Tema 1.2 Errores e Incertezas PDF

TEMA 1.2 Errores e Incertezas Referencia Bibliográfica: Física Universitaria, Sears, Zemansky, Young, Freedman Capitulo1. Medidas y errores. Física Recreativa. Salvador Gil 2- Notas de clases tema I. Dra. G. Romero, disponible en la plataforma. Ing. Ind. Jorge H. Giubergia...

TEMA 1.2 Errores e Incertezas Referencia Bibliográfica: Física Universitaria, Sears, Zemansky, Young, Freedman Capitulo1. Medidas y errores. Física Recreativa. Salvador Gil 2- Notas de clases tema I. Dra. G. Romero, disponible en la plataforma. Ing. Ind. Jorge H. Giubergia Ing. Marcela E. Apas Prof. Luis A. Tolosa 12/08/2024 Estándares y Unidades La física es una ciencia experimental. Lo experimentos requieren de mediciones cuyos resultados se expresan en números. Un número empleado para describir un fenómeno físico, por ejemplo la longitud de una mesa, es una cantidad física. La cantidades físicas pueden ser tan básicas que las definimos describiendo la forma de medirlas, definición operacional. Ej. Medir una distancia con una regla o un lapso de tiempo con un cronómetro. En otros casos definimos la cantidad física describiendo la forma de calcularla. Ej La rapidez promedio de un objeto en movimiento se.define como el cociente entre la distancia recorrida y el tiempo del recorrido. Estándares y Unidades Al medir una cantidad la comparamos con un estándar de referencia. Por ejemplo cuando decimos que la longitud de la mesa es 1,35 m, queremos decir que es 1,35 veces más largo que una vara que por definición tiene un metro de largo. Este estándar define la unidad de la cantidad, la longitud o distancia. Al describir una cantidad física con un número siempre debemos indicar la unidad empleada. Decir que la mesa tiene una longitud de 1,35 no tiene sentido físico, lo correcto es decir 1,35 m. Estándares y Unidades El sistema de unidades empleado por los científicos e ingenieros en todo el mundo es el Sistema Internacional de medidas (1960). Modificado en 2018 utilizando la constante de Planck. Prefijos y unidades Una vez definida la unidad fundamental se pueden definir unidades mas grandes o más pequeñas: por ejemplo 1 km = 1000 m. En el sistema métrico conviene utilizar potencias de 10. Por ejemplo para el caso de Longitud Prefijos y unidades Prefijos y unidades Consistencia y Conversiones de unidades Para expresar las relaciones entre cantidades físicas representadas por símbolos algebraicos usamos ecuaciones. Cada símbolo algebraico denota siempre tanto un número como una unidad. Por ejemplo: d, podría representar una distancia de 10 m, t un tiempo de 5 s y v una rapidez de 2 m/s. Toda ecuación debe ser dimensionalmente consistente. No podemos sumar vacas y chanchos o manzanas y peras. Sólo podemos sumar o igualar dos términos si tienen las mismas unidades. P.e: d = v t, es la distancia que recorre un objeto que viaja con rapidez constante v durante un tiempo t. Para nuestro ejemplo, 𝑚 𝑑 =2∗ ∗ 5 𝑠 = 10 𝑚 𝑠 Conversión de unidades Convertir unidades es importante, pero también es importante saber cuando debe hacerse. Se recomienda trabajar siempre en S.I. y al final realizar la conversión. Si en la resolución de un problema obtenemos como resultado 60 segundos y nos piden el resultado en minutos pues sabemos que 1min = 60 s. Pero esto no significa que el numero 1 sea igual a 60 sino que 1 min representa el mismo intervalo de tiempo que 60 s, por lo que 1 min/60 s = 1 y viceversa (60s / 1 min = 1) el cociente se denomina factor de conversión. 