Zeigen Sie die Beschränktheit der Folge a_n = (-1)^n (n + 3) / (2n)
Understand the Problem
Die Frage fordert dazu auf, die Beschränktheit der Folge a_n zu zeigen, die durch die Formel a_n = (-1)^n (n + 3) / (2n) definiert ist. Es geht darum, mathematisch zu beweisen, dass diese Folge in einem bestimmten Bereich liegt und nicht ins Unendliche divergiert.
Answer
Die Folge ist beschränkt und liegt zwischen $-\frac{1}{2}$ und $\frac{1}{2}$.
Answer for screen readers
Die Folge $a_n = \frac{(-1)^n (n + 3)}{2n}$ ist beschränkt und liegt zwischen $-\frac{1}{2}$ und $\frac{1}{2}$.
Steps to Solve
- Darstellung der Folge
Die gegebene Folge ist
$$ a_n = \frac{(-1)^n (n + 3)}{2n} $$.
- Unterscheidung zwischen geraden und ungeraden n
Da die Folge von $(-1)^n$ abhängt, müssen wir die beiden Fälle ($n$ gerade und $n$ ungerade) getrennt betrachten:
-
Für gerade $n$: $a_n = \frac{n + 3}{2n}$
-
Für ungerade $n$: $a_n = \frac{-(n + 3)}{2n}$
- Grenzen für gerade n
Berechnen wir das Limit für gerade $n$.
$$ a_n = \frac{n + 3}{2n} = \frac{1}{2} + \frac{3}{2n} $$
Wenn $n \to \infty$, dann konvergiert $a_n$ gegen $\frac{1}{2}$.
- Grenzen für ungerade n
Jetzt berechnen wir das Limit für ungerade $n$.
$$ a_n = \frac{-(n + 3)}{2n} = -\frac{1}{2} - \frac{3}{2n} $$
Wenn $n \to \infty$, dann konvergiert $a_n$ gegen $-\frac{1}{2}$.
- Zusammenfassung der Grenzen
Damit liegen die Werte der Folge für $n$ gerade in der Nähe von $\frac{1}{2}$ und für $n$ ungerade in der Nähe von $-\frac{1}{2}$.
- Schlussfolgerung zur Beschränktheit
Somit ist die Folge beschränkt durch $-\frac{1}{2}$ und $\frac{1}{2}$, da alle Werte zwischen diesen Grenzen liegen.
Die Folge $a_n = \frac{(-1)^n (n + 3)}{2n}$ ist beschränkt und liegt zwischen $-\frac{1}{2}$ und $\frac{1}{2}$.
More Information
Diese Folge oscilliert zwischen zwei Werten, die beide in endlichen Grenzen liegen, was bedeutet, dass sie nicht divergiert und somit beschränkt ist. Es handelt sich um eine typische Beispielstudie für alternierende Reihen.
Tips
- Verwechslung der Grenzwerte für gerade und ungerade $n$.
- Falsches Ableiten der Folge durch das Weglassen des Faktors $(-1)^n$.
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