Parametrizacións MAE LEIM-ISEL 2024/25 SI PDF

Parametrizações MAE LEIM-ISEL 2024/25 SI versão de October 18, 2024 Parametrizações MAE - ISEL Regiões 2D Retas Parábolas Circunferências Elipses Hipérboles Outras Linhas em 2D Parametrização Param...

Parametrizações MAE LEIM-ISEL 2024/25 SI versão de October 18, 2024 Parametrizações MAE - ISEL Regiões 2D Retas Parábolas Circunferências Elipses Hipérboles Outras Linhas em 2D Parametrização Param. segmento de reta Trajetória inversa Regiões em 2D Intervalos consecutivos (R2) Velocidade e aceleração Classificação de linhas CarRace Exercı́cios globais Linhas em 3D 2/53 Parametrizações MAE - ISEL Regiões 2D Retas Parábolas Circunferências Elipses Hipérboles Outras Linhas em 2D Parametrização Param. segmento de reta Trajetória inversa Intervalos consecutivos Velocidade e aceleração Classificação de linhas CarRace Exercı́cios globais Linhas em 3D 3/53 Parametrizações Retas MAE - ISEL Regiões 2D Retas y = mx + b m, b ∈ R Parábolas Circunferências Elipses m declive Hipérboles b ordenada na origem Outras Linhas em 2D Parametrização Param. segmento de reta Trajetória inversa Intervalos consecutivos Velocidade e aceleração Classificação de linhas CarRace Exercı́cios globais Linhas em 3D 4/53 Parametrizações Parábolas MAE - ISEL Regiões 2D Retas Parábolas y = ax 2 + bx + c a, b, c ∈ R Circunferências Elipses Hipérboles Outras Linhas em 2D Parametrização Param. segmento de reta Trajetória inversa Intervalos consecutivos Velocidade e aceleração Classificação de linhas CarRace Exercı́cios globais Linhas em 3D √ −b ± b 2 − 4ac zeros: x = 2a a>0 ∪ aadequar velocidade>adequar tempo) 45/53 Parametrizações CarRace MAE - ISEL Regiões 2D Retas Parábolas Circunferências Exemplo 2*: Elipses Hipérboles Outras Linhas em 2D Parametrização Param. segmento de reta Trajetória inversa Intervalos consecutivos Velocidade e aceleração Classificação de linhas CarRace Exercı́cios globais Parametrize as linhas. Faça com que se percorra a reta a cerca Linhas em 3D do dobro da velocidade da curva. Faça o tempo começar em 0 e com que os intervalos sejam consecutivos. (parametrizar>adequar sentido>adequar velocidade>adequar tempo) 46/53 Parametrizações Exercı́cios globais MAE - ISEL Regiões 2D Retas Parábolas Circunferências 1 Parametrize as linhas percorridas no sentido indicado. Elipses Parametrize todas as linhas com velocidade 10 (ou Hipérboles Outras aproximadamente 10). Ajuste as parametrizações Linhas em 2D anteriores para que o tempo comece em 0 e seja contı́nuo. Parametrização Param. segmento de reta a) b) Trajetória inversa Intervalos consecutivos Velocidade e aceleração Classificação de linhas CarRace Exercı́cios globais Linhas em 3D 47/53 Parametrizações Exercı́cios globais MAE - ISEL c) d) Regiões 2D Retas Parábolas Circunferências Elipses Hipérboles Outras Linhas em 2D Parametrização Param. segmento de reta Trajetória inversa Intervalos consecutivos Velocidade e aceleração Classificação de linhas e) CarRace Exercı́cios globais Linhas em 3D 48/53 Parametrizações MAE - ISEL Regiões 2D Retas Parábolas Circunferências Elipses Hipérboles Outras Linhas em 2D Linhas em 3D Parametrização Param. segmento de reta Trajetória inversa Intervalos consecutivos Velocidade e aceleração Parametrização de linhas em R3 Classificação de linhas CarRace Exercı́cios globais Linhas em 3D 49/53 Parametrizações MAE - ISEL Parametrização de linha/curva em R3 Regiões 2D r⃗ : [a, b] −→ R3 Retas Parábolas t 7−→ ⃗r (t) = (f (t), g (t), h(t)) Circunferências Elipses Hipérboles ou seja, Outras Linhas em 2D Parametrização ⃗r (t) = (f (t), g (t), h(t)), t ∈ [a, b] Param. segmento de reta Trajetória inversa com f , g e h funções contı́nuas em [a, b], Intervalos consecutivos é um caminho ou trajetória em R3. Velocidade e aceleração As suas imagens formam uma linha/curva em R3 Classificação de linhas CarRace Exercı́cios globais Nota: As noções vistas para 2D (parametrização de segmentos Linhas em 3D de reta; parametrização da trajetória inversa; parametrização em intervalos consecutivos; velocidade; aceleração; classificação de linhas) generalizam-se de forma natural a 3D. Applet: https://www.geogebra.org/m/vtfm7fe8 50/53 Parametrizações Exercı́cios MAE - ISEL Regiões 2D Retas Parábolas Circunferências Elipses Represente geometricamente as curvas: Hipérboles Outras 1 ⃗r (t) = (0, 2, 2t), t ∈ [−1, 1] Linhas em 2D 2 ⃗r (t) = (0, t, 2t + 1), t ∈ [0, 3] Parametrização Param. segmento de reta 3 ⃗r (t) = (t, 5, t − 3), t ∈ [−2, 2] Trajetória inversa Intervalos consecutivos 4 ⃗r (t) = (3 cos(t), 3 sin(t), 2), t ∈ [0, 2π] Velocidade e aceleração 5 ⃗r (t) = (cos(t), sin(t), −1), t ∈ [0, π] Classificação de linhas CarRace 6 Hélice circular: Exercı́cios globais ⃗r (t) = (cos(t), sin(t), t), t ∈ [0, 4π] Linhas em 3D 7 Hélice elı́ptica: ⃗r (t) = (2 cos(t), 3 sin(t), t), t ∈ [0, 4π] 51/53 Parametrizações Exercı́cios MAE - ISEL Regiões 2D Retas Parábolas Parametrize as linhas de R3 indicadas na figura seguinte que Circunferências Elipses representa o cilindro Hipérboles {(x, y , z) ∈ R3 : x 2 + y 2 = 9, Outras 0 ≤ z ≤ 5} Linhas em 2D Parametrização Param. segmento de reta Trajetória inversa Intervalos consecutivos Velocidade e aceleração Classificação de linhas CarRace Exercı́cios globais Linhas em 3D 52/53 Parametrizações MAE - ISEL Regiões 2D Retas Parábolas Circunferências Elipses Hipérboles Outras Lembra-te... Linhas em 2D Parametrização Param. segmento de a tua nota é diretamente proporcional ao número de horas de reta Trajetória inversa estudo com empenho efetivo... Intervalos consecutivos Velocidade e aceleração Aplica-te! Classificação de linhas Só depende de ti! CarRace Exercı́cios globais BOM ESTUDO!!! Linhas em 3D Sandra Gaspar Martins 53/53