60 𝑠 3 𝑚𝑖𝑛 = (3 𝑚𝑖𝑛) = 180 𝑠 1 𝑚𝑖𝑛 Incertidumbre y Cifras significativas Las mediciones siempre tienen incertidumbres o incetertezas. Por ejemplo si medimos el espesor de la tapa del libro de Física con una regla, el resultado no podría ser menos que 1 mm por las limitaciones del instrumento. Pero si usáramos un micrómetro, que mide longitudes confiables al 0,01 mm más cercano, el resultado sería 0,75 mm. La diferencia entre estas dos mediciones está en la incertidumbre, la medida con micrómetro tiene menor incerteza y es más exacta. La incertidumbre también se llama error, porque mide la diferencia entre el valor medido y el real. Incertidumbre y Cifras significativas En algunos casos no se da la incertidumbre de la medición si no que se indica con el número de dígitos informativos o cifras significativas. Por ejemplo si decimos que el espesor de la tapa del libro es 0,75 mm decimos que tiene dos cifras significativas. Con esto queremos decir que se conoce con precisión los dos primeros dígitos y el tercero es incierto. El último dígito está en la posición de la centésimas con lo cual la incerteza es de 0,01 mm. Dos valores con el mismo número de cifras significativas pueden tener distinta incertidumbre por ejemplo una distancia de 13 km tiene dos cifras significativas pero la incertidumbre es de 1 km.  Incertidumbre y Cifras significativas Cuando usamos números con incertidumbre para calcular otros números, el resultados también tiene incerteza y debemos ser cuidadosos en los cálculos y la determinación de las mismas. Por ejemplo: Reglas para determinar las cifras significativas Cualquier cifra distinta de cero se considera significativa. Ejemplos: 25,36 m tiene 4 c.s. o 154 tiene 3 c.s. Se consideran cifras significativas los ceros situados entre dos dígitos distintos de cero y los situados después de la coma decimal. Ejemplos: 2005.20 tiene 6 c.s. o 34.00 tiene 4 c.s. Sin embargo no se consideran cifras significativas los ceros situados al comienzo de un número, incluidos aquellos situados a la derecha de la coma decimal hasta llegar a un dígito distinto de cero. Ejemplo: 0,000560 tiene 3 c.s. (560) Tampoco se consideran significativos los ceros situados al final de un número sin coma decimal, excepto si se indican con un punto. Ejemplos: 450 tiene 2 c.s. (45), sin embargo 450. tiene 3 c.s. Incertidumbre y Cifras significativas También cuando realizamos operaciones con número de diferentes cifras significativas, debemos ser cuidadosos en los cálculos y la determinación de las mismas. Por ejemplo:  Notación científica Al operar con números muy grandes o muy pequeños es mucho más fácil usar la notación científica para determinar el número de cifras significativas. P.e: la distancia Tierra-Luna es 384.000.000 m. Si usamos notación científica escribiremos, 384.000.000 m = 3,84 x 108 m 384,000,000 m = 3.84 x 108 m O sea usando un número entre 1 y 10 multiplicado por la potencia de diez apropiada, en nuestro ejemplo se obtuvo corriendo la coma decimal 8 lugares a la izq. Y entonces resulta fácil ver la ditancia T-L tiene 3 cifras significativas o sea los ceros a la derecha no son cifras significativas. Precisión vs Exactitud Precisión no es lo mismo que exactitud veamos un ejemplo: Un reloj digital barato indica que la hora es 10:23:54 AM. Es