (maximálne normálové napätie nesmie prekročiť hodnotu dovoleného normálového napätia) Súradnice ťažiska určíme v pomocnom súradnicovom systéme y0z0 (pozri prezentáciu z 5. týždňa) T1  0; 20  A1  300  40  12000mm2 T2   85; 140  A2  20  200  4000mm2 T3  85 ; 140  A3  20  200  4000mm2 3 Uz0  y.A i i y1  A1  y 2  A2  y 3  A3 0  12000   85   4000  85  4000 0 yT   i 1     0mm A 3 A1  A2  A3 12000  4000  4000 20000 A i 1 i 3 Uy 0  z.A i i z1  A1  z2  A2  z3  A3 20  12000  140  4000  140  4000 1360000 zT   i 1     68mm A 3 A1  A2  A3 12000  4000  4000 20000 A i 1 i 1. Dimenzovanie nosníkov 61 5. krok: Pevnostná podmienka (maximálne normálové napätie nesmie prekročiť hodnotu dovoleného normálového napätia) Os y, ktorá prechádza ťažiskom, je neutrálnou osou (miestom, kde normálové napätie nadobúda hodnotu 0 MPa) nosníka. Kvadratický moment prierezu k tejto osi určíme zo Steinerových viet 1. Dimenzovanie nosníkov 62 5. krok: Pevnostná podmienka (maximálne normálové napätie nesmie prekročiť hodnotu dovoleného normálového napätia) Os y, ktorá prechádza ťažiskom, je neutrálnou osou (miestom, kde normálové napätie nadobúda hodnotu 0 MPa) nosníka. Kvadratický moment prierezu k tejto osi určíme zo Steinerových viet 3 3 J y   J y i   ai2  Ai  J y 1  J y 2  J y 3  a12  A1  a22  A2  a32  A3 kde ai  zi  zT i 1 i 1 1. Dimenzovanie nosníkov 63 5. krok: Pevnostná podmienka (maximálne normálové napätie nesmie prekročiť hodnotu dovoleného normálového napätia) Os y, ktorá prechádza ťažiskom, je neutrálnou osou (miestom, kde normálové napätie nadobúda hodnotu 0 MPa) nosníka. Kvadratický moment prierezu k tejto osi určíme zo Steinerových viet 3 3 J y   J y i   ai2  Ai  J y 1  J y 2  J y 3  a12  A1  a22  A2  a32  A3 kde ai  zi  zT i 1 i 1 1 1  20  2003   20  68   12000  2  140  68   4000 2 2 Jy   300  403  2  12 12 1. Dimenzovanie nosníkov 64 5. krok: Pevnostná podmienka (maximálne normálové napätie nesmie prekročiť hodnotu dovoleného normálového napätia) Os y, ktorá prechádza ťažiskom, je neutrálnou osou (miestom, kde normálové napätie nadobúda hodnotu 0 MPa) nosníka. Kvadratický moment prierezu k tejto osi určíme zo Steinerových viet 3 3 J y   J y i   ai2  Ai  J y 1  J y 2  J y 3  a12  A1  a22  A2  a32  A3 kde ai  zi  zT i 1 i 1 1 1  20  2003   20  68   12000  2  140  68   4000 2 2 Jy   300  403  2  12 12 J y  97386666,66mm4 1. Dimenzovanie nosníkov 65 5. krok: Pevnostná podmienka (maximálne normálové napätie nesmie prekročiť hodnotu dovoleného normálového napätia) Os y, ktorá prechádza ťažiskom, je neutrálnou osou (miestom, kde normálové napätie nadobúda hodnotu 0 MPa) nosníka. Kvadratický moment prierezu k tejto osi určíme zo Steinerových viet 3 3 J y   J y i   ai2  Ai  J y 1  J y 2  J y 3  a12  A1  a22  A2  a32  A3 kde ai  zi  zT i 1 i 1 1 1  20  2003   20  68   12000  2  140  68   4000 2 2 Jy   300  403  2  12 12 J y  97386666,66mm4 Pretože prierez má len jednu os symetrie a hodnoty dovoleného napätia v ťahu a v tlaku sú rozdielne, je potrebné určiť modul prierezu v ohybe pre spodné (Wy1) aj horné (Wy2) vlákna 1. Dimenzovanie nosníkov 66 5. krok: Pevnostná podmienka (maximálne normálové napätie nesmie prekročiť hodnotu dovoleného normálového napätia) Os y, ktorá prechádza ťažiskom, je neutrálnou osou (miestom, kde normálové napätie nadobúda hodnotu 0 MPa) nosníka. Kvadratický moment prierezu k tejto osi určíme zo Steinerových viet 3 3 J y   J y i   ai2  Ai  J y 1  J y 2  J y 3  a12  A1  a22  A2  a32  A3 kde ai  zi  zT i 1 i 1 1 1  20  2003   20  68   12000  2  140  68   4000 2 2 Jy   300  403  2  12 12 J y  97386666,66mm4 Pretože prierez má len jednu os symetrie a hodnoty dovoleného napätia v ťahu a v tlaku sú rozdielne, je potrebné určiť modul prierezu v ohybe pre spodné (Wy1) aj horné (Wy2) vlákna Jy