ระบบจำนวนจริง PDF

ระบบจํานวนจริ ง 1 โรงเรี ยนนาคประสิ ทธิ ระบบจํานวนจริ ง 1. โครงสร้ างของระบบจํานวนจริง จํานวนจริง ()...

ระบบจํานวนจริ ง 1 โรงเรี ยนนาคประสิ ทธิ ระบบจํานวนจริ ง 1. โครงสร้ างของระบบจํานวนจริง จํานวนจริง () จํานวนตรรกยะ (ℚ) จํานวนอตรรกยะ (ℚ) เศษส่วนของจํานวนเต็ม จํานวนเต็ม () ทีไม่ใช่จํานวนเต็ม จํานวนเต็มลบ (–) จํานวนเต็มศูนย์ (0) จํานวนเต็มบวก (+) หรื อ จํานวนนับ () ตัวอย่ าง 1 จงพิจารณาจํานวนทีกําหนดให้ ในแต่ละข้ อต่อไปนีว่าเป็ นจํานวนชนิดใด โดยทําเครืองหมาย  ให้ ตรงกับจํานวนนันๆ (สามารถตอบได้ มากกว่า 1 ชนิด) ข้ อ จํานวน       1 0 2 2.91452 1 3  2 4 3 5  6 0.12121212… 7 12 8 3.14 22 9 7 10 3.78778777877778… อาจารย์รังสรรค์ ทองสุกนอก(อ.ปิ ง) ระบบจํานวนจริ ง 2 โรงเรี ยนนาคประสิ ทธิ แบบฝึ กหัดที 1 1. จงพิจารณาจํานวนทีกําหนดให้ ในแต่ละข้ อต่อไปนีว่าเป็ นจํานวนชนิดใด โดยทําเครืองหมาย  ให้ ตรงกับจํานวนนันๆ (สามารถตอบได้ มากกว่า 1 ชนิด) ข้ อ จํานวน       1 2.54 10 2  5 3 5 0 4 0 5 3 64 6 2+ 2 7 12.45 8 –e 9 1.45445444544445… 10 2 3 11 0.59999… 12 2 13 2 8 18 14 2 2 15 53 16 20 17 00 1 18 2 9 19 0.45454545… 20 3 1 คําถามน่าสนใจ : 0.999… เป็ นจํานวนเต็มใหม ? อาจารย์รังสรรค์ ทองสุกนอก(อ.ปิ ง) ระบบจํานวนจริ ง 3 โรงเรี ยนนาคประสิ ทธิ 2. จงพิจารณาว่าข้ อใดต่อไปนีเป็ นจริง(T) หรือเป็ นเท็จ(F)................. 1. 0 เป็ นจํานวนเต็มบวกหรือจํานวนเต็มลบก็ได้................. 2. 3 27 เป็ นจํานวนอตรรกยะ................. 3. – | –3 | เป็ นจํานวนเต็มบวก................. 4. 9  4 เป็ นจํานวนเต็มบวก................. 5. –0.866 เป็ นจํานวนตรรกยะ 8................. 6. เป็ นจํานวนอตรรกยะ 4................. 7. 16 เป็ นจํานวนตรรกยะ 8................. 8. เป็ นจํานวนอตรรกยะ 0 0................. 9. เป็ นจํานวนจริง 3................. 10. มีจํานวนเต็มบวกทีมากทีสุด................. 11. มีจํานวนเต็มบวกทีน้ อยทีสุด................. 12. มีจํานวนเต็มลบทีน้ อยทีสุด................. 13. มีจํานวนเต็มลบทีมากทีสุด................. 14. มีจํานวนตรรกยะระหว่างสองจํานวนอตรรกยะใดๆเสมอ................. 15. มีจํานวนอตรรกยะระหว่างสองจํานวนตรรกยะใดๆเสมอ................. 16. มีจํานวนจริงทีมากทีสุดทีน้ อยกว่า 2................. 17. มีจํานวนจริงทีน้ อยทีสุดทีมากกว่า 1................. 18. 0.141144111444… เขียนเป็ นเศษส่วนทีมีเศษและส่วนเป็ นจํานวนเต็มได้................. 19. มีจํานวนตรรกยะ a  0 และจํานวนอตรรกยะ b ซึง ab เป็ นจํานวนตรรกยะ................. 20. ถ้ า a, b เป็ นจํานวนตรรกยะบวกแล้ ว ab เป็ นจํานวนตรรกยะเสมอ................. 21. มีจํานวนอตรรกยะ a, b ซึง a  –b และ a + b เป็ นจํานวนตรรกยะ................. 22. ถ้ า a, b เป็ นจํานวนอตรรกยะ และ b  1 แล้ ว ab เป็ นจํานวนอตรรกยะเสมอ a................. 23. จํานวนจริงทีได้จากการแก้ สมการ x  25 = – 4 มีคา่ น้ อยกว่า 0................. 24. ถ้ า a, b เป็ นจํานวนจริงใดๆ ที a  0  b แล้ ว เราสรุปได้ วา่ a2b  ab2................. 25. ถ้ า a, b, c เป็ นจํานวนจริงใดๆ ที ac = bc แล้ ว เราสรุปได้ วา่ a = b อาจารย์รังสรรค์ ทองสุกนอก(อ.ปิ ง) ระบบจํานวนจริ ง 4 โรงเรี ยนนาคประสิ ทธิ 2. การเท่ ากันของจํานวนจริง การเท่ากันในระบบจํานวนจริง มีสมบัติดงั ต่อไปนี กําหนดให้ a, b และ c เป็ นจํานวนจริงใดๆ (1) สมบัติการสะท้ อน(Reflexive Property) : a = a (2) สมบัติการสมมาตร(Symetric Property) : ถ้ า a = b แล้ ว b = a (3) สมบัติการถ่ายทอด(Transitive Property) : ถ้ า a = b และ b = c แล้ ว a=c (4) สมบัติการบวกด้ วยจํานวนทีเท่ากัน : ถ้ า a = b แล้ ว a + c = b + c (5) สมบัติการคูณด้ วยจํานวนทีเท่ากัน : ถ้ า a = b แล้ ว ac = bc 3. สมบัตขิ องระบบจํานวนจริง 3.1 สมบัตข ิ องจํานวนจริง ด้ านพีชคณิต ให้ a, b และ c เป็ นจํานวนจริง การดําเนินการบวกและการคูณบนจํานวนจริงมีสมบัติดงั นี สมบัติ การบวก การคูณ ปิ ด a+b   ab   การสลับที a+b = b+a ab = ba การเปลียนกลุ่ม (a + b) + c = a + (b + c) (ab)c = a(bc) มี 0 เป็ นเอกลักษณ์ โดยที มี 1 เป็ นเอกลักษณ์ โดยที การมีเอกลักษณ์ a+0 =0+a = a 1a = a1 = a อินเวอร์สของจํานวนจริง a คือ –a อินเวอร์สของจํานวนจริง a  0 คือ การมีอนิ เวอร์ ส 1 โดยที a + (–a) = 0 โดยที a  1  1 =   a = 1 a a  a  การแจกแจง a (b + c) = ab + ac Note : สําหรับการดําเนินการ  บนเซ็ต A 1) สมบัติปิด เป็ นจริง ก็ตอ่ เมือ ทุกๆ x, y  A แล้ ว x  y  A 2) สมบัติการเปลียนกลุ่ม เป็ นจริ ง ก็ตอ ่ เมือ ทุกๆ x, y, z  A แล้ ว (x  y)  z = x  (y  z) 3) สมบัติการมีเอกลักษณ์ เป็ นจริง ก็ตอ ่ เมือ มี e  A ซึงทุกๆ x  A ซึง e  x = x  e = x 4) สมบัติการมีอินเวอร์ ส เป็ นจริ ง ก็ตอ ่ เมือ ทุกๆ x  A มี x ซึง x  x = x  x = e 5) สมบัติการสลับที เป็ นจริ ง ก็ตอ ่ เมือ ทุกๆ x, y  A แล้ ว y  x = x  y ถ้ า A และ  มีสมบัติ 1) – 4) เราเรียกว่าระบบ A และ  กรุป(Group) ถ้ า A และ  มีสมบัติ 1) – 5) เรี ยกว่าระบบ A และ  กรุปสลับที(commutative Group) อาจารย์รังสรรค์ ทองสุกนอก(อ.