Napätosť Rovinná - Dvojosová PDF

Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav mechaniky, energetického a konštrukčného mechaniky Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva Mechanika poddajných telies - Rozbor napätosti - Rovinná napätosť...

Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav mechaniky, energetického a konštrukčného mechaniky Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva Mechanika poddajných telies - Rozbor napätosti - Rovinná napätosť 2. 1  Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav mechaniky, energetického a konštrukčného inžinierstva, Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva NAPÄTOSŤ V BODE TELESA A DRUHY NAPÄTOSTI Napätosťou nazývame stav telesa, ktorý vzniká v dôsledku vonkajšieho pôsobenia silových účinkov na vyšetrované teleso. Dá sa dokázať, že napätosť v bode telesa je jednoznačne určená napätiami pôsobiacimi na tri navzájom kolmé roviny preložené týmto bodom. Napätia px, py, pz nazývame úplnými napätiami. 2  Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav mechaniky, energetického a konštrukčného inžinierstva, Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva NAPÄTOSŤ V BODE TELESA A DRUHY NAPÄTOSTI Úplné napätie v každej rovine možno rozložiť na normálovú a šmykovú (tangenciálnu) zložku. Normálová zložka má smer rovnobežný s normálou k rovine a šmyková zložka pôsobí v príslušnej rovine. Pre jednoznačné určenie šmykových zložiek potrebujeme dva indexy. Prvý index určuje smer normály k rovine, v ktorej zložka leží a druhý index smer, v ktorom napätie pôsobí. Ak takýto rozklad vykonáme pre tri navzájom kolmé roviny, dostaneme deväť zložiek napätí, z ktorých 3 sú normálové a 6 je šmykových. Napätosť v bode telesa je teda určená deviatimi zložkami, ktoré usporiadané do štvorcovej tabuľky nazývame tenzorom napätia x  xy  xz T   yx y  yz.  zx  zy z 3  Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav mechaniky, energetického a konštrukčného inžinierstva, Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva NAPÄTOSŤ V BODE TELESA A DRUHY NAPÄTOSTI V ľubovoľnom bode zaťaženého telesa vždy možno nájsť pravouhlý element orientovaný tak, že šmykové napätia v jeho rovinách budú rovné nule. a) Priestorová napätosť (všetky hlavné normálové napätia sú rôzne od nuly) b) Rovinná napätosť (jedno z hlavných normálových napätí je rovné nule) c) Priamková napätosť (dve z hlavných normálových napätí sú rovné nule) 4  Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav mechaniky, energetického a konštrukčného inžinierstva, Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva NAPÄTOSŤ PRIAMKOVÁ - JEDNOOSOVÁ Napätosť prizmatického prúta namáhaného ťahom je jednoosová. V každom bode možno vybrať objemový element z okolia bodu tak, aby na dvoch protiľahlých stenách pôsobili len normálové napätia (ostatné steny sú bez napätia). 5  Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav mechaniky, energetického a konštrukčného inžinierstva, Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva NAPÄTOSŤ PRIAMKOVÁ - JEDNOOSOVÁ Veďme cez element rez, ktorého normála  je odklonená od smeru napätia  1 o uhol . V tejto všeobecnej rovine bude za účelom zachovania rovnováhy elementu pôsobiť úplné napätie p . Z podmienky rovnováhy platí A0 p   1  A0  0 cos  Zložky napätí do smeru normály a tangenty sú 1    p  cos   1  cos 2    1  cos 2 , 2     p  sin   1  cos   sin   1  sin 2. 2 6  Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav mechaniky, energetického a konštrukčného inžinierstva, Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva NAPÄTOSŤ PRIAMKOVÁ - JEDNOOSOVÁ Vylúčením parametra  dostaneme rovnicu tzv. Mohrovej kružnice v súradnicovom systéme   ,   v tvare 2 2          1    2   1 .  2   2  Súradnice každého bodu kružnice D   ,    predstavujú zložky napätia v rovine, ktorá s priečnym rezom zviera uhol . 7  Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav mechaniky, energetického a konštrukčného inžinierstva, Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva NAPÄTOSŤ PRIAMKOVÁ – JEDNOOSOVÁ Združené šmykové napätie Veďme cez element ďalšie dva rezy, ktorých normály sú rovnobežné s osou .  Zložky napätia určíme z vyššie uvedených rovníc pre uhol  2                   1  1  cos 2      1  1  cos 2 ,  2 2   2  2                 1  sin 2      1  sin 2.  2 2  2 2 1    p  cos   1  cos 2    1  cos 2 , 2     p  sin   1  cos   sin   1  sin 2. 