Přednáška II. Vztah pravděpodobnosti, statistiky a biostatistiky PDF

Přednáška II. Vztah pravděpodobnosti, statistiky a biostatistiky Statistika vychází z pravděpodobnosti Podmíněná pravděpodobnost, Bayesův vzorec Senzitivita, specificita, prediktivní hodnoty Frekventistická a Bayesovská statistika 1 Biostatistika pro matematickou biologii a biomed...

Přednáška II. Vztah pravděpodobnosti, statistiky a biostatistiky Statistika vychází z pravděpodobnosti Podmíněná pravděpodobnost, Bayesův vzorec Senzitivita, specificita, prediktivní hodnoty Frekventistická a Bayesovská statistika 1 Biostatistika pro matematickou biologii a biomedicínu  Opakování – klíčové aspekty statistických odhadů Zkreslení Významnost Reprezentativnost Spolehlivost Srovnatelnost 2 Biostatistika pro matematickou biologii a biomedicínu  Statistika, biostatistika a analýza dat Statistika Biostatistika Analýza dat  Primárně je zaměřena na  Propojení znalosti  Velmi obecná oblast bez vývoj metod a algoritmů pro statistických metod a dané jasné definice. řešení teoretických problematiky v řešení  Prostupuje různými problémů. biologických a klinických úloh. odvětvími.  Nicméně i statistika je vždy  Na prvním místě není  Zahrnuje komplexní postupy primárně motivována teoretický vývoj, ale aplikace. hodnocení dat (čištění, reálnými problémy. kódování).  Vychází z teorie  Nemusí být založena na pravděpodobnosti. statistice. 3 Biostatistika pro matematickou biologii a biomedicínu  Biostatistika vychází ze statistiky ̶ Biostatistika je aplikace statistických metod v řešení biologických a klinických problémů. ̶ Snahou je získat z pozorovaných dat užitečnou informaci. ̶ V popředí zájmu je pozorovaná variabilita mezi studovanými subjekty, kterou chceme vysvětlit. 4 Biostatistika pro matematickou biologii a biomedicínu  Statistický pohled na problém ̶ Cílová populace – chceme postihnout konkrétní problém. ̶ Získáme experimentální vzorek cílové populace (pozorování), která převedeme na číselné vyjádření (data). Vzorek by měl být reprezentativní a náhodný. ̶ Předpokládáme pravděpodobnostní chování (model) tohoto vzorku (tedy i cílové populace). ̶ Konkrétní problém vyjádříme ve vybraném modelu jako hypotézu. ̶ Zhodnotíme hypotézu na základě vybraného modelu a pozorovaných dat. 5 Biostatistika pro matematickou biologii a biomedicínu  Statistika vychází z pravděpodobnosti ̶ Teorie pravděpodobnosti se zabývá modelováním náhody. ̶ Lze nějak ale vyjádřit, co je to náhoda? 6 Biostatistika pro matematickou biologii a biomedicínu  Statistika vs. pravděpodobnost Statistika Pravděpodobnost Cílová Cílová populace populace Vzorek Vzorek 7 Biostatistika pro matematickou biologii a biomedicínu  Statistika vs. pravděpodobnost Statistika Pravděpodobnost Cílem statistiky je Cílová Cílová V teorii populace populace pravděpodobnosti se získání informace o cílové populaci na ptáme na základě pravděpodobnost pozorovaného získání konkrétního experimentálního výsledku, máme-li vzorku. danou strukturu cílové populace. Vzorek Vzorek 8 Biostatistika pro matematickou biologii a biomedicínu  Podmíněná pravděpodobnost ̶ Máme-li jev B s pravděpodobností P(B) > 0, pak podmíněnou pravděpodobnost jevu A za podmínky nastoupení jevu B definujeme jako P( A  B) P( A | B)  P( B) ̶ Pro nezávislé jevy A a B platí P ( A) P( B) P( A | B)  P( A) P( B) 9 Biostatistika pro matematickou biologii a biomedicínu  Podmíněná pravděpodobnost  P( A  B) P( A | B)  A AB B P( B) 10 Biostatistika pro matematickou biologii a biomedicínu  Podmíněná pravděpodobnost ̶ Příklad: Osoba X má všechny typické příznaky chřipky. Pravděpodobnost, že se jedná o klasickou chřipku je 0,7 (jev A), prasečí chřipku 0,2 (jev B), ptačí chřipku 0,05 (jev C) a dosud neznámou formu 0,05 (jev D). Diagnostický test prokázal, že klasická chřipka to není. Jaká je nyní pravděpodobnost, že se jedná o novou formu chřipky? 