Jy Wy 1   z1 zT 1. Dimenzovanie nosníkov 67 5. krok: Pevnostná podmienka (maximálne normálové napätie nesmie prekročiť hodnotu dovoleného normálového napätia) Os y, ktorá prechádza ťažiskom, je neutrálnou osou (miestom, kde normálové napätie nadobúda hodnotu 0 MPa) nosníka. Kvadratický moment prierezu k tejto osi určíme zo Steinerových viet 3 3 J y   J y i   ai2  Ai  J y 1  J y 2  J y 3  a12  A1  a22  A2  a32  A3 kde ai  zi  zT i 1 i 1 1 1  20  2003   20  68   12000  2  140  68   4000 2 2 Jy   300  403  2  12 12 J y  97386666,66mm4 Pretože prierez má len jednu os symetrie a hodnoty dovoleného napätia v ťahu a v tlaku sú rozdielne, je potrebné určiť modul prierezu v ohybe pre spodné (Wy1) aj horné (Wy2) vlákna Jy Jy Wy 1   resp. z1 zT 1. Dimenzovanie nosníkov 68 5. krok: Pevnostná podmienka (maximálne normálové napätie nesmie prekročiť hodnotu dovoleného normálového napätia) Os y, ktorá prechádza ťažiskom, je neutrálnou osou (miestom, kde normálové napätie nadobúda hodnotu 0 MPa) nosníka. Kvadratický moment prierezu k tejto osi určíme zo Steinerových viet 3 3 J y   J y i   ai2  Ai  J y 1  J y 2  J y 3  a12  A1  a22  A2  a32  A3 kde ai  zi  zT i 1 i 1 1 1  20  2003   20  68   12000  2  140  68   4000 2 2 Jy   300  403  2  12 12 J y  97386666,66mm4 Pretože prierez má len jednu os symetrie a hodnoty dovoleného napätia v ťahu a v tlaku sú rozdielne, je potrebné určiť modul prierezu v ohybe pre spodné (Wy1) aj horné (Wy2) vlákna Jy Jy Jy Jy Wy 1   resp. Wy 2   z1 zT z2 h  zT 1. Dimenzovanie nosníkov 69 5. krok: Pevnostná podmienka (maximálne normálové napätie nesmie prekročiť hodnotu dovoleného normálového napätia) Podmienky pevnosti pre namáhanie nosníka v najviac namáhanom priereze majú tvar 1. Dimenzovanie nosníkov 70 5. krok: Pevnostná podmienka (maximálne normálové napätie nesmie prekročiť hodnotu dovoleného normálového napätia) Podmienky pevnosti pre namáhanie nosníka v najviac namáhanom priereze majú tvar   My  x1   F   max 1   4  4  zT   Dt Wy 1 Jy 1. Dimenzovanie nosníkov 71 5. krok: Pevnostná podmienka (maximálne normálové napätie nesmie prekročiť hodnotu dovoleného normálového napätia) Podmienky pevnosti pre namáhanie nosníka v najviac namáhanom priereze majú tvar   My  x1   F   max 1   4  4  zT   Dt Wy 1 Jy resp. 1. Dimenzovanie nosníkov 72 5. krok: Pevnostná podmienka (maximálne normálové napätie nesmie prekročiť hodnotu dovoleného normálového napätia) Podmienky pevnosti pre namáhanie nosníka v najviac namáhanom priereze majú tvar   My  x1   F   max 1   4  4  zT   Dt Wy 1 Jy resp.   My  x1   F   max 2   4  4   h  zT    Dd Wy 2 Jy 1. Dimenzovanie nosníkov 73 5. krok: Pevnostná podmienka (maximálne normálové napätie nesmie prekročiť hodnotu dovoleného normálového napätia) Podmienky pevnosti pre namáhanie nosníka v najviac namáhanom priereze majú tvar   My  x1   F   max 1   4  4  zT   Dt Wy 1 Jy resp.   My  x1   F   max 2   4  4   h  zT    Dd Wy 2 Jy Z prvej podmienky pevnosti 1. Dimenzovanie nosníkov 74 5. krok: Pevnostná podmienka (maximálne normálové napätie nesmie prekročiť hodnotu dovoleného normálového napätia) Podmienky pevnosti pre namáhanie nosníka v najviac namáhanom priereze majú tvar   My  x1   F   max 1   4  4  zT   Dt Wy 1 Jy resp.   My  x1   F   max 2   4  4   h  zT    Dd Wy 2 Jy Z prvej podmienky pevnosti 4   Dt  Jy 4  30  97866666,66 F   43176,47N  zT 4000  68 1. Dimenzovanie nosníkov 75 5. krok: Pevnostná podmienka (maximálne normálové napätie nesmie prekročiť hodnotu dovoleného normálového napätia) Podmienky pevnosti pre namáhanie nosníka v najviac namáhanom priereze majú tvar   My  x1   F   max 1   4  4  zT   Dt Wy 1 Jy resp.   