ปิ ง) ระบบจํานวนจริ ง 5 โรงเรี ยนนาคประสิ ทธิ ตัวอย่ าง 1 กําหนดให้ A = {–1, 0, 1} จงตอบคําถามต่อไปนี (1) A มีสมบัติปิดการบวกหรื อไม่ (2) A มีสมบัติการคูณหรื อไม่ (3) A มีสมบัติปิดการลบหรือไม่ (4) A มีสมบัติการหารหรือไม่ (5) A มีเอกลักษณ์การบวกหรือไม่ (6) A มีเอกลักษณ์การคูณหรือไม่ (7) สมาชิก A ทุกตัวมีอินเวอร์สการบวกหรือไม่ (8) สมาชิก A ทุกตัวยกเว้ น 0 มีอินเวอร์สการคูณหรือไม่ (9) A กับการบวก เป็ นกรุปหรือไม่ (10) A กับการคูณ เป็ นกรุปหรือไม่ ตัวอย่ าง 2 กําหนดให้  เป็ นเซตของจํานวนเต็ม และ ∗ เป็ นโอเปอเรชันทีกําหนดโดย a ∗ b = a + b + 2 เมือ a, b   จงพิจารณาว่า  กับ ∗ เป็ นกรุปสลับทีหรือไม่ อาจารย์รังสรรค์ ทองสุกนอก(อ.ปิ ง) ระบบจํานวนจริ ง 6 โรงเรี ยนนาคประสิ ทธิ แบบฝึ กหัดที 2 – 3 1. กําหนดให้ a ∗ b = a + b – 8 เมือ a, b   เมือ  คือเซตของจํานวนเต็ม จงตอบคําถามต่อไปนี (1) จงแสดงว่า  มีสมบัติปิดภายใต้ ∗ (2) จงแสดงว่า  มีสมบัติการเปลียนกลุม่ ภายใต้ ∗ (3) จงแสดงว่า  มีเอกลักษณ์ภายใต้ ∗ (4) จงแสดงว่า  มีอินเวอร์สภายใต้ ∗ (5) จงแสดงว่า  มีคณ ุ สมบัตกิ ารสลับทีภายใต้ ∗ 2. จงพิจารณาว่าข้ อความต่อไปนีเป็ นจริงหรือเป็ นเท็จ (1) เซตจํานวนตรรกยะมีสมบัติปิดของการบวกและการลบ (2) เซตจํานวนตรรกยะมีสมบัติปิดของการหาร (3) เซตจํานวนคูม่ ีสมบัติปิดของการคูณ (4) เซตจํานวนเต็มมีสมบัติปิดภายใต้ การหารและการคูณ อาจารย์รังสรรค์ ทองสุกนอก(อ.ปิ ง) ระบบจํานวนจริ ง 7 โรงเรี ยนนาคประสิ ทธิ (5) เซตจํานวนอตรรกยะมีสมบัติปิดภายใต้ การบวก (6) เซตจํานวนอตรรกยะมีสมบัติปิดภายใต้ การคูณ (7) เซตของจํานวนเต็มทีหารด้ วย 5 ลงตัว มีสมบัติปิดภายใต้การบวกและการคูณ (8) เซตของจํานวนคีมีสมบัติปิดภายใต้ การบวกและการลบ (9) เซต {n   | n  } มีสมบัติปิดภายใต้ การคูณ (10) เซตของจํานวนเต็มมีสมบัติการเปลียนกลุม่ ได้ ภายใต้การลบ (11) เซตของจํานวนตรรกยะมีสมบัติการจัดหมูภ่ ายใต้ การคูณ (12) เซตของจํานวนเต็มบวก มีเอกลักษณ์การบวกและเอกลักษณ์การคูณ (13) เซตของจํานวนคีมีเอกลักษณ์การคูณแต่ไม่มเี อกลักษณ์การบวก (14) เซตของจํานวนเต็มทีหารด้ วย 5 ลงตัว มีเอกลักษณ์ของการบวกและการคูณ (15) กําหนด x  y = (x  y)2 จะได้ วา่ xy=yx ทุกๆ x, y   (16) กําหนด x  y = x – y + xy จะได้ วา่ xy=yx ทุกๆ x, y   (17) กําหนด x  y = x – y + xy จะได้ วา่ (xy)z = x(yz) ทุกๆ x, y, z   (18) กําหนด x  y = x + 4y จะได้ วา่ (xy)z = x(yz) ทุกๆ x, y, z   (19) อินเวอร์สการคูณของ 3 2 คือ 3 2 1 a (20) อินเวอร์สการบวกของ b คือ a 1  ab อาจารย์รังสรรค์ ทองสุกนอก(อ.ปิ ง) ระบบจํานวนจริ ง 8 โรงเรี ยนนาคประสิ ทธิ 3. กําหนดเซต A = {1, 2, 3, 4} และนิยาม x  y = เศษทีเกิดจาการหาร xy ด้ วย 5 จงตอบคําถามต่อไปนี (1) จงแสดงว่าเซต A มีสมบัติปิดภายใต้  * 1 2 3 4 1 2 3 4 (2) จงพิจารณาว่า สําหรับ a, b  A มีสมบบัติวา่ (a  b)  c = a  (b  c) หรือไม่ (3) จงพิจารณาว่า สําหรับ a, b  A มีสมบบัติวา่ ab=ba หรือไม่ (4) จงพิจารณาว่า เซต A มีเอกลักษณ์ภายใต้  หรือไม่ (5) จงหาอินเวอร์สภายใต้  ของสมาชิกแต่ละในเซต A อาจารย์รังสรรค์ ทองสุกนอก(อ.ปิ ง) ระบบจํานวนจริ ง 9 โรงเรี ยนนาคประสิ ทธิ 4. จงหาอินเวอร์สของ 5 ภายใต้ การ  ซึงนิยาม a  b = a + b + 2ab เมือ a, b   ab 5. กําหนดให้ a, b   และนิยาม ab= 2 จงพิจารณาข้ อใดต่อไปนีเป็ นจริงหรือเป็ นเท็จ (1) ab=ba (2) (a  b)  c = a  (b  c) (3) เซตของจํานวนจริงมีสมบัตปิ ิ ดภายใต้  (4) เซตของจํานวนจริงมีเอกลักษณ์ภายใต้  (5) ในเซตของจํานวนจริงและ  6 มีอินเวอร์ส อาจารย์รังสรรค์ ทองสุกนอก(อ.ปิ ง) ระบบจํานวนจริ ง 10 โรงเรี ยนนาคประสิ ทธิ 4. ทฤษฎีบทพืนฐานในระบบจํานวนจริง จากหัวข้ อ 2.1 และ 2.2 ได้ กล่าวถึง สมบัติของการเท่ากัน และสมบัติของจํานวนจริงกับ การบวกและการคูณไปแล้ ว ยังมีสมบัติเพิมเติมเป็ นทฤษฎีบทตามมาทีจะกล่าวต่อไปนี ทฤษฎีบท 4.1(สมบัติการตัดออกของการบวก) กําหนดให้ a, b และ c เป็ นจํานวนจริงใดๆ (1) ถ้ า a + c = b + c แล้ ว a = b (2) ถ้ า c + a = c + b แล้ ว a = b พิสูจน์ ทฤษฎีบท 4.2 (สมบัติการตัดออกของการคูณ) กําหนดให้ a, b และ c เป็ นจํานวนจริงใดๆ (1) ถ้ า ac = bc แล้ ว a = b (2) ถ้ า ca = cb แล้ ว a = b พิสูจน์ อาจารย์รังสรรค์ ทองสุกนอก(อ.ปิ ง) ระบบจํานวนจริ ง 11 โรงเรี ยนนาคประสิ ทธิ ทฤษฎีบท 4.3 (สมบัติการคูณด้ วย 0) กําหนดให้ a เป็ นจํานวนจริงใดๆ จะได้ a0 = 0a = 0 พิสูจน์ ทฤษฎีบท 4.4 (สมบัติการคูณด้ วย –1) กําหนดให้ a เป็ นจํานวนจริงใดๆ จะได้ a(–1) = (–1)a = –a พิสูจน์ อาจารย์รังสรรค์ ทองสุกนอก(อ.ปิ ง) ระบบจํานวนจริ ง 12 โรงเรี ยนนาคประสิ ทธิ ทฤษฎีบท 4.5 (สมบัติการคูณแล้ วได้ ผลคูณเป็ น 0) กําหนดให้ a และ b เป็ นจํานวนจริงใดๆ ถ้ า ab = 0 แล้ ว a = 0 หรือ b = 0 พิสูจน์ ทฤษฎีบท 4.6 กําหนดให้ a เป็ นจํานวนจริงใดๆ ถ้ า a≠0 แล้ ว a1 ≠ 0 พิสูจน์ อาจารย์รังสรรค์ ทองสุกนอก(อ.