11 Biostatistika pro matematickou biologii a biomedicínu  Podmíněná pravděpodobnost ̶ Příklad: Osoba X má všechny typické příznaky chřipky. Pravděpodobnost, že se jedná o klasickou chřipku je 0,7 (jev A), prasečí chřipku 0,2 (jev B), ptačí chřipku 0,05 (jev C) a dosud neznámou formu 0,05 (jev D). Diagnostický test prokázal, že klasická chřipka to není. Jaká je nyní pravděpodobnost, že se jedná o novou formu chřipky? ̶ Řešení: P ( D  A c ) P( D) 0,05 P( D | A )  c   0,167 P( A ) c P( A ) 0,3 c 12 Biostatistika pro matematickou biologii a biomedicínu Celková pravděpodobnost a Bayesův vzorec ̶ Můžeme-li rozdělit základní prostor na k po dvou disjunktních podmnožin (Hi, i = 1, …, k), pro které zároveň platí, že jejich sjednocení je celý základní prostor (tzv. systém hypotéz), pak pravděpodobnost jevu A lze získat jako k P( A)  P( A | H i ) P( H i ) Vzorec pro celkovou i 1 pravděpodobnost ̶ Dále platí P( A  H j ) P( A | H j ) P( H j ) P( H j | A)   P( A) k Bayesův vzorec  P( A | H ) P( H ) i 1 i i  Počasí a podmíněná pravděpodobnost ̶Co má počasí společného s pravděpodobností? 14 Biostatistika pro matematickou biologii a biomedicínu  Počasí a podmíněná pravděpodobnost ̶ Co má počasí společného s pravděpodobností? ̶ U každého jevu (A) se můžeme ptát na jeho Ω pravděpodobnost za slunečného počasí, za deště, za H0 H1 H2 bouřky, atd. Celkovou pravděpodobnost jevu A potom můžeme získat jako součet přes tyto možnosti. ̶ Tyto stavy lze chápat jako výchozí hypotézy H3 H4 H5 ovlivňující výsledek, přičemž vždy nastává (platí) pouze jeden z těchto stavů (hypotéz). Pokud pozorujeme jev A, můžeme se zpětně ptát na platnost těchto hypotéz (s použitím Bayesova vzorce). 15 Biostatistika pro matematickou biologii a biomedicínu Celková pravděpodobnost – jiný příklad ̶ Populaci můžeme rozdělit dle věku na tři skupiny: děti (H0), dospělé v produktivním věku (H1) a dospělé v postproduktivním věku (H2), přičemž známe rozdělení populace, tedy známe P(H0), P(H1) a P(H2). H0 H1 H2 Ω ̶ Označme jev A: stane se úraz. ̶ Známe-li pravděpodobnost úrazu u dítěte, P(A|H0), u dospělého v produktivním věku, P(A| H1), a u dospělého v postproduktivním věku, P(A|H2), jsme schopni pomocí vzorce pro celkovou pravděpodobnost spočítat P(A).  Bayesův vzorec ̶ Příklad: Uvažujme populaci mužů nekuřáků ve věku 50 – 60 let, u kterých sledujeme výskyt chronického kašle (jev A). Dle stavu plic můžeme muže zjednodušeně rozdělit na zdravé (jev H1), nemocné plicním karcinomem (jev H2) a nemocné sarkoidózou (jev H3). Pravděpodobnosti výskytu jednotlivých plicních onemocnění jsou známé, navíc známe i pravděpodobnosti výskytu chronického kašle dle stavu plic: P(H1) = 0,991, P(H2) = 0,001, P(H3) = 0,008 P(A|H1)=0,002, P(A|H2)=0,900, P(A|H3)=0,950 ̶ Zajímá nás, s jakou pravděpodobností bude u pacienta s chronickým kašlem při podrobnějším vyšetření diagnostikován