My  x1   F   max 2   4  4   h  zT    Dd Wy 2 Jy Z prvej podmienky pevnosti Z druhej podmienky pevnosti 4   Dt  Jy 4  30  97866666,66 F   43176,47N  zT 4000  68 1. Dimenzovanie nosníkov 76 5. krok: Pevnostná podmienka (maximálne normálové napätie nesmie prekročiť hodnotu dovoleného normálového napätia) Podmienky pevnosti pre namáhanie nosníka v najviac namáhanom priereze majú tvar   My  x1   F   max 1   4  4  zT   Dt Wy 1 Jy resp.   My  x1   F   max 2   4  4   h  zT    Dd Wy 2 Jy Z prvej podmienky pevnosti Z druhej podmienky pevnosti 4   Dt  Jy 4  30  97866666,66 4   Dd  Jy 4  100  97866666,66 F   43176,47N F   56899,22N  zT 4000  68   h  zT  4000   240  68  1. Dimenzovanie nosníkov 77 5. krok: Pevnostná podmienka (maximálne normálové napätie nesmie prekročiť hodnotu dovoleného normálového napätia) Podmienky pevnosti pre namáhanie nosníka v najviac namáhanom priereze majú tvar   My  x1   F   max 1   4  4  zT   Dt Wy 1 Jy resp.   My  x1   F   max 2   4  4   h  zT    Dd Wy 2 Jy Z prvej podmienky pevnosti Z druhej podmienky pevnosti 4   Dt  Jy 4  30  97866666,66 4   Dd  Jy 4  100  97866666,66 F   43176,47N F   56899,22N  zT 4000  68   h  zT  4000   240  68  Maximálne možná sila, ktorou je možné nosník zaťažiť Príklad 8.2 2. Metóda integrovania približnej diferenciálnej rovnice 79 priehybovej čiary Nosník konštantného prierezu votknutý na jednom konci je zaťažený dvomi spojitými zaťaženiami s konštantnými intenzitami q, resp. 2q a ohybovým momentom M = q.a2 podľa obrázku. Určte rovnicu priehybovej čiary nosníka a jeho priehyb v bode K. Tuhosť nosníka je daná E.Jy, rozmery sú zrejmé z obrázku. 2. Metóda integrovania približnej diferenciálnej rovnice 80 priehybovej čiary Nosník konštantného prierezu votknutý na jednom konci je zaťažený dvomi spojitými zaťaženiami s konštantnými intenzitami q, resp. 2q a ohybovým momentom M = q.a2 podľa obrázku. Určte rovnicu priehybovej čiary nosníka a jeho priehyb v bode K. Tuhosť nosníka je daná E.Jy, rozmery sú zrejmé z obrázku. 1. krok: Analýza statickej určitosti úlohy 2. Metóda integrovania približnej diferenciálnej rovnice 81 priehybovej čiary Nosník konštantného prierezu votknutý na jednom konci je zaťažený dvomi spojitými zaťaženiami s konštantnými intenzitami q, resp. 2q a ohybovým momentom M = q.a2 podľa obrázku. Určte rovnicu priehybovej čiary nosníka a jeho priehyb v bode K. Tuhosť nosníka je daná E.Jy, rozmery sú zrejmé z obrázku. 1. krok: Analýza statickej určitosti úlohy ns  r  np  3  3  0 2. Metóda integrovania približnej diferenciálnej rovnice 82 priehybovej čiary Nosník konštantného prierezu votknutý na jednom konci je zaťažený dvomi spojitými zaťaženiami s konštantnými intenzitami q, resp. 2q a ohybovým momentom M = q.a2 podľa obrázku. Určte rovnicu priehybovej čiary nosníka a jeho priehyb v bode K. Tuhosť nosníka je daná E.Jy, rozmery sú zrejmé z obrázku. 1. krok: Analýza statickej určitosti úlohy ns  r  np  3  3  0 Staticky určitá úloha 2. Metóda integrovania približnej diferenciálnej rovnice 83 priehybovej čiary 2. krok: Ak je úloha staticky určitá a je možné nájsť voľný koniec nosníka, k určeniu charakteristických vnútorných silových veličín použijeme metódu mysleného rezu 2. Metóda integrovania približnej diferenciálnej rovnice 84 priehybovej čiary 2. krok: Ak je úloha staticky určitá a je možné nájsť voľný koniec nosníka, k určeniu charakteristických vnútorných silových veličín použijeme metódu mysleného rezu Pre analýzu celej dĺžky nosníka je potrebné urobiť 2 myslené rezy 2. Metóda integrovania približnej diferenciálnej rovnice 85 priehybovej čiary 2. krok: Ak je úloha staticky určitá a je možné nájsť voľný koniec nosníka, k určeniu charakteristických vnútorných silových veličín použijeme metódu mysleného rezu Pre analýzu celej dĺžky nosníka je potrebné urobiť 2 myslené rezy 2. Metóda integrovania približnej diferenciálnej rovnice 86 priehybovej čiary 