Um projétil é lançado do solo, sua velocidade inicial faz 60º com a horizontal e tem módulo igual a 40 m/s. A coordenada x do projétil aumenta com o tempo, até ele cair no solo pla... Um projétil é lançado do solo, sua velocidade inicial faz 60º com a horizontal e tem módulo igual a 40 m/s. A coordenada x do projétil aumenta com o tempo, até ele cair no solo plano. (a) Calcule o alcance do projétil. (b) Calcule o tempo até ele cair no chão. Com resposta dos resultados.
Understand the Problem
A pergunta está pedindo para calcular o alcance de um projétil e o tempo até ele cair no chão, dado que ele é lançado com uma velocidade inicial de 40 m/s a um ângulo de 60º em relação à horizontal. Para resolver isso, precisaremos usar as fórmulas de movimento em duas dimensões, considerando a decomposição da velocidade nas direções x e y e as equações do movimento uniformemente acelerado para o cálculo do tempo e alcance.
Answer
O alcance do projétil é aproximadamente 141.2 m e o tempo até ele cair no chão é 7.06 s.
Answer for screen readers
O alcance do projétil é aproximadamente 141.2 m e o tempo até ele cair no chão é aproximadamente 7.06 s.
Steps to Solve
- Decomposição da Velocidade Inicial
Precisamos decompor a velocidade inicial em suas componentes horizontal e vertical. A fórmula para a decomposição é:
- Componente horizontal: $$ v_{0x} = v_0 \cdot \cos(\theta) $$
- Componente vertical: $$ v_{0y} = v_0 \cdot \sin(\theta) $$
Substituindo os valores:
$$ v_{0x} = 40 \cdot \cos(60^\circ) = 40 \cdot 0.5 = 20 , \text{m/s} $$
$$ v_{0y} = 40 \cdot \sin(60^\circ) = 40 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 34.64 , \text{m/s} $$
- Cálculo do Tempo de Voo
Para calcular o tempo total que o projétil permanece no ar, usamos a fórmula do movimento uniformemente acelerado vertical:
$$ t_{total} = \frac{2 \cdot v_{0y}}{g} $$
onde $g$ é a aceleração devido à gravidade (aproximadamente 9.81 m/s²).
Calculando:
$$ t_{total} = \frac{2 \cdot 34.64}{9.81} \approx 7.06 , \text{s} $$
- Cálculo do Alcance Horizontal
O alcance horizontal (distância) é dado pela fórmula:
$$ R = v_{0x} \cdot t_{total} $$
Substituindo os valores:
$$ R = 20 \cdot 7.06 \approx 141.2 , \text{m} $$
O alcance do projétil é aproximadamente 141.2 m e o tempo até ele cair no chão é aproximadamente 7.06 s.
More Information
O alcance de um projétil lançado a um ângulo elevado geralmente resulta em uma distância significativa, especialmente com uma velocidade inicial alta, como a de 40 m/s. Esse fenômeno é frequentemente estudado em física, especialmente na mecânica clássica.
Tips
Um erro comum é não decompor corretamente a velocidade inicial nas suas componentes horizontal e vertical. Para evitar isso, sempre utilize as funções trigonométricas corretas e verifique se o ângulo está em graus ou radianos, conforme necessário.
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