karcinom plic. 17 Biostatistika pro matematickou biologii a biomedicínu Bayesův vzorec ̶ Příklad: Uvažujme populaci mužů nekuřáků ve věku 50 – 60 let, u kterých sledujeme výskyt chronického kašle (jev A). Dle stavu plic můžeme muže zjednodušeně rozdělit na zdravé (jev H1), nemocné plicním karcinomem (jev H2) a nemocné sarkoidózou (jev H3). Pravděpodobnosti výskytu jednotlivých plicních onemocnění jsou známé, navíc známe i pravděpodobnosti výskytu chronického kašle dle stavu plic: P(H1) = 0,991, P(H2) = 0,001, P(H3) = 0,008 P(A|H1)=0,002, P(A|H2)=0,900, P(A|H3)=0,950 ̶ Zajímá nás, s jakou pravděpodobností bude u pacienta s chronickým kašlem při podrobnějším vyšetření diagnostikován karcinom plic. P( A  H 2 ) P( A | H 2 ) P( H 2 ) P( H 2 | A)   3 P( A) ̶Řešení: P( A | H i ) P( H i ) i 1 0,900 0,001 P( H 2 | A)  0,086 0,002 0,991 0,900 0,001 0,950 0,008 Význam podmíněné pravděpodobnosti v biostatistice ̶ Princip podmíněné pravděpodobnosti je v biostatistice velmi častý – máme systém hypotéz (nejčastěji dvou) o vlastnostech cílové populace a pozorovaná data. Na jejich základě pak rozhodujeme o platnosti stanovených hypotéz. ̶ Přímé použití podmíněné pravděpodobnosti lze demonstrovat na příkladu binárních diagnostických testů: ̶ Osoba ve skutečnosti má (jev H) nebo nemá (jev Hc) sledované onemocnění. ̶ Diagnostický test u dané osoby indikuje přítomnost (jev A+) nebo nepřítomnost (jev A-) sledovaného onemocnění. ̶ Nás zajímají diagnostické schopnosti testu.  Senzitivita, specificita Skutečnost – přítomnost nemoci Ano (H) Ne (Hc) Výsledek Pozitivní (A+) T U diagnostického testu Negativní (A-) V W ̶ Senzitivita testu: schopnost testu rozpoznat skutečně nemocné osoby, tedy pravděpodobnost, že test bude pozitivní, když je osoba skutečně nemocná. ̶ Senzitivita testu = P(A+|H) = T / (T + V). ̶ Specificita testu: schopnost testu rozpoznat osoby bez nemoci, tedy pravděpodobnost, že test bude negativní, když osoba není nemocná. ̶ Specificita testu = P(A-|Hc) = W / (U + W). 20 Biostatistika pro matematickou biologii a biomedicínu  Pozitivní a negativní prediktivní hodnota Skutečnost – přítomnost nemoci Ano (H) Ne (Hc) Výsledek Pozitivní (A+) T U diagnostického testu Negativní (A-) V W ̶ Prediktivní hodnota pozitivního testu: pravděpodobnost, že osoba je skutečně nemocná, když je test pozitivní. ̶ Prediktivní hodnota pozitivního testu = P(H|A+) = T / (T + U). ̶ Prediktivní hodnota negativního testu: pravděpodobnost, že osoba není nemocná, když je test negativní. ̶ Prediktivní hodnota negativního testu = P(Hc|A-) = W / (V + W). 21 Biostatistika pro matematickou biologii a biomedicínu  Shrnutí Skutečnost – přítomnost nemoci Ano (H) Ne (Hc) Pozitivní (A+) T U T+U Prediktivní hodnota Výsledek pozitivního testu diagnostického testu Prediktivní hodnota Negativní (A-) V W V+W negativního testu T+V U+W Senzitivita Specificita testu testu 22 Biostatistika pro matematickou biologii a biomedicínu  Senzitivita, specificita ̶ Příklad: Zajímá nás přesnost vyšetření jater ultrazvukem, tedy schopnost vyšetření UTZ identifikovat maligní ložisko v pacientových játrech. Přesnost je vztažena k histologickému ověření odebrané tkáně. Výsledky jsou dány tabulkou: Histologické ověření Vyšetření UTZ Maligní Benigní Celkem Maligní 32 2 34 Benigní 3 24 27 Celkem 35 26 61 ̶ Senzitivita testu = P(A+|H) = ? ̶ Specificita testu = P(A-|Hc) = ? 