2. krok: Ak je úloha staticky určitá a je možné nájsť voľný koniec nosníka, k určeniu charakteristických vnútorných silových veličín použijeme metódu mysleného rezu Pre analýzu celej dĺžky nosníka je potrebné urobiť 2 myslené rezy T  x1   q  x1  0 2. Metóda integrovania približnej diferenciálnej rovnice 87 priehybovej čiary 2. krok: Ak je úloha staticky určitá a je možné nájsť voľný koniec nosníka, k určeniu charakteristických vnútorných silových veličín použijeme metódu mysleného rezu Pre analýzu celej dĺžky nosníka je potrebné urobiť 2 myslené rezy T  x1   q  x1  0  T  x1   q  x1 Lineárna funkcia 2. Metóda integrovania približnej diferenciálnej rovnice 88 priehybovej čiary 2. krok: Ak je úloha staticky určitá a je možné nájsť voľný koniec nosníka, k určeniu charakteristických vnútorných silových veličín použijeme metódu mysleného rezu Pre analýzu celej dĺžky nosníka je potrebné urobiť 2 myslené rezy T  x1   q  x1  0  T  x1   q  x1 Lineárna funkcia x1 M y  x1   q  x1  0 2 2. Metóda integrovania približnej diferenciálnej rovnice 89 priehybovej čiary 2. krok: Ak je úloha staticky určitá a je možné nájsť voľný koniec nosníka, k určeniu charakteristických vnútorných silových veličín použijeme metódu mysleného rezu Pre analýzu celej dĺžky nosníka je potrebné urobiť 2 myslené rezy T  x1   q  x1  0  T  x1   q  x1 Lineárna funkcia x1 q  x12 M y  x1   q  x1  0  M y  x1   2 2 2. Metóda integrovania približnej diferenciálnej rovnice 90 priehybovej čiary 2. krok: Ak je úloha staticky určitá a je možné nájsť voľný koniec nosníka, k určeniu charakteristických vnútorných silových veličín použijeme metódu mysleného rezu Pre analýzu celej dĺžky nosníka je potrebné urobiť 2 myslené rezy T  x1   q  x1  0  T  x1   q  x1 Lineárna funkcia x1 q  x12 M y  x1   q  x1  0  M y  x1   Kvadratická funkcia 2 2 2. Metóda integrovania približnej diferenciálnej rovnice 91 priehybovej čiary 2. krok: Ak je úloha staticky určitá a je možné nájsť voľný koniec nosníka, k určeniu charakteristických vnútorných silových veličín použijeme metódu mysleného rezu Pre analýzu celej dĺžky nosníka je potrebné urobiť 2 myslené rezy T  x1   q  x1  0  T  x1   q  x1 Lineárna funkcia x1 q  x12 M y  x1   q  x1  0  M y  x1   Kvadratická funkcia 2 2 2. Metóda integrovania približnej diferenciálnej rovnice 92 priehybovej čiary 2. krok: Ak je úloha staticky určitá a je možné nájsť voľný koniec nosníka, k určeniu charakteristických vnútorných silových veličín použijeme metódu mysleného rezu Pre analýzu celej dĺžky nosníka je potrebné urobiť 2 myslené rezy T  x1   q  x1  0  T  x1   q  x1 Lineárna funkcia x1 q  x12 M y  x1   q  x1  0  M y  x1   Kvadratická funkcia 2 2 T  x2   q  a  2q  x2  0 2. Metóda integrovania približnej diferenciálnej rovnice 93 priehybovej čiary 2. krok: Ak je úloha staticky určitá a je možné nájsť voľný koniec nosníka, k určeniu charakteristických vnútorných silových veličín použijeme metódu mysleného rezu Pre analýzu celej dĺžky nosníka je potrebné urobiť 2 myslené rezy T  x1   q  x1  0  T  x1   q  x1 Lineárna funkcia x1 q  x12 M y  x1   q  x1  0  M y  x1   Kvadratická funkcia 2 2 T  x2   q  a  2q  x2  0  T  x2   q  a  2q  x2 2. Metóda integrovania približnej diferenciálnej rovnice 94 priehybovej čiary 2. krok: Ak je úloha staticky určitá a je možné nájsť voľný koniec nosníka, k určeniu charakteristických vnútorných silových veličín použijeme metódu mysleného rezu Pre analýzu celej dĺžky nosníka je potrebné urobiť 2 myslené rezy T  x1   q  x1  0  T  x1   q  x1 Lineárna funkcia x1 q  x12 M y  x1   q  x1  0  M y  x1   Kvadratická funkcia 2 2 T  x2   q  a  2q  x2  0  T  x2   q  a  2q  x2 2. Metóda integrovania približnej diferenciálnej rovnice 95 priehybovej čiary 2. krok: Ak je úloha staticky určitá a je možné nájsť