Analytická geometria 2015 PDF

Univerzita Komenského v Bratislave Fakulta matematiky, fyziky a informatiky Geometria pre grafikov (1) (časť Analytická geometria) Miloš Božek september 2015 Bratislava Obsah...

Univerzita Komenského v Bratislave Fakulta matematiky, fyziky a informatiky Geometria pre grafikov (1) (časť Analytická geometria) Miloš Božek september 2015 Bratislava Obsah 22.09.14 Predhovor......………………………………………. 1 Úvod.….........………………………………………. 3 1. Vektory v geometrii …............................................. 9 2. Priamky a roviny....................……………………. 15 3. Súradnice........................…..………………………. 20 4. Rovnice priamok a rovín …....................………….. 27 5. Rovnobežnosť priamok a rovín...................………. 37 6. Skalárny súčin............................…………………. 40 7. Kolmosť vektorov........………..…………………. 45 8. Kolmosť priamok a rovín ……..…………………. 51 9. Vzdialenosti bodov, priamok a rovín.………….… 57 10. Uhly priamok a rovín …...............………………… 62 11. Transformácia súradníc. Orientácia.......…………. 65 12. Polpriamky, polroviny a polpriestory …................... 74 13. Lineárna kombinácia bodov................................... 80 14. Deliaci pomer.......................……….……………. 85 15. Niektoré fakty z planimetrie a stereometrie............ 88 16. Ďalšie úlohy ….....………………………………… 93 17. Písomná časť skúšky.....................………………… 99 Predhovor 18.09.14 11.09.13 Učebný text Analytická geometria pokrýva obsah prvej časti predmetu Geometria pre grafi- kov (1). Predmety Geometria pre grafikov (1) a Geometria pre grafikov (2) (skratka GPG1, GPG2) sú zaradené do bakalárskych študijných programov Matematika, Informatika a Aplikovaná informatika na FMFI UK v Bratislave. Obsahujú učivo patriace k fundamen- tálnym zložkám matematického vzdelania zameraného na aplikácie geometrie. Preto jeho dôkladné zvládnutie je nevyhnutným predpokladom úspešného štúdia takmer všetkých pred- metov týkajúcich sa počítačovej grafiky a geometrie vo viacerých bakalárskych i magister- ských študijných programoch. Všetky témy predmetov GPG1 a GPG2 sú pokryté elektronickými učebnými testami. Tento je prvým z nich. Predmet Geometria pre grafikov (1) sa skladá z troch tematických celkov: analytická geometria, úvod do diferenciálnej geometrie kriviek a úvod do diferenciálnej geometrie plôch. Ukazuje sa, že rozsah a obsah matematického vzdelania poslucháčov predmetov GPG1 a GPG2 sú veľmi rôzne. Výklad v týchto predmetoch sa snaží prispôsobiť najnižšie položenej štartovacej čiare. Napriek tomu sa u poslucháčov predpokladá bežná znalosť základných par- tií lineárnej algebry a matematickej analýzy. Nadväznosť na tieto časti matematiky je taká silná, že do istej miery možno prvú tému predloženého učebného textu považovať za priame pokračovanie kurzu lineárnej algebry a témy ďalších dvoch takmer za pokračovanie matema- tickej analýzy. Prvá časť predmetu Geometria pre grafikov (1) venovaná analytickej geometrii plní dve zá- kladné úlohy. Prvou je zhrnutie poznatkov z analytickej geometrie získané v doterajšom štú- diu – v odbore Matematika na predmetoch Lineárna algebra a geometria (1) a (2) − a ich vy- jadrenie v jednotnej podobe. Na tento cieľ sa zameriavajú kapitoly 1 – 10. Špecifické posta- venie má kapitola Vektory v geometrii, v ktorej sa posilňujú názorné predstavy a intuície spo- jené s pojmom vektor. Ostatné z kapitol obsahujú štandardné témy analytickej geometrie (priamky, roviny, ich rovnice, rovnobežnosť, kolmosť, vzdialenosti a uhly). Hlavnou úlohou ďalších kapitol učebného textu Analytická geometria s názvami Transformá- cia súradníc, Polpriamky, polroviny a polpriestory, Lineárna kombinácia bodov a Deliaci po- mer je rozšíriť predchádzajúce vzdelanie o špecifické témy analytickej geometrie, ktoré sú dôležité vo všetkých oblastiach počítačovej grafiky a geometrického modelovania. Predposledná kapitola Ďalšie úlohy obsahuje náhodne zoradené úlohy na súborné precvičova- nie celého učiva. Záverečná kapitola Testy prezentuje vyše 100 ukážok úloh, aké sa môžu vyskytnúť na písomnej časti skúšky. Niekoľko poznámok k organizácii textu. Jednotlivé odseky kapitol – vety, definície, príklady a poznámky – sú číslované priebežne a podvojne. Znamená to, že napríklad v tretej kapitole je iba jedna časť s číslom povedzme 3.7. Konkrétne je ňou veta, na ktorú sa potom odvolávame ako na „vetu 3.7“. Pred ňou sa nachádza poznámka 3.6, za ňou príklad 3.8. Dôsledky vety a poznámky k nej sa niekedy nachádzajú v tom istom odseku ako samotná ve- ta. Príkladom je odsek 4.14. V odsekoch obsahujúcich definíciu chýba nadpis „Definícia“. Že ide o definíciu, indikuje použitý rez písma italic t.j. kurzíva, ktorým je napísaný definovaný objekt. V odseku s definí- ciou sa často nachádza aj nadväzujúci komentár. Príkladom je odsek 2.1 1 Kvôli rýchlejšej orientácii v texte sa koniec dôkazu vety resp. dôsledku a koniec riešenia prí- kladu označuje symbolom. Ak sa z nejakého dôvodu dôkaz vynecháva, tento symbol je ihneď na konci znenia vety resp. dôsledku. Lepšej orientácii má poslúžiť aj členenie kapitol na časti označované písmenami A, B, C... s podnadpismi. Posledné dve časti každej kapitoly tvoria úlohy k preberaným témam a ich výsledky s prípad- nými návodmi na riešenie. Väčšina úloh slúži na utvrdenie preberanej látky, niektoré spájajú teóriu s intuitívnou geometriou a časť slúži na nácvik využitia metód analytickej geometrie na riešenie geometrických problémov. Tvrdenia z niektorých úloh používame v ďalšom texte; upozorňuje na to označené symbol ∗ za číslom úlohy. Symbol + označuje úlohy rozširujúce základné učivo. Nepatria teda do povinnej časti učiva a spravidla sú ťažšie. Kvôli ušetreniu priestoru často používame zjednodušený zápis niektorých matematických výrazov, najmä zlomkov a odmocnín. Pozorne si všimnite nasledujúce formulky: b ab b abd ab (cd ) = a = , ab cd = a d = , cd cd c c √(ab)c = abc = ( ab )c , √abc = abc = ( a )bc. (V predchádzajúcom riadku sú síce zátvorky v ( ab )c a ( a )bc nadbytočné, chceme však nimi zvýrazniť rozdiel medzi √(ab)c a √abc.) Viacero viet textu obsahuje veľmi príbuzné tvrdenia, jedno sa týka roviny a druhé priestoru. Vtedy sa v dôkaze spravidla preberie iba jedna situácia a zvyšný dôkaz sa prenechá čitateľovi. Vyjadruje sa to tromi bodkami. Modrou farbou a menším písmom sú napísané komentáre. Je ich však málo a nevyskytujú sa systematicky. Na záver dôležité upozornenie. Učebné texty k predmetom GPG1 a GPG2 nemajú ambíciu byť učebnicou geometrie pre grafikov. Na to sú príliš stručné, chýbajú v nich podrobnejšie motivácie, vysvetľovania a komentáre. A najmä – treba veľmi zdôrazniť – takmer vždy ab- sentujú obrázky a aj existujúce nie sú veľmi kvalitné. Na samostatné štúdium sa teda predkla- dané texty nehodia. Jednoducho sú to záznamy odpovedajúcich častí kurzov GPG1 a GPG2. Ich základným cieľom je oslobodiť poslucháča od podrobného zapisovania faktov, aby sa v škole mohol sústrediť na zachytenie ideí a súvislostí. Čitateľom vopred ďakujem za ohlasy, ktoré by pomohli vylepšiť ďalšie verzie textov. Ob- zvlášť privítam upozornenia na chyby a nepresnosti – určite tu nejaké ešte sú. Bratislava, september 2014 Miloš Božek 2 Úvod 18.09.14 24.09.13 A O analytickej metóde v geometrii Geometria sa tradične rozdeľuje na „syntetickú“ a „analytickú“. V syntetickej geometrii sa objekty zavádzajú priamo, nesprostredkovane, a rovnako sa skúmajú aj ich vlastnosti. V ana- lytickej geometrii, sa pracuje nepriamo, geometrické objekty sa vyjadrujú pomocou čísiel (súradnice) a algebraických vzťahov medzi nimi (rovnice a nerovnice). Samotné názvy „syn- tetická geometria“ a „analytická geometria“ sa vyvinuli historicky a hoci sú všeobecne zauží- vané, nie sú najšťastnejšie. Namiesto o „geometriách“ by bolo vhodnejšie hovoriť o „metó- dach geometrie“. Takže namiesto „analytická geometria“ by výstižnejšie bolo hovoriť „analy- tická metóda v geometrii“, alebo ešte presnejšie „súradnicová metóda v geometrii“. Kvôli silnej tradícii zostaneme však pri zaužívanom názve analytická geometria. Podstatou analytickej geometrie je transformácia geometrickej problematiky na problematiku algebry. Základné etapy riešenia geometrického problému analytickou metódou sú: 1. Transformácia geometrického problému na problém algebraický. 2. Vyriešenie algebraického problému. 3. Geometrická interpretácia riešenia algebraického problému. Uvedený postup ilustrujme dvomi príkladmi. Príklad 1 Dokážte, že výšky trojuholníka sa pretínajú v jednom bode. (V tomto kontexte výšku trojuholníka chápeme ako priamku, teda výškou trojuholníka je priamka idúca jedným jeho vrcholom kolmo na protiľahlú stranu. Isto poznáte ďalšie dve in- terpretácie pojmu výška trojuholníka ako úsečku a číslo.) Riešenie: Uvažujme trojuholník ABC, jeho výšky označme vA, vB, vC, pričom index znamená vrchol, ktorým výška prechádza. Úlohu vyriešime využitím analytickej geometrie. Základné kroky riešenia sú 1. Voľba sústavy súradníc. 2. Určenie súradníc vrcholov trojuholníka. 3. Určenie rovníc výšok trojuholníka. 4. Dôkaz, že rovnice všetkých troch výšok majú spoločné riešenie. 5. Geometrická interpretácia existencie spoločného riešenia rovníc výšok. Naznačené kroky vykonáme podrobne. 1. Najprv zvolíme v rovine trojuholníka sústavu súradníc. V princípe ju môžeme zvoliť úplne ľubovoľne, čo by znamenalo, že vrcholy trojuholníka majú ľubovoľné súradnice A = (a1, a2), B = (b1, b2), C = (c1, c2). V takejto situácii nadväzujúce kroky riešenia určite nebudú najjednoduchšie – rovnice výšok budú mať komplikovaný tvar, preto aj dôkaz existencie ich spoločného riešenia asi nebude celkom ľahký. Uvedomme si však, že našou úlohou nie je nájsť všeobecný vzorec, ktorý by vyjadroval súradnice priesečníka troch výšok trojuholníka v závislosti od súradníc jeho vrcho- lov, ale iba dokázať, že tento spoločný bod existuje. Na to stačí ukázať, že rovnice výšok v niektorej sústave súradníc majú spoločné riešenie. Preto môžeme sústavu súradníc prispôso- biť úlohe, teda trojuholníku ABC. Väzbu sústavy súradníc na úlohu môžeme dosiahnuť napríklad tak, že všetky tri vrcholy troj- uholníka budú ležať na súradnicových osiach – povedzme, že body A, B na osi x a bod C na osi y. 2. Vrcholy trojuholníka ABC majú vzhľadom na zvolenú sústavu súradníc súradnice (1) A = (a, 0), B = (b, 0), C = (0, c), 3 pričom a, b, c sú ľubovoľné reálne čísla, spĺňajúce podmienky a ≠ b, c ≠ 0. Tieto podmienky vyjadrujú skutočnosť, že body A, B, C neležia na priamke. V tom je zahrnutý aj fakt, že každé dva z uvažovaných bodov sú navzájom rôzne. 3. Zostavíme rovnice výšok trojuholníka ABC. Výška vA je priamka prechádzajúca bodom A kolmá na priamku BC, preto za jej normálový vektor môžeme vziať vektor určený bodmi C, B, teda vektor B − C. Jeho súradnice sú (b, −c). Priamka vA má teda rovnicu bx − cy + d = 0. Absolútny člen d získame z podmienky A∈vA, teda z rovnice ba − c0 + d = 0. Odtiaľ d = −ab. Rovnica výšky vA je bx − cy − ab = 0. Vzájomnou zámenou a ↔ b z nej získame rovnicu výš- ky vB: ax − cy − ab = 0. Rovnica poslednej výšky je zrejmá, lebo priamka vC je os y. Teda vA: bx − cy − ab = 0, vB: ax − cy − ab = 0, vC: x = 0. 