ปิ ง) ระบบจํานวนจริ ง 13 โรงเรี ยนนาคประสิ ทธิ ทฤษฎีบท 4.7 (สมบัติของอินเวอร์สของอินเวอร์ส) กําหนดให้ a เป็ นจํานวนจริงใดๆ จะได้ วา่ (1) –(–a) = a (2) (a1)1 = a เมือ a≠0 พิสูจน์ ทฤษฎีบท 4.8 กําหนดให้ a และ b เป็ นจํานวนจริงใดๆที a≠0 และ b ≠ 0 จะได้ วา่ (ab)1  b1a1  a1b1 พิสูจน์ อาจารย์รังสรรค์ ทองสุกนอก(อ.ปิ ง) ระบบจํานวนจริ ง 14 โรงเรี ยนนาคประสิ ทธิ ทฤษฎีบท 4.9 กําหนดให้ a และ b เป็ นจํานวนจริงใดๆ จะได้ วา่ (1) (–a)b = –ab (2) a(–b) = –ab (3) (–a)(–b) = ab พิสูจน์ อาจารย์รังสรรค์ ทองสุกนอก(อ.ปิ ง) ระบบจํานวนจริ ง 15 โรงเรี ยนนาคประสิ ทธิ แบบฝึ กหัดที 4 1. กําหนดให้ a และ b เป็ นจํานวนจริงใดๆ จงพิสจู น์ ถ้ า a + b = a แล้ ว b = 0 2. กําหนดให้ a และ b เป็ นจํานวนจริงใดๆ จงพิสจู น์ ถ้ า a + b = 0 แล้ ว a = –b 3. กําหนดให้ a และ b เป็ นจํานวนจริงใดๆ จงพิสจู น์ ถ้ า ab = a แล้ ว b = 1 4. กําหนดให้ a และ b เป็ นจํานวนจริงใดๆ จงพิสจู น์ ถ้ า ab = 1 แล้ ว b = a1 อาจารย์รังสรรค์ ทองสุกนอก(อ.ปิ ง) ระบบจํานวนจริ ง 16 โรงเรี ยนนาคประสิ ทธิ 5. กําหนดให้ a และ b เป็ นจํานวนจริงใดๆ จงพิสจู น์ ถ้ า a ≠ 0 และ b ≠ 0 แล้ ว ab ≠ 0 6. จงพิสจู น์ (1) –0 = 0 (2) 11 = 1 (3) (1)1  1 7. วิธีทําต่อไปนีผิดทีตําแหน่งใด ถ้ า a2  a2 = (a + a)(a – a) ดังนัน a(a – a) = (a + a)(a – a) a = a+a [สมบัติการตัดออกของการคูณ] ดังนัน 1a = 2a [สมบัติมีเอกลักษณ์ของการคูณ] 1 = 2 [สมบัติการตัดออกของการคูณ] อาจารย์รังสรรค์ ทองสุกนอก(อ.ปิ ง) ระบบจํานวนจริ ง 17 โรงเรี ยนนาคประสิ ทธิ 5. การลบและการหารจํานวนจริง ในหัวข้ อนีเราจะให้ ความหมายของการลบและการหาร ดังนิยามต่อไปนี นิยาม การลบจํานวนจริง กําหนดให้ a และ b เป็ นจํานวนจริงใดๆ a – b = a + (–b) (a บวกกับ อินเวอร์สของการบวกของ b) ตัวอย่างเช่น 4 – 6 = 4 + (–6) โดยอาศัยสมบัติการบวกของจํานนจริง จะได้ สมบัติการลบของจํานนจริง ดังทฤษฎีบทต่อไปนี ทฤษฎีบท 5.1 (สมบัติการแจกแจงของการลบ) กําหนดให้ a, b และ c เป็ นจํานวนจริงใดๆ (1) a(b – c) = ab – ac (2) (a – b)c = ac – bc พิสูจน์ (1) ทฤษฎีบท 5.2 (สมบัติการตัดออกของการลบ) กําหนดให้ a, b และ c เป็ นจํานวนจริงใดๆ (1) ถ้ า a–b=a–c แล้ ว b = c (2) ถ้ า a–c=b–c แล้ ว a = b พิสูจน์ (1) อาจารย์รังสรรค์ ทองสุกนอก(อ.ปิ ง) ระบบจํานวนจริ ง 18 โรงเรี ยนนาคประสิ ทธิ นิยาม การหารจํานวนจริง กําหนดให้ a และ b เป็ นจํานวนจริงใดๆ โดยที b≠0 a  a(b1 ) (a คูณกับ อินเวอร์สของการคูณของ b) b 4 1 ตัวอย่างเช่น  4(61 )  4( ) 6 6 โดยอาศัยสมบัติการคูณของจํานนจริง จะได้ สมบัตกิ ารหารของจํานนจริง ดังทฤษฎีบทต่อไปนี ทฤษฎีบท 5.3 กําหนดให้ a, b และ c เป็ นจํานวนจริงใดๆ โดยที b≠0 และ c ≠ 0 จะได้ a ac ca   b bc cb พิสูจน์ ทฤษฎีบท 5.4 กําหนดให้ a, b และ c เป็ นจํานวนจริงใดๆ โดยที b≠0 จะได้  a  ca c     b  b พิสูจน์ อาจารย์รังสรรค์ ทองสุกนอก(อ.ปิ ง) ระบบจํานวนจริ ง 19 โรงเรี ยนนาคประสิ ทธิ ทฤษฎีบท 5.5 กําหนดให้ a, b และ c เป็ นจํานวนจริงใดๆ โดยที b≠0 จะได้ a a a    b b b พิสูจน์ ทฤษฎีบท 5.6 กําหนดให้ a, b และ c เป็ นจํานวนจริงใดๆ โดยที b≠0 และ c ≠ 0 จะได้  a     b  a  c bc พิสูจน์ อาจารย์รังสรรค์ ทองสุกนอก(อ.ปิ ง) ระบบจํานวนจริ ง 20 โรงเรี ยนนาคประสิ ทธิ ทฤษฎีบท 5.7 กําหนดให้ a, b, c และ d เป็ นจํานวนจริงใดๆโดยที b≠0 และ d ≠ 0 จะได้ a c ad  bc   b d bd พิสจู น์เป็ นแบบฝึ กหัด ทฤษฎีบท 5.8 กําหนดให้ a, b, c และ d เป็ นจํานวนจริงใดๆโดยที b≠0 และ d ≠ 0 จะได้ a c ad  bc   b d bd พิสจู น์เป็ นแบบฝึ กหัด ทฤษฎีบท 5.9 กําหนดให้ a, b, c และ d เป็ นจํานวนจริงใดๆโดยที b≠0 และ d ≠ 0 จะได้  a  c   ac          b  d   bd  พิสจู น์เป็ นแบบฝึ กหัด ทฤษฎีบท 5.10 กําหนดให้ a และ b เป็ นจํานวนจริงใดๆโดยที a≠0 และ b ≠ 0 จะได้  a 1 b     b  a พิสจู น์เป็ นแบบฝึ กหัด ทฤษฎีบท 5.11 กําหนดให้ a, b, c และ d เป็ นจํานวนจริงใดๆ โดยที b ≠ 0, c ≠ 0 และ d ≠ 0 จะได้  a     b  ad   c  bc    d  พิสจู น์เป็ นแบบฝึ กหัด ทฤษฎีบท 5.12 กําหนดให้ a, b และ c เป็ นจํานวนจริงใดๆโดยที b≠0 จะได้ a (1) ถ้ า c แล้ ว a = bc b a (2) ถ้ า a = bc แล้ ว c b พิสจู น์เป็ นแบบฝึ กหัด อาจารย์รังสรรค์ ทองสุกนอก(อ.ปิ ง) ระบบจํานวนจริ ง 21 โรงเรี ยนนาคประสิ ทธิ แบบฝึ กหัดที 5 1. จงพิสจู น์ทฤษฎีบท 5.1 ข้ อ (2) 2. จงพิสจู น์ทฤษฎีบท 5.2 ข้ อ (2) 3. จงพิสจู น์ทฤษฎีบท 5.7 4. จงพิสจู น์ทฤษฎีบท 5.8 5. จงพิสจู น์ทฤษฎีบท 5.9 อาจารย์รังสรรค์ ทองสุกนอก(อ.ปิ ง) ระบบจํานวนจริ ง 22 โรงเรี ยนนาคประสิ ทธิ 6. จงพิสจู น์ทฤษฎีบท 5.10 7. จงพิสจู น์ทฤษฎีบท 5.11 8. จงพิสจู น์ทฤษฎีบท 5.12 อาจารย์รังสรรค์ ทองสุกนอก(อ.