voľný koniec nosníka, k určeniu charakteristických vnútorných silových veličín použijeme metódu mysleného rezu Pre analýzu celej dĺžky nosníka je potrebné urobiť 2 myslené rezy T  x1   q  x1  0  T  x1   q  x1 Lineárna funkcia x1 q  x12 M y  x1   q  x1  0  M y  x1   Kvadratická funkcia 2 2 T  x2   q  a  2q  x2  0  T  x2   q  a  2q  x2 a  x M y  x2   M  q  a    x2   2q  x 2  2  0 2  2 2. Metóda integrovania približnej diferenciálnej rovnice 96 priehybovej čiary 2. krok: Ak je úloha staticky určitá a je možné nájsť voľný koniec nosníka, k určeniu charakteristických vnútorných silových veličín použijeme metódu mysleného rezu Pre analýzu celej dĺžky nosníka je potrebné urobiť 2 myslené rezy T  x1   q  x1  0  T  x1   q  x1 Lineárna funkcia x1 q  x12 M y  x1   q  x1  0  M y  x1   Kvadratická funkcia 2 2 T  x2   q  a  2q  x2  0  T  x2   q  a  2q  x2 a  x M y  x2   M  q  a    x2   2q  x 2  2  0 2  2 a  x22 a  x22  My  x2   M  q  a    x2   2q   q  a  q  a    x2   2q  2 2  2 2  2 2. Metóda integrovania približnej diferenciálnej rovnice 97 priehybovej čiary 2. krok: Ak je úloha staticky určitá a je možné nájsť voľný koniec nosníka, k určeniu charakteristických vnútorných silových veličín použijeme metódu mysleného rezu Pre analýzu celej dĺžky nosníka je potrebné urobiť 2 myslené rezy T  x1   q  x1  0  T  x1   q  x1 Lineárna funkcia x1 q  x12 M y  x1   q  x1  0  M y  x1   Kvadratická funkcia 2 2 T  x2   q  a  2q  x2  0  T  x2   q  a  2q  x2 a  x M y  x2   M  q  a    x2   2q  x 2  2  0 2  2 a  x22 a  x22  My  x2   M  q  a    x2   2q   q  a  q  a    x2   2q  2 2  2 2  2 2. Metóda integrovania približnej diferenciálnej rovnice 98 priehybovej čiary 3. krok: Vykreslenie priebehov T(xi) a My(xi) 2. Metóda integrovania približnej diferenciálnej rovnice 99 priehybovej čiary 3. krok: Vykreslenie priebehov T(xi) a My(xi) Funkcie posúvajúcich síl získané na jednotlivých úsekoch 2. Metóda integrovania približnej diferenciálnej rovnice 100 priehybovej čiary 3. krok: Vykreslenie priebehov T(xi) a My(xi) Funkcie posúvajúcich síl získané na jednotlivých úsekoch T  x1   q  x1 T  x2   q  a  2q  x2 2. Metóda integrovania približnej diferenciálnej rovnice 101 priehybovej čiary 3. krok: Vykreslenie priebehov T(xi) a My(xi) Funkcie posúvajúcich síl získané na jednotlivých úsekoch T  x1   q  x1 T  x1  0   0, T  x1  a   q  a T  x2   q  a  2q  x2 2. Metóda integrovania približnej diferenciálnej rovnice 102 priehybovej čiary 3. krok: Vykreslenie priebehov T(xi) a My(xi) Funkcie posúvajúcich síl získané na jednotlivých úsekoch T  x1   q  x1 T  x1  0   0, T  x1  a   q  a T  x2   q  a  2q  x2 T  x2  0   q  a, T  x2  a   q  a  2q  a  3q  a 2. Metóda integrovania približnej diferenciálnej rovnice 103 priehybovej čiary 3. krok: Vykreslenie priebehov T(xi) a My(xi) Funkcie posúvajúcich síl získané na jednotlivých úsekoch T  x1   q  x1 T  x1  0   0, T  x1  a   q  a T  x2   q  a  2q  x2 T  x2  0   q  a, T  x2  a   q  a  2q  a  3q  a 2. Metóda integrovania približnej diferenciálnej rovnice 104 priehybovej čiary 3. krok: Vykreslenie priebehov T(xi) a My(xi) Funkcie posúvajúcich síl získané na jednotlivých úsekoch T  x1   q  x1 T  x1  0   0, T  x1  a   q  a T  x2   q  a  2q  x2 T  x2  0   q  a, T  x2  a   q  a  2q  a  3q  a Funkcie ohybových momentov získané na jednotlivých úsekoch 2. Metóda integrovania približnej diferenciálnej rovnice 105 priehybovej čiary 3. krok: Vykreslenie priebehov T(xi) a My(xi) Funkcie posúvajúcich síl získané na jednotlivých úsekoch T  x1   q  x1 T  x1  0   0, T  x1  a   q  a T  x2   q  a  2q  x2 T  x2  0   q  a, T  x2  a   q  a  2q  a  3q  a Funkcie ohybových momentov získané na jednotlivých úsekoch q  x12 M y  x1   2 a  2 x My  x2   q  a  q  a    x2   2q  2 2 2  2 2. Metóda integrovania približnej