muy preciso porque indica hasta los segundos, pero si esta atrasado varios minutos no es muy exacto. Por el contrario un reloj de caja o de agujas, puede ser muy exacto dar la hora correcta pero si no tiene segundero no es preciso. La mediciones de alta calidad que definen estándares son tanto exactas como precisas. Precisión vs Exactitud Precisión vs Exactitud Estimaciones y órden de magnitud Aunque hemos destacado la importancia de conocer la exactitud de los números que representan cantidades físicas, muchas veces una estimación puede alcanzar. Por ejemplo si nos preguntan que distancia hay de aquí a Tucumán, alcanza con que sepamos que es del orden de 300.000 m. El orden de magnitud se define como la potencia de diez más cercana a la unidad fundamental por ejemplo: una hormiga que mide 3 mm. Tiene un orden de magnitud de 10-3 m, una persona es del orden de 1m, la Torre del convento San Francisco es del orden de los 100 m (54 m). La distancia Tierra-Luna? Tema I: Errores de medición Medir (medición) Información FÍSICA Experimentación cuantitativa una magnitud Física NÚMERO +UNIDAD ¿Qué? Técnica mediante la cual se asigna un número a una propiedad física Comparando dicha propiedad con otra ¿Cómo? similar tomada como unidad Tema I: Errores de medición NÚMERO = 1 ¿Qué? Magnitud LONGITUD DE LA Física: MESA L UNIDAD = m (metro) ¿Cómo? COMPARO LA LONGITUD DE LA MESA CON UNA REGLA (SISTEMA DE MEDICIÓN) La regla además se compara con un metro PATRÓN Tema I: Errores de medición Propiedad Número (0,5 kg) Sist. Objeto Física Peso de una bolsa de Proceso de Medición azúcar Sist. de Comparación Balanza Medición calibrada Propiedad 1 kg PATRÓN Sist. de patrón Referencia UNIDAD INTI (Inst. Nacional de Tecnología Industrial) NIST (National Institute OPERADOR of standard technlogy) Tema I: Errores de medición Ejemplo: Veamos un ejemplo práctico donde podamos reconocer cada uno de los sistemas involucrados en el proceso de medir y de qué manera se pueden establecer criterios de medición. Se quiere medir el diámetro de un alambre como se muestra en la Figura, entonces: a) el sistema objeto es el diámetro del alambre. b) el sistema de medición es el micrómetro y la teoría sobre la cual fue construido; c) el sistema de referencia es el metro; d) los criterios de medición son: 1) Que la pieza esté apoyada de modo que el diámetro sea perpendicular al eje longitudinal del micrómetro; 2) que la presión no sea excesiva; 3) que las superficies de la pieza y del micrómetro estén limpias; 4) que la iluminación de la escala sea correcta; 5) que la posición del observador con respecto a la escala no provoque errores de paralaje; etc. Tema I: Errores de medición Instrumentos de medición: Características Apreciación menor división de la escala del instrumento Alcance máximo valor que puede medir a fondo de escala Rango intervalo entre el mínimo y el máximo valor que se puede medir con el instrumento Tema I: Errores de medición ERRORES O INCERTIDUMBRE En el proceso de medida no basta con dar el valor de la propiedad física con su unidad correspondiente, sino que además deberá especificarse el error o incertidumbre de la medida. Mido una variable o cantidad X Resultado de la comparación (valor medido) 𝑋ത Incerteza o error absoluto 𝚫𝐗 Resultado experimental 𝑋 = 𝑋ത ± ∆𝑋 Tema I: Errores de medición Llamamos medición directa a la DIRECTAS operación de lectura en un instrumento