8 2  Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav mechaniky, energetického a konštrukčného inžinierstva, Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva NAPÄTOSŤ PRIAMKOVÁ – JEDNOOSOVÁ Združené šmykové napätie Normálové zložky napätia   a   sú vo všeobecnosti rozdielne, ale ich súčet pre ľubovoľný uhol  je rovný hodnote napätia 1 v priečnom reze. Šmykové napätia majú v navzájom kolmých rovinách rovnakú absolútnu hodnotu, sú však orientované opačne. Túto skutočnosť nazývame zákonom združenosti šmykových napätí: V navzájom kolmých rovinách pôsobia šmykové napätia rovnako veľké, ale opačne orientované. 9  Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav mechaniky, energetického a konštrukčného inžinierstva, Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva NAPÄTOSŤ ROVINNÁ - DVOJOSOVÁ Rovinná napätosť nech je určená zložkami  x y  xy 10  Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav mechaniky, energetického a konštrukčného inžinierstva, Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva NAPÄTOSŤ ROVINNÁ - DVOJOSOVÁ Podmienky rovnováhy v smere osí  a  majú tvar F i  0;    dA   x  dAx cos    y  dAy sin    xy  dAx sin    yx  dAy cos   0 , F i  0;     dA  x  dAx sin    y  dAy cos    xy  dAx cos    yx  dAy sin   0 , 11  Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav mechaniky, energetického a konštrukčného inžinierstva, Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva NAPÄTOSŤ ROVINNÁ - DVOJOSOVÁ Po úprave a uplatnení zákona združenosti šmykových napätí dostaneme     x  cos 2    y  sin2   2   xy  sin   cos  ,        x   y  cos   sin    yx  cos 2   sin2 .  Zavedením trigonometrických funkcií dvojnásobného argumentu dostaneme x  y x  y     cos 2   xy  sin 2 , 2 2 x  y     sin 2   yx  cos 2. 2 x  y x  y     cos 2   xy  sin 2 , 2 2 x  y      sin 2   yx  cos 2. 2 12  Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav mechaniky, energetického a konštrukčného inžinierstva, Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva NAPÄTOSŤ ROVINNÁ - DVOJOSOVÁ Napätia v smeroch osi x , y a  ,  môžeme vyjadriť v tvare štvorcových tabuliek (tenzorov napätosti) x  xy    T  , T .  yx y    Súčet normálových napätí v navzájom kolmých rovinách pretínajúcich sa v ľubovoľnom bode je konštantný        x   y  konšt. Ak je napätosť v bode určená hlavnými normálovými napätiami, potom platí 1   2 1   2 1   2    cos 2 ,    sin 2. 2 2 2 13  Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav mechaniky, energetického a konštrukčného inžinierstva, Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva NAPÄTOSŤ ROVINNÁ – DVOJOSOVÁ Hlavné normálové napätia V rovinách, kde pôsobia extrémne normálové napätia, sú šmykové napätia rovné nule. Takéto roviny sú nazývané hlavné roviny a im odpovedajúce napätia hlavné normálové napätia. 2 xy Smery hlavných normálových napätí určíme zo vzťahu tg 2H  . x  y Veľkosti hlavných normálových napätí určíme zo vzťahu 2 x  y x  y  x  y  1,2  2  1 2  x   y 2  42xy  2   2    2xy    14  Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav mechaniky, energetického a konštrukčného inžinierstva, Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva NAPÄTOSŤ ROVINNÁ – DVOJOSOVÁ Maximálne šmykové napätia Šmykové napätie nadobúda extrémnu hodnotu, rovnú polovici rozdielu hlavných 1   2 normálových napätí max . 2 Vo všeobecnom prípade v rovinách, kde pôsobia maximálne šmykové napätia, sú normálové napätia rozdielne od nuly. 15  Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav mechaniky, energetického a konštrukčného inžinierstva, Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva NAPÄTOSŤ ROVINNÁ – DVOJOSOVÁ Maximálne šmykové napätia V praxi je častý prípad, keď na stenách elementu pôsobia dve hlavné normálové napätia 1   2  . Maximálne šmykové napätia sú v tomto prípade číselne rovné hlavným normálovým napätiam. Takúto napätosť nazývame čistým šmykom a roviny, v ktorých takéto napätie pôsobí, nazývame rovinami čistého šmyku. 16  Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav mechaniky, energetického a konštrukčného inžinierstva, Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva NAPÄTOSŤ ROVINNÁ – DVOJOSOVÁ Mohrova kružnica napätosti 17  Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav mechaniky, energetického a konštrukčného inžinierstva, Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva NAPÄTOSŤ ROVINNÁ – DVOJOSOVÁ Mohrova kružnica napätosti 18