Um projétil é lançado do solo, sua velocidade inicial faz 60° com a horizontal e tem módulo igual a 40 m/s. A coordenada x do projétil aumenta com o tempo, até ele cair no solo pla... Um projétil é lançado do solo, sua velocidade inicial faz 60° com a horizontal e tem módulo igual a 40 m/s. A coordenada x do projétil aumenta com o tempo, até ele cair no solo plano. (a) Calcule o alcance do projétil. (b) Calcule o tempo até ele cair no chão.
Understand the Problem
A questão pede para calcular o alcance e o tempo que um projétil, lançado do solo com uma certa velocidade e ângulo, levará até cair no chão. Isso envolve conceitos de física, particularmente do movimento em duas dimensões.
Answer
O alcance do projétil é $141.2 \text{ m}$ e o tempo até ele cair no chão é $7.06 \text{ s}$.
Answer for screen readers
(a) O alcance do projétil é aproximadamente $141.2 \text{ m}$.
(b) O tempo até ele cair no chão é aproximadamente $7.06 \text{ s}$.
Steps to Solve
- Separar as componentes da velocidade
A velocidade inicial do projétil pode ser separada em componentes horizontal e vertical. Usamos as funções trigonométricas seno e cosseno para isso:
- Componente horizontal:
$$ V_{x} = V_{0} \cdot \cos(\theta) = 40 \cdot \cos(60°) = 40 \cdot 0.5 = 20 \text{ m/s} $$
- Componente vertical:
$$ V_{y} = V_{0} \cdot \sin(\theta) = 40 \cdot \sin(60°) = 40 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 34.64 \text{ m/s} $$
- Calcular o tempo de voo
O tempo total de voo pode ser encontrado usando a fórmula da equação do movimento vertical. O tempo para subir e descer pode ser calculado:
- Tempo de subida até o ponto mais alto:
$$ t_{\text{up}} = \frac{V_{y}}{g} = \frac{34.64}{9.81} \approx 3.53 \text{ s} $$
- O tempo total de voo será o dobro do tempo de subida:
$$ t_{\text{total}} = 2 \cdot t_{\text{up}} \approx 2 \cdot 3.53 \approx 7.06 \text{ s} $$
- Calcular o alcance horizontal
O alcance horizontal do projétil é a distância que ele percorre na direção x durante o tempo total de voo:
$$ R = V_{x} \cdot t_{\text{total}} = 20 \cdot 7.06 \approx 141.2 \text{ m} $$
(a) O alcance do projétil é aproximadamente $141.2 \text{ m}$.
(b) O tempo até ele cair no chão é aproximadamente $7.06 \text{ s}$.
More Information
Esse problema envolve o lançamento de projéteis, um conceito bastante utilizado na física. O ângulo de lançamento e a velocidade inicial são fundamentais para determinar o alcance e o tempo de voo. A decomposição da velocidade em suas componentes é uma prática comum na análise de movimentos em duas dimensões.
Tips
- Ignorar a decomposição da velocidade em suas componentes horizontais e verticais.
- Não considerar o dobro do tempo de subida para calcular o tempo total de voo.
- Usar valores incorretos para a aceleração da gravidade, que deve ser $g \approx 9.81 \text{ m/s}^2$.
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