aplicado a medir cierta magnitud TIPO DE Una medición indirecta es la que INDIRECTAS resulta de una ley física que vincula la MEDICIO magnitud a medir con otras magnitudes NES medibles directamente. ESTADÍSTICA No lo tratamos en este curso. Básicamente se relaciona con lo que se llama errores casuales. Tema I: Errores de medición PARA TODOS LOS CASOS 1. Todo resultado experimental o medida hecha en el laboratorio debe de ir acompañada del valor estimado del error de la medida y a continuación, las unidades empleadas, preferentemente del Sistema Internacional de Unidades de medida (SI). 2.- Tanto el valor de la magnitud física como su error deben expresarse en las mismas unidades 3.- Los errores se deben dar solamente con una única cifra significativa. 4.-La última cifra significativa en el valor de una magnitud física y en su error deben de corresponder al mismo orden de magnitud (centenas, decenas, unidades, décimas, centésimas). Tema I: Errores de medición Correcto o Incorrecto 𝐿 = 𝐿ത ± ∆𝐿 𝑳 = (95.321 ± 1) mm 𝑳 = (85.70 ± 0.02) mm 𝑳 = (85.7 ± 0.02) mm 𝑳 = (85.700 ± 0.02) mm 𝑳 = 85.7 mm ± 0.1 cm Tema I: Errores de medición ESCALARES TIPO DE MAGNITUDES VECTORIALES Las magnitudes escalares son aquellas que sólo requieren de un número y de una unidad para expresarlas. Por ejemplo, una distancia (300 km), una longitud (1,2 m), un tiempo (15 mim) , la presión (982 Hpa), trabajo de una fuerza (1500 Joule), potencia (786 Watt), voltaje (220 V), resistencia (2 kΩ), etc. Las magnitudes vectoriales además de un número y una unidad requieren de un dirección y un sentido. Por ejemplo velocidad (hoy el viento sopla a 20 km/h de este a o este, ) Fuerza (mi peso es 600 N en la dirección vertical y hacia el centro de la Tierra). En el próximo tema veremos cómo representaremos a estas magnitudes Tema I: Errores de medición TIPO DE DIRECTAS MEDICIONES Medir la longitud del alambre Errores introducidos por el instrumento: Error de apreciación, eap Error de exactitud, eexac Error de interacción, eint Tema I: Errores de medición TIPO DE DIRECTAS MEDICIONES Medir la longitud del alambre Errores introducidos por el instrumento: Error de apreciación, eap Error de exactitud, eexac Error de interacción, eint emin = eap + eexact + eint En el ejemplo de medir un alambre con una regla común, dado que no se dispone del error de exactitud y no hay error de interacción, escribiremos L = (8,5 ± 0,1) cm Error Relativo y Error Porcentual CALIDAD DE LA MEDIDA 𝑳 = (85.700 ± 0.001) mm ¿CUÁL ES MEJOR? 𝑳 = (85.7 ± 0.1) mm 𝑳 = (2000 ± 1) s Error relativo Error por unidad de medida o unidad de escala ∆𝑋 ∆𝑋 𝑒𝑟 = 𝑒𝑟 = 𝑋ത 𝑋ത Error porcentual 𝑒% = 𝑒𝑟 ∗ 100  TIPO DE MEDICIONES INDIRECTAS Una medición indirecta es la que resulta de una ley física que vincula la magnitud a medir con otras magnitudes medibles directamente. Así por ejemplo la aceleración de la gravedad determida con un péndulo ideal es: Mido directamente L y T 2 4π g= 2 L 𝐿 = 𝐿ത ± ∆𝐿 T 𝑇 = 𝑇ത ± ∆𝑇 ¿ 𝑔 = 𝑔ҧ ± ∆𝑔? Propagación de errores en una suma algebraica Sean a , b , c las medidas de los lados de un triángulo y los ∆𝑎 ∆𝑏 y ∆𝑐 errores de apreciación correspondientes. El perímetro será 𝑃ത = 𝑎ത + 𝑏ത + 𝑐ҧ y el error del perímetro ∆𝑃 = ∆𝑎 + ∆𝑏 + ∆𝑐 Del mismo modo ocurriría si tuviera una resta, es decir que si h = a -b , el error sería En este caso concluimos que: ∆ℎ = ∆𝑎 + ∆𝑏 El error absoluto de la suma algebraica es igual