Limite et continuité - Niveau Bac

Si une fonction f admet une limite en un point, cette limite est unique.

La limite d’une fonction en un point a est la valeur vers laquelle la fonction tend lorsque la variable x s'approche de a.

lim f(x) = ℓ signifie: pour tout ε > 0, il existe α > 0 tel que si x ∈ D f et |x − a| < α alors |f(x) − ℓ| < ε.

lim f(x) = +∞ signifie: pour tout A > 0, il existe α > 0 tel que si x ∈ D f et |x − a| < α alors f(x) > A.

lim f(x) = −∞ signifie: pour tout A > 0, il existe α > 0 tel que si x ∈ D f et |x − a| < α alors f(x) < −A.

La limite de sin(x) divisée par x lorsque x tend vers 0 est égale à 1.

La limite de tan(x) divisée par x lorsque x tend vers 0 est égale à 1.

La limite de (1-cos(ax))/x lorsque x tend vers 0 est égale à a.

La limite de (1-cos(ax))/x² lorsque x tend vers 0 est égale à a²/2.

Si la limite d'une fonction f(x) lorsque x tend vers un nombre réel x0 est égale à +∞, alors la limite de f(x) lorsque x tend vers x0 est aussi égale à +∞.

La limite de sin(ax)/x lorsque x tend vers 0 est égale à a.

La limite de tan(ax)/x lorsque x tend vers 0 est égale à a.

Si une fonction f est croissante et majorée, elle converge vers une limite finie. Cette limite est un nombre réel b. La droite d'équation y = b est l'asymptote horizontale de la courbe représentative de f.

Si une fonction f est croissante et non majorée, elle tend vers +∞. Il n'y a pas de limite finie.

Si une fonction f est décroissante et minorée, elle converge vers une limite finie. Cette limite est un nombre réel b. La droite d'équation y = b est l'asymptote horizontale de la courbe représentative de f.

Si une fonction f est décroissante et non minorée, elle tend vers -∞. Il n'y a pas de limite finie.

Si la limite du quotient de f(x) par x quand x tend vers +∞ est finie, la courbe représentative de f admet une asymptote oblique.

Si la limite du quotient de f(x) par x quand x tend vers +∞ est nulle, la courbe représentative de f admet une asymptote horizontale.

La limite d'une fonction composée est la limite de la fonction externe appliquée à la limite de la fonction interne.

La limite de f(x) lorsque x tend vers x0 est ℓ, notée lim f(x) = ℓ, signifie que la valeur de f(x) se rapproche de ℓ lorsque x se rapproche de x0.

Si lim f(x) = ℓ et lim g(x) = ℓ0, alors lim (f(x) + g(x)) = ℓ + ℓ0. La limite de la somme est la somme des limites.

Si lim f(x) = ℓ et lim g(x) = ℓ0, alors lim [f(x).g(x)] = ℓ.ℓ0. La limite d'un produit est le produit des limites.

Si lim f(x) = ℓ (avec ℓ ≠ 0) et lim g(x) = ℓ0, alors lim [f(x) / g(x)] = ℓ / ℓ0. La limite d'un quotient est le quotient des limites.

Si lim f(x) = ℓ (avec ℓ ≠ 0) et lim g(x) = 0, alors lim [f(x) / g(x)] = ±∞. La limite d'un quotient où le dénominateur tend vers 0 est infinie.

Si lim f(x) = +∞ et lim g(x) = ℓ (avec ℓ ≠ 0), alors lim [f(x) * g(x)] = ±∞ (le signe dépend du signe de ℓ). La limite du produit d'une fonction infinie et d'une fonction non nulle est infinie.

Si lim f(x) = +∞ et lim g(x) = +∞, alors lim [f(x) + g(x)] = +∞. La limite de la somme de deux fonctions infinies est infinie.

Si la limite de f(x) lorsque x tend vers +∞ existe, on peut la calculer en remplaçant x par 1/t et en calculant la limite de f(1/t) lorsque t tend vers 0.

Si la limite de g(x) lorsque x tend vers b est égale à λ, et si la limite de f(x) lorsque x tend vers x0 est égale à b, alors la limite de la composition g ◦ f(x) lorsque x tend vers x0 est aussi égale à λ.

Si lim f(x) = +∞ et lim g(x) = +∞, alors lim [f(x) - g(x)] est une forme indéterminée. La limite de la différence de deux fonctions infinies peut être finie ou infinie.

Si f est continue en x0 et g est continue en f(x0), alors la composition g ◦ f est également continue en x0.

Si une fonction f est continue sur un intervalle et si deux réels a et b appartiennent à cet intervalle, alors pour tout réel y compris entre f(a) et f(b), il existe un réel c dans l'intervalle [a, b] tel que f(c) = y.

Une fonction continue sur un intervalle I conserve son signe sur cet intervalle si elle ne s'annule pas .

L'image d'un intervalle fermé borné [a, b] par une fonction continue est elle-même un intervalle fermé borné [m, M].

Si f est une fonction continue sur un intervalle I et g est une fonction continue sur l'intervalle J, tel que f(x) appartient à J pour tout x dans I, alors la fonction composée g o f est continue sur I.

L'image d'un intervalle par une fonction continue et monotone sur I est un intervalle de même nature que I.

Pour tout réel λ compris entre f(a) et f(b), où f est une fonction continue sur l'intervalle [a, b], il existe au moins un réel x0 dans [a, b] tel que f(x0) = λ. Si de plus f est strictement monotone, alors x0 est unique.

L'image d'un intervalle par une fonction continue est un intervalle.

Si f est continue sur un intervalle I et g est continue sur J, et si f(x) appartient à J pour tout x dans I, alors la fonction composée g o f est continue sur I.