diferenciálnej rovnice 106 priehybovej čiary 3. krok: Vykreslenie priebehov T(xi) a My(xi) Funkcie posúvajúcich síl získané na jednotlivých úsekoch T  x1   q  x1 T  x1  0   0, T  x1  a   q  a T  x2   q  a  2q  x2 T  x2  0   q  a, T  x2  a   q  a  2q  a  3q  a Funkcie ohybových momentov získané na jednotlivých úsekoch q  x12 M y  x1  0   0, M y  x1   2 q  a 2 M y  x1  a   2 a  2 x My  x2   q  a  q  a    x2   2q  2 2 2  2 2. Metóda integrovania približnej diferenciálnej rovnice 107 priehybovej čiary 3. krok: Vykreslenie priebehov T(xi) a My(xi) Funkcie posúvajúcich síl získané na jednotlivých úsekoch T  x1   q  x1 T  x1  0   0, T  x1  a   q  a T  x2   q  a  2q  x2 T  x2  0   q  a, T  x2  a   q  a  2q  a  3q  a Funkcie ohybových momentov získané na jednotlivých úsekoch q  x12 M y  x1  0   0, M y  x1   2 q  a 2 M y  x1  a   2 a  2 x a2 3 My  x2   q  a  q  a    x2   2q  2 2 My  x2  0   q  a  q    q  a2 , 2 2  2 2 2 3 a2 7 My  x2  a   q  a2  q  a  a  2q    q  a2 2 2 2 2. Metóda integrovania približnej diferenciálnej rovnice 108 priehybovej čiary 3. krok: Vykreslenie priebehov T(xi) a My(xi) Funkcie posúvajúcich síl získané na jednotlivých úsekoch T  x1   q  x1 T  x1  0   0, T  x1  a   q  a T  x2   q  a  2q  x2 T  x2  0   q  a, T  x2  a   q  a  2q  a  3q  a Funkcie ohybových momentov získané na jednotlivých úsekoch q  x12 M y  x1  0   0, M y  x1   2 q  a 2 M y  x1  a   2 a  2 x a2 3 My  x2   q  a  q  a    x2   2q  2 2 My  x2  0   q  a  q    q  a2 , 2 2  2 2 2 3 a2 7 My  x2  a   q  a2  q  a  a  2q    q  a2 2 2 2 2. Metóda integrovania približnej diferenciálnej rovnice 109 priehybovej čiary 4. krok: Vyjadrenie približnej diferenciálnej rovnice priehybovej čiary 2. Metóda integrovania približnej diferenciálnej rovnice 110 priehybovej čiary 4. krok: Vyjadrenie približnej diferenciálnej rovnice priehybovej čiary Približné diferenciálne rovnice priehybovej čiary jednotlivých prierezov nosníka majú podľa rovnice 2. Metóda integrovania približnej diferenciálnej rovnice 111 priehybovej čiary 4. krok: Vyjadrenie približnej diferenciálnej rovnice priehybovej čiary Približné diferenciálne rovnice priehybovej čiary jednotlivých prierezov nosníka majú podľa rovnice d 2w  x i  My  xi  2  Približná diferenciálna rovnica priehybovej čiary dxi EJy 2. Metóda integrovania približnej diferenciálnej rovnice 112 priehybovej čiary 4. krok: Vyjadrenie približnej diferenciálnej rovnice priehybovej čiary Približné diferenciálne rovnice priehybovej čiary jednotlivých prierezov nosníka majú podľa rovnice d 2w  x i  My  xi  2  Približná diferenciálna rovnica priehybovej čiary dxi EJy tvar 2. Metóda integrovania približnej diferenciálnej rovnice 113 priehybovej čiary 4. krok: Vyjadrenie približnej diferenciálnej rovnice priehybovej čiary Približné diferenciálne rovnice priehybovej čiary jednotlivých prierezov nosníka majú podľa rovnice d 2w  x i  My  xi  2  Približná diferenciálna rovnica priehybovej čiary dxi EJy tvar d 2w  x1  q  x12  dx12 2E Jy 2. Metóda integrovania približnej diferenciálnej rovnice 114 priehybovej čiary 4. krok: Vyjadrenie približnej diferenciálnej rovnice priehybovej čiary Približné diferenciálne rovnice priehybovej čiary jednotlivých prierezov nosníka majú podľa rovnice d 2w  x i  My  xi  2  Približná diferenciálna rovnica priehybovej čiary dxi EJy tvar d 2w  x1  q  x12 d 2 w  x2  q  x22 q  a  x2 3 q  a2     dx12 2E Jy dx22 E Jy E Jy 2 E Jy 2. Metóda integrovania približnej diferenciálnej rovnice 115 priehybovej čiary 4. krok: Vyjadrenie približnej diferenciálnej rovnice priehybovej čiary Približné diferenciálne rovnice priehybovej čiary jednotlivých prierezov nosníka majú podľa rovnice d 2w  x i  My  xi  2  Približná diferenciálna rovnica priehybovej čiary dxi EJy tvar d 2w  x1  q  x12 d 2 