4. Bez problémov zistíme, že uvažovaná sústava troch rovníc pre dve neznáme má riešenie x = 0, y = −ab/c. 5. Algebraický výsledok, že usporiadaná dvojica (0, −ab/c) vyhovuje rovniciam priamok vA, vB, vC geometricky znamená, že bod so súradnicami (0, −ab/c) leží na všetkých troch priam- kach vA, vB, vC, teda že všetky tri výšky trojuholníka ABC prechádzajú jedným bodom. Na riešení príkladu 1 možno vidieť základnú výhodu použitia analytickej metódy v geometrii, ktorá sa dá vyjadriť ako „mechanický postup“. Chceme tým povedať, že pri jej aplikácii ne- treba dlho čakať na inšpiráciu, netreba zavádzať nejaké pomocné objekty (v príklade by bolo výhodné vziať do úvahy osi strán trojuholníka, o ktorých sa ľahko dokáže, že prechádzajú jedným bodom) a netreba hľadať skryté súvislosti (napríklad tú, že osi strán trojuholníka sa vo vhodnej rovnoľahlosti zobrazujú do jeho výšok). Jednoducho stačí (vhodne) zaviesť súradnice a trochu (?) počítať. V žiadnom prípade tým však nechceme povedať, že syntetické postupy sú neefektívne či dokonca zastarané. Obidve metódy majú v geometrii svoje miesto a môžu vedľa seba pokojne spolunažívať. V ideálnom prípade sa dokonca môžu navzájom kombino- vať a jedna druhú dopĺňať. Na druhej strane použitie analytickej metódy v geometrii nemusí byť vždy celkom „mechanické“. Vhodná voľba sústavy súradníc alebo riešenie vznikajúcich algebraických problémov môže byť niekedy pekne tvrdým orieškom. V druhom príklade budeme pracovať so všeobecnejšou sústavou súradníc, nazýva sa afinná (kapitola 3). Jej osi nemusia byť navzájom kolmé a mierky na osiach nemusia byť rovnaké. Takéto súradnice sa veľmi dobre hodia na riešenie problémov, ktoré sa netýkajú metrickej časti geometrie (vzdialenosti, uhly, kolmosť,...). Výhodou afinných sústav súradníc je, že sa dajú lepšie prispôsobiť zadaniu, preto umožňujú zjednodušiť výpočty. Príklad 2 V rovine sú dané dve nerovnako dlhé rovnobežné úsečky AB, CD neležiace na jed- nej priamke, K, L sú ich stredy. Dokážte: a) Dvojice priamok AC, BD a AD, BC sú navzájom rôznobežné. b) Priesečník P priamok AC, BD a Q priamok AD, BC leží na priamke KL. c) Práve jeden z bodov P, Q leží medzi bodmi K, L. Riešenie: 1. Sústavu súradníc v rovine zvolíme s prihliadnutím na zadané objekty takto: Za- čiatkom sústavy súradníc bude bod K, B bude jednotkový bod prvej súradnicovej osi a L bude jednotkový bod druhej súradnicovej osi (načrtnite obrázok). 2. Body vystupujúce v úlohe majú súradnice (2) K = (0,0), L = (0,1), B = (1,0), A = (−1,0), C = (−d,1), D = (d,1). pričom d je ľubovoľné reálne číslo spĺňajúce podmienky d ≠ 0,1,−1. Tieto podmienky vyjad- rujú skutočnosť, že C ≠ D a |AB| ≠ |CD|. Zo súradníc (2) je zrejmé, že priamky AB, CD sú navzájom rovnobežné a rôzne. 4 3. Zostavíme rovnice priamok AC, BD, BC, AD, KL (kapitola 4): (3) AC: x + (d + 1)y + 1 = 0, (4) BD: x − (d + 1)y − 1 = 0, (5) BC: x + (d − 1)y − 1 = 0, (6) AD: x − (d − 1)y + 1 = 0, (7) KL: x = 0. 2. a) Hľadajme najprv všetky spoločné body priamok AC, BD. Sú to práve tie body, ktorých súradnice vyhovujú obom rovniciam (3), (4). Sústava rovníc má jediné riešenie x = 0, y = 1/(1−d), čo sú súradnice priesečníka P. Podobne získame priesečník Q: (8) P = (0, 1/(1−d)), Q = (0, 1/(1+d)) Dvojice priamok AC, BD a AD, BC sú teda navzájom rôznobežné. b) Súradnice oboch priesečníkov (8) vyhovujú rovnici (7) priamky KL, preto P,Q∈KL. c) Platí (9) Bod X = (x,y) leží medzi bodmi K, L ⇔ x = 0 a 0 < y < 1 (kapitola 12). Pre oba body P, Q platí x = 0, preto ostalo dokázať, že pre d ≠ 0,1,−1 práve jed- no z čísel 1/(1−d), 1/(1+d) spĺňa podmienku 0 < y < 1. Riešme teda sústavu nerovníc 0 < 1/(1−d) < 1 s neznámou d. Ukáže sa, že riešenie je d < 0. Zámenou d za −d dostaneme, že sústava nerovníc 0 < 1/(1+d) < 1 má riešenie d > 0. Geometrická interpretácia výpočtu: Pre kladné d, d ≠ 1 leží medzi bodmi K, L bod Q ale nie bod P a pre d záporné, d ≠ −1 je to naopak. Vyjadrovanie geometrických objektov a vzťahov medzi nimi prostredníctvom súradníc, teda číslami, rovnicami a nerovnicami, má ďalšie významné výhody. Umožňuje totiž aplikovať v geometrii výsledky a metódy iných oblastí matematiky, najmä matematickej analýzy a al- gebry. Takto vznikla diferenciálna geometria a algebraická geometria. Obe tieto časti geomet- rie môžeme teda považovať za akési nadstavby či pokračovania analytickej geometrie. B O vzťahoch geometrie s inými časťami matematiky Vzťahy medzi geometriou a ďalšími súčasťami matematiky vôbec nie sú také jednostranné, ako by sa mohlo javiť na základe posledných viet predošlého odseku. Naopak, do takmer všetkých oblastí matematiky prenikla geometrická terminológia, ktorá umožňuje názornejšie a prehľadnejšie formulovať problémy a ich riešenia. (Spomeňme aspoň niektoré známe typy priestorov v matematike: metrické, topologické, vektorové, pravdepodobnostné.) Je tiež dob- ré vedieť, že z historického hľadiska išiel vývoj často v opačnom smere v porovnaní s dnešným spôsobom výkladu – napríklad derivácia sa u Leibniza objavuje okrem iného ako prostriedok na zostrojenie dotyčnice ľubovoľnej krivky, teda základný pojem matematickej analýzy vznikol na základe aj geometrickej objednávky. Geometria je súčasťou matematiky, preto jej objekty a ich vlastnosti a vzťahy medzi nimi majú abstraktný charakter. V reálnom svete priamo neexistujú, tam existujú iba ich vzory. Na druhej strane, v rámci matematiky je geometria hádam najviac spätá s naším zmyslovým vní- maním sveta, preto niekedy je neľahké oddeliť od seba abstraktný geometrický pojem od jeho reálneho vzoru. Hrozí psychologicky dobre pochopiteľné ale chybné stotožnenie objektov geometrie s objektami reálneho sveta, čo znamená premenu geometrie na prírodnú vedu. Pre- javovať sa to môže používaním intuitívnej argumentácie získanej pozorovaním, napríklad pohľadom na obrázok. Je však jasné, že ani sto obrázkov pravouhlých trojuholníkov spolu s „presným“ odmeraním dĺžok ich strán a s „presným“ preverením vzťahu c2 = a2 + b2 nemôže nahradiť dôkaz Pytagorovej vety. Samozrejme, týmto vôbec nechceme z matematiky – a už 5 vôbec nie z geometrie – vytláčať intuitívne predstavy, pozorovania, obrázky a názorné úvahy, lebo majú veľmi dôležitú, ba až podstatnú úlohu v etape formulácie problému a hľadania jeho riešenia. Nesmú však vystupovať ako argument v odôvodňovaní riešenia. C O aplikáciách geometrie Uvedené prepojenie analytickej geometrie s inými časťmi matematiky umožňuje považovať ju za jeden z možných jazykov geometrie a jej aplikácií. Bezprostredne sa využíva vo fyzike, najmä v mechanike, a následne v mnohých oblastiach techniky. Z ďalších možných aplikácií analytickej geometrie spomeňme ešte kartografiu. Najnovšie analytická geometria nachádza veľmi významné využitie v počítačovej grafike, lebo je základom grafickej komunikácie človeka s počítačom a následne tiež základom počí- tačového videnia, počítačom podporovanej tvorby scén, ich obrazov a animácií. Na ilustráciu iba poznamenajme, že dnes sa počítače asi najbežnejšie využívajú ako inteligentné písacie stroje. Pri editovaní a tlači textov neprestajne prebieha vykresľovanie písmen a iných znakov na obrazovke monitora či na tlačiarni založené na analytickej geometrii. S trochou preháňania možno teda povedať, že keby analytická geometria nebola známa už niekoľko storočí, museli by ju matematici vymyslieť v posledných desaťročiach práve v súvislosti s prudkým nástu- pom informačných technológií. D O n-rozmernom priestore Základným pojmom súčasnej analytickej geometrie je n-rozmerný priestor, pričom n = 1, 2, 3, … je ľubovoľné prirodzené číslo. Za nešpecifikovanou dimenziou n netreba však hľadať nič mystické. V prvom rade je to jednoducho skratka pre hodnoty n = 1, 2, 3, ktoré majú priame interpretácie v realite: jednorozmerný priestor je matematickým modelom rovnej čiary – priamky, dvojrozmerný je modelom rovnej plochy – roviny a trojrozmerný reprezentuje celý reálny priestor. V n-rozmernom priestore sa odrážajú spoločné vlastnosti priamky, roviny a priestoru. Tieto vlastnosti sa teda neskúmajú trikrát, ale iba raz, čo je pre matematiku typická ekonomizácia myslenia. Protipólom opísanej abstrakcie je konkretizácia tvrdení z geometrie n-rozmerného priestoru pre priestory dimenzie 1 ale najmä 2 a 3. Takto získané výsledky možno už interpretovať ako tvrdenia o vlastnostiach objektov reálneho sveta. Oba tieto po- hľady podporuje veľká časť príkladov a úloh tohto učebného textu. Nie je nevyhnutné a ani rozumné s dimenziou priestoru končiť pri hodnote 3. Reálne možno interpretovať aj priestory s väčším rozmerom, len slová „bod“, „priamka“, „rovina“,... sa vte- dy už neviažu na ich prototypy z reálneho sveta. Napríklad všetky polohy tuhého telesa v trojrozmernom priestore možno prirodzeným spôsobom považovať za body istého šesťroz- merného priestoru (ktorý je navyše zakrivený). Iná interpretácia toho istého šesťrozmerného priestoru je, že je to množina všetkých transformácií trojrozmerného priestoru, pri ktorých sa nemenia vzdialenosti medzi bodmi a orientácia priestoru. V tejto situácii slovo „bod“ ako prvok príslušného šesťrozmerného priestoru znamená transformáciu základného trojrozmer- ného priestoru. Ako ďalšiu oblasť, v ktorej sa vyskytujú viacrozmerné priestory, môžeme uviesť napríklad ekonómiu. Niektoré ekonomické problémy sa dajú totiž opísať sústavami lineárnych rovníc a nerovníc s veľkým počtom neznámych. Je výhodné interpretovať nezná- me ako súradnice bodov v priestore, ktorého dimenzia je daná počtom neznámych, a tých môže byť aj niekoľko stoviek či tisícov. E O štúdiu geometrie V prvej tretine 20. storočia sa v analytickej geometrii presadila vektorová metóda, ktorá vyús- tila do tzv. bodovo–vektorového kalkulu. V ňom narábame s bodmi a vektormi pokiaľ možno 6 priamo, teda bez súradníc, čo je omnoho prehľadnejšie. Tento spôsob manipulácie s geomet- rickými objektmi je veľmi výhodný najmä pri štúdiu nadväzujúcich disciplín geometrie, na- príklad v diferenciálnej geometrii. Prehľadnosť úvah podporuje aj využitie matíc a operácií s nimi. Na druhej strane, takéto symbolické počítanie kladie nemalé nároky na abstraktné uvažovanie. Túto pre matematiku veľmi dôležitú schopnosť možno podporovať a rozvíjať najmä vhodný- mi náčrtmi, preto odporúčame štúdium geometrie (a vlastne celej matematiky) s tužkou v ruke. Rozširovaniu schopnosti abstraktného uvažovania významným spôsobom pomáha tiež riešenie čo najväčšieho počtu úloh, a to ako bežných výpočtových tak aj rozširujúcich teóriu. Prvé úlohy nájdete už o niekoľko riadkov nižšie. F Literatúra Budinský, B.: Analytická a diferenciální geometrie. SNTL Praha 1983. Burdun, A., A., Murdaško, E., A., Fedenko, A., S.: Sbornik zadač po algebre i geometriji. Izdateľstvo BGU Minsk 1979. Hejný, M., Zaťko, V., Kršňák, P.: Geometria 1. SPN Bratislava 1985. Pogorelov, A.,V.: Geometrija. Nauka Moskva 1983. G Kontakt na vyučujúceho doc. RNDr. Miloš Božek, CSc., pracovňa: M 156 Katedra algebry, geometrie a didaktiky matematiky +421 2 60295209 UK FMFI [email protected] Mlynská dolina 842 48 Bratislava H Úlohy 1 Dokážte, že ťažnice trojuholníka sa pretínajú v jednom bode. 2 Nech V, T a S označuje priesečník výšok, ťažisko a stred kružnice opísanej trojuholníku ABC. Dokážte, že bod T leží na úsečke VS, pričom |VT| : |TS| = 2:1. 