Iniciación al Álgebra (Socas, 1996) PDF

Marco histórico del álgebra 2.1. INTRODUCCION La historia de la matemáticaha sido utilizada por la didácticade la matemáticabajo distintospuntos de vista: desdeinformacioneshistóricas que sirvenparanlotivar...

Marco histórico del álgebra 2.1. INTRODUCCION La historia de la matemáticaha sido utilizada por la didácticade la matemáticabajo distintospuntos de vista: desdeinformacioneshistóricas que sirvenparanlotivar un temanuevo,hastala construcciónde secuencias didácticasinspiradasen la progresiónhistóricaseguidaen el desarrollode algunasteorías.En cualquiercaso,la historianos ofrecediferentes ideaspara la actividad didáctica e incluso puede ser utilizada por el profesor como rcferenciapara anticipar dificultadeso erroresposiblesen el aprendizajede los alumnos. Expondremosen estecapítulo los conceptosbásicosdel álgebradentro ,ie su marco histórico,partiendodel , sin que tuvieran relación con problemas de medida. Un ejemplo tomado de una tablilla babilónica plantea la resolución de lintonces, para el caso general, Cardano expone que la solución de la un sistema de ecuacionesen los siguientestérminos: ccuaci(rnx3 ! px : q, vendrá dada por la fórmula: ll4 anchura * longitud : 7 manos.Y- @ 1 3 )" + (q l2 )' -q l2 longitud * anchura : 10 manos llstudió también otros casosy cuando se le plantearon problemas con las rrríccsnegativas,las llamó ,argumentando que estos resultados Para resolverlo comienzan asignando el valor 5 a una mano y observa- cr¿rn(tan sutilescomo inútiles>. ban que la solución podía scr: anchura : 20, longitud : 30. Para compro- ó0 6t barlo utilizabanun métodoparecidoal de eliminación.En nuestranotación. Diophanteresuelvetambiénproblemasen los que aparecíansistemasde sería: ecuaciones,pero transformándolos en una ecuaciónlineal.Por ejemplo,para hallardos números x e y, cuyasuma sea20 y la sumade suscuadrados208, y * 4x: 28.) realizabalos siguientescálculos: y + x: 101 Diophante Mediante sistemas restandola segundade la primera,seobtiene3x : 18,esdecir,x : 6 e y :. r¡1 0 + x x+Y:20 -4. y x l0 -x x2+y2:208 También resolvíansistemasde ecuaciones, donde alguna de ellas era (1 0+ x )2 + (1 0- x ) 2 : 2 0 8 sustituyendox : 20 - ¡ en la se- cuadrática.Por ejemplo, gundaecuación, 1 0 0 + 2 0 x t x 2 -1 0 0 - 2 0 x - -x 2 : 2 0 8 (20 - y)' -f y2 : 208 xl:10 1 200+2x2:208 9(x - y)' : *'! nos apareceuna ecuaciónde segun- 2xz : 8; x2 :4; dedondex : 2 do grado. sustituyendoy por lOlx en la segundaecuación,se tiene: Los númerosbuscadosson 8 y 12.Diophantesólo aceptabalas solucio- 9x2 - l8x.l\lx -t 9(l0lx)2: ¡2 nespositivas,pueslo que buscabaera resolverproblemasy no ecuaciones. Utilizí ya un álgebrasincopada,como hemosseñaladoanteriormente.Sin quedandodefinitivamente embargo,una de las dificultadesque encontramosen la resoluciónde ecua- cionespor Diophantees que carecede un métodogeneraly utiliza en cada problemamétodosa vecesexcesivamente ingeniosos. 8xa -"180x2 * 900 : 0 Los sistemasde ecuaciones aparecentambiénen los documentosindios. No obstante,no llegana obtenermétodosgenerales de resolución,sino que llegandoa la anterior ecuaciónbicuadráticaque sí sabíanresolver.otras resuelventipos especiales de ecuaciones. veces,lassustitucioneserandeltipox : u I u;y: u - u. El libro El arte matemático, de autor chino desconocido(siglom a. de C.), Los griegostambiénresolvíanalgunossistemasde ecuaciones, pero utili- contienealgunosproblemasdondese resuelvenecuaciones. En ellosencon- zando métodosgeométricos.Thymaridas(400 a. de c.) había encontrado tramos un esbozodel método de las matricespara resolversistemasde una fórmula para resolverun determinadosistem a de n ecuacionescon r ecuaciones lineales.Uno de dichosproblemasequivalea resolverun sistema incógnitas. de tres ecuaciones linealespor dicho métodomatricial. La expresión Seael sistema (k, + k, + '.'