Uma função f de x e y é harmônica se ∂²f/∂x² + ∂²f/∂y² = 0. Prove que a função f(x, y) = ln(√(x² + y²)) é harmônica. Mostre que as funções u(x, y) = x² - y² e v(x, y) = xy verifica... Uma função f de x e y é harmônica se ∂²f/∂x² + ∂²f/∂y² = 0. Prove que a função f(x, y) = ln(√(x² + y²)) é harmônica. Mostre que as funções u(x, y) = x² - y² e v(x, y) = xy verificam as equações de Cauchy-Riemann: ∂u/∂x = ∂v/∂y e ∂u/∂y = -∂v/∂x.
Understand the Problem
A questão pede para demonstrar que a função dada é harmônica e se satisfaz as equações de Cauchy-Riemann. Para isso, precisamos verificar se a função atende à condição de harmonicidade e também mostrar que as derivadas parciais atendem às equações solicitadas.
Answer
A função $f(x, y)$ é harmônica, mas $u(x, y)$ e $v(x, y)$ não satisfazem as equações de Cauchy-Riemann.
Answer for screen readers
A função $f(x, y) = \ln(\sqrt{x^2 + y^2})$ é harmônica. As funções $u(x, y) = x^2 - y^2$ e $v(x, y) = xy$ não satisfazem as equações de Cauchy-Riemann.
Steps to Solve
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Calcular as derivadas parciais de $f(x, y)$
Primeiro, precisamos calcular as derivadas parciais de $f(x, y) = \ln(\sqrt{x^2 + y^2})$ em relação a $x$ e $y$.
A função pode ser simplificada como $f(x,y) = \frac{1}{2} \ln(x^2 + y^2)$. Agora, calculamos as derivadas: $$ \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2x}{x^2 + y^2} = \frac{x}{x^2 + y^2} $$ $$ \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2y}{x^2 + y^2} = \frac{y}{x^2 + y^2} $$
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Calcular as derivadas segundas
Agora, precisamos calcular as derivadas segundas de $f$. Isso é necessário para verificar a condição de harmonicidade.
A primeira derivada em relação a $x$ é $\frac{x}{x^2 + y^2}$. Vamos derivar isso em relação a $x$ novamente: $$ \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = \frac{(x^2 + y^2)(1) - x(2x)}{(x^2 + y^2)^2} = \frac{y^2 - x^2}{(x^2 + y^2)^2} $$
Agora, derivamos $\frac{\partial f}{\partial y}$ em relação a $y$: $$ \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = \frac{(x^2 + y^2)(1) - y(2y)}{(x^2 + y^2)^2} = \frac{x^2 - y^2}{(x^2 + y^2)^2} $$
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Verificar a condição de harmonicidade
Agora, somamos as duas derivadas segundas: $$ \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = \frac{y^2 - x^2 + x^2 - y^2}{(x^2 + y^2)^2} = \frac{0}{(x^2 + y^2)^2} = 0 $$
Assim, a função $f(x, y)$ é harmônica. -
Verificar as Equações de Cauchy-Riemann
Vamos considerar as funções $u(x, y) = x^2 - y^2$ e $v(x, y) = xy$.
Calculamos as derivadas para $u$: $$ \frac{\partial u}{\partial x} = 2x $$ $$ \frac{\partial u}{\partial y} = -2y $$
Calculamos as derivadas para $v$: $$ \frac{\partial v}{\partial x} = y $$ $$ \frac{\partial v}{\partial y} = x $$
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Verificar se as condições estão satisfeitas
Agora, verificamos as equações de Cauchy-Riemann: $$ \frac{\partial u}{\partial x} = 2x \quad \text{e} \quad \frac{\partial v}{\partial y} = x $$ $$ \frac{\partial u}{\partial y} = -2y \quad \text{e} \quad -\frac{\partial v}{\partial x} = -y $$
Portanto, temos: $$ 2x = x \quad \text{(não é verdade)} $$ $$ -2y = -y \quad \text{(não é verdade)} $$
Logo, essas funções não satisfazem ambos.
A função $f(x, y) = \ln(\sqrt{x^2 + y^2})$ é harmônica. As funções $u(x, y) = x^2 - y^2$ e $v(x, y) = xy$ não satisfazem as equações de Cauchy-Riemann.
More Information
- Uma função harmônica satisfaz a condição $\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = 0$.
- As equações de Cauchy-Riemann são fundamentais para a análise de funções complexas.
Tips
- Um erro comum é não calcular corretamente as derivadas parciais e segundas, resultando em uma verificação incorreta da harmonicidade.
- Outro erro comum é confundir as equações de Cauchy-Riemann e aplicá-las de forma inadequada.
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