3 Charakterizujte množinu všetkých bodov v rovine, pre ktoré je pomer ich vzdialeností od daných dvoch bodov konštantný. 4 Body A′, B′, C′, D′ ležia na odpovedajúcich bočných hranách AV, BV, CV, DV pravidelného štvorbokého ihlana a sú rôzne od bodu V. Dokážte, že tieto body ležia v jednej rovine práve vtedy, keď 1/|VA′| + 1/|VC′| = 1/|VB′| + 1/|VD′|. 5 Daná je kocka ABCDEFGH, |AB| = a. Body K, L, P sú stredy hrán CD, BC, AB, body M, Q, R ležia na hranách GH, EF, FG tak, že |GM| : |MH| = 2 : 1, |EQ| : |QF| = 1 : 4, |FR| : |RG| = 3 : 2. Určte a) vzdialenosť bodu K od roviny PQR b) uhol priamok KL, PQ c) uhol rovín KLM, ABC d) uhol rovín KLM, PQR e) uhol priamky ML s rovinou ABC f) uhol priamky ML s rovinou PQR. I Výsledky a návody 1 Návod: Zvoľte sústavu súradníc ako v príklade 1 a určte rovnice ťažníc. Ešte výhodnejšia je afinná sústava súradníc, v ktorej majú vrcholy trojuholníka súradnice (0,0), (6,0), (0,6). 2 Návod: Zvoľte sústavu súradníc ako v príklade 1 a vypočítajte súradnice bodov V, T a S. Dokážte, že vektor TV je dvojnásobok vektora ST. 3 Kružnica (nazýva sa Apoloniova kružnica), ak sa pomer vzdialeností nerovná 1, ináč priam- ka (os úsečky). Návod: Zvoľte sústavu súradníc tak, aby dané body ležali na osi x a začiatok sústavy súradníc bol ich stredom. 7 4 Návod: Zvoľte sústavu súradníc tak, aby body A, B, V ležali na súradnicových osiach: A = (k,0,0), B = (0,k,0),..., V = (0,0,v). Vtedy A′ = (a, 0, (k−a)v/k),... 5 a) 40a/√2581 b) približne 78,28° c) približne 83,28° d) približne 83,25° e) približne 50,19° f) približne 27,95°. Návod sústavu súradníc prispôsobte kocke: A = (0,0,0), B = (a,0,0),..., H = (0,a,a). 8 1 Vektory v geometrii 24.09.13 24.09.12 Priestor z intuitívnej (školskej) geometrie nazývame trojrozmerný euklidovský priestor, skrá- tene euklidovský priestor alebo iba priestor. Označujeme ho E3. Pevne zvolenú rovinu v ňom označujeme E2, a pevne zvolenú priamku E1. Ich spoločné vlastnosti budeme skúmať ako vlastnosti n-rozmerného euklidovského priestoru En, n = 1, 2, 3. Teda: symbol En znamená celý priestor E3 alebo v ňom pevne zvolenú rovinu E2 resp. priamku E1. Geometriu nebudujeme axiomaticky. Nadväzujeme na vedomosti z učiva geometrie na stred- nej škole. Predpokladáme teda, že sú známe základné objekty geometrie (body, priamky, ro- viny, úsečky, polpriamky,...) a vzťahy medzi nimi (rovnobežnosť, kolmosť, vzdialenosti, uhly,...). Pre väčšie pohodlie predpokladané skutočnosti sumarizujeme v kapitole 15 Niektoré fakty z planimetrie a stereometrie. V celom kurze slovo „číslo“ znamená podľa kontextu reálne číslo alebo celé resp. prirodzené číslo. Množinu (presnejšie teleso) reálnych čísel označujeme R. A Orientované úsečky 1.1 Orientovaná úsečka je úsečka spolu s poradím jej krajných bodov. Pripúšťame aj nulové úsečky, čo sú úsečky s totožnými krajnými bodmi (nulová úsečka pozostáva z jediného bodu, je to jej krajný bod.). Nenulová úsečka AB je podkladom pre práve dve orientované úsečky označované AB (prvý krajný bod je A, druhý B) a BA (prvý krajný bod je B, druhý A). Nulová úsečka AA vedie k jedinej orientovanej úsečke, lebo jej krajné body možno zoradiť jediným spôsobom, je totiž iba jeden krajný bod. Nenulovú orientovanú úsečku znázorňujeme (rovnou) šípkou, ktorá za- čína v prvom a končí v druhom krajnom bode orientovanej úsečky. 1.2 Dĺžka orientovanej úsečky je dĺžka jej podkladovej (neorientovanej) úsečky, teda vzdiale- nosť jej krajných bodov. Je zrejmé, že nenulová orientovaná úsečka má kladnú dĺžku a nulová orientovaná úsečka nulovú dĺžku. Nenulové úsečky sú rovnobežné práve vtedy, keď sú rovnobežné priamky, na ktorých úsečky ležia. 1.3 Každé dve nulové úsečky sú rovnako orientované, nenulová orientovaná úsečka nie je rovnako orientovaná so žiadnou nulovou orientovanou úsečkou. Nenulové orientované úsečky AB, CD, ktoré ležia na jednej priamke, sú rovnako orientované, ak jedna z polpriamok AB, CD je časťou druhej. Nenulové orientované úsečky AB, CD, ktoré neležia na jednej priamke, sú rovnako orientované, ak sú rovnobežné, a ak polrovina ACB (s hraničnou priamkou AC a obsahujúca bod B) splýva s polrovinou ACD. O rovnako orientova- ných úsečkách hovoríme, že majú rovnaký smer resp. rovnakú orientáciu. Poznamenajme, že slovo „smer“ sa v geometrii používa vo viacerých významoch (podobne ako nie- ktoré ďalšie slová, napr. uhol, výška,...). Teraz sa myslí orientovaný smer, ktorý závisí nielen od úsečky, ale aj od jej orientácie. Keď sa zmení orientácia úsečky, zmení sa aj jej smer. B Vektory 1.4 Každá orientovaná úsečka určuje vektor. Dve orientované úsečky určujú rovnaký vektor, ak majú rovnakú dĺžku a rovnaký smer. Všetky nulové úsečky zrejme určujú rovnaký vektor, nazývame ho nulový vektor. Množinu všetkých vektorov priestoru En, n = 1,2,3, nazývame vektorová zložka euklidovského priestoru En a zapisujeme ju symbolom V(En). Dôležité upozornenie: Vektor nie je orientovaná úsečka, ona ho iba určuje. Jeden vektor možno určiť nekonečne veľa orientovanými úsečkami. 9 1.5 Umiestnením vektora nazývame každú orientovanú úsečku, ktorá ten vektor určuje. Umiestnením vektora do bodu nazývame také jeho umiestnenie, ktorého prvým krajným bo- dom je daný bod. (Ak je vektor určený orientovanou úsečkou AB, tak táto je umiestnením toho vektora do bodu A.) 1.6 Vektor určený orientovanou úsečkou AB zapisujeme B − A. Teda B − A = D − C práve vtedy, keď (1.1a) |AB| = |CD| (1.1b) orientované úsečky AB, CD majú rovnaký smer Je zrejmé, že orientovaná úsečka AB je umiestnením vektora B − A do bodu A. Možno podivný spôsob zápisu vektora ako rozdielu dvoch bodov je inšpirovaný výpočtom jeho súrad- níc. Vo vete 3.6b sa totiž hovorí: Ak má bod A súradnice (a1, a2, a3) a bod B súradnice (b1, b2, b3), tak vektor B − A má súradnice (b1 − a1, b2 − a2, b3 − a3). Teda od súradníc bodu B sa odpočítavajú súradni- ce bodu A, symbolicky B − A. Vektory budem v našom texte zapisovať tučnými latinskými písmenami (a, b,...), v písanej podobe používame latinské písmeno s pruhom ( a ,b ,... ). V iných zdrojoch sa pomerne často r r používajú aj symboly so šípkou a , b ,... a vektor B − A sa vtedy zvykne zapisovať AB. Nulový vektor označujeme symbolom 0 (v tlačenej podobe) resp. 0 (v písanej podobe). Teda (1.2) B − A = 0 práve vtedy, keď A = B Špeciálne (1.2a) A − A = 0 pre všetky body A 1.7 Príklad Určovanie vektorov orientovanými úsečkami môžeme jednoducho ilustrovať na rovnobežníku ABCD: B − A = C − D, D − A = C − B, ale B − A ≠ D − C, hoci orientované úsečky AB a CD majú rovnakú dĺžku a sú rovnobežné. Nemajú ale rovnaký smer. Vektor sme definovali nepriamo – nepovedali sme, čo vektor je, ale ako je určený. Takúto nepriamu definíciu môžeme však bez problémov prepísať do priamej podoby: Najprv sa dokáže, že relácia „ur- čovať rovnaký vektor“ je ekvivalenciou na množine všetkých orientovaných úsečiek. Potom sa jedno- ducho povie, že vektor je trieda rozkladu vzhľadom na túto ekvivalenciu. Môžeme teda povedať, že vektor je množina všetkých orientovaných úsečiek, ktoré sú navzájom rovnako dlhé a rovnako orien- tované. Pretože trieda rozkladu je určená svojím ľubovoľným reprezentantom, vektor je určený orien- tovanou úsečkou (ktorá je jeho prvkom resp. umiestnením). Poznamenajme, že vzťah orientovanej úsečky k vektoru je taký istý ako vzťahom zlomku k racionál- nemu číslu: Nech a, b, c, d sú celé čísla, pričom b, d ≠ 0. Každý zlomok a/b určuje racionálne číslo. Zlomky a/b a c/d určujú rovnaké racionálne číslo práve vtedy, keď ad = bc. Namiesto frázy „zlomky určujú rovnaké racionálne číslo“ sa kvôli jednoduchosti hovorí, že „zlomky sa navzájom rovnajú“. Treba si však uvedomiť, že tu nejde o rovnosť v základnom zmysle slova, ale o ekvivalenciu. Zlomok je totiž (neobvykle zapísaná) usporiadaná dvojica celých čísel s nenulovou druhou zložkou. Základná rovnosť zlomkov teda znamená, že sa navzájom rovnajú ich čitatele a menovatele. Takto sa stalo, že racionálne číslo je množina všetkých navzájom ekvivalentných teda „rovnajúcich sa“ zlomkov (vzhľadom na „rovnosť“ a/b = c/d ⇔ ad = bc). V tomto duchu sa niekedy namiesto frázy „orientované úsečky určujú rovnaký vektor“ hovorí jedno- duchšie (ale menej presne) „orientované úsečky sa rovnajú“. Vtedy vektor je množina všetkých navzá- jom sa rovnajúcich orientovaných úsečiek (vzhľadom na „rovnosť“ vyjadrenú podmienkami „rovnaká dĺžka“ a „rovnaký smer“). 1.8 Veta Pre každý bod A a pre každý vektor u existuje práve jeden bod B, pre ktorý u = B − A. Inými slovami: každý vektor možno umiestniť do ľubovoľného bodu, a to jediným spôsobom. 10 Dôkaz prenechávame čitateľovi. Je dobrým cvičením na pochopenie pojmu vektor. 1.9 Bod B z vety 1.8 zapisujeme A + u. Je to druhý krajný bod orientovanej úsečky, ktorá je umiestnením vektora u do bodu A. (Prvým krajným bodom tej orientovanej úsečky je bod A.) Hovoríme tiež, že bod B = A + u vznikol z bodu A posunutím o vektor u. 1.10 Veta Pre všetky body A, B a pre všetky vektory u, v platí (1.3) B=A+u ⇔ u=B−A (1.4) A + (B − A) = B (1.5) (A + u) − A = u (1.6) A+0=A (1.7) A+u=A+v ⇒ u=v (zákon krátenia bodov) Dôkaz Prvé štyri tvrdenia vyplývajú priamo z definícií operácií „súčet bodu s vektorom“ a „rozdiel bodov“. Posledné tvrdenie vyplýva z (1.5): u = (A + u) − A = (A + v) − A = v. Poznámky 1. Rovnosť (1.3) hovorí, že súčet bodu s vektorom a rozdiel bodov sú navzájom inverzné operácie. 2 Všetky tvrdenia vety sú analógie sú dobre známych vlastností sčitovania a odčitovania čí- siel. Dodatočne potvrdzujú, že zápis vektora ako rozdielu dvoch bodov bol dobrý nápad. 3 Konverzia bodov na vektory a vektorov na body: Pri pevne zvolenom bode A sú zobrazenia E3 → V(E3), X → X − A a V(E3) → E3, x → A + x navzájom inverzné bijekcie. C Sčitovanie vektorov 1.11 Súčet vektorov definujeme takto: (1.8) u + v = ((A + u) + v) − A Menej formálne: Zvolíme si ľubovoľný bod A, posunieme ho o vektor u, vznikne bod B = A + u, ten posunieme o vektor v do bodu C = B + v. Vektor u + v je určený orientovanou úsečkou AC. Mali by sme sa presvedčiť, že takto definovaný vektor u + v nezávisí od bodu A, ktorý sme zvolili na začiatku. Nebudeme to však robiť, lebo nemáme k dispozícii dosť času a najmä nemáme dostatočne presne vybudovanú geometriu. 