ปิ ง) ระบบจํานวนจริ ง 23 โรงเรี ยนนาคประสิ ทธิ 6. สมการพหุนามตัวแปรเดียว สมการพหุนามตัวแปรเดียว หมายถึง สมการทีอยู่ในรูป a n x n  a n1x n1 ...  a1x  a 0  0 …………..(1) เมือ a n , a n1, a n2 ,..., a1, a 0 เป็ นจํานวนจริงซึงเป็ นค่าคงตัว และ x เป็ นตัวแปร โดยที n เป็ นจํานวนเต็มบวกหรือศูนย์ เรียกจํานวนจริง a n, an1, an2 ,..., a1, a 0 ว่าสัมประสิทธิของสมการพหุนาม (1) ถ้ า a n ≠ 0 จะเรียกสมการ (1) ว่า สมการพหุนามดีกรี n ตัวอย่ าง 1 จงหาเซตคําตอบของสมการ 4x 3  3x2  64x  48  0 จากตัวอย่างข้ างต้ น เราแก้ สมการข้ างต้นด้ วยการแยกตัวประกอบทีอาศัยสมบัติการเปลียน กลุม่ และแจกแจง ซ่งสมการพหุนามบางสมการไม่สามารถใช้ ได้ เครืองมือหนึงทีจะช่วยในการแยกตัว ประกอบของสมการพหุนาม คือทฤษฎีบทดังต่อไปนี 6.1 เครืองมือช่ วยในการแยกตัวประกอบสมการพหุนาม  ทฤษฎีบททีจะกล่าวต่อไปนี เป็ นเครืองมือช่วยในการแยกตัวประกอบในสมการพหุนาม โดยจะ กล่าวถึงเพียงตัวทฤษฎีบทและละเว้ นการพิสจู น์ไว้ สําหรับผู้ทีสนใจ ทฤษฎีบท 6.1 ทฤษฎีบทเศษเหลือ(Remainder Theorem) กําหนดพหุนาม P(x)  a n x n  a n1x n1 ...  a1x  a 0 เมือ a n, an1, an2 ,..., a1, a 0   โดยที a n ≠ 0 และ n  + ถ้ า หาร P(x) ด้ วย x – c เมือ c   แล้ ว เศษเหลือจากการหาร P(x) ด้ วย x – c เท่ากับ P(c) อาจารย์รังสรรค์ ทองสุกนอก(อ.ปิ ง) ระบบจํานวนจริ ง 24 โรงเรี ยนนาคประสิ ทธิ ตัวอย่ าง 2 กําหนด P(x) = 3x2  2x  5 จงหาเศษเหลือจากการหาร P(x) ด้ วย x + 1 ตัวอย่ าง 3 กําหนดให้ พหุนาม P(x) = 3x3  x2 – ax + b เมือ a, b เป็ นค่าคงตัว ถ้ าพหุนาม x + 1 และ x – 1 ต่างก็หาร P(x) ลงตัว จงหาเศษเหลือทีได้จากการหาร P(x) ด้ วย x – a – b ทฤษฎีบท 6.2 ทฤษฎีบทแยกตัวประกอบ (Factor Theorem) กําหนดพหุนาม P(x)  a n x n  a n1x n1 ...  a1x  a 0 เมือ a n, an1, an2 ,..., a1, a 0   โดยที a n ≠ 0 และ n  + จะได้ วา่ จะมีจํานวนจริง c ซึงทําให้ (x – c) เป็ นตัวประกอบของ P(x) ก็ตอ่ เมือ P(c) = 0 ตัวอย่ าง 4 กําหนดพหุนาม P(x) = 3x3  4x2 +3x + 2 จงพิจารณาว่า พหุนามทีกําหนดให้ ตอ่ ไปนีเป็ นตัวประกอบของ P(x) หรือไม่ (1) x+1 (2) x–2 อาจารย์รังสรรค์ ทองสุกนอก(อ.ปิ ง) ระบบจํานวนจริ ง 25 โรงเรี ยนนาคประสิ ทธิ a ตัวอย่ าง 5 ถ้ า x–2 เป็ นตัวประกอบร่วมของพหุนาม x 3 – ax2  x + 2b และ 4 x2 + ax – ab จงหาค่าของ a+b ทฤษฎีบท 6.3 ทฤษฎีบทตัวประกอบจํานวนตรรกยะ กําหนดพหุนาม P(x)  a n x n  a n1x n1 ...  a1x  a 0 เมือ a n, an1, an2 ,..., a1, a 0   โดยที a n ≠ 0 และ n  + จะได้ วา่ k x– เป็ นตัวประกอบของพหุนาม P(x) โดยที m, k เป็ นจํานวนเต็ม m ซึง m  0 และ ห.ร.ม. ของ m และ k เท่ากับ 1 ก็ตอ่ เมือ m จะเป็ นตัวประกอบของ a n , k จะเป็ นตัวประกอบของ a0 ตัวอย่ าง 6 กําหนด P(x) = 12x 3  16x2  5x  3 k จงหาพหุนาม x– ทังหมด และจงพิจารณาว่าพหุนามใดเป็ นตัวประกอบของ P(x) m อาจารย์รังสรรค์ ทองสุกนอก(อ.ปิ ง) ระบบจํานวนจริ ง 26 โรงเรี ยนนาคประสิ ทธิ 6.2 การหารสังเคราะห์ (Synthetic Division)  เมือหารพหุนาม P(x) ด้ วย จะเกิดพหุนาม จะพหุนาม Q(x) และ P(c) ซึง x–c P(x) = (x – c)Q(x) + P(c) โดยที P(c)   การหารสังเคราะห์เป็ นวิธีการหารพหุนาม ทีนําเฉพาะสัมประสิทธ์ของพหุนามมาพิจารณา มี ขันตอนดังนีตัวอย่างนี ตัวอย่ าง 7 กําหนดพหุนาม P(x)  2x3  5x2  4x  3 (1) จงแสดงว่า x – 3 เป็ นตัวประกอบของ P(x) (2) จงหาผลหารของ P(x) ทีหารด้ วย x–3 ตัวอย่ าง 8 กําหนดพหุนาม P(x)  2x4  3x3  x  5 (1) จงหาผลหารและเศษเหลือทีได้จากการหาร P(x) ด้ วย x+2 (2) จงหาผลหารและเศษเหลือทีได้จากการหาร P(x) ด้ วย 2x – 1 อาจารย์รังสรรค์ ทองสุกนอก(อ.ปิ ง) ระบบจํานวนจริ ง 27 โรงเรี ยนนาคประสิ ทธิ 6.3 การแยกตัวประกอบของพหุนามโดยทฤษฎี 6.1- 6.3 และใช้ การหารสังเคราห์  กําหนดพหุนาม P(x)  a n x n  a n1x n1 ...  a1x  a 0 เมือ a n, an1, an2 ,..., a1, a 0   โดยที a n ≠ 0 และ n  + โดยอาศัยทฤษฎีบท 5.1 – 5.3 และการหารสังเคราะห์ มีขนตอนในการแยกตั ั ว ประกอบหพุนาม ดังนี ขันที 1 : หา m ซึงเป็ นตัวประกอบของ a n และหา k ซึงเป็ นตัวประกอบของ a0 k k ทีทําให้ P( )= 0 จะได้ x– เป็ นตัวประกอบ ของ P(x) m m k ขันที 2 : หาร P(x) ด้ วย x– สมมติวา่ ได้ ผลหารเป็ น Q(x) m ขันที 3 : นําผลหาร Q(x) ทีได้ จากขันที 2 มาแยกตัวประกอบโดยทําขันที 1 และ ขันที 2 ใหม่ จนกว่าจะผลหารเป็ นพหุนามดีกรีสอง ซึงสามารถแยกตัวประกอบ ได้ ง่ายๆ  ความรู้เดิม  พหุนามกําลังสอง P(x) = ax2  bx  c โดยที a≠0 จะได้ วา่ (1) P(x) แยกตัวประกอบได้ ในระบบจํานวนจริง เมือ b2  4ac  0 (2) P(x) แยกตัวประกอบไม่ ได้ ในระบบจํานวนจริง เมือ b2  4ac  0 ค่า b2  4ac เรียกว่าค่าดิสคริมิแนนต์(discriminant) ตัวอย่ าง 9 จงแยกตัวประกอบของพหุนาม x 4  x 3  11x2  9x  18 อาจารย์รังสรรค์ ทองสุกนอก(อ.