w  x2  q  x22 q  a  x2 3 q  a2     dx12 2E Jy dx22 E Jy E Jy 2 E Jy Riešením diferenciálnych rovníc dostávame 2. Metóda integrovania približnej diferenciálnej rovnice 116 priehybovej čiary 4. krok: Vyjadrenie približnej diferenciálnej rovnice priehybovej čiary Približné diferenciálne rovnice priehybovej čiary jednotlivých prierezov nosníka majú podľa rovnice d 2w  x i  My  xi  2  Približná diferenciálna rovnica priehybovej čiary dxi EJy tvar d 2w  x1  q  x12 d 2 w  x2  q  x22 q  a  x2 3 q  a2     dx12 2E Jy dx22 E Jy E Jy 2 E Jy Riešením diferenciálnych rovníc dostávame dw  x1  1 q  x13    x1    C1 dx1 6 E Jy 2. Metóda integrovania približnej diferenciálnej rovnice 117 priehybovej čiary 4. krok: Vyjadrenie približnej diferenciálnej rovnice priehybovej čiary Približné diferenciálne rovnice priehybovej čiary jednotlivých prierezov nosníka majú podľa rovnice d 2w  x i  My  xi  2  Približná diferenciálna rovnica priehybovej čiary dxi EJy tvar d 2w  x1  q  x12 d 2 w  x2  q  x22 q  a  x2 3 q  a2     dx12 2E Jy dx22 E Jy E Jy 2 E Jy Riešením diferenciálnych rovníc dostávame dw  x1  1 q  x13    x1    C1 dx1 6 E Jy 1 q  x14 w  x1    C1  x1  D1 24 E Jy 2. Metóda integrovania približnej diferenciálnej rovnice 118 priehybovej čiary 4. krok: Vyjadrenie približnej diferenciálnej rovnice priehybovej čiary Približné diferenciálne rovnice priehybovej čiary jednotlivých prierezov nosníka majú podľa rovnice d 2w  x i  My  xi  2  Približná diferenciálna rovnica priehybovej čiary dxi EJy tvar d 2w  x1  q  x12 d 2 w  x2  q  x22 q  a  x2 3 q  a2     dx12 2E Jy dx22 E Jy E Jy 2 E Jy Riešením diferenciálnych rovníc dostávame dw  x1  1 q  x13 dw  x2  1 q  x23 1 q  a  x22 3 q  a2  x2    x1    C1    x2      C2 dx1 6 E Jy dx2 3 E Jy 2 E Jy 2 E Jy 1 q  x14 w  x1    C1  x1  D1 24 E Jy 2. Metóda integrovania približnej diferenciálnej rovnice 119 priehybovej čiary 4. krok: Vyjadrenie približnej diferenciálnej rovnice priehybovej čiary Približné diferenciálne rovnice priehybovej čiary jednotlivých prierezov nosníka majú podľa rovnice d 2w  x i  My  xi  2  Približná diferenciálna rovnica priehybovej čiary dxi EJy tvar d 2w  x1  q  x12 d 2 w  x2  q  x22 q  a  x2 3 q  a2     dx12 2E Jy dx22 E Jy E Jy 2 E Jy Riešením diferenciálnych rovníc dostávame dw  x1  1 q  x13 dw  x2  1 q  x23 1 q  a  x22 3 q  a2  x2    x1    C1    x2      C2 dx1 6 E Jy dx2 3 E Jy 2 E Jy 2 E Jy 1 q  x14 1 q  x24 1 q  a  x23 3 q  a2  x22 w  x1    C1  x1  D1 w  x2      C2  x2  D2 24 E Jy 12 E Jy 6 E Jy 4 E Jy 2. Metóda integrovania približnej diferenciálnej rovnice 120 priehybovej čiary 4. krok: Vyjadrenie približnej diferenciálnej rovnice priehybovej čiary Okrajové podmienky pre výpočet integračných konštánt C1, D1, C2, D2 z predošlých rovníc dw  x1  1 q  x13 dw  x2  1 q  x23 1 q  a  x22 3 q  a2  x2    x1    C1    x2      C2 dx1 6 E Jy dx2 3 E Jy 2 E Jy 2 E Jy 1 q  x14 1 q  x24 1 q  a  x23 3 q  a2  x22 w  x1    C1  x1  D1 w  x2      C2  x2  D2 24 E Jy 12 E Jy 6 E Jy 4 E Jy sú 2. Metóda integrovania približnej diferenciálnej rovnice 121 priehybovej čiary 4. krok: Vyjadrenie približnej diferenciálnej rovnice priehybovej čiary Okrajové podmienky pre výpočet integračných konštánt C1, D1, C2, D2 z predošlých rovníc dw  x1  1 q  x13 dw  x2  1 q  x23 1 q  a  x22 3 q  a2  x2    x1    C1    x2      C2 dx1 6 E Jy dx2 3 E Jy 2 E Jy 2 E Jy 1 q  x14 1 q  x24 1 q  a  x23 3 q  a2  x22 w  x1    C1  x1  D1 w  x2      C2  x2  D2 24 E Jy 12 E Jy 6 E Jy 4 E Jy sú 2. Metóda integrovania približnej diferenciálnej rovnice 122 priehybovej čiary 4. krok: Vyjadrenie približnej diferenciálnej rovnice priehybovej čiary Okrajové podmienky pre výpočet integračných konštánt C1, D1, C2, D2 z predošlých rovníc dw  x1  1 q  x13 dw  x2  1 q  x23 1 q  a  x22 3 q  a2  x2    x1    