1.12 Veta Pre všetky body A, B, C a vektory u, v platí (1.9) (A + u) + v = A + (u + v) (asociatívny zákon sčitovania bodov a vektorov) (1.10) C − A = (B − A) + (C − B) (trojuholníkové pravidlo) Vzhľadom na (1.9) bod (A + u) + v = A + (u + v) zapisujeme jednoducho A + u + v. Dôkaz Prvé tvrdenie je zrejmým dôsledkom rovností (1.8) a (1.3). Druhé tvrdenie dostaneme z rovnosti (1.8) pre u = B − A, v = C − B a z rovnosti (1.4), ktorú použijeme dvakrát: (B − A) + (C − B) = [(A + (B − A)) + (C − B)] − A = [B + (C − B)] − A = C − A. 1.13 Bez dôkazu uvádzame, že pre všetky vektory a, b, a c platí (1.11) b+a=a+b (komutatívny zákon sčitovania vektorov) (1.12) a + (b + c) = (a + b) + c (asociatívny zákon sčitovania vektorov) (1.13) a+0=a (0 je neutrálny prvok pre sčitovanie vektorov) Ku každému vektoru a existuje jednoznačne určený opačný vektor −a charakterizovaný rov- nosťou (1.14) a + (−a) = 0 (zákon opačného vektora) 11 Učene možno povedať, že vektorová zložka V(En) euklidovského priestoru En, n = 1,2,3, tvorí spolu s operáciou sčitovania vektorov komutatívnu grupu. Z vlastností (1.10) a (1.2a) vyplýva, že (B − A) + (A − B) = A − A = 0, preto (1.15) −(B − A) = A − B Rovnosť (1.10) môžeme pomocou komutatívneho zákona prepísať do krajšej podoby (1.16) C − A = (C − B) + (B − A) (trojuholníkové pravidlo) D Násobenie vektora reálnym číslom 1.14 Pre nenulový vektor u = B − A a pre nezáporné reálne číslo k definujeme ku = C − A, kde C je bod polpriamky AB, pre ktorý |AC| = k|AB|. (Opäť treba dokázať nezávislosť vektora ku od umiestnenia vektora u, čo znova vynechávame.) Ďalej definujeme ku = (−k)(−u) ak k < 0 a u ≠ 0, 0u = k0 = 0 pre všetky vektory u a čísla k. Poznámky 1 Pre nenulový vektor u = B − A leží bod A + ku na polpriamke AB pre k>0 resp. na opačnej polpriamke pre k 0. 1.15 Možno dokázať, že pre všetky vektory a, b a pre všetky čísla k, l platí (1.17) k(la) = (kl)a (1.18) k(a + b) = ka + kb (1.19) (k + l)a = ka + la (1.20) 1a = a Rovnosti (1.11) – (1.14) spolu s (1.17) – (1.20) znamenajú, že množina vektorov V(En), n = 1,2,3, spolu s vyššie definovanými operáciami sčitovania vektorov a násobenia vektora reál- nym číslom je vektorový priestor nad poľom reálnych čísiel v zmysle abstraktnej lineárnej algebry. V nasledujúcej kapitole uvidíme, že vektorový priestor V(En) je n-rozmerný. E Alternatívne geometrické definície vektora 1.16 Definíciu vektora z odseku 1.4 možno trochu zjednodušiť, lebo na určenie vektora nepo- trebujeme celú orientovanú úsečku, postačia jej krajné body. Môžeme teda povedať, že vektor je určený usporiadanou dvojicou bodov: (A, B) → B − A. Druhá časť definície sa nemení: Dve usporiadané dvojice bodov určujú rovnaký vektor, ak odpovedajúce orientované úsečky sú rovnako dlhé a rovnako orientované. K základnému spôsobu určovania vektorov uvedieme bez dôkazov tri alternatívy. 1.17 Ekvipolentné dvojice bodov. Stred dvojice bodov A, B, čo je stred odpovedajúcej úsečky, zapíšeme S(A,B). Pomocou operácií s bodmi a vektormi ho zrejme môžeme vyjadriť takto (1.21) S(A,B) = A + ½(B − A) Usporiadané dvojice bodov (A, B) a (C, D) určujú rovnaký vektor práve vtedy, keď dvojice bodov (A, D) a (B, C) majú rovnaký stred, čiže (1.22) B − A = D − C ⇔ S(A,D) = S(B,C) 12 Hovoríme, že usporiadané dvojice bodov (A, B), (C, D) s vlastnosťou S(A,D) = S(B,C) sú ekvipolentné. Teda dve usporiadané dvojice bodov určujú rovnaký vektor práve vtedy, keď sú ekvipolentné. 1.18 Vektor ako posunutie. Každá usporiadaná dvojica bodov určuje posunutie (transláciu). Posunutie určené dvojicou bodov (A,B) zapíšeme tAB. Je to posunutie, v ktorom sa bod A zob- razuje do bodu B: tAB(A) = B. Usporiadané dvojice bodov (A, B), (C, D) určujú rovnaký vektor práve vtedy, keď určujú to isté posunutie, teda (1.23) B − A = D − C ⇔ tAB = tCD. V tomto prístupe vektory stotožňujeme s posunutiami. Posunutia sú zobrazenia v rámci jedného priestoru, preto ich môžeme skladať. Zloženie posu- nutí znamená súčet vektorov: (1.24) ak u = tAB a v = tBC, tak u + v = tAC = tBC ◦ tAB. Poznamenajme, zobrazenia skladáme sprava doľava, čiže (tBC ◦ tAB)(X) = tBC (tAB(X)) pre všet- ky body X∈En. 1.19 Iná charakterizácia vektora posunutiami. Usporiadané dvojice bodov (A, B), (C, D) urču- jú rovnaký vektor práve vtedy, keď bod D je obrazom bodu B v posunutí tAC: (1.25) B − A = D − C ⇔ D = tAB(C) Teda dve usporiadané dvojice bodov určujú rovnaký vektor práve vtedy, keď jedna vznikne z druhej posunutím. F Zovšeobecnenie Euklidovský priestor dimenzie 3, ktorého jednu konkrétnu realizáciu sme opísali, sa zovšeo- becňuje na euklidovský priestor En ľubovoľnej dimenzie n, kde n nezáporné celé číslo. Pri tomto zovšeobecnení sa postup tejto kapitoly do istej miery obracia naruby. 1.20 Euklidovský priestor sa skladá z troch zložiek: 1. Z neprázdnej množiny En, jej prvky nazývame body euklidovského priestoru. Hovoríme tiež, že En je bodová zložka euklidovského priestoru. 2. Z n-rozmerného vektorového priestoru nad poľom reálnych čísel V(En), nazývame ho vek- torová zložka euklidovského priestoru. Prvky vektorového priestoru V(En) sú vektory eukli- dovského priestoru. 3. Zo zobrazenia En×En → V(En), ktoré zapisujeme ako rozdiel bodov: usporiadanej dvojici bodov (A,B) je priradený vektor B − A. Ako sú body, vektory a operácie s nimi definované, nás nezaujíma. Vyžadujeme iba, aby pri- radenie En×En → V(En) spĺňalo dve podmienky (A1) ∀A∈En ∀u∈V(En) ∃!B∈En u = B − A (A2) ∀A,B,C∈En C − A = (C − B) + (B − A) Ukázali sme, pozri rovnosti (1.11) – (1.14) a (1.17) – (1.20), že je množina V(E3) z tejto kapitoly je vektorový priestor, v nasledujúcej kapitole ukážeme, má dimenziu 3. Podmienka (A1) je naša veta 1.8 a (A2) je rovnosť (1.16). Môžeme teda povedať, že priestor intuitívnej geometrie je modelom abstraktného trojrozmerného euklidovského priestoru. Terminologické upresnenie: Opísaný n-rozmerný priestor En sa správne nazýva n-rozmerný afinný priestor. Euklidovský priestor je afinný priestor, v ktorého vektorovej zložke je zadaný skalárny súčin. 13 Priestory vyššieho rozmeru ako 3 nie sú iba bezobsažné matematické abstrakcie, lebo majú mnohé aplikácie vo vedách i v praxi. Používať termín „n-rozmerný euklidovský priestor“ je užitočné aj pre n ≤ 3. Vtedy n je jednoducho skratka, ktorá nám umožňuje skúmať spoločné vlastnosti priamky, roviny a celého priestoru naraz. G Úlohy 1 Daný je rovnobežník ABCD. Vyjadrite vektor M − A ako lineárnu kombináciu vektorov a = B − A a b = D − A, ak a) M = B b) M = C c) M je priesečník uhlopriečok rovnobežníka d) M je stred strany AD e) M je stred strany CD f) M rozdeľuje stranu BC v pomere 2:1. 2 Daný je pravidelný šesťuholník ABCDEF. Vyjadrite zadané vektory ako lineárne kombiná- cie vektorov a = B − A, b = F − A. a) C − B b) D − C c) E − F d) E − D e) E − B f) E − C g) D − F. 3 Body E, F sú stredy základní AB, CD lichobežníka ABCD, v ktorom |CD| = k|AB|. Vyjadrite vektor F − E ako lineárnu kombináciu vektorov a = B − A a b = D − A. 4 Daný je trojuholník ABC. Dokážte, že bod M leží na priamke AB práve vtedy, keď M − C = a(A − C) + b(B − C) a a + b = 1. 5 Dané sú body A, B, C, D a M = S(A,B), N = S(C,D). Vyjadrite vektor N − M ako lineárnu kombináciu vektorov D − A a C − B. 6 Nech M = A + k(B − A), N = D + k(C − D), k∈R. a) Vyjadrite vektor N − M ako lineárnu kombináciu vektorov D − A a C − B. b+) Dokážte: Ak body A, B, C, D neležia v rovine, tak priamka MN je rovnobežná s rovinou ADE, kde E = A + (C − B). 7 V rovine ABC je daný bod M s vlastnosťou (A − M) + 2(B − M) + 3(C − M) = 0. a) Vyjadrite vektor (M − A) ako lineárnu kombináciu vektorov B − A a C − A. b)+ Leží bod M v trojuholníku ABC? 8 Dané sú body A, B,C. Označme: a = B − A, b = C − A, T = A + 1/3a + 1/3b, A′ = S(B,C), B′ = S(C,A), C′ = S(A,B). a) Dokážte: T − A = 2/3(A′ − A), T − B = 2/3(B′ − B), T − C = 2/3(C′ − C). b) Tvrdenie z časti a) interpretujte ako vetu o ťažniciach trojuholníka. 9 Na hranách štvorstena ABCD nájdite všetky také body K∈AB, L∈BC, M∈CD, N∈DA, že L − K = M − N. H Výsledky a návody 1 a) 1a + 0b b) 1a + 1b c) ½a + ½b d) 0a + ½b e) ½a + 1b f) 1a + 2/3b 2 a) a + b b) 0a + 1b c) a + b d) (−1)a + 0b e) 0a + 2b f) (−1)a + 1b g) 2a + b 3 (k−1)/2 a + b Návod: D − C = k(B − A), E − A = ½(B − A). 4 Návod: Začnite so vzťahom medzi vektormi M − A a B − A pre M z priamky AB. 5 ½(D − A) + ½(C − B) 6 a) (1 − k)(D − A) + k(C − B) b) Návod: MN || AF pre F = A + (1 − k)(D − A) + k(E − A). Uvedomte si vzťah medzi priamkou AF a rovinou ABC. 7 a) M − A = 1/3(B − A) + 1/2(C − A) b) Áno 8 a) Návod: T − B = −2/3a + 1/3b, B′ − B = (B′ − A) + (A − B) = 1/2b − a. 9 K = A + k(B − A), L = C + k(B − C), M = C + k(D − C), N = A + k(D − A). Návod: Položte K = A + k(B − A), L = B + l(C − B),... Vektor (L − K) − (M − N) vyjadrite ako lineárnu kom- bináciu vektorov A − D, B − D, C − D a uvedomte si, že tieto vektory sú lineárne nezávislé. 14 2 Priamky a roviny 24.09.15 29.09.14 V tejto kapitole ukážeme, že ku každej priamke a rovine v En, n = 1, 2, 3, prirodzeným spô- sobom patria okrem bodov aj vektory. Presnejšie, zavedieme tzv. vektorovú zložku priamky resp. roviny. Dokážeme, že pre priamku je to jednorozmerný a pre rovinu dvojrozmerný vek- torový podpriestor vektorovej zložky V(En) euklidovského priestoru En. A Smerové vektory priamky a roviny 2.1 Vektor je smerovým vektorom priamky resp. roviny, ak má v tej priamke resp. v tej rovine umiestnenie, teda ak sa dá zapísať ako rozdiel dvoch bodov uvažovanej priamky resp. roviny. Množinu všetkých smerových vektorov priamky resp. roviny nazývame vektorová zložka priamky resp. vektorová zložka roviny. Alternatívne názvy sú smer priamky resp. smer roviny. Vektorovú zložku priamky p resp. roviny α zapisujeme V(p) resp. V(α). Teda (2.1) V(p) = {Y − X∈V(En); X, Y∈p} (2.2) V(α) = {Y − X∈V(En); X, Y∈α} Z definície vektora (odsek 1.4) bezprostredne vyplýva, že každá orientovaná úsečka, ktorá je umiestnením smerového vektora priamky resp. roviny, je s tou priamou resp. rovinou rovno- bežná. Preto bežne hovoríme, že smerový vektor priamky resp. roviny je rovnobežný s priam- kou resp. s rovinou a namiesto u∈V(p) píšeme u || p a podobne pre roviny. O smerovom vek- tore priamky resp. roviny sa niekedy zjednodušene hovorí, že je to vektor priamky resp. vektor roviny a namiesto u∈V(p) sa píše u∈p a podobne pre roviny. Takýto spôsob vyjadrovania a symbolického zápisu je však už na hrane regulárnosti, lebo nerešpektuje typ objektov (prv- kami priamok a rovín sú predsa body), preto odporúčame sa mu radšej vyhýbať. 