Equações e Parametrizações em Geometria 2D

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Questions and Answers

Qual é a forma geral da equação de uma reta em 2D?

y = ax + b

y = m(x - b)

y = ax^2 + bx + c

y = mx + b (correct)

As parábolas têm a forma geral expressa por y = ax² + bx + c.

True

Qual é o nome da trajetória inversa em parametrizações?

Trajetória inversa

A equação de uma circunferência é dada por x² + y² = ______

r² Signup and view all the answers

Associe cada figura geométrica à sua equação correspondente:

Retas = y = mx + b Parábolas = y = ax² + bx + c Circunferências = x² + y² = r² Elipses = (x²/a²) + (y²/b²) = 1 Signup and view all the answers

Qual das seguintes formas geométricas não faz parte das regiões 2D mencionadas?

Esferas Signup and view all the answers

A parametrização de uma reta pode envolver a definição dos intervalos de tempo como consecutivos.

True Signup and view all the answers

Qual é a fórmula para calcular as raízes de uma equação do segundo grau?

x = rac{-b ext{±} ext{√}(b^2 - 4ac)}{2a} Signup and view all the answers

Um movimento com velocidade constante em uma trajetória reta tem ____________ constante.

aceleração Signup and view all the answers

Associe cada tipo de linha com seu correspondente:

Retas = A trajetória mais curta entre dois pontos Parábolas = Forma de trajetória projetada sob influência da gravidade Circunferências = Trajetória com ponto fixo equidistante do centro Elipses = Forma oval que representa a trajetória de um corpo celeste Signup and view all the answers

Ao parametrizar uma linha, o que deve ser ajustado para que o tempo comece em 0?

Ajustar a parametrização anterior Signup and view all the answers

A parametrização de linhas em 3D é idêntica à parametrização de linhas em 2D.

False Signup and view all the answers

O que é necessário adequar para que a velocidade percorrida seja proporcional a um valor específico?

Aceleração e tempo Signup and view all the answers

Qual é a definição correta de uma parametrização de linha/curva em R3?

$r(t) = (f(t), g(t), h(t))$ com $t ext{ em } [a, b]$ Signup and view all the answers

A aceleração é uma medida da taxa de variação da velocidade ao longo do tempo.

True Signup and view all the answers

O que são intervalos consecutivos na parametrização de linhas?

São segmentos de linha que ocorrem um após o outro em um determinado intervalo de parâmetro. Signup and view all the answers

Uma parametrização de curva pode ser escrita na forma $ extbf{r}(t) = (f(t), g(t), h(t))$ onde $t ext{ pertence a } [a, b]$. A função $f$ representa a coordenada _____ em R3.

x Signup and view all the answers

Associe as curvas às suas descrições:

Retas = Linhas retas em uma dimensão Parábolas = Curvas em forma de U Circunferências = Curvas fechadas e simétricas em torno de um ponto Elipses = Curvas fechadas com dois focos distintos Signup and view all the answers

Qual das seguintes afirmações sobre linhas em 3D não é verdadeira?

Todas as linhas em 3D podem ser representadas por uma única função. Signup and view all the answers

A parametrização de um segmento de reta em R3 é a mesma que em R2.

False Signup and view all the answers

Qual é a equação da trajetória inversa para uma linha em R3?

$r(t) = (f(-t), g(-t), h(-t))$ Signup and view all the answers

Qual é a parametrização da hélice circular?

⃗r(t) = (2 cos(t), 3 sin(t), t), t ∈ [0, 4π] Signup and view all the answers

A parametrização ⃗r(t) = (3 cos(t), 3 sin(t), 2), t ∈ [0, 2π] representa uma hélice elíptica.

False Signup and view all the answers

Qual é a equação do cilindro representado na forma {(x, y, z) ∈ R3: x^2 + y^2 = 9, 0 ≤ z ≤ 5}?

x^2 + y^2 = 9 Signup and view all the answers

A parametrização da hélice elíptica é ⃗r(t) = ( _ , _ , t), t ∈ [0, 4π].

(2 cos(t), 3 sin(t)) Signup and view all the answers

Combine as seguintes parametrizações com suas respectivas descrições:

⃗r(t) = (t, 5, t − 3) = Segmento de reta ⃗r(t) = (cos(t), sin(t), -1) = Círculo estático ⃗r(t) = (3 cos(t), 3 sin(t), 2) = Círculo em um plano ⃗r(t) = (cos(t), sin(t), t) = Hélice circular Signup and view all the answers

Qual é a velocidade média de uma partícula em movimento ao longo de um segmento de reta definido pela parametrização ⃗r(t) = (t, 5, t − 3), t ∈ [-2, 2]?

2 unidades Signup and view all the answers

A trajetória inversa é uma maneira válida de descrever movimentos em 3D.

True Signup and view all the answers

Qual é o intervalo de t da hélice circular dada pela parametrização ⃗r(t) = (cos(t), sin(t), t)?