ปิ ง) ระบบจํานวนจริ ง 28 โรงเรี ยนนาคประสิ ทธิ ตัวอย่ าง 10 จงแยกตัวประกอบของพหุนามต่อไปนี (1) 3x 3  5x2  8x  4 (2) 12x 3  16x  5x  3 (3) 4x 4  4x 3  9x2  x  2 ระบบจํานวนจริ ง 29 โรงเรี ยนนาคประสิ ทธิ 6.4 การแก้ สมการพหุนาม ขันตอนการแก้ สมการพหุนาม ขันที 1 : จัดสมการพหุนาม (1) ให้ มีด้านใดด้ านหนึงของสมการเป็ น 0 ขันที 2 : แยกตัวประกอบพหุนาม ทีได้จากขันที 1 ขันที 3 : หาคําตอบของสมการพหุนามโดยสมบัติของจํานวนจริงทีว่า ถ้ า ab = 0 แล้ ว a = 0 หรือ b = 0 สมบัติเกียวกับสมการพหุนาม กําหนดสมการพหุนามดีกรี n ดังนิยามหน้ า 23 a n x n  a n1x n1 ...  a1x  a 0  0 …… (a) (1) สมการจะมีจํานวนคําตอบทีเป็ นจํานวนจริงอย่างมาก n คําตอบ (2) ถ้ า n เป็ นจํานวนคี จะได้ วา่ สมการมีจํานวนคําตอบทีเป็ นจํานวนจริงเสมอ *** (3) ถ้ าสมการ (a) มี ส.ป.ส. เป็ นจํานวนตรรกยะ ถ้ า a + b เมือ a, b   และ b    เป็ นคําตอบหนึงของสมการนี แล้ ว a – b เป็ นคําตอบของสมการนีด้ วย *** ความสัมพันธ์ ระหว่ างคําตอบของสมการของพหุนาม *** b  b2  4ac (1) สมการพหุนามดีกรีสอง 2 ax  bx  c  0 , a ≠ 0 จะได้ x 2a สมการมีคําตอบในระบบจํานวนจริง เมือ b2  4ac  0 สมการไม่ มีคําตอบในระบบจํานวนจริง เมือ b2  4ac  0 b c จะมี ผลบวกของคําตอบ = ผลคูณของคําตอบ = a a 3 2 (2) สมการพหุนามดีกรีสาม ax  bx  cx  d  0 , a ≠ 0 b d จะมี ผลบวกของคําตอบ = ผลคูณของคําตอบ =  a a c ผลบวกของผลคูณทีละ 2 ราก = a (3) สมการพหุนามดีกรี na n x n  a n1x n1  a n2 x n2 ...  a1x  a 0 = 0 a จะมี ผลคูณของคําตอบ = ± 0 (เป็ น + เมือ n เป็ นคู่ , เป็ น – เมือ n เป็ นคี) an a ผลบวกของคําตอบ =  n1 an หมายเหตุ ผลบวกและผลคูณของคําตอบ ได้ จากคําตอบทุกตัวทังทีซําและไม่ซํากันด้ วย ระบบจํานวนจริ ง 30 โรงเรี ยนนาคประสิ ทธิ ตัวอย่ าง 11 จงหาเซตคําตอบของสมการพหุนามแต่ละข้ อต่อไปนี (1) 4x 4  4x 3  9x2  x  2 = 0 (2) 6x 4  x 3  16x2  11x  2 (3) 6x 3  6x  11x2  1 ระบบจํานวนจริ ง 31 โรงเรี ยนนาคประสิ ทธิ ตัวอย่ าง 12 ให้ a เป็ นจํานวนเต็ม ถ้ า x – a หาร x3  2x2 – 5x – 2 เหลือเศษ 4 จงหาผลบวกของค่า a ทังหมดทีสอดคล้ องเงือนไขดังกล่าว ตัวอย่ าง 13 (นําไปใช้ กบั การแก้ สมการติดกรณฑ์) จงหาคําตอบของสมการต่อไปนี (1) 2x  3  x  7  2  0 (2) 3x  4  x  6  2x  2 ระบบจํานวนจริ ง 32 โรงเรี ยนนาคประสิ ทธิ แบบฝึ กหัดที 6 1. กําหนด P(x) และ c ดังต่อไปนี จงหาเศษเมือหาร P(x) ด้ วย x–c (1) P(x) = x 3  2x2 – 4x + 5 (2) P(x) = –x 3  6x2 + 6x – 3 c=2 c = –2 (3) P(x) = 4 x 3 – 13x + 6 (4) P(x) = 2x 4 – 5x 3 – x2 + 3x + 1 1 c = –1 c= 2 2. จงใช้ การหารสังเคราะห์หาผลหารและเศษเหลือจากการหารในแต่ละข้ อ (1) ( x2 – 5x + 4)  (x – 1) (2) ( x 3 + 2 x2 – 7x + 3)  (x + 2) (3) ( x 3 – 3x + 6)  (x + 3) (4) ( x 3 + 4 x2 – 25x – 98)  (x – 5) (5) ( 6x 3 – 14 x2 + 16x + 8)  (3x – 1) ระบบจํานวนจริ ง 33 โรงเรี ยนนาคประสิ ทธิ 3. จงหาค่า t ทีทําให้ ข้อความต่อไปนีนีเป็ นจริง (1) x – 3 หาร x3 – 4 x2 –x+t ลงตัว (2) x – 2 หาร 2 x 3 + t x2 – 3x + 4t ลงตัว (3) x + 1 หาร 2x 5 – x 3 – 3 x2 + t เหลือเศษ 4 (4) x + t หาร x2 + 5x – 2 เหลือเศษ – 8 (5) x2 – 1 เป็ นตัวประกอบของ x 4  tx 3 – 5 x2 + 3x + 4 4. จงแยกตัวประกอบของพหุนามต่อไปนี (1) x 3  x2  8x  12 (2) x 4  5x2  4 ระบบจํานวนจริ ง 34 โรงเรี ยนนาคประสิ ทธิ (3) 2x 3  5x 2  4x  3 (4) 3x 3  10x2  9x  2 (5) 6x 3  43x2  27x  70 (6) x 4  10x 3  35x2  50x  24 (7) x5  3x 4  2x 3  2x 2  3x  1 (8) x 4  2x 3  13x2  14x  24 (9) 8x 3  46x2  67x  21 (10) x5  5x 4  10x 3  10x 2  5x  1 ระบบจํานวนจริ ง 35 โรงเรี ยนนาคประสิ ทธิ 5. จงหาเซตคําตอบของสมการพหุนามต่อไปนี (1) 2x2  9x  10  0 (2) 2x 3  7x 2  3x  0 (3) 2x 3  3x 2  7x  6  0 (4) x 3  x2  5x  3  0 (5) x 4  x 3  7x 2  14x  24 (6) 9x 4  3x 3  34x2  12x  8  0 (7) x5  x 3  2x2  12x  8 (8) x5  x 4  9x 3  5x2  16x  12  0 ระบบจํานวนจริ ง 36 โรงเรี ยนนาคประสิ ทธิ 6. ให้ p เป็ นจํานวนเฉพาะบวก และ m, n เป็ นจํานวนเต็ม ถ้ า x + 3 หาร x3  mx2 + nx + p ลงตัว และ x–1 หาร x 3  mx2 + nx + p เหลือเศษ 4 จงหาค่า m และ n 7. กําหนด p(x) = x6  ax3 – x + b โดยที a, b เป็ นจํานวนจริง ถ้ า x – 1 หาร p(x) เหลือเศษ –1 และ x + 1 หาร p(x) เหลือเศษ 1 แล้ ว x หาร p(x) จะเหลือเศษเท่าใด 8. ถ้ า k และ m เป็ นจํานวนจริงทีทําให้ x + 2 เป็ นตัวประกอบของ x3  kx2  2x  7m และ x – 1 เป็ นตัวประกอบของ x3  3x2  kx  1 แล้ ว k + m มีคา่ เท่าใด ระบบจํานวนจริ ง 37 โรงเรี ยนนาคประสิ ทธิ 9. กําหนดให้ P(x) = x3  ax2 + bx + 2 โดยที a และ b เป็ นจํานวนจริง ถ้ า x – 1 และ x + 3 ต่างหาร P(x) แล้ วเหลือเศษ 5 ดังนัน a + 2b มีคา่ เท่าใด 10. ถ้ าเศษทีได้ จากการหารพหุนาม p(x) ด้ วย x–1 และ x–2 คือ 2 และ 1 ตามลําดับแล้ ว จงหาเศษทีเหลือจากการหาร p(x) ด้ วย x2  3x  2 11. ให้ a และ b เป็ นจํานวนจริงทีทําให้ x2 + ax + b หาร x3 – 3x2 + 5x + 7 มีเศษเหลือ เท่ากับ 10 จงหาค่าของค่าของ a + b ระบบจํานวนจริ ง 38 โรงเรี ยนนาคประสิ ทธิ 7. การไม่ เท่ ากันของจํานวนจริง (Inequality) สมบัติของจํานวนจริง(เพิมจากหน้ า 4 หัวข้ อ 3) ในเซตของจํานวนจริง มีเซต    ทีมีสมบัตเิ พิมจากหัวข้ อ 2.2 (หน้ า 4) อีกดังนี (1) 0    และ ถ้ า a เป็ นจํานวนจริงที a ≠ 0 แล้ ว a   หรือ –a   เพียงอย่างหนึงอย่างใดเท่านัน (2) ถ้ า a, b    แล้ ว a + b   (3) ถ้ า a, b    แล้ ว ab    บทนิยาม ให้ a เป็ นจํานวนจริง ถ้ า a = 0 เรี ยก a ว่าจํานวนจริ งศูนย์ ถ้ า a   เรียก a ว่าจํานวนจริงบวก ถ้ า –a   เรียก a ว่าจํานวนจริงลบ จากสมบัติของเซตจํานวนจริงบวกในตารางข้ างต้ น เป็ นการอธิบายสมบัติบางประการของ ระบบจํานวนจริงบวก ซึงเป็ นส่วนหนึงของระบบจํานวนจริง ทังนีเพือจะนําไปใช้ อธิบายเกียวกับสมบัติ การไม่เท่ากันของจํานวนวจริง ดังนี เพือความสะดวกในการกล่าวถึง ความสัมพันธ์ระหว่างจํานวนจริง a และ b จึงกําหนดใช้ สัญลักษณ์ทีจะใช้ แทนความหมาย a เท่ากับ b ใช้ สญ ั ลักษณ์ a = b a น้ อยกว่า b หรื อ b มากกว่า a ใช้ สญั ลักษณ์ a < b a มากกว่า b หรื อ b น้ อยกว่า a ใช้ สญ ั ลักษณ์ a < b และถ้ าเขียน a < b < c หมายถึง a < b และ b < c บทนิยาม ให้ a,b เป็ นจํานวนจริง a = b หมายถึง a – b = 0 a < b หมายถึง b – a   a > b หมายถึง a – b   ระบบจํานวนจริ ง 39 โรงเรี ยนนาคประสิ ทธิ สมบัติของจํานวนจริงด้ านการมีอันดับ (Ordering Properties) สมบัติไตรวิภาค (Trichotomy Property) ถ้ า a และ b เป็ นจํานวนจริงใดๆ แล้ ว a=b หรือ aa จะเป็ นจริงเพียงอย่างหนึงอย่างใดเท่านัน สมบัตขิ องการไม่ เท่ ากัน จากสมบัติข้างต้นทําให้ เกิดสมบัติของการไม่เท่ากันของจํานวนจริง สําหรับกรณีที a = b ได้ กล่าวไปแล้ ว ต่อไปจะกล่าวถึงเฉพาะกรณีที a < b และ b > a ดังทฤษฎีบทต่อไปนี ทฤษฎีบท 7.1 (สมบัติของจํานวนจริงเมือเปรียบเทียบกับ 0) กําหนดให้ a เป็ นจํานวนจริง จะได้ วา่ (1) a เป็ นจํานวนจริ งบวก ก็ตอ่ เมือ a > 0 (2) a เป็ นจํานวนจริ งลบ ก็ตอ ่ เมือ a < 0 พิสูจน์ (1) ทฤษฎีบท 7.2 กําหนดให้ aและ b เป็ นจํานวนจริง จะได้ วา่ (1) a > b ก็ตอ ่ เมือ a – b > 0 (2) a < b ก็ตอ่ เมือ b – a < 0 พิสูจน์ (1) ระบบจํานวนจริ ง 40 โรงเรี ยนนาคประสิ ทธิ ทฤษฎีบท 7.3 กําหนดให้ a และ b เป็ นจํานวนจริง จะได้ วา่ (1) ถ้ า a > 0 และ b > 0 แล้ ว ab > 0 (2) ถ้ า a < 0 และ b < 0 แล้ ว ab > 0 (3) ถ้ า a > 0 และ b < 0 แล้ ว ab < 0 (4) ถ้ า a < 0 และ b > 0 แล้ ว ab < 0 พิสูจน์ (1) ทฤษฎีบท 7.4 กําหนดให้ a และ b เป็ นจํานวนจริง จะได้ วา่ (1) ถ้ า ab > 0 แล้ ว (a > 0 และ b > 0) หรื อ (a < 0 และ b < 0) (2) ถ้ า ab < 0 แล้ ว (a > 0 และ b < 0) หรื อ (a < 0 และ b > 0) พิสูจน์ (1) ทฤษฎีบท 7.5 (สมบัติเกียวกับอินเวอร์สการบวก) กําหนดให้ a เป็ นจํานวนจริง จะได้ วา่ (1) ถ้ า a > 0 แล้ ว –a < 0 (2) ถ้ า a < 0 แล้ ว –a > 0 พิสูจน์ (1) ระบบจํานวนจริ ง 41 โรงเรี ยนนาคประสิ ทธิ ทฤษฎีบท 7.6 (สมบัติเกียวกับอินเวอร์สการคูณ) กําหนดให้ a เป็ นจํานวนจริง จะได้ วา่ 1 (1) ถ้ า a>0 แล้ ว >0 a 1 1 (2) ถ้ า a bc พิสูจน์ (1) ทฤษฎีบท 7.11 (สมบัติการตัดออกของคูณ) ให้ a, b และ c เป็ นจํานวนจริง จะได้ วา่ (1) ถ้ า ac < bc และ c > 0 แล้ ว a < b (2) ถ้ า ac < bc และ c < 0 แล้ ว a > b พิสูจน์ (1) ทฤษฎีบท 7.12 (สมบัติการไม่เท่ากันของอินเวอร์ส) ให้ a และ b เป็ นจํานวนจริง จะได้ วา่ (1) ถ้ า a < b แล้ ว –a > –b 1 1 1 1 (2) ถ้ า a bd a b (5) ถ้ า 0 |b| แล้ ว c|a| ≤ |cb| ……..(8) ถ้ า |a| ≤ |b| แล้ ว a 3  b3 ……..(9) |a + b| ≥ |a – b| ……..(10) ถ้ า ab ≤ 0 แล้ ว |a – b| = ||a| – |b|| 2. จงหาเซตคําตอบของสมการในแต่ละข้ อต่อไปนี (1) | x2  3x  2 | = 2 (2) | x2  3x  6 | = 2x + 6 (3) | x2  3x  2 | = x2  3x  2 (4) | x2  2x  3 |  3  2x  x2 3 (5) | x2  3x  6 |  | 2x  6 | (6) | x 1| | x 1| ระบบจํานวนจริ ง 72 โรงเรี ยนนาคประสิ ทธิ (7) |x + 5| = |x| + 5 (8) |x – 5| = |x – 1| + 4 (9) |x + 4| + |x – 4| = 8 (10) |x + 4| + |4 – x| = 8 (11) |3x – 5| + |2x – 3| = |5x – 8| (12) | x 3 – 8|+| x2 – 4| = | x 3 + x2 – 12| (13) |x – 3| + |x + 2| – |x – 4| = 3 (14) |x + 1| + |x + 2| + |x – 1| = 5 (15) 2x2  5 | x |  3  0 (16) 4x 2  20x  19  | 2x  5 | ระบบจํานวนจริ ง 73 โรงเรี ยนนาคประสิ ทธิ |x2| (17) 6 (18) | x2  3 | x | 2 |  x2  2x | x 2|5 5 3 (19) x   | x2  5x  4 | (20) |x – 1|+|x – 2|+…+|x – 11| = 55 2 2 3. จงหาเซตคําตอบของอสมการต่อไปนี (1) |x – 4||x + 1| ≤ 0 (2) |x + 3||x – 4| > 0 3x  1 (3) | x2  x  1 |  4 (4) 5 x3 ระบบจํานวนจริ ง 74 โรงเรี ยนนาคประสิ ทธิ (5) | x2  x  1 | ≤ x – 2 (6) | x2  6 | > 4x + 1 (7) |x – 3| ≤ | x2  3 | (8) | 2x2  x  10 |  | x2  8x  22 | (9) x2  | x | 12  0 (10) x2  2 | x | 15  0 x 2  4x  4 x 2 2 3 (11)   12  0 (12)  2 x  6x  9 x3 | x 2 | 2x  1 ระบบจํานวนจริ ง 75 โรงเรี ยนนาคประสิ ทธิ (13) | x2  x  20 |  x2  x  20 (14) | x  2x2 |  2x2  x 4 (15) | x 1 | (16) |x – 1| + |2x + 3| > 5 | x  1 | 2 (17) | x2  5 | x | 4 |  | 2x2  3 | x | 1 | ระบบจํานวนจริ ง 76 โรงเรี ยนนาคประสิ ทธิ | 3x  2 | (18) 5 | x  1 | 1 (19) (x | x  1 |)(x2  | x |)  0 (20) 2x2  5x  3  | x  1 | 4. ถ้ า a เป็ นจํานวนจริงทีน้ อยทีสุดทีทําให้ | x2 – 4x + 3|  a ทุกค่า x ซึง |4x – 11|  5 แล้ ว a มีคา่ เท่าใด ระบบจํานวนจริ ง 77 โรงเรี ยนนาคประสิ ทธิ 10. สมบัตคิ วามบริบูรณ์ (The axiom on completeness) สมบัติของความบริบรู ณ์เป็ นสมบัติหนึงทีสําคัญของจํานวนจริง ก่อนอืนต้ องทําความเข้ าใจ เรืองเหล่านีก่อน บทนิยาม กําหนดให้ S   (1) จํานวนจริ ง a เป็ นค่ าขอบเขตบน(upper bound) ของ S ก็ตอ่ เมือ x ≤ a สําหรับทุกๆ x  S และกล่าวว่า S มีคา่ ขอบเขตบน (2) จํานวนจริ ง a เป็ นค่ าขอบเขตล่ าง(lower bound) ของ S ก็ตอ่ เมือ a ≤ x สําหรับทุกๆ x  S และกล่าวว่า S มีคา่ ขอบเขตล่าง บทนิยาม กําหนดให้ S   (1) จํานวนจริ ง a เป็ นขอบเขตบนค่ าน้ อยสุด(least upper bound) ของ S ก็ตอ่ เมือ ไม่มีคา่ ขอบเขตบนใดของ S ทีน้ อยกว่า a (2) จํานวนจริ ง a เป็ นขอบเขตล่ างมากสุด(greatest lower bound) ของ S ก็ตอ่ เมือ ไม่มีคา่ ขอบเขตล่างใดของ S ทีมากกว่า a สัจพจน์ ความบริบูรณ์ ในระบบจํานวนจริง ถ้ า S   , S ≠  และ S มีขอบเขตบน แล้ ว S จะมีขอบเขตบนค่าน้ อยสุด จากสัจพน์ของความบริบรู ณ์ จะได้ วา่ ถ้ า S,S≠ และ S มีขอบเขตล่าง แล้ ว S จะมีขอบเขตล่างค่ามากสุด ด้ วย ตัวอย่ าง 1 1. จงหาขอบเขตบนน้ อยสุดและขอบเขตล่างมากสุดของเซต S ทีกําหนดให้ ตอ่ ไปนี (1) S = {–2, 0, 2} (2) S = {1, 2, 3, …} ขอบเขตบน = ………………... ขอบเขตบน = ……………….... ขอบเขตบนน้ อยสุด = …………. ขอบเขตบนน้ อยสุด = …………. ขอบเขตล่าง = ……………….. ขอบเขตล่าง = …………….….. ขอบเขตค่าล่างมากสุด = ……… ขอบเขตค่าล่างมากสุด = ……… ระบบจํานวนจริ ง 78 โรงเรี ยนนาคประสิ ทธิ 1 1 1 (3) S = {…, 1, 2, 3} (4) S = { 1, , , ,... } 2 3 4 ขอบเขตบน = ………………... ขอบเขตบน = ……………….... ขอบเขตบนน้ อยสุด = …………. ขอบเขตบนน้ อยสุด = …………. ขอบเขตล่าง = ……………….. ขอบเขตล่าง = …………….….. ขอบเขตค่าล่างมากสุด = ……… ขอบเขตค่าล่างมากสุด = ……… (5) S = [–2, 2] (6) S = (0, 4) ขอบเขตบน = ………………... ขอบเขตบน = ……………….... ขอบเขตบนน้ อยสุด = …………. ขอบเขตบนน้ อยสุด = …………. ขอบเขตล่าง = ……………….. ขอบเขตล่าง = …………….….. ขอบเขตค่าล่างมากสุด = ……… ขอบเขตค่าล่างมากสุด = ……… (7) S = (–, 5] (8) S = (3, ) ขอบเขตบน = ………………... ขอบเขตบน = ……………….... ขอบเขตบนน้ อยสุด = …………. ขอบเขตบนน้ อยสุด = …………. ขอบเขตล่าง = ……………….. ขอบเขตล่าง = …………….….. ขอบเขตค่าล่างมากสุด = ……… ขอบเขตค่าล่างมากสุด = ……… (9) S = {x | x2 < 5} (10) S = {x|(x – 3)(x – 2) > 0} ขอบเขตบน = ………………... ขอบเขตบน = ……………….... ขอบเขตบนน้ อยสุด = …………. ขอบเขตบนน้ อยสุด = …………. ขอบเขตล่าง = ……………….. ขอบเขตล่าง = …………….….. ขอบเขตค่าล่างมากสุด = ……… ขอบเขตค่าล่างมากสุด = ………  1  2. ให้ A = x   |  1 และ  x2  4x  4  B = {n | n เป็ นจํานวนเต็มลบ ซึง n  –2} ขอบเขตบนค่าน้ อยสุดของ A  B เท่าใด ระบบจํานวนจริ ง 79 โรงเรี ยนนาคประสิ ทธิ สรุป ระบบจํานวนจริง ในแต่ละหัวข้ อเราได้ กล่าวถึงสมบัติของระบบจํานวนจริงต่างๆ ทีคัญมีอยู่ 15 ข้ อ และเรียก สมบัติเรานันว่าสัจพจน์ ของจํานวนจริง ซึงจะขาดข้ อใดไปไม่ได้ ดังนันระบบจํานวนจริงจึง ประกอบด้ วยเซต  พร้ อมทังการดําเนินการการบวก (+) และการคูณ () ซึงเขียนแทนด้ วย สัญลักษณ์ ( , +  ) และสัจพจน์ดงั นี สัจพจน์ 1 : ถ้ า a, b   แล้ ว a + b   สัจพจน์ 2 : ถ้ า a, b, c   แล้ ว (a + b) + c = a + (b + c) สัจพจน์ 3 : มี 0 ซึงทําให้ 0+a=a+0=a สําหรับทุก a   สัจพจน์ 4 : ถ้ า a แล้ วจะมี –a   ซึงทําให้ a + (–a) = (–a) + a = 0 สัจพจน์ 5 : ถ้ า a, b   แล้ ว a+b=b+a สัจพจน์ 6 : ถ้ า a, b   แล้ ว ab   สัจพจน์ 7 : ถ้ า a, b, c   แล้ ว (ab)c = a(bc) สัจพจน์ 8 : มี 1 ซึงทําให้ 1a = a1 = a สําหรับทุก a   สัจพจน์ 9 : ถ้ า a แล้ วจะมี a1   ซึงทําให้ a a1 = a1 a = 1 สัจพจน์ 10 : ถ้ า a, b   แล้ ว ab = ba สัจพจน์ 11 : ถ้ า a, b   แล้ ว a(b + c) = ab +ac สัจพจน์ 12 : มีเซต    ซึง 0   และ ถ้ า a เป็ นจํานวนจริงที a ≠ 0 แล้ ว a   หรือ –a   เพียงอย่างหนึงอย่างใดเท่านัน สัจพจน์ 13 : ถ้ า a, b    แล้ ว a + b   สัจพจน์ 14 : ถ้ า a, b    แล้ ว ab    สัจพจน์ 15 : ถ้ า S  , S ≠  และ S มีขอบเขตบน แล้ ว S จะมีขอบเขตบนค่าน้ อยสุด ระบบจํานวนจริ ง 80 โรงเรี ยนนาคประสิ ทธิ แบบฝึ กหัดที 10 1. จงหาขอบเขตบน ขอบเขตบนน้ อยสุด ขอบเขตล่าง และขอบเขตล่างมากสุด ของเซตที กําหนดให้ ตอ่ ไปนี ขอบเขตบน ขอบเขตล่ าง เซต ขอบเขตบน ขอบเขตล่ าง น้ อยสุด มากสุด (1)  (2) {–2, 3, 10} (3) {1, 2, 3, … } (4) {1, 2, 3, 4} (5) {…, –2, –1, 0} (6) {8} (7) (0, 5) (8) [–5, –2.4] (9) (3, ) (10) (–, –5] 2. จงหาขอบเขตบน ขอบเขตบนน้ อยสุด ขอบเขตล่าง และขอบเขตล่างมากสุด ของเซตที กําหนดให้ ตอ่ ไปนี (1) {x|(x – 3)(x – 2) > 0 (2) {x |x2 < 4} 1 (3) {x | x = ; n  I+ } (4) { x | |x + 2| < 2} n ระบบจํานวนจริ ง 81 โรงเรี ยนนาคประสิ ทธิ x 1 3. กําหนดให้ S เป็ นเซตคําตอบของอสมการ 2 และ a เป็ นค่าขอบเขตบนน้ อยสุดของ S x2 จงหาค่าของ a2 +1 4. ให้ A = {x   | x 2  3x  3  x 2  2x  2  2 } และ a เป็ นขอบเขตบนน้ อยสุดของ A B = {y   | y = x2 + 2x + a} จงหาขอบเขตล่างมากสุดของ B ระบบจํานวนจริ ง 82 โรงเรี ยนนาคประสิ ทธิ แนวแบบทดสอบเรือง ระบบจํานวนจริง จงเลือกคําตอบทีถูกต้ องทีสุด 1. กําหนดให้  แทนเซตของจํานวนจริง และ A   จงพิจารณาข้ อความใดต่อไปนี ก. ถ้ า a  A และ b  A แล้ ว a + b  A ข. มี a  A และ b  A แล้ ว a + b  A ข้ อความทีแสดงว่า A สอดคล้ องกับสมบัติปิดของการบวก คือข้ อความใด 1. ข้ อความ ก. 2. ข้ อความ ข. 3. ข้ อความ ก. และ ข. 4. ไม่ใช่ทงข้ ั อความ ก. และ ข. 2. กําหนดให้ A =  n  n เป็ นจํานวนเต็มบวก และ n เป็ นจํานวนอตรรกยะ } พิจารณาข้ อความต่อไปนี ก. A สอดคล้ องกับสมบัติปิดของการบวก ข. A สอดคล้ องกับสมบัตปิ ิ ดของการคูณ ข้ อความใดต่อไปนีถูกต้ อง 1. ข้ อความ ก. 2. ข้ อความ ข. 3. ข้ อความ ก. และ ข. 4. ไม่ใช่ทงข้ ั อความ ก. และ ข. 3. กําหนดให้ B =  n  n เป็ นจํานวนเต็มบวก และ n เป็ นจํานวนตรรกยะ } พิจารณาข้ อความต่อไปนี ก. B สอดคล้ องกับสมบัติปิดของการบวก ข. B สอดคล้ องกับสมบัตปิ ิ ดของการคูณ ข้ อความใดต่อไปนีถูกต้ อง 1. ข้ อความ ก. 2. ข้ อความ ข. 3. ข้ อความ ก. และ ข. 4. ไม่ใช่ทงข้ ั อความ ก. และ ข. 4. ถ้ า a เป็ นจํานวนตรรกยะ และ b เป็ นจํานวนอตรรกยะ ข้ อความใดถูกต้ อง 1. ab เป็ นจํานวนอตรรกยะ 2. ab เป็ นจํานวนตรรกยะ a 3. a + b เป็ นจํานวนอตรรกยะ 4. เป็ นจํานวนอตรรกยะ b 5. ถ้ าต้ องการให้ ข้อความ “ ถ้ า a  A แล้ ว จะมี -1 a A ซึง aa-1 = 1 ” เป็ นความจริง เซต A ควรจะเป็ นเซตใดต่อไปนี 1. A เป็ นเซตจํานวนตรรกยะ 2. A เป็ นเซตจํานวนตรรกยะบวก 3. A เป็ นเซตจํานวนเต็มบวก 4. A เป็ นเซตจํานวนจริ ง ระบบจํานวนจริ ง 83 โรงเรี ยนนาคประสิ ทธิ 6. ข้ อความใดต่อไปนีไม่ถกู ต้ อง 1. ถ้ า a เป็ นจํานวนจริ ง แล้ ว | a | เป็ นจํานวนตรรกยะ หรื อ จํานวนอตรรกยะ 2. ถ้ า a เป็ นจํานวนอตรรกยะ แล้ ว | a | เป็ นจํานวนอตรรกยะ 3. ถ้ า a เป็ นจํานวนตรรกยะ แล้ ว | a | เป็ นจํานวนตรรกยะ 4. ถ้ า | a | เป็ นจํานวนตรรกยะ แล้ ว a เป็ นจํานวนตรรกยะ 7. กําหนดให้ A แทนเซตของจํานวนจริงทีไม่เท่ากับศูนย์ และ a, b  A และนิยาม a  b ดังนี a2  b2 ab = ab ข้ อความใดต่อไปนีถูกต้ อง 1. A มีสมบัติปิดของ  2. A มีสมบัติสลับของ  3. a  b  A ก็ตอ ่ เมือ a  b 4. A มีสมบัติเปลียนกลุม ่ ได้ ของ  8. กําหนดให้ A = { 1 , 2, 3, 4 , 5 , 6 , } ถ้ า a , b  A และนิยาม a * b ดังนี a  b = เศษทีได้ จากการหาร ab ด้ วย 7 ข้ อความใดต่อไปนีไม่ถกู ต้ อง 1. A มีสมบัติปิดของ  2. A มีสมบัติสลับของ  3. อินเวอร์ สของ 4 ภายใต้  คือ 6 4. มี x A ซึง x  a = a สําหรับทุก a  A 9. กําหนดให้ เอกภพสัมพัทธ์คือเซตของจํานวนจริง จงพิจารณาว่าข้ อความใดต่อไปนี ก. ถ้ า a เป็ นจํานวนเต็มคู่ แล้ ว a2 เป็ นจํานวนเต็มคู่ ข. ถ้ า a2 เป็ นจํานวนเต็มคู่ แล้ ว a เป็ นจํานวนเต็มคู่ ค. ถ้ า a เป็ นจํานวนเต็มคี แล้ ว a2 เป็ นจํานวนเต็มคี ง. ถ้ า a2 เป็ นจํานวนเต็มคี แล้ ว a เป็ นจํานวนเต็มคี ข้ อความ ก. – ข. มีข้อถูกกีข้ อ 1. 1 ข้ อ 2. 2 ข้ อ 3. 3 ข้ อ 4. 4 ข้ อ 10. กําหนดให้ a และ b เป็ นจํานวนจริง ข้ อใดต่อไปนีถูกต้ อง 1. ถ้ า ab = a แล้ ว b = 1 2. ถ้ า a2 < b2 แล้ ว a < b 3. ถ้ า a3 < b3 แล้ ว a < b 4. ถ้ า a < b แล้ ว a|b| < b|b| 11. กําหนดให้ a และ b เป็ นจํานวนจริง และ a < b ข้ อใดต่อไปนีถูกต้ อง 1 1 1. a|a| < b|b| 2.  a b 3. a 0 และ a  b แล้ ว a  b  2 b a ข. มีจํานวนจริงบวก a และ b ซึง a + b < 4a b a b ข้ อความใดต่อไปนีถูกต้ อง 1. ข้ อความ ก. 2. ข้ อความ ข. 3. ข้ อความ ก. และ ข. 4. ไม่ใช่ทงข้ ั อความ ก. และ ข. 15. ถ้ า a , b และ c เป็ นจํานวนจริง โดยที a bc 4. ถ้ า a, b เป็ นจํานวนจริ งซึง a > b แล้ ว | a – b | = | a | – | b | 21. กําหนดพหุนาม p(x) = 5x2 – 11x2 – 14x – 10 ถ้ าหาร p(x) ด้ วย x – 3 เศษจาก การหารเท่ากับข้ อใด 1. 16 2. – 16 3. 15 4. – 15 22. ผลบวกของค่าสัมบูรณ์ของคําตอบของสมการ 2x3 – 3x2 – 11x + 6 = 0 มีคา่ เท่ากับข้ อใด 1. 0 2. 1 3. 3 4. 5 2 2 2 23. ถ้ า A เป็ นเซตคําตอบของอสมการ x3 + 2x2 – 5x – 6  0 แล้ ว A เป็ นสับเซตของข้ อใด 1. (-, -2]  (0, 2] 2. (-, -3)  (0, 3) 3. (-, -1] 4. [-3, ) 24. คําตอบทีเป็ นจํานวนเต็มของอสมการ x2 + x  2x2 + 2x – 12  x2 + 3 มีทงหมดกี ั จํานวน 1. 2 จํานวน 2. 3 จํานวน 3. 4 จํานวน 4. 5 จํานวน 25. ถ้ า a เป็ นคําตอบทีเป็ นจํานวนเต็มบวกทีมีคา่ น้ อยทีสุดของอสมการ 2x  10 1 และ 3x  5 b เป็ นคําตอบทีเป็ นจํานวนเต็มลบทีมีคา่ มากทีสุดของอสมการ 3x 2 x2 แล้ ว a+b มีคา่ เท่ากับข้ อใด 1. 2 2. 3 3. 4 4. 5 26. จํานวนเต็มที?