2.2 Priamku najjednoduchšie zadávame dvomi navzájom rôznymi bodmi: 〈AB〉 je symbolický zápis priamky určenej bodmi A, B, čítame ho „priamka AB“. Rovinu najjednoduchšie zadá- vame tromi bodmi neležiacimi na jednej priamke: 〈ABC〉 je symbolický zápis roviny určenej bodmi A, B, C, čítame ho „rovina ABC“. V analytickej geometrii je výhodné priamky a roviny zadávať bodmi a vektormi. Priamka určená bodom A a nenulovým vektorom b je priamka AB, kde B = A + b; zapisujeme ju 〈Ab〉. Rovina určená bodom A a lineárne nezávislými vektormi a, b je rovina ABC, kde B = A + b a C = A + v; zapisujeme ju 〈Abc〉. Podobne môžeme hovoriť o rovine určenej navzájom rôzny- mi bodmi A, B a pre nenulovým vektorom c; zapisujeme ju 〈ABc〉. Symbolicky 〈Ab〉 = 〈A, A + b〉, 〈Abc〉 = 〈A, A + b, A + c〉 〈AB〉 = 〈A, B − A〉, 〈ABC〉 = 〈A, B − A, C − A〉. B Priamky Pripomeňme, že vektorový podpriestor generovaný vektormi u1,..., uk je množina všetkých lineárnych kombinácií tých vektorov. Zapisujeme ho 〈u1,..., uk〉: 〈u1,..., uk〉 = {c1u1 +... + ckuk; c1,..., ck∈R} Špeciálne pre k = 1 máme 〈u〉 = {cu; c∈R}. 2.3 Veta a) Bod X∈En, n = 1,2,3, leží na priamke 〈Ab〉 práve vtedy, keď existuje také číslo t∈R, že (2.3) X = A + tb Pre priamku určenú bodom A a vektorom b teda platí 15 (2.4) 〈Ab〉 = {X = A + tb∈En; t∈R} b) Ak X∈〈Ab〉, číslo t v rovnostiach (2.3) a (2.4) je bodom X určené jednoznačne. Dôkaz Označme B = A + b. Zrejme B∈〈Ab〉, lebo podľa definície 2.2 〈Ab〉 = 〈AB〉. a) ⇐: Stačí aplikovať poznámku 1.14.1. a) ⇒: Nech X∈〈Ab〉 je ľubovoľný bod. Ak leží na polpriamke AB, položme t = |AX|/|AB| a Y = A + tb. Podľa definície násobenia vektora číslom (odsek 1.14) bod Y leží na polpriamke AB, pričom |AY| = |tb| = t|AB| = |AX|. Pretože X je jediný bod na polpriamke AB, ktorého vzdialenosť od A je |AX|, X = A + tb. Pre X z opačnej polpriamky položíme t = −|AX|/|AB|. b) Z rovností X = A + tb = A + t(B − A) a z definície násobenia vektora číslom vyplýva |t| = |AX|/|AB|, pričom znamienko čísla t je určené polohou bodu X vzhľadom na polpriamku AB. Preto v rovnosti (2.3) je číslo t jednoznačne určené bodom X. 2.4 Veta Vektorová zložka priamky je jednorozmerný vektorový podpriestor vektorovej zlož- ky euklidovského priestoru En. Pre priamku 〈Ab〉 je to podpriestor 〈b〉, čiže V(〈Ab〉) = 〈b〉. Dôkaz Stačí dokázať V(〈Ab〉) = 〈b〉, lebo 〈b〉⊂V(En) je jednorozmerný vektorový podpriestor. ⊂: Nech u∈V(〈Ab〉) je ľubovoľný vektor. Potom podľa definície (2.1) a vety 2.3a u = Y − X, X = A + tb, Y = A + sb, preto Y − X = (A + sb) − (A + tb) = (s − t)b, teda u∈〈b〉. ⊃: Nech u∈〈b〉 je ľubovoľný vektor. Potom u = tb, preto u = (A + tb) − (A + 0b). Z vety 2.3a a z definície (2.1) teda máme u∈V(〈Ab〉). Dôsledok 1 Vektorová zložka priamky je generovaná ľubovoľným nenulovým smerovým vektorom priamky. Dôsledok 2 Vektory b = B − A, c = C − A sú lineárne závislé práve vtedy, keď body A, B, C ležia na priamke (sú kolineárne). Dôsledok 2 hovorí, že vektory B − A, C − A sú lineárne nezávislé práve vtedy, keď body A, B, C nele- žia na priamke. To vysvetľuje, prečo sme v definícii roviny 〈Abc〉 (odsek 2.2) vyžadovali, aby vektory b, c boli lineárne nezávislé. 2.5 Veta Priamky sú rovnobežné práve vtedy, keď ich vektorové zložky sú totožné: (2.5) p || q ⇔ V(p) = V(q) Dôkaz ⇒: Vzhľadom na symetriu relácie p || q stačí dokázať p||q ⇒ V(p)⊂V(q). Nech u = B − A, A, B∈p je ľubovoľný smerový vektor priamky p. Na priamke q vyberieme také body C, D, že |CD| = |AB|. Pretože priamky p, q sú navzájom rovnobežné, rovnobežné sú aj úsečky AB, CD. Z odseku 1.6 a z rovnosti (1.15) vyplýva u = D − C alebo u = C − D, čiže u∈V(q). ⇐: Nech u = B − A, A, B∈p je ľubovoľný nenulový vektor. Pretože V(p) = V(q), u = D − C, C, D∈q. Priamky p, q teda obsahujú nenulové rovnobežné úsečky AB, CD, preto podľa záve- rečnej časti odseku 1.2 sú navzájom rovnobežné. C Roviny 2.6 Veta a) Bod X∈En, n = 2,3, leží v rovine 〈Abc〉 práve vtedy, keď existujú také čísla u,v∈R, že (2.6) X = A + ub + vc Pre rovinu určenú bodom A a vektormi b, c teda platí (2.7) 〈Abc〉 = {X = A + ub + vc∈En; u,v∈R} b) Ak X∈〈Abc〉, čísla u, v v rovnostiach (2.6) a (2.7) sú bodom X určené jednoznačne. 16 Dôkaz Označme B = A + b, C = A + c. Zrejme B,C∈〈Abc〉, lebo 〈Abc〉 = 〈ABC〉. Preto aj priamky p = 〈Ab〉 = 〈AB〉 a q = 〈Ac〉 = 〈AC〉 ležia v rovine 〈Abc〉. Podľa dôsledku 2 vety 2.4 sú priamky p, q rôznobežné. a) ⇐: Pre bod X = A + ub + vc označme X1 = A + ub. Podľa vety 2.3a bod X1 leží na priamke 〈Ab〉, teda aj v rovine 〈Abc〉. Pretože X = X1 + vc, bod X leží na priamke q′ = 〈X1c〉 (veta 2.3a). Pretože priamka q′ je rovnobežná s priamkou q roviny ABC (veta 2.5) a má s tou rovinou spo- ločný bod (bod X1), q′ leží v rovine 〈Abc〉, preto X∈〈Abc〉. a) ⇒: Nech X∈〈Abc〉 je ľubovoľný bod. Veďme ním priamku q″ rovnobežne s 〈Ac〉. Táto priamka je rovnobežná s rovinou 〈Abc〉 (odsek 15.2.6) a má s ňou spoločný bod X, preto v nej leží a je rôznobežná s priamkou 〈Ab〉. Priesečník priamok q″ a 〈Ab〉 označme X1. Pretože X1∈〈Ab〉, X1 − A = ub. Pretože X1∈q″a q″ || 〈Ac〉, X − X1 = vc. Preto X − A = (X − X1) + (X1 − A) = ub + vc. Teda X = A + ub + vc. b) Priesečník X1 = q″∩〈Ab〉 je bodom X učený jednoznačne, a ním sú podľa vety 2.3b čísla u, v v rovnostiach X1 = A + ub a X = X1 + vc určené jednoznačne. 2.7 Veta Vektorová zložka roviny je dvojrozmerný vektorový podpriestor vektorovej zložky euklidovského priestoru. Pre rovinu 〈Abc〉 je to podpriestor 〈bc〉, čiže V(〈Abc〉) = 〈bc〉. Dôkaz Stačí dokázať V(〈Abc〉) = 〈bc〉, lebo 〈bc〉⊂V(En) je dvojrozmerný vektorový podprie- stor. ⊂: Nech u∈V(〈Abc〉) je ľubovoľný vektor. Potom podľa definície (2.2) a vety 2.5a u = Y − X, X = A + ub + vc, Y = A + tb + sc, preto Y −X = (A + tb + sc) − (A + ub + vc) = (t − u)b + (s − v)c, teda u∈〈bc〉. ⊃: Nech u∈〈bc〉 je ľubovoľný vektor. Potom u = ub + vc, preto u = (A + ub + vc) − (A + 0b + 0c). Z vety 2.6a z definície (2.2) teda máme u∈V(〈Abc〉). Dôsledok 1 Vektorová zložka roviny je generovaná ľubovoľnými dvomi lineárne nezávislými smerovými vektormi roviny. Dôsledok 2 Vektory b = B − A, c = C − A, d = D − A sú lineárne závislé práve vtedy, keď body A, B, C, D ležia v rovine (sú komplanárne). Dôsledok 3 Nech A je spoločný bod priamky p s rovinou α a nech V(p) ⊂ V(α). Potom p ⊂ α. Dôsledok 4 Ak A∈α a u∈V(α) je nenulový vektor, tak priamka Au leží v rovine α. Dôkaz dôsledku 3 V rovine α zvoľme dva lineárne nezávislé vektory u, v tak, že u∈V(p). Na základe vety 2.3a pre ľubovoľný bod X∈p platí X = C + tu. Pretože X = C + tu + 0v, podľa vety 2.6a leží bod X v rovine α = 〈Cuv〉, teda p ⊂ α. 2.8 Veta a) Priamka je rovnobežná s rovinou práve vtedy, keď každý smerový vektor priamky je smerovým vektorom roviny: (2.8) p || α ⇔ V(p) ⊂ V(α) b) Roviny sú navzájom rovnobežné práve vtedy, keď majú rovnaké smerové vektory: (2.9) α || β ⇔ V(α) = V(β) Dôkaz a) V rovine α zvoľme ľubovoľný bod C a veďme ním priamku q rovnobežne s p. Pod- ľa vety 2.5 V(p) = V(q). ⇒: Pretože priamka q je rovnobežná s priamkou p a tá je rovnobežná s rovinou α, je aj priam- ka q rovnobežná s tou rovinou. Navyše má s ňou spoločný bod (bod C), preto v nej leží. Z (2.1) a (2.2) tak vyplýva V(q) ⊂ V(α). Z rovnosti V(p) = V(q) dostávame V(p) ⊂ V(α). 17 ⇐: Nech V(p) ⊂ V(α). Z rovnosti V(p) = V(q) dostávame V(q) ⊂ V(α). Pretože C∈q∩α, z dôsledku 3 vety 2.7 dostávame, že q⊂α. Priamka p je teda rovnobežná s priamkou q roviny α, preto je rovnobežná s tou rovinou (odsek 15.2.6). b) ⇒: Rovnako ako v prípade dvoch priamok stačí dokázať α || β ⇒ V(α) ⊂ V(β). Ľubovoľný vektor u∈V(α) je smerovým vektorom nejakej priamky p roviny α. Podľa 15.2.11 je priamka p rovnobežná s rovinou β, preto podľa časti a) u∈V(β). ⇐: Nech V(α) = V(β) a nech p ⊂ α je ľubovoľná priamka. Potom V(p) ⊂ V(α) a V(α) = V(β), preto podľa časti a) p || β. Na záver sa použije kritérium rovnobežnosti rovín 15.2.10. D Priestor E3 2.9 Veta V E3 je daný bod A a lineárne nezávislé vektory b,c,d. Pre každý bod X∈E3 existuje práve jedna trojica čísel (u,v,w)∈R3, pre ktorú platí (2.10) X = A + ub + vc + wd Dôkaz sa bude podobať na dôkaz vety 2.6. a) Existencia: Nech X∈E3 je ľubovoľný bod. Veďme ním priamku q″ rovnobežne s 〈Ad〉. Pod- ľa vety 2.5 q″ = 〈Xd〉. Z predpokladu o nezávislosti vektorov b,c,d vyplýva, že priamka q″ je rôznobežná s rovinou 〈Abc〉 (použili sme vetu 2.8a). Priesečník priamky q″ s rovinou 〈Abc〉 označme X1. Z vety 2.3a dostávame, že X = A + (X1 − A) + wd pre nejaké w∈R. Pretože X1∈〈Abc〉, z vety 2.6a máme X1 − A = ub + vc, teda X = A + ub + vc + wd. b) Jednoznačnosť: Priesečník X1 = q″∩〈Abc〉 je bodom X určený jednoznačne, a ním sú podľa viet 2.6b a 2.3b čísla u, v, w v rovnostiach X1 = A + ub + vc a X = X1 + wd určené jednoznač- ne. 2.10 Veta Vektorová zložka V(E3) priestoru E3 je trojrozmerný vektorový priestor. Dôkaz V priestore E3 existujú štyri body A, B, C, D neležiace v jednej rovine. Podľa dôsledku 2 vety 2.7 sú vektory b = B − A, c = C − A, d = D − A lineárne nezávislé. Pre ľubovoľný ďalší vektor x vytvorme bod X = A + x. Zo vzorca (2.10) vyplýva, že x = ub + vc + wd. Vektory b, c, d teda generujú vektorový priestor V(E3). Tvoria teda bázu vo V(E3), preto dimV(E3) = 3. E Podpriestory 2.11 Pre vektorový podpriestor U vektorového priestoru V(E3) a pre bod A∈E3 definujme množinu bodov A + U ako množinu súčtov bodu A so všetkými vektormi z U: (2.11) A + U = {A + u; u∈U} Množina bodov A + U nazýva (bodový) podpriestor euklidovského priestoru E3. Vektorový priestor U sa nazýva vektorová zložka podpriestoru α = A + U a označuje sa V(α). Dimenzia podpriestoru α je dimenzia jeho vektorovej zložky: dimα = dimV(α). Analogicky postupuje- me aj v E2 a v E1. 2.12 Poznámky 1. Pre podpriestor α = A + U platí A∈α, lebo A = A + 0 a 0∈U. 2 Pre každý bod X∈E3 zrejme platí (2.12) X∈A + U ⇔ X − A∈U 2.13 Poznámky 1. Z viet 2.4 a 2.3 resp. 2.7 a 2.6 vyplýva: Ak si v priamke p resp. v rovine α zvolíme bod A, tak (2.13) p = A + V(p) resp. α = A + V(α). 18 pričom V(p) resp. V(α) je jednorozmerný resp. dvojrozmerný podpriestor vektorového prie- storu V(E3). To znamená, že priamky sú jednorozmerné a roviny dvojrozmerné podpriestory euklidovského priestoru E3 v zmysle definície 2.11. Naopak, jednorozmerný podpriestor A + U je priamka. Naozaj, zvolíme si nenulový vektor u∈U, vytvoríme bod B = A + u a priamku p = 〈AB〉. Jej smer V(p) je jednorozmerný vektoro- vý priestor generovaný vektorom u, teda podpriestor U. Z predošlého vyplýva p = A + V(p) = A + U, teda podpriestor A + U je priamka p. Analogicky, dvojrozmerný podpriestor A + U je rovina. Zhrnieme: Spoločné vlastnosti priamok a rovín môžeme skúmať naraz ako vlastnosti podprie- storov. 2. Pre každý bod A∈E3 zrejme platí E3 = A + V(E3), pričom V(E3) je trojrozmerný vektorový podpriestor seba samého. Preto celý euklidovský priestor E3 je svojím trojrozmerným pod- priestorom. V E3 je to jediný trojrozmerný podpriestor. 3. Pre každý bod A∈E3 zrejme platí {A} = A + {0}, pričom {0} je nularozmerný podpriestor vektorového priestoru V(E3). Preto jednobodové množiny sú nularozmerné podpriestory euk- lidovského priestoru E3. Kvôli jednoduchšiemu a zrozumiteľnejšiemu vyjadrovaniu je v geo- metrii zvykom stotožňovať jednobodové množiny s ich prvkami. Napríklad hovoríme, že prienikom priamok p, q je bod A, hoci správne by to mala byť množina {A}. Preto zjednodu- šene (i keď nepresne) hovoríme, že body sú nularozmerné podpriestory euklidovského prie- storu E3. 