[0, 4π] Signup and view all the answers

Study Notes

Parametrizações

Introdução: Apresentam gráficos de parábolas, circunferências, elipses e hipérboles. Também inclui representações gráficas de retas, parametrizações de linhas 2D e 3D.

Regiões em 2D (R²)

Retas: A equação de uma reta é y = mx + b, onde m é a inclinação e b é o intercepto com o eixo y.
Parábolas: A equação geral de uma parábola é y = ax² + bx + c.
Circunferências: A equação de uma circunferência é (x − a)² + (y − b)² = r². Onde (a, b) é o centro e r é o raio.
Elipses: A equação de uma elipse é (x-a)²/c² + (y-b)²/d²= 1. Onde (a,b) é o centro e c, d são os semi-eixos.
Hipérboles: A equação de uma hipérbole é (x-a)²/c² -(y-b)²/d² = 1. Onde (a,b) é o centro e c, d são as distâncias dos vértices ao centro.
Outras figuras: Inclui outras regiões como gráficos com raízes, gráficos de funções exponenciais, logaritmos, funções senoidais (seno e cosseno), e tangente.

Linhas em 2D

Parametrização: Uma linha em 2D pode ser parametrizada por r(t) = (f(t), g(t)), onde t pertence a um intervalo [a, b], com f e g sendo funções contínuas.
Segmentos de reta: Uma parametrização para um segmento de reta de origem em A e extremidade em B é r(t) = A + t(AB) onde t ∈ [0, 1].
Trajetória inversa: Dada uma linha r(t), a trajetória inversa é uma linha onde t é substituído por -t para r(-t).

Linhas em 3D

Parametrização: Uma linha em 3D pode ser parametrizada por r(t) = (f(t), g(t), h(t)), onde t pertence a um intervalo [a, b], com f, g e h sendo funções contínuas.
Conceitos: A aplicação de conceitos matemáticos como: velocidade, aceleração em gráficos 3D.

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Teste seus conhecimentos sobre geometria em duas dimensões, abordando equações de retas, parábolas e circunferências. Este quiz também explora a parametrização de movimentos e figuras geométricas. Prepare-se para desafiar suas habilidades matemáticas!

Equações e Parametrizações em Geometria 2D

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Qual é a forma geral da equação de uma reta em 2D?

As parábolas têm a forma geral expressa por y = ax² + bx + c.

Qual é o nome da trajetória inversa em parametrizações?

A equação de uma circunferência é dada por x² + y² = ______

Associe cada figura geométrica à sua equação correspondente:

Qual das seguintes formas geométricas não faz parte das regiões 2D mencionadas?

A parametrização de uma reta pode envolver a definição dos intervalos de tempo como consecutivos.

Qual é a fórmula para calcular as raízes de uma equação do segundo grau?

Um movimento com velocidade constante em uma trajetória reta tem ____________ constante.

Associe cada tipo de linha com seu correspondente:

Ao parametrizar uma linha, o que deve ser ajustado para que o tempo comece em 0?

A parametrização de linhas em 3D é idêntica à parametrização de linhas em 2D.

O que é necessário adequar para que a velocidade percorrida seja proporcional a um valor específico?

Qual é a definição correta de uma parametrização de linha/curva em R3?

A aceleração é uma medida da taxa de variação da velocidade ao longo do tempo.

O que são intervalos consecutivos na parametrização de linhas?

Uma parametrização de curva pode ser escrita na forma $ extbf{r}(t) = (f(t), g(t), h(t))$ onde $t ext{ pertence a } [a, b]$. A função $f$ representa a coordenada _____ em R3.

Associe as curvas às suas descrições:

Qual das seguintes afirmações sobre linhas em 3D não é verdadeira?

A parametrização de um segmento de reta em R3 é a mesma que em R2.

Qual é a equação da trajetória inversa para uma linha em R3?

Qual é a parametrização da hélice circular?

A parametrização ⃗r(t) = (3 cos(t), 3 sin(t), 2), t ∈ [0, 2π] representa uma hélice elíptica.

Qual é a equação do cilindro representado na forma {(x, y, z) ∈ R3: x^2 + y^2 = 9, 0 ≤ z ≤ 5}?

A parametrização da hélice elíptica é ⃗r(t) = ( _____ , _____ , t), t ∈ [0, 4π].

Combine as seguintes parametrizações com suas respectivas descrições:

Qual é a velocidade média de uma partícula em movimento ao longo de um segmento de reta definido pela parametrização ⃗r(t) = (t, 5, t − 3), t ∈ [-2, 2]?

A trajetória inversa é uma maneira válida de descrever movimentos em 3D.

Qual é o intervalo de t da hélice circular dada pela parametrização ⃗r(t) = (cos(t), sin(t), t)?

Study Notes

Parametrizações

Regiões em 2D (R²)

Linhas em 2D

Linhas em 3D

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