23 Biostatistika pro matematickou biologii a biomedicínu  Senzitivita, specificita ̶ Příklad: Zajímá nás přesnost vyšetření jater ultrazvukem, tedy schopnost vyšetření UTZ identifikovat maligní ložisko v pacientových játrech. Přesnost je vztažena k histologickému ověření odebrané tkáně. Výsledky jsou dány tabulkou: Histologické ověření Vyšetření UTZ Maligní Benigní Celkem Maligní 32 2 34 Benigní 3 24 27 Celkem 35 26 61 ̶ Senzitivita testu = P(A+|H) = 32 / 35 = 91,4 % (IS = 75,8 – 97,8) ̶ Specificita testu = P(A-|Hc) = 24 / 26 = 92,3 % (IS = 73,4 – 98,7) 24 Biostatistika pro matematickou biologii a biomedicínu  Bayesův vzorec pro výpočet prediktivních hodnot ̶Obě prediktivní hodnoty testu lze vypočítat s pomocí charakteristik testu, senzitivity a specificity, a celkové prevalence onemocnění v cílové populaci. Senzitivita testu P ( A | H ) Specificita testu P ( A | H c ) Prevalence P(H ) Prediktivní hodnota P ( A  | H ) P( H ) P ( H | A )  pozitivního testu P ( A | H ) P ( H )  P ( A | H c ) P ( H c ) Prediktivní hodnota P ( A | H c ) P ( H c ) P( H | A )  c  negativního testu P ( A | H c ) P ( H c )  P ( A | H ) P ( H ) 25 Biostatistika pro matematickou biologii a biomedicínu  Pozitivní a negativní prediktivní hodnota ̶ Příklad: Zajímají nás pozitivní a negativní prediktivní hodnoty diagnostického testu na HIV pozitivitu, u kterého výrobce garantuje 98% senzitivitu a 99% specificitu. ̶ Uvažujme jihoafrickou zemi s prevalencí HIV pozitivních cca 20 %: P(A+|H) = 0,98; P(A-|Hc) = 0,99; P(H) = 0,2. 26 Biostatistika pro matematickou biologii a biomedicínu Pozitivní a negativní prediktivní hodnota ̶ Příklad: Zajímají nás pozitivní a negativní prediktivní hodnoty diagnostického testu na HIV pozitivitu, u kterého výrobce garantuje 98% senzitivitu a 99% specificitu. ̶ Uvažujme jihoafrickou zemi s prevalencí HIV pozitivních cca 20 %: P(A+|H) = 0,98; P(A-|Hc) = 0,99; P(H) = 0,2. Prediktivní hodnota pozitivního testu P ( A | H ) P ( H ) 0,98 0,20 P( H | A )    96,1% P( A | H ) P( H )  P( A | H ) P( H ) 0,98 0,20  (1  0,99) (1  0,20)   c c Prediktivní hodnota negativního testu P ( A | H c ) P ( H c ) 0,99 (1  0,20) P( H | A )  c   99,5% P( A | H ) P( H )  P( A | H ) P( H ) 0,99 (1  0,20)  (1  0,98) 0,20  c c   Pozitivní a negativní prediktivní hodnota ̶ Příklad: Zajímají nás pozitivní a negativní prediktivní hodnoty diagnostického testu na HIV pozitivitu, u kterého výrobce garantuje 98% senzitivitu a 99% specificitu. ̶ Uvažujme evropskou zemi s prevalencí HIV pozitivních cca 0,2 %: P(A+|H) = 0,98; P(A-|Hc) = 0,99; P(H) = 0,002. 28 Biostatistika pro matematickou biologii a biomedicínu Pozitivní a negativní prediktivní hodnota ̶ Příklad: Zajímají nás pozitivní a negativní prediktivní hodnoty diagnostického testu na HIV pozitivitu, u kterého výrobce garantuje 98% senzitivitu a 99% specificitu. ̶ Uvažujme evropskou zemi s prevalencí HIV pozitivních cca 0,2 %: P(A+|H) = 0,98; P(A-|Hc) = 0,99; P(H) = 0,002. Prediktivní hodnota pozitivního testu P ( A | H ) P ( H ) 0,98 0,002 P( H | A )    16,4% P( A | H ) P( H )  P( A | H ) P( H ) 0,98 0,002  (1  0,99) (1  0,002)   c c Prediktivní hodnota negativního testu P ( A  | H c ) P ( H c ) 0,99 (1  0,002) P ( H c | A )   99,9% P( A | H ) P( H )  P( A | H ) P( H ) 0,99 (1  0,002)  (1  0,98) 0,002  c c  Děkuji za pozornost 30 Biostatistika pro matematickou biologii a biomedicínu