4. V analytickej geometrii sa slovo „podpriestor“ vyskytuje v dvoch významoch – ako špeci- fická množina bodov a ako špecifická množina vektorov. Aby sme ich odlíšili, mali by sme písať „bodový podpriestor“ a „vektorový podpriestor“. Oba prívlastky sa bežne vynechávajú, lebo z kontextu je vždy jasné, o aký typ podpriestoru ide. F Zovšeobecnenie 2.14 (Bodový) podpriestor n-rozmerného euklidovského priestoru En z odseku 1.20 definuje- me v zhode s definíciou 2.11: je to podmnožina v En tvaru α = A + U = {A + u; u∈U}, kde A∈En a U je podpriestor vektorového priestoru V(En). Prívlastok „bodový“ spravidla vyne- chávame, jednoducho hovoríme „podpriestor“. Dimenzia podpriestoru α = A + U sa definuje ako dimenzia jeho vektorovej zložky V(α) = U, teda dimα = dimU. Jednorozmerné podprie- story v En nazývame priamky, dvojrozmerné roviny, euklidovského priestoru En. 2.15 Podpriestor n-rozmerného euklidovského priestoru En s dimenziou n − 1 nazývame nad- rovina. Teda v E3 je nadrovinou rovina, v E2 je nadrovinou priamka. Dôvodom pre zavedenie pojmu „nadrovina“ je skutočnosť, že priamky v 2D majú napodiv veľa spoločných vlastností s rovinami v 3D. Presvedčíme sa o tom v nasledujúcich kapito- lách, pozri napr. dôsledky 1 a 3 vety 4.11. Dodajme, že v E1 je nadrovinou bod. 2.16 Veľmi užitočná charakterizácia podpriestorov (uvádzame ju bez dôkazu): Množina α ⊂ En je podpriestor práve vtedy, keď je neprázdna a s každými svojimi bodmi body A, B obsahuje bod A + t(B − A) pre všetky t∈R. Geometrický zmysel uvedenej podmienky je nasledovný. Pre A = B je podmienka prázdna, t.j. vždy splnená, lebo vtedy A + t(B − A) = A. Pre A ≠ B leží bod A + t(B − A) na priamke AB, preto podmienka vyžaduje, aby podpriestor s každými dvomi rôznymi bodmi obsahoval aj priamku nimi určenú, teda aby podpriestory prevzali od roviny vlastnosť 15.1.4. G Úlohy výnimočne nie sú. 19 3 Súradnice 24.09.15 19.09.14 V tejto kapitole ukážeme, že body a vektory trojrozmerného priestoru E3 resp. jeho pevne zvolenej roviny E2 či priamky E1 môžeme reprezentovať súradnicami. Nadviažeme na výsledky predošlej kapitoly. Napríklad vetu 2.6 môžeme vyjadriť pre n = 2 v inom označení takto: Ak je v rovine E2 daný bod O a báza e1, e2 vektorovej zložky V(E2), tak pre každý bod X∈E2 existuje práve jedna usporiadaná dvojica čísel (x1, x2), pre ktorú (a) X = O + x1e1 + x2e2 Túto dvojicu čísel nazveme súradnice bodu X. Rovnosť (a) je ekvivalentná s (b) X − O = x1e1 + x2e2 To znamená, že (c) súradnice bodu X sú súradnice vektora X − O v báze e1, e2. A Súradnice bodu a vektora 3.1 Poznámka Kvôli úspore miesta a času budeme učivo kapitoly formulovať takmer vždy iba pre prípad trojrozmerného priestoru. Spracovanie dvojrozmerných resp. jednorozmerných analógií prenecháme čitateľovi. Samozrejme, dimenzie 1, 2, 3 by sme mohli spracovať naraz v priestore En, n = 1,2,3. Kto chce, nech si to tak urobí. 3.2 Afinná sústava súradníc v euklidovskom priestore E3 sa skladá z bodu a z bázy vektoro- vej zložky priestoru. Niekedy sa používa názov lineárna sústava súradníc. Názov „afinná sústava súradníc“ spravidla skracujeme na „sústava súradníc“. Podľa vety 2.10 báza vektorovej zložky priestoru E3 pozostáva z troch (lineárne nezávislých) vekto- rov. Pre afinnú sústavu súradníc O, e1, e2, e3 bod O nazývame začiatok sústavy súradníc a vektory e1, e2, e3 nazývame súradnicovými vektormi (hovoríme im prvý, druhý, tretí súradnicový vek- tor). Priamky určené začiatkom sústavy súradníc a súradnicovými vektormi nazývame súrad- nicové osi a hovorím o prvej, druhej a tretej súradnicovej osi. Roviny určené začiatkom sústa- vy súradníc a dvomi z troch súradnicových vektorov sa nazývajú súradnicové roviny. Vektor X − O nazývame polohový vektor bodu X∈E3 vzhľadom na sústavu súradníc O, e1, e2, e3, presnejšie vzhľadom na začiatok sústavy súradníc. Niekedy sa možno stretnúť s nesprávnym pomenovaním polohového vektora rádiusvektor. Poznamenajme, že v súvislosti so súradnicami chápeme bázu vektorového priestoru V(E3) ako usporiadanú trojicu vektorov. Rovnako, sústava súradníc v E3 je usporiadaná štvorica (O,e1,e2,e3). V názve sústavy súradníc sa prívlastok „afinná“ vysvetľuje tromi skutočnosťami: 1. V 2D a v 3D pomerne často pracujeme s tzv. afinnými transformáciami. Medzi ne patria napríklad všetky zhodnosti (posunutia, otočenia, súmernosti,...), rovnoľahlosti a tiež škálovania a skosenia. 2. Slovo „afinný“ má základ v latinskom slove „affinitas“, čo sa prekladá ako príbuzný, zošvagrený (voľnejší typ rodinnej príbuznosti v porovnaní s pokrvnou príbuznosťou). Tým sa chce vyjadriť, že obraz útvaru v afinnej transformácii je s ním menej príbuzný ako pri zhodnosti. Napríklad kružnica sa v zhodnosti zobrazí vždy do kružnice s rovnakým polomerom, ale v afinnej transformácii sa môže zobraziť do kružnice s iným polomerom (napríklad v rovnoľahlosti) alebo do elipsy (napríklad v škálovaní). Rovnako kocka sa v afinnej transformácii môže zobraziť nielen do kocky, ale aj do kvádra, vo všeobecnosti do rovnobežnostena (to je štvorboký hranol, nie nevyhnutne kolmý, ktorého podstavou je rovnobežník). 20 Pri afinných transformáciách sa nemusí zachovať kolmosť, vzdialenosti, uhly, obsahy a objemy. Na- proti tomu rovnobežnosť sa zachováva. Podrobnejšie v predmete Geometria pre grafikov (2). 3. Afinná sústava súradníc O, e1, e2, e3 sa ľubovoľnou afinnou transformáciou zmení na opäť afinnú sústavu súradníc. 3.3 Súradnice bodu euklidovského priestoru E3 vzhľadom na danú afinnú sústavu súradníc sú súradnice jeho polohového vektora vzhľadom na bázu súradnicových vektorov. Skutočnosť, že bod X má súradnice (x1, x2, x3) resp. že vektor u má súradnice (u1, u2, u3) zapi- sujeme symbolickou rovnosťou X = (x1, x2, x3) resp. u = (u1, u2, u3) Dôrazne upozorňujeme, že v tejto situácii symbol „=“ nevyjadruje rovnosť dvoch objektov, ale reprezentáciu bodu resp. vektora jeho súradnicami. Tu ho teda čítame „má súradnice“. V literatúre sa možno stretnúť aj s inými spôsobmi zápisu súradníc, napr. X ≡ (x1, x2, x3), X(x1, x2, x3), X = [x1, x2, x3], X ≡ [x1, x2, x3], X[x1, x2, x3] a podobne pre vektory. Namiesto „súradnice bodu vzhľadom na afinnú sústavu súradníc“ bežne hovoríme „afinné súradnice bodu“. Podobne pre súradnice vektorov. 3.4 Poznámky 1. Začiatok O sústavy súradníc (O, e1, e2, e3) sa niekedy nazýva nulový bod, lebo má (vzhľadom na túto sústavu súradníc) nulové súradnice, t.j. O = (0, 0, 0) Podobne, súradnicové vektory e1, e2, e3 sa niekedy nazývajú jednotkové vektory, lebo ich sú- radnice (vzhľadom na uvažovanú sústavu súradníc) sú jednotkové trojice, t.j. e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1) Upozorňujeme ale, že jednotkové vektory afinnej sústavy súradníc v E3 nemusia mať dĺžku 1, ani ne- musia byť po dvoch na seba kolmé. Jediné, čo možno o nich bezpečne povedať je, že sú to tri lineárne nezávislé vektory. 2. Pre súradnice vektora u a bodu X zrejme platí (3.1) u = (u1, u2, u3) ⇔ u = u1e1 + u2e2 + u3e3 (3.2) X = (x1, x2, x3) ⇔ X − O = x1e1 + x2e2 + x3e3 (3.3) X = (x1, x2, x3) ⇔ X = O + x1e1 + x2e2 + x3e3 3. Sústavu súradníc v E3 môžeme chápať aj ako dvojicu zobrazení E3 → R3, V(E3) → R3 ktoré bodu resp. vektoru priraďujú jeho súradnice. V algebre sa dokazuje, že druhé z nich, te- da zobrazenie V(E3) → R3, je bijektívne. Odtiaľ a z poznámky 3 k vete1.10 vyplýva, že aj zobrazenie pre body E3 → R3 je bijektívne. To znamená, že pri zadanej sústave súradníc platí nasledujúca veta. 3.5 Veta a) Body sa navzájom rovnajú práve vtedy, keď sa rovnajú ich súradnice. b) Ľubovoľná usporiadaná trojica čísiel predstavuje súradnice nejakého bodu. c) Vektory sa navzájom rovnajú práve vtedy, keď sa rovnajú ich súradnice. d) Ľubovoľná usporiadaná trojica čísiel predstavuje súradnice nejakého vektora. 3.6 Poznámky 1. Odteraz v tejto a v ďalších kapitolách predpokladáme, že máme zadanú sústavu súradníc. 2. V priestore aj v rovine existuje nekonečne veľa sústav súradníc. Všetky sústavy súradníc sú rovnocenné, žiadna z nich nie je privilegovaná. Súradnice bodu resp. vektora vyjadrené v dvoch rôznych sústavách súradníc sú spravidla rôzne. Vzťahmi medzi súradnicami bodu v rôznych sústavách súradníc sa budeme zaoberať v kapitole 11. 21 3. Ak netreba vyjadriť dimenziu priestoru, zápis súradníc bodu a vektora niekedy skracujeme: Namiesto X = (x1, x2, x3) resp. X = (x1, x2) píšeme iba X = (x1,...). 4. V riešení úloh sa pri súradniciach spravidla vyhýbame používaniu indexov – namiesto (x1, x2) píšeme (x, y) a namiesto (x1, x2, x3) píšeme (x, y, z). Podobne pre koeficienty rovníc. B Bodovo – vektorový kalkulus Pre analytickú geometriu je mimoriadne dôležitá skutočnosť, že operácie s bodmi a vektormi sa priro- dzeným spôsobom odrážajú v operáciách s ich súradnicami. Vyjadruje to nasledujúca veta. 3.7 Veta (Základná veta o súradniciach) Nech A = (a1,...), B = (b1,...), u = (u1,...), v = (v1,...). Potom a) Bod A + u má súradnice (a1 + u1,...). b) Vektor B − A má súradnice (b1 − a1,...). c) Vektor u + v má súradnice (u1 + v1,...). d) Vektor ku má súradnice (ku1,...). Dôkaz Tvrdenia c), d) sú známe z algebry, vo vete ich uvádzame iba kvôli úplnosti. a) Najprv potrebujeme určiť polohový vektor bodu B = A + u, teda vektor (A + u) − O: (A + u) − O = [(A + u) − A] + (A − O) = u + (A − O) = (A − O) + u. Prvá rovnosť vyplýva z trojuholníkového pravidla (1.16), druhá z (1.5) a tretia z komutatív- neho zákona pre sčitovanie vektorov (1.11). Vzhľadom na časť c) sme takto dostali, že súrad- nice bodu A + u sú súčtom súradníc vektorov (A − O) a u, čiže súčtom súradníc bodu A so súradnicami vektora u. b) Súradnice vektora B − A označme (x1,...). Pretože A + (B − A) = B, podľa tvrdenia a) platí a1 + x1 = b1,..., preto x1 = b1 − a1,.... Základná veta o súradniciach má veľa dôsledkov, ktoré môžeme chápať ako pravidlá pre po- čítanie s bodmi a vektormi. Ilustruje to nasledujúci príklad 3.8. Postup jeho riešenia zovše- obecníme v odseku 3.9. 3.8 Príklad Dokážme, že pre všetky body A, B a vektor u platí (3.4) A+u=B+u ⇒ A=B (zákon krátenia vektorov) Naozaj, pre A = (a1,...), B = (b1,...), u = (u1,...) sú súradnice bodov na oboch stranách rovnosti A + u = B + u rovnaké, a síce (a1 + u1,...) = (b1 + u1,...), čiže a1 + u1 = b1 + u1,..., preto a1 = b1,.... Podľa vety 3.5a teda platí A = B. 3.9 Princíp počítania s bodmi a vektormi Výrok o bodoch, vektoroch a číslach a o operá- ciách rozdiel bodov, súčet bodu s vektorom, súčet vektorov a násobok vektora číslom je prav- divý, ak sú splnené nasledujúce dve podmienky: výrok je korektne sformulovaný, je pravdivý výrok, ktorý z daného výroku vznikne nahradením všetkých bodov a vek- torov reálnymi číslami. Vzhľadom na tento princíp môžeme pri práci s výrazmi, ktoré sú zostavené z bodov a vektorov pro- stredníctvom operácií „bod mínus bod“ a „bod plus vektor“, postupovať intuitívne. Nepotrebujeme sa teda naučiť naspamäť rozsiahly zoznam pravidiel pre počítanie s bodmi a vektormi. Takému zoznamu navyše vždy hrozí, že niektoré v budúcnosti potrebné pravidlo v ňom bude chýbať. Prečo sme odseku 3.9 nedali nadpis Veta? Dôvodom je skutočnosť, že v odseku 3.9 sa nehovorí o geo- metrii, teda o bodoch priamkach, vektoroch,... , ale o vetách geometrie, teda o výrokoch o bodoch priamkach, vektoroch,.... Z hľadiska formálnej logiky možno povedať, že v odseku 3.9 nie je veta z geometrie, ale veta z metageometrie (Metageometria je veda skúmajúca vety geometrie. Jej tvrdenia 22 nemožno dokazovať prostriedkami geometrie, lebo každý takýto pokus by okamžite viedol k paradoxu typu Paradox Kréťana resp. Paradox vojenského holiča.) 