C1    x2      C2 dx1 6 E Jy dx2 3 E Jy 2 E Jy 2 E Jy 1 q  x14 1 q  x24 1 q  a  x23 3 q  a2  x22 w  x1    C1  x1  D1 w  x2      C2  x2  D2 24 E Jy 12 E Jy 6 E Jy 4 E Jy sú w  x2  a   0 2. Metóda integrovania približnej diferenciálnej rovnice 123 priehybovej čiary 4. krok: Vyjadrenie približnej diferenciálnej rovnice priehybovej čiary Okrajové podmienky pre výpočet integračných konštánt C1, D1, C2, D2 z predošlých rovníc dw  x1  1 q  x13 dw  x2  1 q  x23 1 q  a  x22 3 q  a2  x2    x1    C1    x2      C2 dx1 6 E Jy dx2 3 E Jy 2 E Jy 2 E Jy 1 q  x14 1 q  x24 1 q  a  x23 3 q  a2  x22 w  x1    C1  x1  D1 w  x2      C2  x2  D2 24 E Jy 12 E Jy 6 E Jy 4 E Jy sú w  x2  a   0   x2  a   0 2. Metóda integrovania približnej diferenciálnej rovnice 124 priehybovej čiary 4. krok: Vyjadrenie približnej diferenciálnej rovnice priehybovej čiary Okrajové podmienky pre výpočet integračných konštánt C1, D1, C2, D2 z predošlých rovníc dw  x1  1 q  x13 dw  x2  1 q  x23 1 q  a  x22 3 q  a2  x2    x1    C1    x2      C2 dx1 6 E Jy dx2 3 E Jy 2 E Jy 2 E Jy 1 q  x14 1 q  x24 1 q  a  x23 3 q  a2  x22 w  x1    C1  x1  D1 w  x2      C2  x2  D2 24 E Jy 12 E Jy 6 E Jy 4 E Jy sú w  x2  a   0   x2  a   0 w  x1  a   w  x2  0  2. Metóda integrovania približnej diferenciálnej rovnice 125 priehybovej čiary 4. krok: Vyjadrenie približnej diferenciálnej rovnice priehybovej čiary Okrajové podmienky pre výpočet integračných konštánt C1, D1, C2, D2 z predošlých rovníc dw  x1  1 q  x13 dw  x2  1 q  x23 1 q  a  x22 3 q  a2  x2    x1    C1    x2      C2 dx1 6 E Jy dx2 3 E Jy 2 E Jy 2 E Jy 1 q  x14 1 q  x24 1 q  a  x23 3 q  a2  x22 w  x1    C1  x1  D1 w  x2      C2  x2  D2 24 E Jy 12 E Jy 6 E Jy 4 E Jy sú w  x2  a   0   x2  a   0 w  x1  a   w  x2  0    x1  a     x2  0  2. Metóda integrovania približnej diferenciálnej rovnice 126 priehybovej čiary 4. krok: Vyjadrenie približnej diferenciálnej rovnice priehybovej čiary Okrajové podmienky pre výpočet integračných konštánt C1, D1, C2, D2 z predošlých rovníc dw  x1  1 q  x13 dw  x2  1 q  x23 1 q  a  x22 3 q  a2  x2    x1    C1    x2      C2 dx1 6 E Jy dx2 3 E Jy 2 E Jy 2 E Jy 1 q  x14 1 q  x24 1 q  a  x23 3 q  a2  x22 w  x1    C1  x1  D1 w  x2      C2  x2  D2 24 E Jy 12 E Jy 6 E Jy 4 E Jy sú q  a4 w  x2  a   0  C2  a  D2  0 (1) EJy   x2  a   0 w  x1  a   w  x2  0    x1  a     x2  0  2. Metóda integrovania približnej diferenciálnej rovnice 127 priehybovej čiary 4. krok: Vyjadrenie približnej diferenciálnej rovnice priehybovej čiary Okrajové podmienky pre výpočet integračných konštánt C1, D1, C2, D2 z predošlých rovníc dw  x1  1 q  x13 dw  x2  1 q  x23 1 q  a  x22 3 q  a2  x2    x1    C1    x2      C2 dx1 6 E Jy dx2 3 E Jy 2 E Jy 2 E Jy 1 q  x14 1 q  x24 1 q  a  x23 3 q  a2  x22 w  x1    C1  x1  D1 w  x2      C2  x2  D2 24 E Jy 12 E Jy 6 E Jy 4 E Jy sú q  a4 w  x2  a   0  C2  a  D2  0 (1) EJy 7 q  a3   x2  a   0  C2  0 (2) 3 E Jy w  x1  a   w  x2  0    x1  a     x2  0  2. Metóda integrovania približnej diferenciálnej rovnice 128 priehybovej čiary 4. krok: Vyjadrenie približnej diferenciálnej rovnice priehybovej čiary Okrajové podmienky pre výpočet integračných konštánt C1, D1, C2, D2 z predošlých rovníc dw  x1  1 q  x13 dw  x2  1 q  x23 1 q  a  x22 3 q  a2  x2    x1    C1    x2      C2 dx1 6 E Jy dx2 3 E Jy 2 E Jy 2 E Jy 1 q  x14 1 q  x24 1 q  a  x23 3 q  a2  x22 w  x1    C1  x1  D1 w  x2      C2  x2  D2 24 E Jy 12 E Jy 6 E Jy 4 E Jy sú q  a4 w  x2  a   0  C2  a  D2  0 (1) EJy 7 q  a3   x2  a   0  C2  0 (2) 3 E Jy 1 q  a4 w  x1  a   w  x2  0   C1  a  D1  D2 (3) 24 E Jy   x1  a     x2  0  2. Metóda integrovania približnej diferenciálnej rovnice 129 priehybovej čiary 4. krok: Vyjadrenie približnej diferenciálnej rovnice priehybovej čiary Okrajové podmienky pre výpočet integračných kon?