+ kn_) - s 3x-l 2y-f z:39 x: n-2 2x+3y+ z- 34 x-l 2yl3z: 26 permiteobtenerlassoluciones del sistema escribíanla matriz de la siguienteforma: ,r + ,r1 + x 2 + '.. * rn _ r J+Jrt -kl t" -k2 \ * xr-r : kn-t 62 63  y haciendo operacionesentre las columnas cJcla matriz obtenían un sistema Al expresaralgebraicamentela condición o condicionesimpuestaspor un más sencillo cuya solución era inmediata: problema que trata de determinar cicrtos números, pueden resultar ecuacio- nes o sistemas indeterminados. La cuestión puede presentar dos aspectos (2."col. x 3) (2.^col. x 3." col.) (2."col. _ 3.. col.) diferentes: l. las soluciones de la ecuación o sistema planteados convienen al problema, y 2. el enunciado del problema impone ciertas condiciones en virtud de las cuales se determinan o, al menos, se seleccionanlas soluciones. y así sucesivamentehasta Un tipo de ecuacionesrelacionadascon el segundo aspecto señalado son las , llamadas así en honor del matemático griego Diophante, y que son ecuacioneslinealescon distintas variables de coeficien- tes racionales y con la condición suplementaria de que sólo admiten como solución números naturales y pueden hacerseextensivasa solucionesenteras. (Si se trata, por ejemplo, de número de ciudadanos, no podemos admitir solucionesfraccionarias). Para que una ecuación lineal con dos o más incógnitas y de coeficientes I de donde esta última matriz nos proporciona las ecuaciones enteros admita solucionesenteras,es condición necesariaque el m.c.d. de los coeficientesde las incógnitas divida al término independiente. i: 362 : 99 En efecto, sea la ecuación lineal ,,5y+ z:24 3x+2y+ z:39 A x + By+... + Eu : F, A, B,... , E, FeZ Tengamos en cuenta que la resolución de sistemaslinealesde ecuaciones si D es el m.c.d. (A, B,..., E) y designamos por a, b,..., e los coeñcientes obtenidos al dividir aquéllos por el m.c.d., es decir: A: Da, B: Db,... , E: De la ecuación anterior puede escribirse D(ax -l by + '.. -l eu) : ¡; tll Si esta ecuación se satisfacepara valores enteros de x, y,..., z resultará que. Ecuacionesdiofánticas para estos valores, el primer miembro de [] es múltiplo de D, luego, necesariamente,si existen soluciones enteras, son tales que F es múltiplo Si se tiene una ecuación con más de una incógnita, las soluciones de la de D. misma son indeterminadas. Así, si consideramos la ecuación Por tanto, la ecuación diofántica ax * by : c, donde a, b y c son números enteros positivos, es resoluble precisamentesi el m.c.d. de a y á es 5 x + y :3 9 un divisor de c. Además, si (xo, yo) es una solución, el conjunto de soluciones está formado por todos los pares a cada valor que se atribuya a x se le asocia el correspondientevalor de y en la fórmula (xo + tb, lo - ta), con t e Z Una parte considerablede la 0;.y > 0, no existenmás solucionesque para el valor t : 0' '1 I - Utiliza esteprocedimientoPara: 0 x + jx - a 1x: a) Hallar todaslas solucionesenterasde la ecuación15x - 130y : 35' 7. Fórmesela ecuacióncúbica cuyas raícesson I t.fi y -3 y aplíqueseel b) En una escuelade Magisterio,la especialidadde Cienciastiene un número de métodode Cardano. alumnoscomprendidoentre 250 y 300, distribuidosen tres grupos:en el primero hay ios 19/35 del total, en el segundo hay Ul4 del total y en el y De Morgan propusoel siguienteacertijo:Resolver- i.rr..o estáel restode los alumnos.¿Cuántosalumnostienela especialidad gruPos? lo. cadauno de los tres 9. Resolverlas ecuaciones utilizandoel