3.10 Príklady 1 O pravdivosti implikácie (3.6) B−A=D−C ⇒ C−A=D−B (rovnobežníkové pravidlo) sa kedykoľvek môžeme presvedčiť takto: 1. Výrok je zapísaný korektne, lebo v predpoklade i tvrdení implikácie sa vyskytuje výrok (o rovnosti vektorov). 2. Pre reálne čísla A, B, C, D výrok zrejme platí, ide o bežnú úpravu rovnosti čísel. Preto na základe princípu 3.9 rovnobežníkové pravidlo platí pre všetky body A, B, C, D. 2 Nepravdivým presnejšie nezmysleným tvrdením o bodoch a vektoroch je napríklad rovnosť A + ½(B − A) = (A + B)/2 lebo výraz na pravej strane nie je bod. Nie je teda splnená prvá podmienka z princípu 3.9. Rovnosť teda neplatí, a to napriek tomu, že jej interpretácia v reálnych číslach je zrejme prav- divá. V tejto súvislosti upozorňujeme na úlohu 4. C Maticový zápis súradníc. Rozšírené súradnice bodu a vektora 3.11 Kvôli prehľadnejšej manipulácii so súradnicami bodov a vektorov ich niekedy zapisu- jeme prostredníctvom matíc. V podstate je jedno, či súradnice zapíšeme do riadkovej alebo stĺpcovej matice. Rozhodneme sa – možno nečakane – pre stĺpcové matice; dôvod spoznáme neskôr kapitole 11, vzorce (11.6) – (11.9). Aby sme ale neplytvali miestom, stĺpcové matice budeme často písať ako transponované k riadkovým. Maticu súradníc bodu A resp. vektora u budeme spravidla označovať rovnakým písmenom ako bod resp. vektor. Píšeme teda  a1  (3.7) A =  a 2  resp. A = (a1 a 2 a3 )T pre bod A so súradnicami (a1, a2, a3)  a3   u1  (3.8) U =  u 2  resp. U = (u1 u 2 u 3 )T pre vektor u so súradnicami (u1, u2, u3)  u3  Základná veta o súradniciach 3.7 hovorí, že operácie s bodmi a vektormi sa v maticovej re- prezentácii súradníc realizujú ako odpovedajúce operácie s maticami, t.j. matica A + U je maticou súradníc bodu A + u, matica B − A je maticou súradníc vektora B − A. 3.12 Niekedy k súradniciam bodu pridávame ako ďalšiu zložku číslo 1 a k súradniciam vek- tora číslo 0. Takto vzniknú rozšírené afinné súradnice bodu resp. vektora. Ak teda bod A má súradnice (a, b, c), jeho rozšírené súradnice sú (a, b, c, 1). Vektor a = (a, b, c) má rozšírené súradnice (a, b, c, 0). V počítačovej grafike sa rozšírené afinné súradnice bodu niekedy nesprávne nazývajú homogénne súradnice. Správny význam tohto pojmu spoznáme v predmete Geometria pre grafikov (2). Maticu rozšírených súradníc bodu A resp. vektora u budeme spravidla označovať A∼ resp. U∼. Teda  a1  a  (3.9) A ~ =  2  resp. A ~ = (a1 a 2 a3 1)T pre bod A so súradnicami (a1, a2, a3)  a3  1 23   u1  u  (3.10) U ~ =  2  resp. U ~ = (u1 u 2 u 3 0 )T pre vektor u so súradnicami (u1, u2, u3)  u3  0 Operácie s bodmi a vektormi sa opäť realizujú ako odpovedajúce operácie s maticami rozšíre- ných súradníc bodu. Napríklad matica rozšírených súradníc bodu A + u je matica A∼ + U∼. D Súradnicový skalárny súčin 3.13 Afinná sústava súradníc v E3 indukuje na vektorovej zložke priestoru operáciu (3.11) x⋅y = x1y1 + x2y2 + x3y3, kde x = (x1, x2, x3), y = (y1, y2, y3). Nazývame ju súradnicový skalárny súčin. Jej výsledkom je reálne číslo. Analogicky v 2D. Maticová reprezentáciu súradnicového skalárneho súčinu: Ak je vektor a reprezentovaný ma- ticou súradníc A = (a1 a2 a3)T resp. maticou rozšírených súradníc A∼ = (a1 a2 a3 0)T a vektor b maticou B = (b1 b2 b3)T resp. maticou rozšírených súradníc B∼ = (b1 b2 b3 0)T, tak (3.12) a⋅b = AT⋅B = A∼T⋅B∼. Súradnicový skalárny súčin vektorov sa využíva na zápis lineárnych rovníc v zhustenom tva- re, pozri poznámky 4.16. E 2D geometria ako súčasť 3D geometrie 3.15 Ak sú v E2 a v E3 zadané sústavy súradníc, môžeme body a vektory roviny E2 považo- vať za body a vektory priestoru E3: Bod X = (x1, x2) z E2 stotožníme s bodom v E3 so súradni- cami (x1, x2, 0), rovnako pre vektory. Tento jednoduchý trik umožňuje dokázať niektoré prí- buzné vzorce pre rovinu a priestor iba pre priestor a rovinný prípad získať substitúciou x3 = 0. Príklad takého postupu uvidíme najbližšie v dôkaze vzorca pre vyjadrenie dĺžky vektora pro- stredníctvom jeho súradníc (veta 6.7). F Geometrický význam súradníc 3.16 Hoci sa v jednorozmernom priestore (na priamke) E1 nedá robiť žiadna veľká geometria, musíme sa mu aspoň trochu venovať, lebo priamky sú veľmi dôležité (a užitočné) v 2D a v3D geometrii. Majme teda v E1 sústavu súradníc O, e1. Podľa časti a) ⇒ dôkazu vety 2.3, pre súradnicu x1 bodu X∈E1 platí (3.13a) x1 = ±|OX|/|e1| (3.13b) x1 > 0 ⇔ X je vnútorný bod polpriamky Oe1 Sústava súradníc mení priamku E1 na číselnú os – body sú reprezentované číslami a naopak. 3.17 Pri charakterizácii súradníc 2D a v 3D nám pomôže rovnobežné premietanie. Nech p, q sú rôznobežky v rovine E2. Rovnobežné premietanie v rovine do priamky p v smere priamky q je zobrazenie E2 → p, ktoré bodu X∈E2 priradí priesečník X′ priamky p s priamou q′||q, pričom X∈q′. Priamku p nazývame priemetňa, priamka q určuje smer premietania. Ob- raz X′ bodu X teda charakterizujú vlastnosti (i) Bod X′ leží v priemetni. (ii) Vektor X′ − X patrí smeru premietania. Kolmé premietanie je rovnobežné premietanie so smerom kolmým na priemetňu. V E3 máme dve analógie rovnobežného premietania v rovine: 24 1. Priemetňou je rovina a smer premietania určuje priamka rôznobežná s priemetňou. 2. Priemetňou je priamka a smer premietania určuje rovina rôznobežná s priemetňou. 3.18 Majme v dvojrozmernom priestore (v rovine) E2 danú sústavu súradníc O, e1, e2. K sú- radnicovej osi Oe1 je komplementárna (doplnková) os Oe2 a obrátene. Na súradnicových osiach Oe1 a Oe2 sú indukované (t.j. automaticky vznikajú) sústavy súradníc O, e1 a O, e2. Bodu X∈E2 so súradnicami (x1, x2) priraďme bod X1 = O + x1e1 na prvej súradnicovej osi a bod X2 = O + x2e2 na druhej súradnicovej osi. (3.14a) Bod X1 resp. X2 je rovnobežný priemet bodu X do prvej resp. druhej súradnicovej osi v smere komplementárnej osi. Tvrdenie (3.14a) pre bod X1 sme dokázali v časti a) ⇒ dôkazu vety 2.6; pre X2 je dôkaz ana- logický. Vzhľadom na odsek 3.16 môžeme teda povedať: (3.14b) Prvá resp. druhá súradnica bodu v rovine je súradnica jeho rovnobežného priemetu do odpovedajúcej súradnicovej osi v smere komplementárnej osi. 3.19 Majme v trojrozmernom priestore E3 danú sústavu súradníc O, e1, e2, e3. K súradnicovej osi Oe1 je komplementárna súradnicová rovina Oe2e3 a analogicky pre ďalšie dve osi. Podob- ne ako v rovine platí: (3.15) Prvá resp. druhá resp. tretia súradnica bodu v priestore je súradnica jeho rovnobežného priemetu do odpovedajúcej sú- radnicovej osi v smere komplementárnej súradnicovej roviny. G Zovšeobecnenie 3.20 V abstraktnom euklidovskom priestore En, n≥1, sa s afinnou sústavou súradníc a s afin- nými súradnicami bodu a vektora pracuje v úplnej analógii s učivom tejto kapitoly. H Úlohy 1 Nech A = (1,3), B = (−1,5), u = (2,−5), v = (3,1). Rozhodnite, či napísaný objekt je bod ale- bo vektor a určte jeho súradnice. a) ½(B − A) − v b) (B + v) − (A + u) c) (B − A) + (v − u) d) A + v − u. 2 Zjednodušte a) (A + 2u) − (A + u) b) (B + v) + (A − B) c) (P + 2u + 3v) − (P + u + w) 3∗ Presvedčite sa, že pre všetky body A, B a vektory u, v afinného priestoru platí a) (B + v) − (A + u) = (B − A) + v − u b) Ak B − A = u + v, tak B − v = A + u 4∗ Stred dvojice bodov A, B je bod S(A, B) = A + ½(B − A). Dokážte, že pre všetky body A, B, C, D platí a) Ak A = (a1,...), B = (b1,...), tak S(A, B) = (½(a1 + b1),...). b) S(B, A) = S(A, B) c) B − A = D − C práve vtedy, keď S(A, D) = S(B, C). 5 Body D, E sú stredy strán BC, CA trojuholníka ABC. Dokážte, že D − E = ½(B − A). 6 Body E, F sú stredy uhlopriečok AC a BD štvoruholníka ABCD. Dokážte, že F − E = ½[(B − A) + (D − C)] = ½[(D − A) + (B − C)]. 7 Stredová súmernosť (so stredom P) je zobrazenie sP: E3 → E3, X → P + (P − X). Dokážte a) Ak P = (p1,...), X = (x1,...), tak sP(X) = (2p1 − x1,...), b) Y = sP(X) ⇔ P = S(X,Y), 25 c) sP(X) = X ⇔ X = P, d) sP(Y) − sP(X) = −(Y − X), e) sP ◦ sP je identická transformácia množiny E3. 8 Posunutie (o vektor u) je zobrazenie tu: E3 → E3, X → X + u. Dokážte a) Ak u = (u1,...), X = (x1,...), tak tu(X) = (x1 + u1,...), b) tu(B) − tu(A) = B − A, c) tv ◦ tu = tu+v, d) sB ◦ sA = t2(B − A), e) tu = sB ◦ sA , pričom bod A je ľubovoľný a B = A + ½u. 9 Rovnoľahlosť (so stredom S a s koeficientom k, k ≠ 0) je zobrazenie hS,k: E3 → E3, X → S + k(X − S). Dokážte a) Ak S = (s1,...), X = (x1,...), tak hS,k(X) = ((1 − k)s1 + kx1,...), b) hS,k(X) = X ⇔ X = S , c) hS,k(Y) − hS,k(X) = k(Y − X), d) hS,l ◦ hS,k = hS,kl e) hS,(−1) = sS. 10 Ťažisko bodov A1,..., Ak je bod T = T(A1,..., Ak) určený podmienkou (A1 − T) +... + (Ak − T) = 0. Dokážte a) Bod T je ťažiskom bodov A1,..., Ak práve vtedy, keď jeho súradnice sú aritmetickými prie- mermi súradníc bodov A1,..., Ak. b) Ťažisko dvoch bodov je ich stred. c) T(A1,..., Ak) = P + 1/k [(A1 − P) +... + (Ak − P)], pričom P je ľubovoľný bod. d) T(A, B, C) = T(T(A,B), T(A,B), C) = T(S(A,B), S(A,B), C) = C + 2/3 [S(A,B) − C] (ťažisko trojuholníka). I Výsledky a návody 1 a) vektor (−4,0) b) vektor (−1,8) c) vektor (−1,8) d) bod (2, 9) 2 a) u b) A + v c) u + 3v − w 3 Návod: Použite princíp počítania s bodmi a vektormi. 4 Návod k b), c): Využite a). 5 Návod: Zapíšte D = B + ½(C − B), E =.... Pri úprave výrazu D − E využite princíp 3.9. 6 Návod: Pozri návod k úlohe 5. 7 Návod k b) – e): Využite a). 8 Návod k b) – e): Využite a). 9 Návod k b) – e): Využite a). 10 Návod: a) Využite princíp počítania s bodmi a vektormi. b), c), d) Využite a). 26 4 Rovnice priamok a rovín 19.09.14 11.09.13 V tejto kapitole ukážeme dva základné spôsoby, ako sa v analytickej geometrii ako vyjadrujú priamky a roviny v E3 resp. priamky v E2: parametricky alebo implicitne (sústavou lineárnych rovníc). Spoznáme tiež niekoľko možností ich efektívneho zostavovania. A Parametrické vyjadrenie priamky a roviny Kvôli pohodliu čitateľa zopakujeme vety 2.3 a 2.6: 4.1 Veta a) Ľubovoľný bod X∈E3 resp. X∈E2 leží na priamke p = 〈Pa〉 práve vtedy, keď exis- tuje také číslo t∈R, že (4.1a) X = P + ta Pritom číslo t je bodom X∈p určené jednoznačne. b) Ľubovoľný bod X∈E3 leží v rovine α = 〈Pab〉 práve vtedy, keď existujú také čísla u, v∈R, že (4.2a) X = P + ua + vb Pritom čísla u, v sú bodom X∈α určené jednoznačne. 