a la suma de los errores absolutos de los términos. Propagación de errores de un producto Si deseamos calcular el área de un triángulo, deberemos usar la siguiente expresión A=½ah donde a es el lado de la base y h la altura de triángulo, para recordar estos conceptos observa la figura. Sean 𝑎ത 𝑦 𝑏ത las medidas de la base y la altura y sean ∆𝑎 ∆𝑏 los correspondientes errores de apreciación. ∆𝑎 ∆𝑏 Los errores relativos serán entonces: 𝐸𝑎 = 𝐸𝑏 = 𝑎ത 𝑏ത La medida del área será 𝐴ҧ = 1 𝑎ത ∗ 𝑏ത 2 y el “error relativo” de esta medida es Tema II: Medición de Errores ∆𝐴 ∆𝑎 ∆𝑏 = + 𝐴ҧ 𝑎ത 𝑏ത De esta última expresión puede deducirse que el error absoluto en la medida del área es: ∆𝑎 ∆𝑏 ∆𝐴 = 𝐴ҧ ∗ + 𝑎ത 𝑏ത por lo tanto generalizando diremos que: el error relativo de un producto es igual a la suma algebraica de los errores relativos de los factores Tema II: Medición de Errores Propagación de Errores de un producto de potencias Los ejemplos anteriores no agotan las posibilidades de relación entre las magnitudes que se miden directamente y la magnitud que, en función de estas, se desea determinar. Un caso más general sería el producto de potencias, en el cual está incluido el cociente. Si la magnitud en cuestión (llamémosla M) está relacionada con las magnitudes medidas directamente (llamémoslas X, Y ,Z) por medio de la expresión: 𝑀= 𝑋 𝑎 ∗ 𝑌 𝑏 ∗ 𝑍 𝑐 donde a, b y c son exponentes positivos o negativos, enteros o fraccionarios, entonces se encuentra, de acuerdo a lo que vimos, que el error relativo de M es: ∆𝑀 ∆𝑋 ∆𝑌 ∆𝑍 ഥ = 𝑎 + 𝑏 +𝑐 𝑀 𝑋ത 𝑌ത 𝑍ത (donde || significa valor absoluto) Tema II: Medición de Errores En conclusión: el error relativo de un producto de potencias es igual a la suma algebraica de los errores relativos de los factores, multiplicados cada uno, por el valor absoluto del exponente correspondiente. Volviendo al ejemplo Se desea medir la aceleración de la gravedad g en cm/s2 utilizando un péndulo ideal de longitud bien conocida, L = 171,7 cm. Para ello se miden 100 períodos de oscilación (T) del péndulo con un cronómetro de apreciación 1/5 s, obteniéndose 100T = 262,4 s ¿Cuál es el resultado de la medida de g? 4𝜋 2 𝑔 = 2 ∗𝐿 𝑔 = 4𝜋 2 ∗ 𝑇 −2 ∗ 𝐿 𝑇 ∆𝑔 ∆𝐿 ∆𝑇 = 1 + −2 𝑔ҧ 𝐿ത 𝑇ത ∆𝐿 ∆𝑇 ∆𝑔 = 𝑔ҧ ∗ 1 + −2 𝐿ത 𝑇ത Error del período T Como medimos 100 oscilaciones, medimos un tiempo t = nT. Esto se hace así porque, al ser T un valor relativamente pequeño, el error que se comete al medirlo es significativamente grande. Esto se debe a que no sólo está afectado por la apreciación del cronómetro sino también por el tiempo de reacción de la persona que mide. Este tiempo, depende de cada persona pero en promedio se considera que tiene un valor entre 0,5 s y 1s. Para minimizar esto es que en vez de medir el tiempo de una sola oscilación o período, se miden 100 de ellas. El período es entonces una función T = t/n y como n se considera sin error, Δ T = ± Δt / n, luego, como Δt = 1/5 s = 0,2 s, se tendrá ∆𝑡 0,2 ∆𝑇 = = = 0,002 𝑠 = 2 ∗ 103 𝑠 𝑛 100 Error del longitud L Debemos ser muy cuidadosos en la lecturas de las consignas, en este caso el enunciado claramente dice que “ la longitud es bien conocida” eso significa que no tiene error. O sea ∆𝐿 = 0 Finalmente: Error en la aceleración de la gravedad g ∆𝐿 ∆𝑇 4𝜋 2 ∆𝑔 = 𝑔ҧ ∗ 1 + −2 𝑔 = 2 ∗𝐿 𝐿ത 𝑇ത 𝑇 4𝜋 2 0,002 𝑠 ∆𝑔 = 2 ∗ 𝐿 ∗ 0 + −2 𝑇 𝑇ത 8𝜋 2 ∆𝑔 = ± 3 ∗ 𝐿 ∗ 0,002 𝑠 𝑇 Por lo tanto el resultado de la medición es: g = (985 ± 2) cm/s2