Un fil infini porte une densité de charge linéique constante +λ. Ce fil est placé sur l'axe vertical z'. 1°) Calculer par le théorème de Gauss le champ électrostatique E(r) créé en... Un fil infini porte une densité de charge linéique constante +λ. Ce fil est placé sur l'axe vertical z'. 1°) Calculer par le théorème de Gauss le champ électrostatique E(r) créé en un point M(r) sur l'axe horizontal (0r) de vecteur unitaire er. 2°) Déduire le potentiel électrostatique V(r). 3°) La partie 0z du fil est supprimée, calculer le champ électrostatique créé par le fil semi-infini z'0 en un point M(r) de l'axe (0r) en fonction des vecteurs er et k. 4°) Quelle est la direction de ce champ électrostatique par rapport au plan horizontal passant par 0.
Understand the Problem
La question porte sur le calcul et l'analyse du champ électrostatique créé par un fil infini portant une charge linéique constante. Elle demande d'utiliser le théorème de Gauss pour calculer le champ, de déduire le potentiel électrostatique et d'étudier les effets d'une partie supprimée du fil, notamment sur la direction du champ électrostatique.
Answer
$E = \frac{\lambda}{2 \pi \epsilon_0 r}$, $V(r) = -\frac{\lambda}{2 \pi \epsilon_0} \ln(r)$, $E_{semi-infinie} = \frac{\lambda}{4 \pi \epsilon_0 r} \, \mathbf{e_r}$; direction perpendiculaire au plan horizontal.
Answer for screen readers
Le champ électrostatique est $E = \frac{\lambda}{2 \pi \epsilon_0 r}$, le potentiel est $V(r) = -\frac{\lambda}{2 \pi \epsilon_0} \ln(r)$, et pour le fil semi-infini, le champ est $E_{semi-infinie} = \frac{\lambda}{4 \pi \epsilon_0 r} , \mathbf{e_r}$ avec une direction perpendiculaire au plan horizontal.
Steps to Solve
- Calcul du champ électrostatique E(r) avec le théorème de Gauss
Nous considérons un cylindre gaussien centré sur l'axe vertical du fil, avec un rayon de $r$ et de longueur $L$. Par symétrie, le champ $E$ est constant sur la surface latérale du cylindre. L'intégrale de flux est donc :
$$ \Phi = E \cdot (2 \pi r L) $$
En utilisant la loi de Gauss, nous avons :
$$ \Phi = \frac{Q_{int}}{\epsilon_0} $$
où $Q_{int} = \lambda L$. Donc :
$$ E \cdot (2 \pi r L) = \frac{\lambda L}{\epsilon_0} $$
En simplifiant, nous trouvons :
$$ E = \frac{\lambda}{2 \pi \epsilon_0 r} $$
- Calcul du potentiel électrostatique V(r)
Le potentiel électrostatique est défini par :
$$ V(r) = -\int_{a}^{r} E , dr $$
En intégrant de $r$ à l'infini pour un fil infini, nous avons :
$$ V(r) = -\int_{\infty}^{r} \frac{\lambda}{2 \pi \epsilon_0 r'} , dr' = -\frac{\lambda}{2 \pi \epsilon_0} \ln\left(\frac{r}{\infty}\right) $$
Cela donne :
$$ V(r) = -\frac{\lambda}{2 \pi \epsilon_0} \ln(r) $$
- Champ électrostatique créé par le fil semi-infini z'0
Pour le fil semi-infini, en utilisant un argument similaire et la symétrie, nous utilisons le même calcul mais sur la moitié de l'intégration. Nous trouvons alors que :
$$ E_{semi-infinie} = \frac{\lambda}{4 \pi \epsilon_0 r} , \mathbf{e_r} $$
La direction de $E_{semi-infinie}$ est dirigée latéralement par rapport à l'axe horizontal.
- Direction du champ électrostatique
Le champ électrostatique créé par le fil semi-infini $z'0$ est dirigé perpendiculairement à l'axe du fil (en raison de la charge positive de +λ) et vers l'extérieur par rapport à ce fil. Par conséquent, il forme un angle de 90 degrés avec le plan horizontal.
Le champ électrostatique est $E = \frac{\lambda}{2 \pi \epsilon_0 r}$, le potentiel est $V(r) = -\frac{\lambda}{2 \pi \epsilon_0} \ln(r)$, et pour le fil semi-infini, le champ est $E_{semi-infinie} = \frac{\lambda}{4 \pi \epsilon_0 r} , \mathbf{e_r}$ avec une direction perpendiculaire au plan horizontal.
More Information
Le théorème de Gauss simplifie le calcul des champs électriques dans des géométries symétriques, comme les fils infinis. Dans ce cas, la symétrie cylindrique est utilisée pour déterminer le champ électrostatique.
Tips
- Négliger la symétrie dans l'application du théorème de Gauss peut conduire à des erreurs dans le calcul du champ.
- Oublier d'intégrer correctement les limites de l'intégration lors du calcul du potentiel électrostatique peut aussi causer des erreurs.
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