4.2 Vzťah (4.1a) resp. (4.2a) sa nazýva parametrické vyjadrenie priamky p = 〈Pa〉 (v nesúrad- nicovom tvare) resp. parametrické vyjadrenie roviny α = 〈Pab〉 (v nesúradnicovom tvare). Číslo t sa nazýva parameter bodu X∈p, čísla u, v sa nazývajú parametre bodu X∈α. Prepojenie medzi priamkou p resp. rovinou α a jej parametrickým vyjadrením zapisujeme takto: (4.1b, 4.2b) p: X = P + ta resp. α: X = P + ua + vb Z vety 3.7 vyplýva, že pre P = (p1,...), a = (a1,...), b = (b1,...) a X = (x1,...) vznikne z paramet- rického vyjadrenia priamky 〈Pa〉 v 3D a v 2D a roviny α = 〈Pab〉 v nesúradnicovom tvare parametrické vyjadrenie v súradnicovom tvare p: x1 = p1 + a1t p: x1 = p1 + a1t α: x1 = p1 + a1u + b1v (4.1c, 4.2c) x2 = p2 + a2t x2 = p2 + a2t x2 = p2 + a2u + b2v x3 = p3 + a3t x3 = p3 + a3u + b3v Tradične sa miesto „parametrické vyjadrenie“ hovorí „parametrické rovnice“, a to v nesú- radnicovom i v súradnicovom tvare. 4.3 Poznámka Základné využitie parametrických rovníc: 1. Ak v nich za parametre dosadíme ľubovoľné reálne čísla, dostaneme bod priamky resp. roviny. V počítačovej grafike sa to využíva na vykreslenie priamok (vlastne úsečiek) v rastrových grafických výstupných zariadeniach (monitory, tlačiarne). Rovnako sa vykresľu- jú aj iné krivky. 2. Pomocou parametrických rovníc môžeme zistiť, či bod leží na danej priamke resp. v danej rovine. Vtedy ide naozaj o rovnice, neznámymi sú v nich parametre skúmaného bodu, pozri nasledujúci príklad. (Efektívnejšie riešenie tejto lokalizačnej úlohy však umožňujú nepara- metrické (implicitné) vyjadrenia priamok resp. rovín, pozri poznámku 4.10.3 a príklad 4.11). 3. Pomocou parametrických rovníc môžeme nájsť všetky spoločné body dvoch priamok, dvoch rovín alebo priamky s rovinou, pozri príklad 4.5. (Efektívnejší výpočet prieniku však umožňuje kombinácia parametrického vyjadrenia jedného podpriestoru s implicitným vyjad- rením druhého, pozri príklad 4.14c a poznámku 4.15). 4.4 Príklad Zistite, či body M = (9,−2,5), N = (4,1,6) ležia v rovine 〈Aab〉 pre A = (1,3,2), a = (2,−1,1), b = (1,−1,0). 27 Riešenie Podľa vety 4.1b bod M leží v rovine Aab práve vtedy, keď existujú také čísla u, v, že 9 = 1 + 2u + v −2 = 3 − u − v 5=2 + u Táto sústava riešenie má, a to u = 3, v = 2, preto M∈〈Aab〉. Napíšte odpovedajúcu sústavu rovníc pre bod N a presvedčte sa, že nemá riešenie. Takto zistí- te, že N∉〈Aab〉. 4.5 Príklad Nájdite všetky spoločné body rovín α = 〈Pab〉 a β = 〈Qcd〉, P = (1,2,3), a = (−1,1,1), b = (1,2,1), Q = (1,−1,1), c = (1,1,1), d = (−2,1,2). Riešenie Bod X∈E3 je spoločným bodom rovín α, β práve vtedy, keď ho možno vyjadriť pa- rametricky pre obe roviny, teda práve vtedy, keď existujú také čísla r, s a u, v, že P + ra + sb = Q + uc + vd. Po rozpísaní do súradníc vznikne sústava troch lineárnych rovníc pre štyri neznáme r, s, u, v: 1 − r + s = 1 + u − 2v (4.3) 2 + r + 2s = − 1 + u + v 3 + r + s = 1 + u + 2v Sústava má nekonečne veľa riešení. Jedna možnosť zápisu všetkých riešení je r = −1 +2v, s = −1 − v, u = –v. Keď dosadíme vyjadrenie pre r, s do ľavej strany sústavy, teda do parametric- kého vyjadrenia roviny α, dostaneme x = 1 − 3v (4.4) y = −1 z= 1+ v To znamená, že spoločné body rovín α, β tvoria priamku s parametrickými rovnicami (4.4). (Pochopiteľne, rovnaký výsledok dostaneme, keď dosadíme vyjadrenie pre u do pravej strany sústavy rovníc (4.3), teda do parametrického vyjadrenia roviny β.) Výstraha Všimnite si, že pri hľadaní spoločných bodov rovín sme parametre bodu v každej z rovín zapísali inými dvojicami písmen. Dôvod je, že parametre bodov jednej a druhej roviny sú navzájom nezávislé. Ak by sme pre obe roviny chybne ponechali rovnaké označenie para- metrov, povedzme u, v, v sústave, ktorá vznikne z (4.3) pre r = u a s = v, by boli iba dve ne- známe a ukázalo by sa, že je neriešiteľná. Získali by sme teda nesprávny výsledok, že roviny α, β sa nepretínajú. B Implicitné vyjadrenie podpriestorov v E2 a v E3 4.6 V analytickej geometrii sa budeme zaoberať takmer bez výnimky iba lineárnymi rovnica- mi, preto prívlastok „lineárna“ pri rovniciach spravidla vynechávame. Ďalej predpokladáme, že uvažované lineárne rovnice sú netriviálne, teda že aspoň jeden z koeficientov pri nezná- mych je nenulový. V 2D a 3D geometrii pracujeme s jednou takou rovnicou alebo so sústavou dvoch, výnimočne troch rovníc. Kvôli jednotnému vyjadrovaniu považujeme aj jednu rovnicu za sústavu rovníc (pozostávajúcu z jednej rovnice). V analytickej geometrii zapisujeme rovnice takmer vždy v anulovanom tvare, teda s nulou na jednej strane, spravidla na pravej. V tejto časti kapitoly sa opäť sústredíme iba na 3D prípad a jeho 2D analógie prenechávame čitateľovi. Možno povedať, že po zrejmých úpravách všetky tvrdenia platia pre sústavy rovníc s ľubovoľným počtom neznámych, teda v priestore ľubovoľnej dimenzie. 28 Nasledujúce definície a dve vety považujeme za známe z kurzu lineárnej algebry. Tu ich uvádzame opäť iba kvôli pohodliu čitateľa. Riešenie sústavy rovníc s tromi neznámymi je každá usporiadaná trojica (x, y, z)∈R3, po kto- rej dosadení sa každá rovnica sústavy zmení na rovnosť. Sústava lineárnych rovníc je homogénna, ak absolútne členy všetkých jej rovníc sú nulové. (Absolútny člen rovnice je koeficient, pri ktorom nie je neznáma. Napríklad absolútny člen rovnice ax + by + cz + d = 0 je koeficient d). Každej sústave rovníc (∗) prislúcha sústava homogénnych rovníc, zapíšeme ju homog(∗). Sústave rovníc (∗) priradíme dve matice takto: Matica sústavy: v jej riadkoch sú koeficienty pri neznámych v jednotlivých rovniciach. (Ak v rovnici niektorá neznáma chýba, príslušný koeficient je 0.) Rozšírená matica sústavy: v jej riadkoch sú všetky koeficienty z jednotlivých rovníc. Napríklad pre sústavu ax + by + cz + d = 0 s tromi neznámymi je maticou sústavy matica (a b c) typu (1,3) a rozšírenou maticou sústavy je matica (a b c d) typu (1,4). 4.7 Veta (Základné vlastnosti sústavy homogénnych lineárnych rovníc s tromi neznámymi) a) Nulová trojica (0,0,0) je riešením každej sústavy homogénnych rovníc. Nazývame ho tri- viálne riešenie. b) Množina všetkých riešení homogénnej sústavy rovníc je podpriestor vektorového priestoru R3. c) Dimenzia priestoru riešení sústavy homogénnych rovníc je dim = počet neznámych (teda 3) mínus hodnosť matice sústavy. (Konkrétne: Pre jednu (netriviálnu) homogénnu rovnicu ax + by + cz = 0 má priestor riešení dimenziu 3 − 1 = 2. Pre sústavu dvoch nezávislých homogénnych rovníc má priestor riešení dimenziu 3 − 2 = 1. Pre sústavu dvoch závislých (netriviálnych) homogénnych rovníc má priestor riešení dimenziu 3 − 1 = 2.) 4.8 Veta (Základné vlastnosti sústavy nehomogénnych lineárnych rovníc) a) Sústava nehomogénnych rovníc má riešenie práve vtedy, keď sa hodnosť matice sústavy rovná hodnosti rozšírenej matice sústavy. b) Rozdiel dvoch riešení sústavy nehomogénnych rovníc je riešením odpovedajúcej sústavy homogénnych rovníc. c) Súčet riešenia sústavy nehomogénnych rovníc s riešením odpovedajúcej sústavy homogén- nych rovníc je riešením sústavy nehomogénnych rovníc. d) Keď sčítame jedno riešenie sústavy nehomogénnych rovníc (tzv. partikulárne riešenie) so všetkými riešeniami sústavy homogénnych rovníc, dostaneme všetky riešenia sústavy neho- mogénnych rovníc. 4.9 Veta Nech α⊂E3 je množina všetkých bodov, ktorých súradnice sú riešenia riešiteľnej sústavy nehomogénnych lineárnych rovníc s tromi neznámymi, nech U⊂V(E3) je množina všetkých vektorov, ktorých súradnice sú riešenia odpovedajúcej sústavy homogénnych rovníc a nech A∈α je jeden bod. Potom α = A + U. To znamená, že α je podpriestor euklidovského priestoru E3 (odsek 2.11) a pre jeho dimenziu platí dimα = počet neznámych (teda 3) zmenšený o hodnosť matice sústavy. Analogické tvrdenie spája rovnice s dvomi neznámymi s podpriestormi v E2. Dôkaz Uvažujme sústavu nehomogénnych lineárnych rovníc s tromi neznámymi (∗) a množi- nu U′⊂R3 skladajúcu sa zo všetkých riešení odpovedajúcej sústavy homogénnych rovníc homog(∗). Podľa vety 4.7b množina U′ je podpriestor vektorového priestoru R3. Základná veta o súradniciach (veta 3.7) potom zaručuje, že množina U je podpriestor vektorového prie- 29 storu V(E3) izomorfný s podpriestorom U′, preto množina A+U (definovaná v odseku 2.9) je podpriestor v E3. Veta 3.7a spolu s vetou 4.8d hovorí, že α = A+U, preto α je podpriestor v E3. Tvrdenie o jeho dimenzii teraz vyplýva z vety 4.7c a z rovností dim(α) = dimU = dimU′ (posledná rovnosť vyplýva z už spomenutého faktu, že vektorové priestory U a U′ sú izo- morfné). Dôsledok 1 Množina všetkých bodov v E3, ktorých súradnice vyhovujú netriviálnej lineárnej nehomogénnej rovnici s tromi neznámymi, je rovina. Jej vektorovú zložku tvoria všetky vek- tory, ktorých súradnice vyhovujú odpovedajúcej homogénnej rovnici. Teda α: ax + by + cz + d = 0, V(α): ax + by + cz = 0 Dôsledok 2 Množina všetkých bodov v E3, ktorých súradnice vyhovujú riešiteľnej sústave dvoch lineárnych lineárne nezávislých nehomogénnych rovníc s tromi neznámymi, je priamka v 3D. Jej vektorovú zložku tvoria všetky vektory, ktorých súradnice vyhovujú odpovedajúcej sústave homogénnych rovníc. Teda p: a1x + b1y + c1z + d1 = 0, V(p): a1x + b1y + c1z = 0 a2x + b2y + c2z + d2 = 0 a2x + b2y + c2z = 0 Dôsledok 3 Množina všetkých bodov v E2, ktorých súradnice vyhovujú netriviálnej lineárnej nehomogénnej rovnici s dvomi neznámymi, je priamka v 2D. Jej vektorovú zložku tvoria všetky vektory, ktorých súradnice vyhovujú odpovedajúcej homogénnej rovnici. Teda p: ax + by + c = 0, V(p): ax + by = 0 Lineárna rovnica s tromi neznámymi, ktorej vyhovujú súradnice bodov roviny α, sa bežne nazýva rovnica roviny α. Podobne hovoríme o rovnici priamky v 2D a o sústave rovníc priamky v 3D. Používajú sa tiež názvy všeobecná rovnica roviny v 3D resp. priamky v 2D a všeobecné rovnice priamky v 3D. Tento spôsob analytického vyjadrenia rovín a priamok sa nazýva implicitná reprezentácia alebo funkcionálna reprezentácia, v počítačovej grafike populárna F-rep. 4.10 Poznámky 1. Uvedomte si podstatný rozdiel medzi implicitným zadaním priamky v 2D a v 3D. V 2D má priamka jednu rovnicu, v 3D dve. (Jedna rovnica v 3D vyjadruje rovinu.) 2. Implicitná reprezentácia priamok a rovín je veľmi výhodná na zodpovedanie otázky, či bod so známymi súradnicami leží v rovine resp. na priamke. Stačí totiž zistiť, či súradnice bodu vyhovujú implicitnej reprezentácii roviny resp. priamky. Ak by sme problém lokalizácie bodu riešili prostredníctvom parametrického vyjadrenia pod- priestoru, museli by sme riešiť sústavu rovníc pre neznáme parametre bodu, pozri príklad 4.4. 3. Čoskoro ukážeme, že každú priamku a rovinu možno vyjadriť implicitne (pozri dôsledky vety 4.12). Súčasne spoznáme niektoré efektívne konštrukcie takýchto reprezentácií podprie- storov (vety 4.12, 4.17 a 4.19). 4.11 Príklad a) Zistite, či bod M = (1, −3) leží na priamke p: 2x + y + 1 = 0. b) Pre ktorú hodnotu z leží bod N = (2, 2, z) na priamke p: x + y +